浙江省溫州市樂清樂成寄宿中學(xué)高三上學(xué)期期中檢測數(shù)學(xué)試題

2017年樂成寄宿中學(xué)期中數(shù)學(xué)檢測一、選擇題：（本大題共10小題，每小題4分，共40分）已知向量且與互相垂直，則的值是（）A.1B.C.D.王昌齡《從軍行》中兩句詩為“黃沙百戰(zhàn)穿金甲，不破樓蘭終不還”，其中后一句中“攻破樓蘭”是“返回家鄉(xiāng)”的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件有五條長度分別為1，3，5，7，9的線段，若從這五條線段中任取三條，則所取三條線段能構(gòu)成一個三角形的概率為（）A.B.C.D.設(shè)復(fù)數(shù)（其中是虛數(shù)單位），則（）A.B.C.D.5.已知直線經(jīng)過橢圓的上頂點與右焦點，則橢圓的方程為（）A.B.C.D.6.已知，隨機變量的分布列如下：若，則（）A．B．C．D．17.已知函數(shù)是的導(dǎo)函數(shù)，若，且在區(qū)間上沒有最小值，則取值范圍是（）A.B.C.D.8.如圖的，在正方體中，棱AB的中點為P，若光線從點P出發(fā)，依次經(jīng)三個側(cè)面反射后，落到側(cè)面（不包括邊界），則入射光線與側(cè)面所成角的正切值的范圍是（）A．B．C．D．9.過雙曲線的右頂點作斜率為的直線，該直線與雙曲線的兩條漸近線的交點分別為，若三點的橫坐標成等比數(shù)列，則雙曲線的離心率為（）A．B．C．D．10.設(shè)函數(shù)的圖象經(jīng)過點和點，.若，則（）A.B.C.D.非選擇題部分（共110分）填空題（本大題共7小題，第1114題每小題6分，1517題每小題4分，共36分）雙曲線的漸近線方程是________，離心率是________.已知點和向量且，則點的坐標為，若點在平面上的射影為，則(為坐標原點)的面積為_________.已知隨機變量的分布列為：若，則________，_________.設(shè)函數(shù)，則點處的切線方程是________；函數(shù)的最小值為_________.在的二項展開式中，含的奇次冪的項之和為，當(dāng)時，________.將3個男同學(xué)和3個女同學(xué)排成一列，若男同學(xué)甲與另外兩個男同學(xué)不相鄰，則不同的排法種數(shù)為（用具體的數(shù)字作答）.設(shè)函數(shù)，若存在實數(shù)，使得對任意不為零的實數(shù)均有成立，則的取值范圍是________.解答題（本大題共5小題，共74分）（本題滿分14分）現(xiàn)有4名同學(xué)去參加校學(xué)生會活動，共有甲、乙兩類活動可供參加者選擇，為增加趣味性，約定：每個人通過擲一枚質(zhì)地均勻的骰子決定自己去參加哪類活動，擲出點數(shù)為1或2的人去參加甲類活動，擲出點數(shù)大于2的人去參加乙類活動．（1）求這4個人中恰有2人去參加甲類活動的概率；（2）用X，Y分別表示這4個人中去參加甲、乙兩類活動的人數(shù)．記ξ=|X﹣Y|，求隨機變量ξ的分布列與數(shù)學(xué)期望E（ξ）．（本題滿分15分）在平面直角坐標系內(nèi)，點，點滿足.若，求點的軌跡方程；當(dāng)時，若，求實數(shù)的值.20.（本題滿分15分）設(shè)函數(shù).證明：；證明：.（本題滿分15分）已知為橢圓上的兩點，滿足，其中分別為左右焦點.求的最小值；若，設(shè)直線的斜率為，求的值.22．已知函數(shù)f(x)＝ax－eq\f(3,2)x2的最大值不大于eq\f(1,6)，又當(dāng)x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，\f(1,2)))時，f(x)≥eq\f(1,8).(1)求a的值；(2)設(shè)0<a1<eq\f(1,2)，an＋1＝f(an)，n∈N*，證明：an<eq\f(1,n＋1).（本題滿分15分）設(shè)數(shù)列滿足.證明：；證明：.數(shù)學(xué)參考答案及評分標準一、選擇題：(本大題共10小題，每小題4分，共40分)題號12345678910答案CBBCACCDCA二、填空題：（本大題共7小題，第1114題，每小題6分，1517每小題4分，共36分）11．y＝±x； 12．2 13．， 14．y＝x－1；－15．－23023 16．28817．三、解答題：（本大題共5小題，共74分）18．（本題滿分14分）解：（1）依題意，這4個人中，每個人去參加甲游戲的概率為，去參加乙游戲的人數(shù)的概率為．設(shè)“這4個人中恰有i人去參加甲游戲”為事件Ai（i=0，1，2，3，4），故P（Ai）=（）i（）4﹣i．∴這4個人中恰有2人去參加甲游戲的概率為P（A2）=．…7分（2）ξ的所有可能取值為0，2，4，由于A1與A3互斥，A0與A4互斥，故P（ξ=0）=P（A2）=，P（ξ=2）=P（A1）+P（A3）=，P（ξ=4）=P（A0）+P（A4）=，∴ξ的分布列是：ξ024P數(shù)學(xué)期望Eξ=0×+2×+4×=．…7分19．（本題滿分15分）解：（I）設(shè)P(x,y)，則＝(x,y－1)，＝(x,y＋1)，＝(x－1,y)．因為k＝2，所以，所以(x,y－1)?(x,y＋1)＝2[(x－1)2＋y2]，化簡整理，得(x－2)2＋y2＝1，故點P的軌跡方程為(x－2)2＋y2＝1．……………7分（II）因為k＝0，所以，所以x2＋y2＝1．所以|λ＋|2＝λ22＋2＝λ2[x2＋(y－1)2]＋x2＋(y＋1)2＝(2－2λ2)y＋2λ2＋2（y∈[－1,1]）．當(dāng)2－2λ2＞0時，即－1＜λ＜1，(|λ＋|max)2＝2－2λ2＋2λ2＋2＝4≠16，不合題意，舍去；當(dāng)2－2λ2≤0時，即λ≥1或λ≤－1時，(|λ＋|max)2＝2λ2－2＋2λ2＋2＝16，解得λ＝±2．………………8分20．（本題滿分15分）解：（I）令g(x)＝f(x)－x2＋x－，即g(x)＝＋x－， 所以，所以g(x)在上遞減，在上遞增， 所以g(x)≥＝0，所以f(x)≥x2－x＋．………………7分（II）因為，x∈[0,1]，設(shè)h(x)＝2x3＋4x2＋2x－1，h′(x)＝6x2＋8x＋2，因為h(0)＝－1，h(1)＝7，所以存在x0∈(0,1)，使得f′(x)＝0，且f(x)在(0,x0)上遞減，在(x0,1)上遞增，所以f(x)max＝{f(0)，f(1)}＝f(1)＝． 由（I）知，f(x)≥x2－x＋＝≥， 又＝，，所以＜f(x)≤．………………8分21．（本題滿分15分）解:（I）因為（O為坐標原點），顯然，所以的最小值為2．………………5分（II）由題意，可知．又，所以PQ是兩個直角三角形POQ和PF2Q的公共斜邊，即得線段PQ的中點到O，F(xiàn)2兩點的距離相等，即線段PQ中點的橫坐標為．設(shè)直線PQ的方程為y＝kx＋b，聯(lián)立橢圓方程，得(1＋2k2)x2＋4kbx＋2b2－2＝0．設(shè)P(x1,y1)，Q(x2,y2)，則x1＋x2＝－．又因為x1＋x2＝1，所以1＋2k2＝－4kb， （1）另一方面，x1x2＝，y1y2＝．由x1x2＋y1y2＝0，得，即4k2b2＋2k3b－2k2＋3b2＋kb－2＝0， （2）由（1）（2），得－20k4－20k2＋3＝0，解之得．………………10分22.解析：(1)由題意，知f(x)＝ax－eq\f(3,2)x2＝－eq\f(3,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(a,3)))eq\s\up12(2)＋eq\f(a2,6).又f(x)max≤eq\f(1,6)，所以feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,3)))＝eq\f(a2,6)≤eq\f(1,6).所以a2≤1.又x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，\f(1,2)))時，f(x)≥eq\f(1,8)，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))≥\f(1,8)，,f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))≥\f(1,8)，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)－\f(3,8)≥\f(1,8)，,\f(a,4)－\f(3,32)≥\f(1,8)，))解得a≥1.又因為a2≤1，所以a＝1.(2)證明：用數(shù)學(xué)歸納法證明．①當(dāng)n＝1時，0<a1<eq\f(1,2)，顯然結(jié)論成立．因為f(x)＝－eq\f(3,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,3)))eq\s\up12(2)＋eq\f(1,6)，當(dāng)x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))時，0<f(x)≤eq\f(1,6)，所以0<a2＝f(a1)≤eq\f(1,6)<eq\f(1,3).故n＝2時，原不等式也成立．②假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥2，k∈N*)時，不等式0<ak<eq\f(1,k＋1)成立．因為f(x)＝ax－eq\f(3,2)x2的對稱軸為直線x＝eq\f(1,3)，所以當(dāng)x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,3)))時，f(x)為增函數(shù)．所以由0<ak<eq\f(1,k＋1)≤eq\f(1,3)，得0<f(ak)<feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,k＋1))).于是，0<ak＋1＝f(ak)<eq\f(1,k＋1)－eq\f(3,2)·eq\f(1,（k＋1）2)＋eq\f(1,k＋2)－eq\f(1,k＋2)＝eq\f(1,k＋2)－eq\f(k＋4,2（k＋1）2（k＋2）)<eq\f(1,k＋2).所以當(dāng)n＝k＋1時，原不等式也成立．根據(jù)①②，知對任何n∈N*，不等式an<eq\f(