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重點(diǎn)難點(diǎn)重點(diǎn):利用導(dǎo)數(shù)解決實(shí)際問題中的優(yōu)化問題難點(diǎn):如何建立數(shù)學(xué)模型,借助導(dǎo)數(shù)求最值知識(shí)歸納利用導(dǎo)數(shù)解決實(shí)際問題中的最值的一般步驟(1)分析實(shí)際問題中各量之間的關(guān)系,找出實(shí)際問題的數(shù)學(xué)模型,寫出實(shí)際問題中變量之間的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=f(x);(2)求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f
′(x),解方程f
′(x)=0;(3)比較函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)和極值點(diǎn)的函數(shù)值大小,最大(小)者為最大(小)值.誤區(qū)警示(1)在求實(shí)際問題的最大(小)值時(shí),一定要注意考慮實(shí)際問題的意義,不符合實(shí)際意義的值應(yīng)舍去.(2)在實(shí)際問題中,有時(shí)會(huì)遇到函數(shù)在區(qū)間內(nèi)只有一個(gè)點(diǎn)使f
′(x)=0的情形,如果函數(shù)在這點(diǎn)有極大(小)值,那么不與端點(diǎn)值比較,也可以知道這就是最大(小)值.(3)生活中,經(jīng)常遇到求利潤(rùn)最大、用料最省、效率最高等問題,這些問題通常稱為優(yōu)化問題.在解決實(shí)際優(yōu)化問題中,不僅要注意將問題中涉及的變量關(guān)系用函數(shù)關(guān)系式給予表示,還應(yīng)確定函數(shù)關(guān)系式中自變量的定義區(qū)間.某工廠設(shè)計(jì)一個(gè)密閉容器,下部是圓柱體形,上部是半球形,容積為常數(shù)V,當(dāng)圓柱的底半徑r與高h(yuǎn)為何值時(shí),制造這個(gè)容器的用料最?。縖例2]某集團(tuán)為了獲得更大的利益,每年要投入一定的資金用于廣告促銷.經(jīng)調(diào)查,每年投入廣告費(fèi)t(百萬元)可增加銷售額約為-t2+5t(百萬元)(0≤t≤5)(1)若該公司將當(dāng)年的廣告費(fèi)控制在三百萬元之內(nèi),則應(yīng)投入多少廣告費(fèi),才能使該公司由此獲得的收益最大?解析:(1)設(shè)投入t(百萬元)的廣告費(fèi)后增加的收益為f(t)(百萬元),則有f(t)=(-t2+5t)-t=-t2+4t=-(t-2)2+4
(0≤t≤3),∴當(dāng)t=2百萬元時(shí),f(t)取得最大值4百萬元.即投入2百萬元的廣告費(fèi)時(shí),該公司由此獲得的收益最大.故g(x)在[0,2]上是增函數(shù),在[2,3]上是減函數(shù).所以當(dāng)x=2時(shí),g(x)取最大值,即將2百萬元用于技術(shù)改造,1百萬元用于廣告促銷,該公司由此獲得的收益最大.[例3]如圖所示,有一塊半橢圓形鋼板,長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為2r,短半軸長(zhǎng)為r,計(jì)劃將此鋼板切割成等腰梯形的形狀,下底AB是半橢圓的短軸,上底CD的端點(diǎn)在橢圓上,記CD=2x,梯形面積為S.(1)求面積S關(guān)于自變量x的函數(shù)式,并寫出其定義域;(2)求面積S的最大值.已知矩形的兩個(gè)頂點(diǎn)位于x軸上,另兩個(gè)頂點(diǎn)位于拋物線y=4-x2在x軸上方的曲線上,則矩形的面積最大時(shí),矩形的邊長(zhǎng)為________.[例4]蘇南某城市在發(fā)展過程中,交通狀況逐漸受到大家更多的關(guān)注.據(jù)有關(guān)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)顯示,從上午6點(diǎn)到中午12點(diǎn),車輛通過該市某一路段的用時(shí)y(分鐘)與車輛進(jìn)入該路段的時(shí)刻t之間的關(guān)系可近似地用如下函數(shù)給出:分析:如圖,設(shè)BC為海岸線,A為漁艇停泊處,設(shè)D為海岸線上一點(diǎn),CD=x,只需將時(shí)間T表示為x的函數(shù),即可確定登岸的位置.[答案]
C[答案]
C(理)(2010·山東濟(jì)南市???直線y=kx+b與曲線y=x3+ax+1相切于點(diǎn)(2,3),則b的值為(
)A.-3 B.9C.-15 D.-7[答案]
C[解析]
將點(diǎn)(2,3)分別代入曲線y=x3+ax+1和直線y=kx+b,得a=-3,2k+b=3.又k=y(tǒng)′|x=2=(3x2-3)|x=2=9,∴b=3-2k=3-18=-15,故選C.[答案]
B二、填空題4.某工廠要圍建一個(gè)面積為128m2的矩形堆料場(chǎng),一邊可以用原有的墻壁,其它三邊要砌新的墻壁,要使砌墻所用的材料最省,堆料場(chǎng)的長(zhǎng)、寬應(yīng)分別為________.[答案]
16m
8m5.(文)在周長(zhǎng)為l的矩形中,面積的最大值為________.(理)面積為S的矩形中,其周長(zhǎng)最小的矩形邊長(zhǎng)是______.三、解答題6.已知某廠生產(chǎn)x件產(chǎn)品的成本為c=25000+200x+x2(元).(1)要使平均成本最低,應(yīng)生產(chǎn)多少件產(chǎn)品?(2)若產(chǎn)品以每件500元售出,要使利潤(rùn)最大,應(yīng)生產(chǎn)多少件產(chǎn)品?當(dāng)在x=1000附近左側(cè)時(shí),y′<0;在x=1000附近右側(cè)時(shí),y′>0;故當(dāng)x=1000時(shí),y取得極小值.由于函數(shù)只有一個(gè)極小值點(diǎn),那么函數(shù)在該點(diǎn)取得最小值,因此要使平均成本最低,應(yīng)生產(chǎn)1000件產(chǎn)品.由于函數(shù)只有一個(gè)使L′=0的點(diǎn),且函數(shù)在該點(diǎn)有極大值,那么函數(shù)在該點(diǎn)取得最大值.因此,要使利潤(rùn)最大,應(yīng)生產(chǎn)6000件產(chǎn)品.
請(qǐng)同學(xué)們認(rèn)真完成課后強(qiáng)化作業(yè)[答案]
B2.某商品一件的成本為30元,在某段時(shí)間內(nèi)若以每件x元出售,可賣出(200-x)件,要使利潤(rùn)最大每件定價(jià)為________元.[答案]
853.已知函數(shù)f(x)=-x3+ax2-4在x=2處取得極值,若m、n∈[-1,1],則f(m)+f
′(n)的最小值是______.[答案]
-13[分析]
由f(x)在x=2處取得極值,可知f
′(2)=0,于是可求得a的值,∵m∈[-1,1],∴可利用f(x)在[-1,1]上的單調(diào)性求得f(m)的最小值;由于y=f
′(x)是二次函數(shù),故可利用二次函數(shù)的性質(zhì),求得f
′(n)在[-1,1]上的最小值.[解析]
求導(dǎo)得f
′(x)=-3x2+2ax,由函數(shù)f(x)在x=2處取得極值知f
′(2)=0,即-3×4+2a×2=0,∴a=3.由此可得f(x)=-x3+3x2-4,f
′(x)=-3x2+6x,易知f(x)在(-1,0)上單調(diào)遞減,在(0,1)上單調(diào)遞增,∴當(dāng)m∈[-1,1]時(shí),f(m)min=f(0)=-4.又f
′(x)=-3x2+6x的圖象開口向下,且對(duì)稱軸為x=1,∴當(dāng)n∈[-1,1]時(shí),f
′(n)min=f
′(-1)=-9.故f(m)+f
′(n)的最小值為-13.[點(diǎn)評(píng)]
所求的結(jié)論“f(m)+f
′(n)的最小值”中的m、n互不關(guān)聯(lián),故可分別求極值,再相加,如果問題是求f(m)+f
′(m)在m∈[-1,1]上的最小值,就應(yīng)先求出y=f(m)+f
′(m)的表達(dá)式,再利用單調(diào)性求之.4.(2010·東北三校二模)已知一家公司生產(chǎn)某種品牌服裝的年固定成本為10萬元,每生產(chǎn)1千件需另投入2.7萬元.設(shè)該公司一年內(nèi)生產(chǎn)該品牌服裝x千件并全部銷售完,每千件的銷售收入為R(x)萬元,且R(x)=
(1)寫出年利潤(rùn)W(萬元)關(guān)于年產(chǎn)量x(千件)的函數(shù)解析式;(2)年產(chǎn)量為多少千件時(shí),該公司在這一品牌服裝的生產(chǎn)中所獲得年利潤(rùn)最大.(注:年利潤(rùn)=年銷售收入-年總成本)5.(2010·山東日照一中)如圖,有一矩形鋼板ABCD缺損了一角(圖中陰影部分),邊緣線OM上每一點(diǎn)到點(diǎn)D的距離都等于它到邊AB的距離.工人師傅要將缺損的一角切割下來,使剩余部分成一個(gè)五邊形,若AB=1米,AD=0.5米,問如何畫切割線EF可使剩余部分五邊形ABCEF的面積最大?[分析]
首先利用圓錐曲線的定義求出曲線OM的方程,寫出直線EF的參數(shù)方程,利用導(dǎo)數(shù)求出三角形DEF的最小面積,即可求出五邊形ABCEF的最大面積,即可求出參數(shù)的值,即E、F兩點(diǎn)的坐標(biāo)可求.YnVjSgPdLaI7F3C0y)v&s#pXmUiRfOcK9H5E2B+x(u%rZoWkThQeMbJ8G4D1z-w*t!qYnVjSgOdLaI6F3C0y)v%s#pXlUiRfNcK8H5E2A+x(u$rZnWkThPeMbJ7G4C1z-w&t!qYmVjSgOdL9I6F3B0y)v%s#oXlUiQfNcK8H5D2A+x*u$rZnWkShPeMaJ7G4C1z)w&t!pYmVjRgOcL9I6E3B0y(v%r#oXlTiQfNbK8H5D2A-x*u$qZnWkShPdMaJ7F4C1z)w&s!pYmUjRgOcL9H6E3B+y(v%r#oWlTiQeNbK8G5D1A-x*t$qZnVkSgPdMaI7F4C0z)w&s!pXmUjRfOcL9H6E2B+y(u%r#oWlThQeNbJ8G5D1A-w*t$qYnVkSgPdLaI7F3C0z)v&s#pXmUiRfOcK9H5E2B+x(u%rZoWkThQeMbJ8G4D1A-w*t!qYnVjSgPdLaI6F3C0y)v&s#pXlUiRfNcK9H5E2A+x(u$rZoWkThPeMbJ7G4D1z-w&t!qYmVjSgOdL9I6F3B0y)v%s#pXlUiQfNcK8H5E2A+x*u$rZnWkThPeMaJ7G4C1z-w&t!pYmVjRgOdL9I6E3B0y(v%s#oXlTiQfNbK8H5D2A-x*u$qZnWkShPdMaJ7F4C1z)w&t!pYmUjRgOcL9I6E3B+y(v%r#oXlTiQeNbK8G5D2A-x*t$qZnVkShPdMaI7F4C0z)w&s!pXmUjRfOcL9H6E2B+y(u%r#oWlTiQeNbJ8G5D1A-x*t$qYnVkSgPdMaI7F3C0z)v&s!pXmUiRfOcK9H6E2B+x(u%rZoWlThQeMbJ8G4D1A-w*t!qYnVjSgPdLaI7F3C0y)v&s#pXmUiRfNcK9H5E2B+x(u$rZoWkThQeMbJ7G4D1z-w*t!qYmVjSgOdLaI6F3B0y)v%s#pXlUiQfNcK8H5E2A+x*u$rZnWkThPeMbJ7G4C1z-w&t!qYmVjRgOdL9I6F3B0y(v%WkThQeMbJ7G4D1z-w*t!qYmVjSgOdLaI6F3B0y)v%s#pXlUiRfNcK8H5E2A+x(u$rZnWkThPeMbJ7G4C1z-w&t!qYmVjRgOdL9I6F3B0y(v%s#oXlUiQfNbK8H5D2A+x*u$qZnWkShPeMaJ7F4C1z)w&t!pYmVjRgOcL9I6E3B0y(v%r#oXlTiQfNbK8G5D2A-x*u$qZnVkShPdMaJ7F4C0z)w&s!pYmUjRfOcL9H6E3B+y(u%r#oWlTiQeNbK8G5D1A-x*t$qZnVkSgPdMaI7F4C0z)v&s!pXmUjRfOcK9H6E2B+y(u%rZoWlThQeNbJ8G4D1A-w*t$qYnVjSgPdLaI7F3C0z)v&s#pXmUiRfOcK9H5E2B+x(u%rZoWkThQeMbJ8G4D1z-w*t!qYnVjSgOdLaI6F3C0y)v%s#pXlUiRfNcK8H5E2A+x(u$rZnWkThPeMbJ7G4D1z-w&t!qYmVjSgOdL9I6F3B0y)v%s#oXlUiQfNcK8H5D2A+x*u$rZnWkShPeMaJ7G4C1z)w&t!pYmVjRgOcL9I6E3B0y(v%s#oXlTiQfNbK8H5D2A-x*u$qZnWkShPdMaJ7F4C1z)w&s!pYmUjRgOcL9H6E3B+y(v%r#oWlTiQeNbK8G5D1A-x*t$qZnVkSgPdMaI7F4C0z)w&s!pXmUjRfOcL9H6E2B+y(u%r#oWlThQeNbJ8G5D1A-w*t$qYnVkSgPdLaI7F3C0z)v&s#pXmUiRfOcK5D2A-x*t$qZnVkShPdMaI7F4C0z)w&s!pXmUjRfOcL9H6E2B+y(u%r#oWlThQeNbJ8G5D1A-w*t$qYnVkSgPdLaI7F3C0z)v&s!pXmUiRfOcK9H6E2B+x(u%rZoWlThQeMbJ8G4D1A-w*t!qYnVjSgPdLaI6F3C0y)v&s#pXlUiRfNcK9H5E2A+x(u$rZoWkThPeMbJ7G4D1z-w*t!qYmVjSgOdLaI6F3B0y)v%s#pXlUiQfNcK8H5E2A+x*u$rZnWkThPeMaJ7G4C1z-w&t!pYmVjRgOdL9I6E3B0y(v%s#oXlUiQfNbK8H5D2A+x*u$qZnWkShPeMaJ7F4C1z)w&t!pYmUjRgOcL9I6E3B+y(v%r#oXlTiQeNbK8G5D2A-x*t$qZnVkShPdMaI7F4C0z)w&s!pYmUjRfOcL9H6E3B+y(u%r#oWlTiQeNbJ8G5D1A-x*t$qYnVkSgPdMaI7F3C0z)v&s!pXmUiRfOcK9H6E2B+x(u%rZoWlThQeNbJ8G4D1A-w*t$qYnVjSgPdLaI7F3C0y)v&s#pXmUiRfNcK9H5E2B+x(u$rZoWkThQeMbJ7G4D1z-w*t!qYmVjSgOdLaI6F3C0y)v%s#pXlUiRfNcK8H5E2A+x(u$rZnWkThPeMbJ7G4C1z-w&t!qYmVjRgOdL9I6F3B0y(v%s#oXlUiQfNbK8H5D2A+x*u$qZnWkShPeMaJ7G4C1z)w&t!pYmVjRgOcL9I6E3B0y(v%r#oXlTiQfNbK8G5D2A-x*u$qZnVkShPdMaJ7F4C0z)w&s!pYmUjRfOcL9H6E3B+y(v%r#oWlTiQeNbK8G5D)w&t!pYmVjRgOcL9I6E3B0y(v%r#oXlTiQfNbK8G5D2A-x*u$qZnVkShPdMaJ7F4C0z)w&s!pYmUjRgOcL9H6E3B+y(v%r#oWlTiQeNbK8G5D1A-x*t$qZnVkSgPdMaI7F4C0z)v&s!pXmUjRfOcK9H6E2B+y(u%rZoWlThQeNbJ8G5D1A-w*t$qYnVkSgPdLaI7F3C0z)v&s#pXmUiRfOcK9H5E2B+x(u%rZoWkThQeMbJ8G4D1z-w*t!qYnVjSgOdLaI6F3C0y)v&s#pXlUiRfNcK9H5E2A+x(u$rZoWkThPeMbJ7G4D1z-w&t!qYmVjSgOdL9I6F3B0y)v%s#oXlUiQfNcK8H5D2A+x*u$rZnWkShPeMaJ7G4C1z-w&t!pYmVjRgOdL9I6E3B0y(v%s#oXlTiQfNbK8H5D2A-x*u$qZnWkShPdMaJ7F4C1z)w&s!pYmUjRgOcL9H6E3B+y(v%r#oXlTiQeNbK8G5D2A-x*t$qZnVkShPdMaI7F4C0z)w&s!pXmUjRfOcL9H6E2B+y(u%r#oWlThQeNbJ81z)w&s!pYmUjRgOcL9I6E3B+y(v%r#oXlTiQeNbK8G5D2A-x*t$qZnVkShPdMaI7F4C0z)w&s!pXmUjRfOcL9H6E2B+y(u%r#oWlThQeNbJ8G5D1A-x*t$qYnVkSgPdMaI7F3C0z)v&s!pXmUiRfOcK9H6E2B+x(u%rZoWlThQeMbJ8G4D1A-w*t!qYnVjSgPdLaI6F3C0y)v&s#pXmUiRfNcK9H5E2B+x(u$rZoWkThQeMbJ7G4D1z-w*t!qYmVjSgOdLaI6F3B0y)v%s#pXlUiQfNcK8H5E2A+x*u$rZnWkThPeMaJ7G4C1z-w&t!qYmVjRgOdL9I6F3B0y(v%s#oXlUiQfNbK8H5D2A+x*u$qZnWkShPeMaJ7F4C1z)w&t!pYmUjRgOcL9I6E3B+y(v%r#oXlTiQfNbK8G5D2A-x*u$qZnVkShPdMaJ7F4C0z)w&s!pYmUjRfOcL9H6E3B+y(u%r#oWlTiQeNbJ8G5D1A&t!pYmUjRgOcL9I6E3B0y(v%r#oXlTiQfNbK8G5D2A-x*u$qZnVkShPdMaJ7F4C0z)w&s!pYmUjRfOcL9H6E3B+y(u%r#oWlTiQeNbJ8G5D1A-x*t$qZnVkSgPdMaI7F4C0z)v&s!pXmUjRfOcK9H6E2B+y(u%rZoWlThQeNbJ8G4D1A-w*t$qYnVjSgPdLaI7F3C0y)v&s#pXmUiRfNcK9H5E2B+x(u%rZoWkThQeMbJ8G4D1z-w*t!qYnVjSgOdLaI6F3C0y)v%s#pXlUiRfNcK8H5E2A+x(u$rZnWkThPeMbJ7G4C1z-w&t!qYmVjSgOdL9I6F3B0y)v%s#oXlUiQfNcK8H5D2A+x*u$rZnWkShPeMaJ7G4C1z)w&t!pYmVjRgOcL9I6E3B0y(v%r#oXlTiQfNbK8H5D2A-x*u$qZnWkShPdMaJ7F4C1z)w&s!pYmUjRgOcL9H6E3B+y(v%r#oWlTiQJ7G4C1z)w&t!pYmVjRgOcL9I6E3B0y(v%s#oXlTiQfNbK8H5D2
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