2023-2024學(xué)年陜西省渭南三賢中學(xué)高考數(shù)學(xué)五模試卷含解析

2023-2024學(xué)年陜西省渭南三賢中學(xué)高考數(shù)學(xué)五模試卷注意事項(xiàng):1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時(shí)請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．由曲線y＝x2與曲線y2＝x所圍成的平面圖形的面積為()A．1 B． C． D．2．我國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中有如下問題：“今有器中米，不知其數(shù)，前人取半，中人三分取一，后人四分取一，余米一斗五升(注：一斗為十升).問，米幾何？”下圖是解決該問題的程序框圖，執(zhí)行該程序框圖，若輸出的S=15(單位：升)，則輸入的k的值為（）?A．45 B．60 C．75 D．1003．如圖，在直三棱柱中，，，點(diǎn)分別是線段的中點(diǎn)，，分別記二面角，，的平面角為，則下列結(jié)論正確的是（）A． B． C． D．4．在中，，，，點(diǎn)滿足，則等于（）A．10 B．9 C．8 D．75．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的值為（）A． B． C． D．6．某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是（）A． B． C． D．7．本次模擬考試結(jié)束后，班級要排一張語文、數(shù)學(xué)、英語、物理、化學(xué)、生物六科試卷講評順序表，若化學(xué)排在生物前面，數(shù)學(xué)與物理不相鄰且都不排在最后，則不同的排表方法共有（）A．72種 B．144種 C．288種 D．360種8．已知是雙曲線的左右焦點(diǎn)，過的直線與雙曲線的兩支分別交于兩點(diǎn)（A在右支，B在左支）若為等邊三角形，則雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．9．已知復(fù)數(shù)是正實(shí)數(shù)，則實(shí)數(shù)的值為()A． B． C． D．10．已知雙曲線的漸近線方程為，且其右焦點(diǎn)為，則雙曲線的方程為（）A． B． C． D．11．設(shè)集合A＝{y|y＝2x﹣1，x∈R}，B＝{x|﹣2≤x≤3，x∈Z}，則A∩B＝（）A．（﹣1，3] B．[﹣1，3] C．{0，1，2，3} D．{﹣1，0，1，2，3}12．設(shè)，，，則、、的大小關(guān)系為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設(shè)為偶函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．關(guān)于函數(shù)的零點(diǎn)，有下列三個(gè)命題：①當(dāng)時(shí)，存在實(shí)數(shù)m，使函數(shù)恰有5個(gè)不同的零點(diǎn)；②若，函數(shù)的零點(diǎn)不超過4個(gè)，則；③對，，函數(shù)恰有4個(gè)不同的零點(diǎn)，且這4個(gè)零點(diǎn)可以組成等差數(shù)列．其中，正確命題的序號是_______．14．在中，已知是的中點(diǎn)，且，點(diǎn)滿足，則的取值范圍是_______.15．已知是定義在上的偶函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為．若時(shí)，，則不等式的解集是___________．16．在四面體中，與都是邊長為2的等邊三角形，且平面平面，則該四面體外接球的體積為_______．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）記無窮數(shù)列的前項(xiàng)中最大值為，最小值為，令，則稱是“極差數(shù)列”.（1）若，求的前項(xiàng)和；（2）證明：的“極差數(shù)列”仍是；（3）求證：若數(shù)列是等差數(shù)列，則數(shù)列也是等差數(shù)列.18．（12分）已知函數(shù)．（1）若函數(shù)在上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)的值；（2）定義：若直線與曲線都相切，我們稱直線為曲線、的公切線，證明：曲線與總存在公切線．19．（12分）已知函數(shù)．（1）若曲線在處的切線為，試求實(shí)數(shù)，的值；（2）當(dāng)時(shí)，若有兩個(gè)極值點(diǎn)，，且，，若不等式恒成立，試求實(shí)數(shù)m的取值范圍．20．（12分）已知橢圓的離心率為，且過點(diǎn)．（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）設(shè)是橢圓上且不在軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，過右焦點(diǎn)作的平行線交橢圓于、兩個(gè)不同的點(diǎn)，求的值．21．（12分）已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，其短半軸長為1，一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)在橢圓上，點(diǎn)在直線上，且．（1）證明：直線與圓相切；（2）設(shè)與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為，當(dāng)?shù)拿娣e最小時(shí)，求的長．22．（10分）如圖，在正四棱柱中，，，過頂點(diǎn)，的平面與棱，分別交于，兩點(diǎn)（不在棱的端點(diǎn)處）.（1）求證：四邊形是平行四邊形；（2）求證：與不垂直；（3）若平面與棱所在直線交于點(diǎn)，當(dāng)四邊形為菱形時(shí)，求長.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】

首先求得兩曲線的交點(diǎn)坐標(biāo)，據(jù)此可確定積分區(qū)間，然后利用定積分的幾何意義求解面積值即可.【詳解】聯(lián)立方程：可得：，，結(jié)合定積分的幾何意義可知曲線y＝x2與曲線y2＝x所圍成的平面圖形的面積為：.本題選擇B選項(xiàng).【點(diǎn)睛】本題主要考查定積分的概念與計(jì)算，屬于中等題.2、B【解析】

根據(jù)程序框圖中程序的功能，可以列方程計(jì)算．【詳解】由題意，．故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查程序框圖，讀懂程序的功能是解題關(guān)鍵．3、D【解析】

過點(diǎn)作，以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解二面角的余弦值得答案．【詳解】解：因?yàn)椋?，所以，即過點(diǎn)作，以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，0，，，，，，0，，，1，，，，，，，設(shè)平面的法向量，則，取，得，同理可求平面的法向量，平面的法向量，平面的法向量．，，．．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查二面角的大小的判斷，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．4、D【解析】

利用已知條件，表示出向量,然后求解向量的數(shù)量積．【詳解】在中，，，，點(diǎn)滿足，可得則==【點(diǎn)睛】本題考查了向量的數(shù)量積運(yùn)算，關(guān)鍵是利用基向量表示所求向量．5、B【解析】

列出每一次循環(huán)，直到計(jì)數(shù)變量滿足退出循環(huán).【詳解】第一次循環(huán)：；第二次循環(huán)：；第三次循環(huán)：，退出循環(huán)，輸出的為.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查由程序框圖求輸出的結(jié)果，要注意在哪一步退出循環(huán)，是一道容易題.6、A【解析】

觀察可知，這個(gè)幾何體由兩部分構(gòu)成,：一個(gè)半圓柱體，底面圓的半徑為1，高為2；一個(gè)半球體，半徑為1，按公式計(jì)算可得體積?！驹斀狻吭O(shè)半圓柱體體積為，半球體體積為，由題得幾何體體積為，故選A?！军c(diǎn)睛】本題通過三視圖考察空間識圖的能力，屬于基礎(chǔ)題。7、B【解析】

利用分步計(jì)數(shù)原理結(jié)合排列求解即可【詳解】第一步排語文，英語，化學(xué)，生物4種，且化學(xué)排在生物前面，有種排法；第二步將數(shù)學(xué)和物理插入前4科除最后位置外的4個(gè)空擋中的2個(gè)，有種排法，所以不同的排表方法共有種.選.【點(diǎn)睛】本題考查排列的應(yīng)用，不相鄰采用插空法求解，準(zhǔn)確分步是關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題8、D【解析】

根據(jù)雙曲線的定義可得的邊長為，然后在中應(yīng)用余弦定理得的等式，從而求得離心率．【詳解】由題意，，又，∴，∴，在中，即，∴．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查求雙曲線的離心率，解題關(guān)鍵是應(yīng)用雙曲線的定義把到兩焦點(diǎn)距離用表示，然后用余弦定理建立關(guān)系式．9、C【解析】

將復(fù)數(shù)化成標(biāo)準(zhǔn)形式，由題意可得實(shí)部大于零，虛部等于零，即可得到答案.【詳解】因?yàn)闉檎龑?shí)數(shù)，所以且，解得.故選：C【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的基本定義，屬基礎(chǔ)題.10、B【解析】試題分析：由題意得，，所以，，所求雙曲線方程為．考點(diǎn)：雙曲線方程.11、C【解析】

先求集合A，再用列舉法表示出集合B，再根據(jù)交集的定義求解即可．【詳解】解：∵集合A＝{y|y＝2x﹣1，x∈R}＝{y|y＞﹣1}，B＝{x|﹣2≤x≤3，x∈Z}＝{﹣2，﹣1，0，1，2，3}，∴A∩B＝{0，1，2，3}，故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查集合的交集運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．12、D【解析】

因?yàn)?，，所以且在上單調(diào)遞減，且所以，所以，又因?yàn)?，，所以，所?故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查利用指對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較指對數(shù)的大小，難度一般.除了可以直接利用單調(diào)性比較大小，還可以根據(jù)中間值“”比較大小.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、①②③【解析】

根據(jù)偶函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱，利用已知中的條件作出偶函數(shù)的圖象，利用圖象對各個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可.【詳解】解：當(dāng)時(shí)又因?yàn)闉榕己瘮?shù)可畫出的圖象，如下所示：可知當(dāng)時(shí)有5個(gè)不同的零點(diǎn)；故①正確；若，函數(shù)的零點(diǎn)不超過4個(gè)，即，與的交點(diǎn)不超過4個(gè)，時(shí)恒成立又當(dāng)時(shí)，在上恒成立在上恒成立由于偶函數(shù)的圖象，如下所示：直線與圖象的公共點(diǎn)不超過個(gè)，則，故②正確；對，偶函數(shù)的圖象，如下所示：，使得直線與恰有4個(gè)不同的交點(diǎn)點(diǎn)，且相鄰點(diǎn)之間的距離相等，故③正確．故答案為：①②③【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)方程思想，數(shù)形結(jié)合思想，屬于難題.14、【解析】

由中點(diǎn)公式的向量形式可得，即有，設(shè)，有，再分別討論三點(diǎn)共線和不共線時(shí)的情況，找到的關(guān)系，即可根據(jù)函數(shù)知識求出范圍．【詳解】是的中點(diǎn)，∴，即設(shè)，于是(1)當(dāng)共線時(shí)，因?yàn)?，①若點(diǎn)在之間，則，此時(shí)，；②若點(diǎn)在的延長線上，則，此時(shí)，．(2)當(dāng)不共線時(shí)，根據(jù)余弦定理可得，解得，由，解得．綜上，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查學(xué)中點(diǎn)公式的向量形式和數(shù)量積的定義的應(yīng)用，以及余弦定理的應(yīng)用，涉及到函數(shù)思想和分類討論思想的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是建立函數(shù)關(guān)系式，屬于中檔題．15、【解析】

構(gòu)造，先利用定義判斷的奇偶性，再利用導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性，轉(zhuǎn)化為，結(jié)合奇偶性，單調(diào)性求解不等式即可.【詳解】令，則是上的偶函數(shù)，，則在上遞減，于是在上遞增．由得，即，于是，則，解得．故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了利用函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性解不等式，考查了學(xué)生綜合分析，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于較難題.16、【解析】

先確定球心的位置，結(jié)合勾股定理可求球的半徑，進(jìn)而可得球的面積.【詳解】取的外心為，設(shè)為球心，連接，則平面，取的中點(diǎn)，連接，，過做于點(diǎn)，易知四邊形為矩形，連接，，設(shè)，.連接，則，，三點(diǎn)共線，易知，所以，.在和中，，，即，，所以，，得.所以.【點(diǎn)睛】本題主要考查幾何體的外接球問題，外接球的半徑的求解一般有兩個(gè)思路：一是確定球心位置，利用勾股定理求解半徑；二是利用熟悉的模型求解半徑,比如長方體外接球半徑是其對角線的一半.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）證明見解析（3）證明見解析【解析】

（1）由是遞增數(shù)列，得，由此能求出的前項(xiàng)和.（2）推導(dǎo)出，，由此能證明的“極差數(shù)列”仍是.（3）證當(dāng)數(shù)列是等差數(shù)列時(shí)，設(shè)其公差為，，是一個(gè)單調(diào)遞增數(shù)列，從而，，由，，，分類討論，能證明若數(shù)列是等差數(shù)列，則數(shù)列也是等差數(shù)列.【詳解】（1）解：∵無窮數(shù)列的前項(xiàng)中最大值為，最小值為，，，是遞增數(shù)列，∴，∴的前項(xiàng)和.（2）證明：∵，，∴，∴，∵，∴，∴的“極差數(shù)列”仍是（3）證明：當(dāng)數(shù)列是等差數(shù)列時(shí)，設(shè)其公差為，，根據(jù)，的定義，得：，，且兩個(gè)不等式中至少有一個(gè)取等號，當(dāng)時(shí)，必有，∴，∴是一個(gè)單調(diào)遞增數(shù)列，∴，，∴，∴，∴是等差數(shù)列，當(dāng)時(shí)，則必有，∴，∴是一個(gè)單調(diào)遞減數(shù)列，∴，，∴，∴.∴是等差數(shù)列，當(dāng)時(shí)，，∵，中必有一個(gè)為0，根據(jù)上式，一個(gè)為0，為一個(gè)必為0，∴，，∴數(shù)列是常數(shù)數(shù)列，則數(shù)列是等差數(shù)列.綜上，若數(shù)列是等差數(shù)列，則數(shù)列也是等差數(shù)列.【點(diǎn)睛】本小題主要考查新定義數(shù)列的理解和運(yùn)用，考查等差數(shù)列的證明，考查數(shù)列的單調(diào)性，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，屬于難題.18、（1）；（2）見解析.【解析】

（1）求出導(dǎo)數(shù)，問題轉(zhuǎn)化為在上恒成立，利用導(dǎo)數(shù)求出的最小值即可求解；（2）分別設(shè)切點(diǎn)橫坐標(biāo)為，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義寫出切線方程，問題轉(zhuǎn)化為證明兩直線重合，只需滿足有解即可，利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及零點(diǎn)存在性定理即可證明存在.【詳解】（1），函數(shù)在上單調(diào)遞增等價(jià)于在上恒成立．令，得，所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，則．因?yàn)?，則在上恒成立等價(jià)于在上恒成立；又，所以，即．（2）設(shè)的切點(diǎn)橫坐標(biāo)為，則切線方程為……①設(shè)的切點(diǎn)橫坐標(biāo)為，則，切線方程為……②若存在，使①②成為同一條直線，則曲線與存在公切線，由①②得消去得即令，則所以，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，，使得時(shí)總有又時(shí)，在上總有解綜上，函數(shù)與總存在公切線．【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的恒成立問題，導(dǎo)數(shù)的幾何意義，利用導(dǎo)數(shù)證明方程有解，屬于難題.19、（1）；（2）．【解析】

（1）根據(jù)題意，求得的值，根據(jù)切點(diǎn)在切線上以及斜率等于，構(gòu)造方程組求得的值；（2）函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，等價(jià)于方程的兩個(gè)正根，，不等式恒成立，等價(jià)于恒成立，，令，求出導(dǎo)數(shù)，判斷單調(diào)性，即可得到的范圍，即的范圍.【詳解】（1）由題可知，，，聯(lián)立可得．（2）當(dāng)時(shí)，，，有兩個(gè)極值點(diǎn)，，且，，是方程的兩個(gè)正根，，，不等式恒成立，即恒成立，，由，，得，，令，，在上是減函數(shù)，，故．【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)導(dǎo)數(shù)的問題，涉及到的知識點(diǎn)有導(dǎo)數(shù)的幾何意義，函數(shù)的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)，構(gòu)造新函數(shù)，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的值域得到參數(shù)的取值范圍，屬于較難題目.20、（Ⅰ）（Ⅱ）1【解析】

（Ⅰ）由題，得，，解方程組，即可得到本題答案；（Ⅱ）設(shè)直線，則直線，聯(lián)立，得，聯(lián)立，得，由此即可得到本題答案.【詳解】（Ⅰ）由題可得，即，，將點(diǎn)代入方程得，即，解得，所以橢圓的方程為：；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，設(shè)直線，則直線，聯(lián)立，整理得，所以，聯(lián)立，整理得，設(shè)，則，所以，所以．【點(diǎn)睛】本題主要考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求法以及直線與橢圓的綜合問題，考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力.21、（1）見解析；（2）.【解析】

（1）分斜率為0，斜率不存在，斜率不為0三種情況討論，設(shè)的方程為，可求解得到，，可得到的距離為1，即得證；（2）表示的面積為，利用均值不等式，即得解.【詳解】（1）由題意，橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，且，所以．所以橢圓的方程為．由點(diǎn)在直線上，且知的斜率必定存在，當(dāng)?shù)男甭蕿?時(shí)，，，于是，到的距離為1，直線與圓相