final 第3章-正弦穩(wěn)態(tài)電路的分析1the final

第3章正弦交流電路3.1

正弦交流電的基本概念

隨時(shí)間按正弦規(guī)律變化的電壓、電流稱為正弦交流電（簡(jiǎn)稱交流電）表達(dá)式

正弦交流電的三要素：振幅、初相、角頻率3.1.1正弦交流電的三要素

周期T頻率f角頻率

正弦交流電壓波形圖

3.1.2正弦交流電的有效值將直流電流I和正弦電流i(t)通過電阻R時(shí)的功率和能量作一比較，導(dǎo)出正弦電壓電流的有效值。3.1.3同頻正弦交流電的相位差通常把兩個(gè)同頻率的正弦量的相位之差稱為相位差，用表示

如兩個(gè)同頻率的正弦電流電流i1(t)與i2(t)間的相位差為相位差

反映出兩個(gè)正弦量在時(shí)間上的超前和滯后關(guān)系：當(dāng)

=

1-

2>0時(shí)，表明i1(t)超前i2(t)，超前的角度為

。當(dāng)

=

1-

2<0時(shí)，表明i1(t)滯后i2(t)，滯后的角度為|

|。上式表明兩個(gè)同頻率正弦交流電在任意時(shí)刻的相位差均等于它們初相之差，與時(shí)間t無關(guān)。(a)電流i1超前于電流i2,(b)電流i1滯后于電流i2當(dāng)

=

1-

2=0時(shí)，i1(t)與i2(t)同相。當(dāng)

=

1-

2=

時(shí)，i1(t)與i2(t)反相。當(dāng)

=

1-

2=/2時(shí)，i1(t)與i2(t)正交

(c)同相(d)正交(e)反相例1

已知正弦電壓的振幅為10V，周期為100ms，初相為2

/3。試寫出正弦電壓的函數(shù)表達(dá)式和畫出波形圖。解：角頻率函數(shù)表達(dá)式為波形如右圖。例2

試求正弦電壓的振幅Um

、初相

與頻率f

。解：將正弦量表達(dá)式化為基本形式：所以Fm=10，

=/3rad,

=100rad/s,f=

/2=50Hz例3

已知正弦電壓u(t)和電流i1(t),i2(t)的表達(dá)式為試求:u(t)與i1(t)和i2(t)的相位差。

u(t)與i2(t)的相位差為解：u(t)與i1(t)的相位差為

習(xí)慣上將相位差的范圍控制在-180°到+180°之間。如：我們不說電壓u(t)與電流i2(t)的相位差為-240

，而說電壓u(t)與電流i2(t)的相位差為(360

-240

)=120,即：u(t)超前于i2(t)120

。3.2正弦量的相量表示一個(gè)正弦量可由其振幅（有效值）、角頻率和初相位3個(gè)要素來確定.3.2.1復(fù)數(shù)及其四則運(yùn)算直角坐標(biāo)形式：A=a+jb三角形式：A=r(cos

+jsin

)指數(shù)形式：A=rej

極坐標(biāo)形式：A=r

+1jr

ab0復(fù)數(shù)的復(fù)平面表示a=rcos

b=rsin

(2)復(fù)數(shù)運(yùn)算A=a1+ja2=a∠

，B=b1+jb2=b∠φ

A×B=ab∠

(

+φ)

則：A±B=a1±b1+j(a2±b2)若A=B

則a1=b1，a2=b2=b

或,a=b,∠=∠φ例3.2.1已知A=4+j3，B=10-600，求A+B,A-B,AB,A/B。分析正弦穩(wěn)態(tài)的有效方法是相量法(Phasormethod)，相量法的基礎(chǔ)是用相量或復(fù)數(shù)來表示正弦量的振幅和初相。注意：其頻率不變。稱為：f(t)的振幅相量

3.2.2正弦量的相量表示+1jFm

0相量圖Fm

sin

Fm

cos

正弦量

f(t)的有效值相量有效值相量正弦量有效值與復(fù)值的關(guān)系：正弦量f(t)是以角速度ω沿反時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)相量虛軸投影。即：1j

t2

t2tf(t)正弦量與其相量的對(duì)應(yīng)關(guān)系：可見，一個(gè)按正弦規(guī)律變化的電壓和電流，可以用一個(gè)相量(復(fù)常數(shù))來表示。已知正弦量的時(shí)間表達(dá)式，可得相應(yīng)的相量。反過來，已知電壓電流相量，也就知道正弦電壓電流的振幅和初相，再加上角頻率，就能寫出正弦電壓電流的時(shí)間表達(dá)式(兩者存在一一對(duì)應(yīng)關(guān)系)。即或：顯然，有一般地：可以任意選用振幅相量或有效值相量來表示同一個(gè)正弦量；但選用有效值相量更為普遍些。在沒有特指的情況下，指的是有效值相量。相量：用復(fù)平面(二維空間)中的復(fù)常數(shù)表示正弦量的振幅或有效值、初相。以正弦電壓為例：相量圖：為了形象描述各個(gè)相量(表示正弦量)之間的相位關(guān)系，把一些相量畫在同一張復(fù)平面內(nèi)。參考相量：上圖中假設(shè)為零相位的相量。例4

已知電流i1(t)=5cos(314t+60

)A,i2(t)=-10sin(314t+60

)A。寫出它們的相量，畫出相量圖。解：相量圖如圖所示。相量圖的另一個(gè)好處是可以用向量和復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則求同頻率正弦電壓或電流之和。平行四邊形法則。從相量圖容易看出各正弦電壓電流的相位關(guān)系：i2(t)超前于i1(t)90°。１。試求下列正弦量的振幅相量和有效值相量２。試寫出下列相量所代表的正弦量。已知3.3

正弦交流電路中的電阻、電感、電容元件電阻元件R

電感元件L

電容元件C

電阻的模型和相量圖

3.3.1電阻元件的伏安關(guān)系及相量形式當(dāng)電流i(t)=Imcos(

t+

i)時(shí)，電阻上電壓電流關(guān)系：電壓和電流是同頻率的正弦時(shí)間函數(shù)。其振幅或有效值之間服從歐姆定律，其相位差為零(同相)，即時(shí)域：由上述推導(dǎo)，得在關(guān)聯(lián)參考方向下電阻電壓電流的相量形式為或相應(yīng)相量模型如圖(b)所示，反映電壓電流相量關(guān)系的相量圖如圖(c)所示，由此可看出電阻電壓與電流的相位相同。電感的模型和相量圖3.3.2電感元件伏安關(guān)系的相量形式

當(dāng)i(t)=Imcos(

t+

i)時(shí)電感上電壓電流關(guān)系：由上述推導(dǎo)，得在關(guān)聯(lián)參考方向下電感元件電壓和電流相量的關(guān)系式感抗感納電感元件的相量模型如圖(b)，伏安相量關(guān)系的相量圖如圖(c)所示。

電容的模型和相量圖3.3.3電容元件伏安關(guān)系的相量形式

當(dāng)u(t)=Umcos(

t+

u)時(shí)電容的電壓和電流是同頻率。其振幅或有效值以及相位間的關(guān)系為電容電壓電流關(guān)系為由上述推導(dǎo)，得在關(guān)聯(lián)參考方向下電容元件電壓和電流相量的關(guān)系式這個(gè)復(fù)數(shù)方程包含振幅間與幅角間的關(guān)系。電容元件的相量模型如圖(a)所示，其相量關(guān)系如圖(b)所示。(a)1j(b)或容抗容納解3.4基爾霍夫定律的相量形式

電路中全部電流都具有同一頻率ω，則可用振幅相量或有效值相量表示：3.4.1.基爾霍夫電流定律的相量形式

KCL:代入KCL中得:

相量形式的KCL定律：對(duì)于具有相同頻率的正弦電路中的任一節(jié)點(diǎn)，流出該節(jié)點(diǎn)的全部支路電流相量的代數(shù)和等于零。1流出節(jié)點(diǎn)的電流取”+”號(hào)，流入節(jié)點(diǎn)的電流取”-”號(hào)。2流出任一節(jié)點(diǎn)的全部支路電流振幅(或有效值)的代數(shù)和并不一定等于零。即,一般情況下:注意：解由KCL相量形式得

得例已知試求電流i(t)及其有效值相量。解：根據(jù)圖(a)電路的時(shí)域模型，得圖(b)所示的相量模型——將時(shí)域模型中各電流符號(hào)用相應(yīng)的相量符號(hào)表示。ii1i2(a)iS(b)列圖(b)相量模型中節(jié)點(diǎn)1的KCL方程，由此可得則：相量圖如右圖所示，用來檢驗(yàn)復(fù)數(shù)計(jì)算的結(jié)果是否基本正確。有效值相量íí2í1+1jKVL:相量形式的KVL定律：對(duì)于具有相同頻率的正弦電流電路中的任一回路，沿該回路全部支路電壓相量的代數(shù)和等于零。相量形式為：3.4.2.

基爾霍夫電壓定律的相量表示

1與回路繞行方向相同的電壓取”+”號(hào)，相反的電壓取”-”號(hào)。2沿任一回路全部支路電壓振幅(或有效值)的代數(shù)和并不一定等于零，即一般來說注意例6

求uS(t)和相應(yīng)的相量，并畫出相量圖。已知解：根據(jù)電路的時(shí)域模型，畫出右圖相量模型,并計(jì)算出電壓相量。+u1--u3++u2-+uS-+--++

-+

-圖(b)，以順時(shí)針為繞行方向，列出的相量形式KVL方程由相量得時(shí)間表達(dá)式各相量的關(guān)系如右圖j+1阻抗：可得歐姆定律的相量形式：一般無源二端網(wǎng)絡(luò)N0相量模型導(dǎo)納：顯然：N0+-3.5阻抗與導(dǎo)納RLC元件的阻抗

RLC元件電壓與電流相量間的關(guān)系類似歐姆定律，電壓與電流相量之比是一個(gè)與時(shí)間無關(guān)的量3.5.1阻抗：阻抗是復(fù)數(shù)，實(shí)部R稱為電阻分量，虛部X稱為電抗分量，

Z=

v-

i稱為阻抗角，阻抗的模

|Z|=U/I一般情況：RX|Z|

Z阻抗三角形：當(dāng)X=XL-XC>0時(shí)，

Z>0，電壓超前于電流，電路呈感性，等效為R串聯(lián)電感；當(dāng)X=XL-XC<0時(shí)，

Z<0，電流超前于電壓，電路呈容性，等效為R串聯(lián)電容；當(dāng)X=XL-XC=0時(shí)，

Z=0，電壓與電流同相，電路呈電阻性，等效為R。G、C、L元件的導(dǎo)納如下G、C、L元件的導(dǎo)納是一個(gè)與時(shí)間無關(guān)的量，它是一個(gè)復(fù)數(shù)。3.5.2導(dǎo)納：實(shí)部G稱為電導(dǎo)分量，虛部B稱為電納分量，導(dǎo)納角

Y=

i-

u=-

Z。GB|Y|

Y導(dǎo)納三角形：當(dāng)B>0時(shí)，

Y>0，端口電流超前電壓，網(wǎng)絡(luò)呈容性，電納元件可等效為一個(gè)電容；當(dāng)B<0時(shí)，

Y<0，端口電壓超前電流，網(wǎng)絡(luò)呈感性，電納元件可等效為一個(gè)電感；當(dāng)B=0時(shí)，

Y=0，端口電壓與電流同相，網(wǎng)絡(luò)呈電阻性，可等效為一個(gè)電阻。無源網(wǎng)絡(luò)相量模型有兩種等效電路，一種是根據(jù)阻抗Z=R+jX得到的電阻R與電抗jX串聯(lián)電路，如圖(c)；另一種是根據(jù)導(dǎo)納Y=G+jB得到的電導(dǎo)G與電納jB的并聯(lián)，如圖(e)。且，一般情況下均為

的函數(shù)；阻抗角或?qū)Ъ{角在一、四象限內(nèi)。由于在一般情況下，注意：1.阻抗的串聯(lián)在正弦交流穩(wěn)態(tài)電路中，若有n個(gè)阻抗串聯(lián)，則總電壓為等效阻抗為3.5.3阻抗與導(dǎo)納的串并聯(lián)電流與端口電壓相量的關(guān)系為第k個(gè)阻抗上的電壓與端口電壓相量的關(guān)系為稱為n個(gè)阻抗串聯(lián)時(shí)的分壓公式。2阻抗的并聯(lián)（補(bǔ)充）

兩阻抗的并聯(lián)及等效

兩阻抗并聯(lián)時(shí)的分流公式為

電壓三角形如下：感性XL>XC容性XL<XC

Z

Z3RLC串聯(lián)電路的電壓關(guān)系（補(bǔ)充）4導(dǎo)納并聯(lián)n個(gè)導(dǎo)納并聯(lián)組成的單口網(wǎng)絡(luò)，就端口特性來說，等效于一個(gè)導(dǎo)納，其等效導(dǎo)納值等于各并聯(lián)導(dǎo)納之和，即電壓與其端口電流相量的關(guān)系為第k個(gè)導(dǎo)納中的電流與端口電流相量的關(guān)系為這是導(dǎo)納并聯(lián)時(shí)的分流公式。電流三角形如下：容性BC>BL感性BC<BL

Y

Y5GCL并聯(lián)電路的電流關(guān)系(補(bǔ)充)例9

u(t)=10cos2tV。試求i(t),uR(t),uL(t),uC(t)。解：相量模型如圖(b)所示。等效阻抗相量電流RLC元件上的電壓相量時(shí)間表達(dá)式

各電壓電流的相量圖如圖(c)所示。端口電壓u(t)的相位超前于端口電流相位i(t)45°，該RLC串聯(lián)網(wǎng)絡(luò)的端口特性等效于一個(gè)電阻與電感的串聯(lián)，即具有電感性。例10

求圖(a)電路在

=1rad/s和

=2rad/s時(shí)的等效阻抗和等效電路。解：1）

=1rad/s時(shí)的相量模型如圖(b)所示，等效阻抗.L=1HR=1

C=0.5Fab(a)等效電路如圖(c)所示2）

=2rad/s時(shí)的相量模型如圖(d)所示，求得等效阻抗為等效電路如圖(e)，相應(yīng)的時(shí)域等效電路為一個(gè)0.5Ω的電阻與1/3F電容的串聯(lián)。例11

試求圖（a)所示電路的等效阻抗和相應(yīng)的等效電路。解：相量模型如圖(b)。設(shè)在端口加電流源，用相量形式KVL方程求電壓相量等效阻抗為其等效電路如圖(c)所示。3.6正弦穩(wěn)態(tài)電路的相量分析法相量形式的基爾霍夫定律和歐姆定律與電阻電路中同一定律的形式完全相同，其差別僅在于電壓電流用相應(yīng)的相量替換，電阻和電導(dǎo)用阻抗和導(dǎo)納替換。因此，分析電阻電路的方法完全可以用到正弦穩(wěn)態(tài)電路的分析中來。如：等效變換，各種一般分析法和網(wǎng)絡(luò)定理等。

一畫電路的相量模型相量法分析正弦穩(wěn)態(tài)的主要步驟：

1，將時(shí)域模型中各正弦量用相應(yīng)的相量表示在電路圖上。

2，時(shí)域模型中RLC元件的參數(shù)，用相應(yīng)的阻抗(或?qū)Ъ{)表示。二、利用分析電阻電路的方法對(duì)相量模型進(jìn)行分析，求解響應(yīng)的相量表達(dá)式。三由所求響應(yīng)相量得所求正弦量。解：作圖（a）電路的相量模型如圖(b)所示，對(duì)圖(b)由KCL和KVL得

例13

試求電流i1(t)。已知：解：1)畫相量模型如圖(b)所示，其中列圖(b)相量模型的KCL和KVL方程利用消元法解得：3）時(shí)域表達(dá)式2）法1：支路分析設(shè)網(wǎng)孔電流如圖(b)所示列出網(wǎng)孔電流方程利用消元法解得2）法2：網(wǎng)孔分析時(shí)域表達(dá)式：用導(dǎo)納參數(shù)的相量模型如圖所示，其中參考節(jié)點(diǎn)如圖，直接列出節(jié)點(diǎn)電壓方程:解得2）法3：節(jié)點(diǎn)分析兩個(gè)獨(dú)立電源單獨(dú)作用的電路如下圖2）法4：疊加定理有圖(b)得單獨(dú)作用時(shí)分響應(yīng)為：有圖(c)得單獨(dú)作用時(shí)分響應(yīng)為：（b）（c）根據(jù)疊加定理得兩個(gè)獨(dú)立電源共同作用下電路電路響應(yīng)先求連接電感的網(wǎng)絡(luò)的戴維南等效電路2）法5：戴維南定理(1)斷開電感支路得圖(c)電路，求端口開路電壓

（c）得圖(e)電路，求電流(2)將圖(c)電路中獨(dú)立電源置零，得圖(d)電路，求單口網(wǎng)絡(luò)的輸出阻抗

（d）（e）3.7正弦交流電路的功率

本節(jié)討論正弦穩(wěn)態(tài)單口電路的瞬時(shí)功率、平均功率(有功功率)、無功功率、視在功率、復(fù)功率和功率因數(shù)。端口電壓和電流采用關(guān)聯(lián)參考方向，它吸收的功率為正弦穩(wěn)態(tài)時(shí)，端口電壓和電流是相同頻率的正弦量，即瞬時(shí)功率瞬時(shí)功率為

Z=

u-

i是電壓與電流的相位差。瞬時(shí)功率由一個(gè)恒定分量和一個(gè)頻率為2ω的正弦分量組成，周期性變化，當(dāng)p(t)>0時(shí)，該網(wǎng)絡(luò)吸收功率；當(dāng)p(t)<0時(shí)，該網(wǎng)絡(luò)發(fā)出功率。瞬時(shí)功率的波形如圖所示。

ZUIcos

Z3.7.1平均功率及功率因數(shù)

平均功率不僅取決于電壓電流有效值乘積UI，還與阻抗角

=

u-

I有關(guān)。功率因數(shù):幾種不同情況下電路的平均功率。1、電路等效阻抗為一個(gè)電阻。此時(shí)電路電壓與電流相位相同，即

=0,cos

=1，此時(shí)平均功率：

2、電路等效阻抗為一個(gè)電抗。此時(shí)單口網(wǎng)絡(luò)電壓與電流相位為正交關(guān)系，即

Z=

u-

i

=

90

,(+電感－電容)顯然，平均功率為3、任意二端電路的情況電阻分量消耗的平均功率，就是單口網(wǎng)絡(luò)吸收的平均功率。設(shè)二端電路3.7.2、無功功率和視在功率1、無功功率無功功率反映電源(或外電路)和單口網(wǎng)絡(luò)內(nèi)儲(chǔ)能元件之間的能量交換情況，單位為乏(var)(無功伏安：voltamperreactive)2、視在功率表示一個(gè)電氣設(shè)備的容量，是單口網(wǎng)絡(luò)所吸收平均功率的最大值，單位：伏安(VA)。例如我們說某個(gè)發(fā)電機(jī)的容量為100kVA，而不說其容量為100kW功率因素補(bǔ)充：復(fù)功率

為了便于用相量來計(jì)算平均功率，引入復(fù)功率。工作于正弦穩(wěn)態(tài)的電路，其電壓電流采用關(guān)聯(lián)的參考方向，設(shè)單位：VAN功率三角形

ZPQS阻抗三角形，導(dǎo)納三角形，電壓三角形，電流三角形和功率三角形都是相似三角形。例14

電路相量模型如圖，端口電壓的有效值U=100V.試求該電路的P、Q、、S、λ。解:設(shè)端口電壓相量為：16

j16

-j14

+-電路的等效阻抗：因此故：所以[例3-15]求P、Q、S。已知關(guān)聯(lián)參考方向下無源二端網(wǎng)絡(luò)的端口電壓u(t)和i(t)分別為:(1)u(t)=10cos(100t+70?)，i(t)=2cos(100t+40?)；解：（1）端口電壓有效值、電流有效值及阻抗角分別為U=5V，I=A，?Z=φu–φi

=70-40=30?因此，P=UIcos?Z=10cos30?=8.66WQ=UIsin?Z=10sin30?=5varS=UI=10VA無功功率Q>0，該二端網(wǎng)絡(luò)呈感性。（2）u(t)=20cos(50t+20?)，i(t)=2cos(50t+50?)。解：（2）端口電壓有效值、電流有效值及阻抗角分別為U=10V，I=A，?Z=φu–φi

=20-50=-30?因此，P=UIcos?Z=20cos(-30?)=17.32WQ=UIsin?Z=20sin(-30?)=-10varS=UI=20VA無功功率無功功率Q<0，該二端網(wǎng)絡(luò)呈容性。3.8諧振電路含有電感、電容和電阻元件的單口網(wǎng)絡(luò)，在某些工作頻率上，出現(xiàn)端口電壓和電流相位相同的情況時(shí)，稱電路發(fā)生諧振。能發(fā)生諧振的電路，稱為諧振電路。

諧振電路是電路分析和通信技術(shù)中的基本電路，人們利用諧振現(xiàn)象做成了各種功能電路，用來選擇信號(hào)和處理信號(hào)。最常用的諧振電路是串聯(lián)諧振和并聯(lián)諧振電路。3.8.1串聯(lián)諧振

RLC串聯(lián)電路

圖(a)表示RLC串聯(lián)諧振電路，圖(b)是相量模型，由此求出其輸出阻抗為RLC串聯(lián)諧振條件與諧振特性當(dāng)時(shí)，

Z=0,Z(j

)=R,電壓u(t)與電流i(t)相位相同，電路發(fā)生諧振。即，RLC串聯(lián)電路的諧振條件為ω0稱為固有諧振角頻率，簡(jiǎn)稱諧振角頻率，它由元件參數(shù)L和C確定。1諧振條件當(dāng)電路激勵(lì)信號(hào)的頻率與諧振頻率相同時(shí)，電路發(fā)生諧振。用頻率表示的諧振條件為RLC串聯(lián)電路在諧振時(shí)的感抗和容抗在量值上相等RLC串聯(lián)電路發(fā)生諧振時(shí)，阻抗的電抗分量導(dǎo)致即阻抗呈現(xiàn)純電阻，達(dá)到最小值。電路諧振電流為2諧振時(shí)的特點(diǎn)電流有效值達(dá)到最大值，且電流與電壓源電壓同相。此時(shí)電阻、電感和電容上的電壓分別為其中稱為串聯(lián)諧振電路的品質(zhì)因數(shù)。電路諧振時(shí)的相量圖如圖