2024屆遼寧省大連市重點中學高三下學期第六次檢測數(shù)學試卷含解析

2024屆遼寧省大連市重點中學高三下學期第六次檢測數(shù)學試卷考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．如下的程序框圖的算法思路源于我國古代數(shù)學名著《九章算術》中的“更相減損術”．執(zhí)行該程序框圖，若輸入的a，b分別為176，320，則輸出的a為（）A．16 B．18 C．20 D．152．某幾何體的三視圖如圖所示，圖中圓的半徑為1，等腰三角形的腰長為3，則該幾何體表面積為（）A． B． C． D．3．已知滿足，則（）A． B． C． D．4．已知函數(shù)，若，則的值等于（）A． B． C． D．5．從集合中隨機選取一個數(shù)記為，從集合中隨機選取一個數(shù)記為，則在方程表示雙曲線的條件下，方程表示焦點在軸上的雙曲線的概率為（）A． B． C． D．6．已知冪函數(shù)的圖象過點，且，，，則，，的大小關系為（）A． B． C． D．7．下列命題是真命題的是（）A．若平面，，，滿足，，則；B．命題：，，則：，；C．“命題為真”是“命題為真”的充分不必要條件；D．命題“若，則”的逆否命題為：“若，則”.8．已知函數(shù)，，的零點分別為，，，則（）A． B．C． D．9．已知等比數(shù)列的前項和為，且滿足，則的值是()A． B． C． D．10．已知函數(shù)，則（）A．1 B．2 C．3 D．411．黨的十九大報告明確提出：在共享經濟等領域培育增長點、形成新動能.共享經濟是公眾將閑置資源通過社會化平臺與他人共享，進而獲得收入的經濟現(xiàn)象.為考察共享經濟對企業(yè)經濟活躍度的影響，在四個不同的企業(yè)各取兩個部門進行共享經濟對比試驗，根據(jù)四個企業(yè)得到的試驗數(shù)據(jù)畫出如下四個等高條形圖，最能體現(xiàn)共享經濟對該部門的發(fā)展有顯著效果的圖形是（）A． B．C． D．12．已知等差數(shù)列中，若，則此數(shù)列中一定為0的是（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在平面直角坐標系中，若雙曲線（，）的離心率為，則該雙曲線的漸近線方程為________.14．若，，則___________．15．在四面體中，分別是的中點．則下述結論：①四面體的體積為；②異面直線所成角的正弦值為；③四面體外接球的表面積為；④若用一個與直線垂直，且與四面體的每個面都相交的平面去截該四面體，由此得到一個多邊形截面，則該多邊形截面面積最大值為．其中正確的有_____．（填寫所有正確結論的編號）16．已知雙曲線的左右焦點為，過作軸的垂線與相交于兩點，與軸相交于.若，則雙曲線的離心率為_________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù).（1）求曲線在點處的切線方程；（2）若對任意的，當時，都有恒成立，求最大的整數(shù).（參考數(shù)據(jù)：）18．（12分）在平面直角坐標系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，直線的極坐標方程為，直線交曲線于兩點，為中點.（1）求曲線的直角坐標方程和點的軌跡的極坐標方程；（2）若，求的值.19．（12分）已知點，直線與拋物線交于不同兩點、，直線、與拋物線的另一交點分別為兩點、，連接，點關于直線的對稱點為點，連接、．（1）證明：；（2）若的面積，求的取值范圍．20．（12分）在世界讀書日期間，某地區(qū)調查組對居民閱讀情況進行了調查，獲得了一個容量為200的樣本，其中城鎮(zhèn)居民140人，農村居民60人.在這些居民中，經常閱讀的城鎮(zhèn)居民有100人，農村居民有30人.（1）填寫下面列聯(lián)表，并判斷能否有99%的把握認為經常閱讀與居民居住地有關？城鎮(zhèn)居民農村居民合計經常閱讀10030不經常閱讀合計200（2）調查組從該樣本的城鎮(zhèn)居民中按分層抽樣抽取出7人，參加一次閱讀交流活動，若活動主辦方從這7位居民中隨機選取2人作交流發(fā)言，求被選中的2位居民都是經常閱讀居民的概率.附：，其中.0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.82821．（12分）甲、乙兩班各派三名同學參加知識競賽，每人回答一個問題，答對得10分，答錯得0分，假設甲班三名同學答對的概率都是，乙班三名同學答對的概率分別是，，，且這六名同學答題正確與否相互之間沒有影響．（1）記“甲、乙兩班總得分之和是60分”為事件，求事件發(fā)生的概率；（2）用表示甲班總得分，求隨機變量的概率分布和數(shù)學期望．22．（10分）如圖，己知圓和雙曲線，記與軸正半軸、軸負半軸的公共點分別為、，又記與在第一、第四象限的公共點分別為、.（1）若，且恰為的左焦點，求的兩條漸近線的方程；（2）若，且，求實數(shù)的值；（3）若恰為的左焦點，求證：在軸上不存在這樣的點，使得.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】

根據(jù)題意可知最后計算的結果為的最大公約數(shù).【詳解】輸入的a，b分別為,,根據(jù)流程圖可知最后計算的結果為的最大公約數(shù)，按流程圖計算,,,,,,,易得176和320的最大公約數(shù)為16，故選:A.【點睛】本題考查的是利用更相減損術求兩個數(shù)的最大公約數(shù),難度較易.2、C【解析】

幾何體是由一個圓錐和半球組成，其中半球的半徑為1，圓錐的母線長為3，底面半徑為1，計算得到答案.【詳解】幾何體是由一個圓錐和半球組成，其中半球的半徑為1，圓錐的母線長為3，底面半徑為1，故幾何體的表面積為.故選：.【點睛】本題考查了根據(jù)三視圖求表面積，意在考查學生的計算能力和空間想象能力.3、A【解析】

利用兩角和與差的余弦公式展開計算可得結果.【詳解】，.故選：A.【點睛】本題考查三角求值，涉及兩角和與差的余弦公式的應用，考查計算能力，屬于基礎題.4、B【解析】

由函數(shù)的奇偶性可得，【詳解】∵其中為奇函數(shù)，也為奇函數(shù)∴也為奇函數(shù)∴故選：B【點睛】函數(shù)奇偶性的運用即得結果，小記，定義域關于原點對稱時有：①奇函數(shù)±奇函數(shù)=奇函數(shù)；②奇函數(shù)×奇函數(shù)=偶函數(shù)；③奇函數(shù)÷奇函數(shù)=偶函數(shù)；④偶函數(shù)±偶函數(shù)=偶函數(shù)；⑤偶函數(shù)×偶函數(shù)=偶函數(shù)；⑥奇函數(shù)×偶函數(shù)=奇函數(shù)；⑦奇函數(shù)÷偶函數(shù)=奇函數(shù)5、A【解析】

設事件A為“方程表示雙曲線”，事件B為“方程表示焦點在軸上的雙曲線”，分別計算出，再利用公式計算即可.【詳解】設事件A為“方程表示雙曲線”，事件B為“方程表示焦點在軸上的雙曲線”，由題意，，，則所求的概率為.故選：A.【點睛】本題考查利用定義計算條件概率的問題，涉及到雙曲線的定義，是一道容易題.6、A【解析】

根據(jù)題意求得參數(shù)，根據(jù)對數(shù)的運算性質，以及對數(shù)函數(shù)的單調性即可判斷.【詳解】依題意，得，故，故，，，則.故選：A.【點睛】本題考查利用指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調性比較大小，考查推理論證能力，屬基礎題.7、D【解析】

根據(jù)面面關系判斷A；根據(jù)否定的定義判斷B；根據(jù)充分條件，必要條件的定義判斷C；根據(jù)逆否命題的定義判斷D.【詳解】若平面，，，滿足，，則可能相交，故A錯誤；命題“：，”的否定為：，，故B錯誤；為真，說明至少一個為真命題，則不能推出為真；為真，說明都為真命題，則為真，所以“命題為真”是“命題為真”的必要不充分條件，故C錯誤；命題“若，則”的逆否命題為：“若，則”，故D正確；故選D【點睛】本題主要考查了判斷必要不充分條件，寫出命題的逆否命題等，屬于中檔題.8、C【解析】

轉化函數(shù)，，的零點為與，，的交點，數(shù)形結合，即得解.【詳解】函數(shù)，，的零點，即為與，，的交點，作出與，，的圖象，如圖所示，可知故選：C【點睛】本題考查了數(shù)形結合法研究函數(shù)的零點，考查了學生轉化劃歸，數(shù)形結合的能力，屬于中檔題.9、C【解析】

利用先求出，然后計算出結果.【詳解】根據(jù)題意，當時，,,故當時，,數(shù)列是等比數(shù)列,則，故,解得,故選.【點睛】本題主要考查了等比數(shù)列前項和的表達形式，只要求出數(shù)列中的項即可得到結果，較為基礎.10、C【解析】

結合分段函數(shù)的解析式,先求出,進而可求出.【詳解】由題意可得，則.故選:C.【點睛】本題考查了求函數(shù)的值,考查了分段函數(shù)的性質,考查運算求解能力,屬于基礎題.11、D【解析】根據(jù)四個列聯(lián)表中的等高條形圖可知，圖中D中共享與不共享的企業(yè)經濟活躍度的差異最大，它最能體現(xiàn)共享經濟對該部門的發(fā)展有顯著效果，故選D．12、A【解析】

將已知條件轉化為的形式，由此確定數(shù)列為的項.【詳解】由于等差數(shù)列中，所以，化簡得，所以為.故選：A【點睛】本小題主要考查等差數(shù)列的基本量計算，屬于基礎題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

利用，解出，即可求出雙曲線的漸近線方程.【詳解】，且，，，該雙曲線的漸近線方程為：.故答案為：.【點睛】本題考查了雙曲線離心率與漸近線方程，考查了雙曲線基本量的關系，考查了運算能力，屬于基礎題.14、【解析】

因為，所以，又，所以，則，所以．15、①③④．【解析】

補圖成長方體，在長方體中利用割補法求四面體的體積，和外接球的表面積，以及異面直線的夾角，作出截面即可計算截面面積的最值.【詳解】根據(jù)四面體特征，可以補圖成長方體設其邊長為，，解得補成長，寬，高分別為的長方體，在長方體中：①四面體的體積為，故正確②異面直線所成角的正弦值等價于邊長為的矩形的對角線夾角正弦值，可得正弦值為，故錯；③四面體外接球就是長方體的外接球，半徑，其表面積為，故正確；④由于，故截面為平行四邊形，可得，設異面直線與所成的角為，則，算得，．故正確．故答案為：①③④．【點睛】此題考查根據(jù)幾何體求體積，外接球的表面積，異面直線夾角和截面面積最值，關鍵在于熟練掌握點線面位置關系的處理方法，補圖法作為解決體積和外接球問題的常用方法，平常需要積累常見幾何體的補圖方法.16、【解析】

由已知可得，結合雙曲線的定義可知，結合，從而可求出離心率.【詳解】解：,，又，則.，，，即解得，即.故答案為:.【點睛】本題考查了雙曲線的定義，考查了雙曲線的性質.本題的關鍵是根據(jù)幾何關系，分析出.關于圓錐曲線的問題，一般如果能結合幾何性質，可大大減少計算量.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）2【解析】

（1）先求得切點坐標，利用導數(shù)求得切線的斜率，由此求得切線方程.（2）對分成，兩種情況進行分類討論.當時，將不等式轉化為，構造函數(shù)，利用導數(shù)求得的最小值（設為）的取值范圍，由的得在上恒成立，結合一元二次不等式恒成立，判別式小于零列不等式，解不等式求得的取值范圍.【詳解】（1）已知函數(shù)，則處即為，又，，可知函數(shù)過點的切線為，即.（2）注意到，不等式中，當時，顯然成立；當時，不等式可化為令，則，，所以存在，使.由于在上遞增，在上遞減，所以是的唯一零點.且在區(qū)間上，遞減，在區(qū)間上，遞增，即的最小值為，令，則，將的最小值設為，則，因此原式需滿足，即在上恒成立，又，可知判別式即可，即，且可以取到的最大整數(shù)為2.【點睛】本小題主要考查利用導數(shù)求切線方程，考查利用導數(shù)研究不等式恒成立問題，考查化歸與轉化的數(shù)學思想方法，屬于難題.18、（1），；（2）或【解析】

（1）根據(jù)曲線的參數(shù)方程消去參數(shù)，可得曲線的直角坐標方程，再由，，可得點的軌跡的極坐標方程；（2）將曲線極坐標方程求，與直線極坐標方程聯(lián)立，消去，得到關于的二次方程，由的幾何意義可求出，而（1）可知，然后列方程可求出的值.【詳解】（1）曲線的直角坐標方程為，圓的圓心為，設，所以，則由，即為點軌跡的極坐標方程.（2）曲線的極坐標方程為，將與曲線的極坐標方程聯(lián)立得，，設，所以，，由，即，令，上述方程可化為，解得.由，所以，即或.【點睛】此題考查參數(shù)方程與普通方程的互化，極坐標方程與直角坐標方程的互化，利用極坐標求點的軌跡方程，考查運算求解能力，考查數(shù)形結合思想，屬于中檔題.19、（1）見解析；（2）．【解析】

（1）設點、，求出直線、的方程，與拋物線的方程聯(lián)立，求出點、的坐標，利用直線、的斜率相等證明出；（2）設點到直線、的距離分別為、，求出，利用相似得出，可得出的邊上的高，并利用弦長公式計算出，即可得出關于的表達式，結合不等式可解出實數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）設點、，則，直線的方程為：，由，消去并整理得，由韋達定理可知，，，代入直線的方程，得，解得，同理，可得，，，,代入得，因此，；（2）設點到直線、的距離分別為、，則，由（1）知，，，，，，同理，得，，由，整理得，由韋達定理得，，，得，設點到直線的高為，則，，，，解得，因此，實數(shù)的取值范圍是.【點睛】本題考查直線與直線平行的證明，考查實數(shù)的取值范圍的求法，考查拋物線、直線方程、韋達定理、弦長公式、直線的斜率等基礎知識，考查運算求解能力，考查數(shù)形結合思想，是難題．20、（1）見解析，有99%的把握認為經常閱讀與居民居住地有關.（2）【解析】

（1）根據(jù)題中數(shù)據(jù)得到列聯(lián)表，然后計算出，與臨界值表中的數(shù)據(jù)對照后可得結論；（2）由題意得概率為古典概型，根據(jù)古典概型概率公式計算可得所求.【詳解】（1）由題意可得：城鎮(zhèn)居民農村居民合計經常閱讀10030130不經常閱讀403070合計14060200則，所以有99%的把握認為經常閱讀與居民居住地有關.（2）在城鎮(zhèn)居民140人中，經常閱讀的有100人，不經常閱讀的有40人.采取分層抽樣抽取7人，則其中經常閱讀的有5人，記為、、、、；不經常閱讀的有2人，記為、.從這7人中隨機選取2人作交流發(fā)言，所有可能的情況為，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共21種，被選中的位居民都是經常閱讀居民的情況有種，所求概率為.【點睛】本題主要考查古典概型的概率計算，以及獨立性檢驗的應用，利用列舉法是解決本題的關鍵，考查學生的計算能力.對于古典概型，要求事件總數(shù)是可數(shù)的，滿足條件的事件個數(shù)可數(shù)，使得滿足條件的事件個數(shù)除以總的事件個數(shù)即可，屬于中檔題.21、（1）（2）