二分圖的講解

10.4二分圖

二分圖完全二分圖匹配極大匹配最大匹配匹配數(shù)完備匹配

1二分圖

定義設(shè)無向圖G=<V,E>,若能將V分成V1和V2(V1

V2=V,V1

V2=),使得G中的每條邊的兩個(gè)端點(diǎn)都一個(gè)屬于V1,另一個(gè)屬于V2,則稱G為二分圖,記為<V1,V2,E>,稱V1和V2為互補(bǔ)頂點(diǎn)子集.又若G是簡單圖,且V1中每個(gè)頂點(diǎn)均與V2中每個(gè)頂點(diǎn)都相鄰,則稱G為完全二分圖,記為Kr,s,其中r=|V1|,s=|V2|.

注意:n階零圖為二分圖.2二分圖的判別法

定理非平凡無向圖G=<V,E>是二分圖當(dāng)且僅當(dāng)G中無奇數(shù)長度的回路

例下述各圖都是二分圖

3匹配

設(shè)G=<V,E>,匹配(邊獨(dú)立集):任2條邊均不相鄰的邊子集極大匹配:添加任一條邊后都不再是匹配的匹配最大匹配:邊數(shù)最多的匹配匹配數(shù):最大匹配中的邊數(shù),記為

1

例3個(gè)圖的匹配數(shù)依次為3,3,4.4匹配(續(xù))設(shè)M為G中一個(gè)匹配vi與vj被M匹配:(vi,vj)

Mv為M飽和點(diǎn):M中有邊與v關(guān)聯(lián)v為M非飽和點(diǎn):M中沒有邊與v關(guān)聯(lián)M為完美匹配:G的每個(gè)頂點(diǎn)都是M飽和點(diǎn)例關(guān)于M1,a,b,e,d是飽和點(diǎn)

f,c是非飽和點(diǎn)M1不是完美匹配M2是完美匹配M1M25二分圖中的匹配

定義設(shè)G=<V1,V2,E>為二部圖,|V1|

|V2|,M是G中最大匹配,若V1中頂點(diǎn)全是M飽和點(diǎn),則稱M為G中V1到V2的完全匹配.當(dāng)|V1|=|V2|時(shí),完備匹配變成完美匹配.(1)(2)(3)例圖中紅邊組成各圖的一個(gè)匹配，(1)為完備的,但不是完美的;(2)不是完備的,其實(shí)(2)中無完備匹配;(3)是完美的.6Hall定理

定理(Hall定理)設(shè)二分圖G=<V1,V2,E>中，|V1|

|V2|.G中存在從V1到V2的完備匹配當(dāng)且僅當(dāng)V1中任意k個(gè)頂點(diǎn)至少與V2中的k個(gè)頂點(diǎn)相鄰(k=1,2,…,|V1|).由Hall定理不難證明,上一頁圖(2)沒有完備匹配.定理設(shè)二部圖G=<V1,V2,E>中,如果存在t

1,使得V1中每個(gè)頂點(diǎn)至少關(guān)聯(lián)t條邊,而V2中每個(gè)頂點(diǎn)至多關(guān)聯(lián)t條邊，則G中存在V1到V2的完備匹配.Hall定理中的條件稱為“相異性條件”,第二個(gè)定理中的條件稱為t條件.滿足t條件的二部圖一定滿足相異性條件.7一個(gè)應(yīng)用實(shí)例例某課題組要從a,b,c,d,e5人中派3人分別到上海、廣州、香港去開會.已知a只想去上海，b只想去廣州，c,d,e都表示想去廣州或香港.問該課題組在滿足個(gè)人要求的條件下，共有幾種派遣方案？解令G=<V1,V2,E>,其中V1={s,g,x},V2={a,b,c,d,e},

E={(u,v)|u

V1,v

V2,v想去u},其