解直角三角形知識點(diǎn)

解直角三角形知識點(diǎn)10.101解直角三角形一、銳角三角函數(shù)的定義:RTABC,b在中，?C=90?，、、分別是?A、?B、?C的ac對邊，則:，Aa的對邊，Ab的鄰邊sinA,,cosA,,斜邊c斜邊c，Ab的鄰邊，Aa的對邊tanA,,cotA,,，Ab的鄰邊，Aa的對邊aacA,sinc,常用變形:;等，由同學(xué)們自行歸納。sinA二、銳角三角函數(shù)的有關(guān)性質(zhì):0sin1,,A0cos1,,Atan0A,cot0A,1、當(dāng)0?<?A<90?時(shí)，;;;sintan2、在0?90?之間，正弦、正切(、)的值，隨角度的增大而增大;余弦、余切(、coscot)的值，隨角度的增大而減小。三、同角三角函數(shù)的關(guān)系:sinAcosA22tancot1AA,sincos1AA，,tanA,cotA,cosAsinA22(用定義證明，易得，同學(xué)自行完成)常用變形:sin1cosAA,,cos1sinAA,,四、正弦與余弦，正切與余切的轉(zhuǎn)換關(guān)系:asincoscos(90)ABA,,,:,如圖1，由定義可得:同理可得:csincos(90)AA,:,cossin(90)AA,:,tancot(90)AA,:,cottan(90)AA,:,五、特殊角的三角函數(shù)值:Acos,tan,cot,三角函數(shù)sin,13330?3A30?22322322245?112260?45?BC133BC60?321223六、解直角三角形的基本類型及其解法總結(jié):類型已知條件解法2a2，,:,，BA90tanA,cab,，，，ba兩直角邊、b兩邊a22，,:,，BA90sinA,bca,,ac直角邊，斜邊，，c2a，,:,，BA90baA,cot，銳角A，，c,直角邊a一邊sinA一銳角斜邊，銳角Ac，,:,，BA90acA,sinbcA,cos，，七、三角形的面積公式:,ABCb已知中，?A、?B、?C的對應(yīng)邊分別是、、，如圖2，過點(diǎn)A作AD?BC于點(diǎn)D。在acADADABB,sinADcB,sin中，，即:()sinB,RTABD,AB111(其中:?B為、的夾角)SBCADacBacB,,,sinsinac,ABC222111同理可得:SacBbcAabC,,,(三角形的面積公式)sinsinsin,ABC22211由面積公式可得:acBbcAsinsin,22ab1caBbAsinsin,,,兩邊同時(shí)除于得:2sinsinABabc,,同理可得，正弦公式:sinsinsinABC八、余弦定理ADbC,sinBDBCCDabC,,,,cos如圖2:，，在直角三角形ABD中，由勾股定理得:222222整理得:ABADBDcbCabC,，,,，,(sin)(cos)2222222222cbCaabCbCbCCaabC,，,，,，，,sin2coscos(sincos)2cos222222b,,，,cbaabC2coscababC,，,2cos整理得到余弦定理:(?C為、的夾角)a同理可得:(余弦定理及其變形)222bca，,222cosA,abcbcA,，,2cos2bc222acb，,222cosB,bacacB,，,2cos2ac222abc，,222cosC,cababC,，,2cos2ab九、三角函數(shù)的高中定義:(圖中的圓半徑為單位1)yyxsin,,,ytan,,cot,,如圖3，同理可得:cos,,x，，如圖4，也可以得到相同的結(jié)rxy論，但是此時(shí)要特別注意三角函數(shù)的符號所發(fā)生的變化，從而使三角函數(shù)擺脫僅限于銳角的尷尬境地。3十、三角函數(shù)與相似:如圖5，可以利用相似進(jìn)行求解，也可以利用三角函數(shù)進(jìn)行求解:DEBCADABxx，3.2sinA,,cosA,,,,AEACAEAC610DEBCx6如圖6，tanA,,,,AEAB48備注:三角函數(shù)，在解決直角三角形的一些問題中，有時(shí)候會比相似書寫更簡潔一些十一、相似與直角三角形的射影定理:C222直角三角形射影定理:CDADBD,ACADAB,BCBDAB,CDBD2ABtantanABCDCDADBD,,，,,,DADCDBCBDACAD22cosAACADAB,,,,cosBBCBDAB,,,,ABACABBC十二、三角函數(shù)與一次函數(shù)設(shè)一次函數(shù)經(jīng)過點(diǎn)與那么我們可以列出方程組:Axy(,)Bxy(,)ykxb,，1122ykxb,，,yy,1121k,tan,則可以得到:如下圖所示:k,,ykxb,，xx,2221,B(x,y)22y2-yy21A(x,y)11αy1x-x21αOx1x2十三、解直角三角形的實(shí)際運(yùn)用41、仰角與俯角:在進(jìn)行測量時(shí)，從下向上看，視線與水平線的夾角叫做仰角，從上向下看，視線與水平線的夾角叫俯角。如圖所示(hli2、坡角:如圖所示坡面的鉛直高度()和水平長度()的比叫做坡面的坡度(或坡比)，記作，即hhi,，通常寫成1:m的形式(坡面與水平面的夾角叫做坡角，記作，有。,,,itan,ll3、方向角:從南北方向線較近的一端起，到目標(biāo)方向線的夾角，如圖所示:射線OA為北偏東60?，射線OB為南偏西30?，此外，東、南、西、北四個(gè)方向角平分線分別是東北、東南、西南、西北。練習(xí)題1.如圖，已知?ABC中，?ABC=900，AB=BC,三角形的頂點(diǎn)在相互平行的三條直線上，且之間的距l(xiāng)ll,,123ll,離為2，ll,之間的距離為3，則AC的長是()1223A.B.C.D.72172542第1題第2題2、如圖，ABCD是一個(gè)正方形，P、Q是正方形外的兩點(diǎn)，且?APD和?BCQ都是等邊三角形，則tan?PQD()31,62,23,23，A.B.C.D.240045,A,903、當(dāng)時(shí)，下列不等式中正確的是()5tanA,cosA,sinAcosA,tanA,sinAA.B.sinA,tanA,cosAtanA,sinA,cosAC.D.4、如下左圖，將一個(gè)Rt?ABC形狀的楔子從木樁的底端點(diǎn)P處沿水平方向打入木樁底下，使木樁向上運(yùn)動，已知楔子斜面的傾斜角為20?，若楔子沿水平方向前移8cm(如箭頭所示)，則木樁上升了()A、8tan20?B、C、8sin20?D、8cos20?5、如上右圖，?ABC中，cosB=，sinC=，AC=5，則?ABC的面積是()A、B、12C、14D、21PAA6、如圖，某航天飛機(jī)在地球表面點(diǎn)的正上方處，從處觀測到地球上的最遠(yuǎn)點(diǎn)，若?Q=，地球半徑為R，則航天飛機(jī)距地球表面的最近距離AP，以及P、Q兩點(diǎn)間的地面距離分別是,QAP()RR,,RR(90),,,,A.B.,R,Asin180sin180,,RR(90)，,,RR(90),,,,R,C.,R,D.Pcos180sin180,,QO7、某水壩的坡度i,1:3，坡長AB,20米，則壩的高度為()A(10米B(20米C(40米D(203米8、如圖，直徑為10的?A山經(jīng)過點(diǎn)C(0，5)和點(diǎn)0(0，0)，B是y軸右側(cè)?A優(yōu)弧上一點(diǎn)，則?OBC的余弦值為()1343A.B(C.D(24529、圖(十六)表示一個(gè)時(shí)鐘的鐘面垂直固定于水平桌面上，其中分針上有一點(diǎn)A，且當(dāng)鐘面顯示3點(diǎn)30分時(shí)，分針垂直于桌面，點(diǎn)距桌面A的高度為10公分。如圖(十七)，若此鐘面顯示3點(diǎn)45分時(shí)，A點(diǎn)距桌面的高度為16公分，則鐘面顯示3點(diǎn)50分點(diǎn)距桌面時(shí)，A的高度為()616,,A(B(C(18D(1922,3310、如上右圖，?ABC和?CDE均為等腰直角三角形，點(diǎn)B,C,D在一條直線上，點(diǎn)M是AE的中點(diǎn)，下列BC結(jié)論:?tan?AEC=;?S+S?S;?BM?DM;?BM=DM.正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是()??CDE?ACEABCCD(A)1個(gè)(B)2個(gè)(C)3個(gè)(D)4個(gè)填空題ABCDCDMNMM1.如下左圖，是一張寬的矩形臺球桌，一球從點(diǎn)(點(diǎn)在長邊上)出發(fā)沿虛線射mBCMCn,，,CMN,B向邊AB，然后反彈到邊上的點(diǎn).如果，.那么點(diǎn)與點(diǎn)的距離PP為.AB?N,?CDM2、如上右圖，在Rt?ABC中，?ABC=90?，?ACB=30?，將?ABC繞點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)15?后得到1C1?，ABB1C1交AC于點(diǎn)D，如果AD=2，則?ABC的周長等于(3、一副直角三角板如圖放置，點(diǎn)C在FD的延長線上，AB?CF，?F=?ACB=90?,?E=45?,?A=60?,AC=10,則CD=(4(如上右圖，直角梯形紙片ABCD中，AD//BC，?A=90o，?C=30o(折疊紙片使BC經(jīng)過點(diǎn)D，點(diǎn)C落在點(diǎn)E處，BF是折痕，且BF=CF=8(則求?BDF=度，AB=。5、五一期間，小紅到美麗的世界地質(zhì)公園湖光巖參加社會實(shí)踐活動，在景點(diǎn)P處測得景點(diǎn)B位于南偏東45?方向;然后沿北偏東60?方向走100米到達(dá)景點(diǎn)A，此時(shí)測得景點(diǎn)B正好位于景點(diǎn)A的正南方向，求景點(diǎn)A與B之間的距離為。7解答題SAFD11.如圖，已知BC?AD于C,DF?AB