對數(shù)與對數(shù)運算

2.2.1對數(shù)與對數(shù)運算1

對數(shù)的創(chuàng)始人是蘇格蘭數(shù)學(xué)家納皮爾（Napier，1550年~1617年）。他發(fā)明了供天文計算作參考的對數(shù)，并于1614年在愛丁堡出版了《奇妙的對數(shù)定律說明書》，公布了他的發(fā)明。恩格斯把對數(shù)的發(fā)明與解析幾何的創(chuàng)始，微積分的建立并稱為17世紀(jì)數(shù)學(xué)的三大成就。2一、引入：1999年我國人口約13億，如果今后每年增長率控制在1%，那么哪一年的人口數(shù)要達(dá)到18億、20億、30億……？設(shè)：x年后我國人口達(dá)到18億，

根據(jù)題意得：即：如何來計算這里的x?這是已知底數(shù)和冪的值，求指數(shù)的問題。即指數(shù)式ab=N

中，已知a

和N求b的問題。（這里

a>0且a≠1）

3其中a叫做對數(shù)的底數(shù),N叫做真數(shù)。1.對數(shù)的定義：一般地，如果a(a>0,a≠1)的x次冪等于N，二、新課講授就是那么數(shù)x叫做以a為底N的對數(shù)，記作:4探究——對數(shù)式與指數(shù)式的互化（1）對數(shù)與指數(shù)中的元素之間的關(guān)系（2）借助指數(shù)性質(zhì)探究對數(shù)性質(zhì)思考：①為什么對數(shù)的定義中要求底數(shù)a>0且a≠1；②是否是所有的實數(shù)都有對數(shù)呢？③能得出什么結(jié)論呢？5底數(shù)冪真數(shù)指數(shù)對數(shù)6對數(shù)與指數(shù)的區(qū)別名稱式子axN底數(shù)底數(shù)指數(shù)對數(shù)冪真數(shù)7

對數(shù)定義中為什么規(guī)定（a>0且a≠1）呢？⑴若a<0時，則N為某些值時，b值不存在。如：b=log－28不存在⑵若a=0時，①N不為0時，b不存在。如：log02不存在（可解釋為0的多少次方是2呢？）②N為0時，b可以是任何正數(shù)，是不唯一的。如：log00有無數(shù)個值（可解釋為0的任何非零正次方是零）⑶若a=1時，①N不為1時，b不存在。如：log13不存在（可解釋為1的多少次方是3呢？）②N為1時，b可以是任何數(shù)，是不唯一的。如：log11有無數(shù)個值（可解釋為1的任何次方是1）所以規(guī)定a>0且a≠18重要結(jié)論①在對數(shù)式中

N>0（負(fù)數(shù)與零沒有對數(shù)）②對任意a＞0

且a≠1

,

loga1=0

logaa=1

logaab=b

9常用對數(shù)：以10為底的對數(shù).并把簡記作lgN。兩個常用對數(shù)：自然對數(shù)：以無理數(shù)e=2.71828…為底的對數(shù)，并把簡記作lnN。10例1．1將下列指數(shù)式寫成對數(shù)式：解：(1)--11例1．2將下列對數(shù)式寫成指數(shù)式：（5）（6）解：--12例2．求下列各式中x的值：

（1）（2）（3）（4）13

溫故知新指數(shù)式與對數(shù)式的互化，及幾個重要公式。14

溫故知新2指數(shù)運算法則15探究能否根據(jù)指數(shù)與對數(shù)關(guān)系以及指數(shù)運算法則推導(dǎo)出對數(shù)運算法則？16如果

a>0,a

1,

M>0,N>0有：

①②③對數(shù)運算性質(zhì)-17

上述關(guān)于對數(shù)運算的三個基本性質(zhì)如何用文字語言描述？①兩數(shù)積的對數(shù)，等于各數(shù)的對數(shù)的和；②兩數(shù)商的對數(shù)，等于被除數(shù)的對數(shù)減去除數(shù)的對數(shù)；③冪的對數(shù)等于冪指數(shù)乘以底數(shù)的對數(shù)．18例3：計算：（1）25，（2）1，（3）（×），（4）lg19例4用，，表示下列各式：20判斷下列式子是否正確注意：適用條件：真數(shù)>0；底數(shù)>0且≠1.（1）log2[(-3)(-5)]=log2(-3)+log2(-5）（2）lg[(-10)2]=2lg(-10)21思考：思考：“（2.1.2例8）中，哪一年的人口數(shù)要達(dá)到18億”?列出的式子如何計算結(jié)果？由于常用對數(shù)和自然對數(shù)可以通過查表或者計算機(jī)解決，所以可以把問題轉(zhuǎn)化到常用對數(shù)和自然對數(shù)。22

(N>0,

a>0,且a

1)

新知：換底公式(m>0,且m

1)23證：設(shè)

log

a

N=x,則

a

x=N

兩邊取以

m

為底的對數(shù)：從而得：

∴

∴

換底公式推導(dǎo)24兩個常用的推論：25運用對數(shù)解決實際問題（一）例：20實際30年代，里克特制定了一種表明地震能量大小的尺度，就是使用測震儀衡量地震能量的等級，地震能量越大，測震儀記錄的地震曲線的振幅就越大，這就是我們常說的地震立氏震級M。其計算公式為M=lgA-lgA0,其中A是被測地震的最大振幅，A0是“標(biāo)準(zhǔn)地震”的振幅26（1）假設(shè)在一次地震中，一個距離震中100千米的測震儀記錄的地震最大振幅是20，此時標(biāo)準(zhǔn)地震振幅是0.001，計算這次地震的震級（精確到0.1）（2）5級地震給人的震感已經(jīng)比較明顯，計算7.6級地震的最大振幅是5級地震最大振幅的幾倍（精確到1）運用對數(shù)解決實際問題（一）27例科學(xué)研究表明，宇宙射線在大氣中能夠產(chǎn)生放射性碳14。碳14的衰變極有規(guī)律，其精確性可以稱為自然界的“標(biāo)準(zhǔn)時鐘”。動植物在生長過程中衰變的碳14，可以通過與大氣的相互作用得到補(bǔ)充。所以活著的動植物每克組織中的碳14含量保持不變。死亡后