專題16 正多邊形與圓的有關(guān)的證明和計算綜合過關(guān)檢測（解析版）

專題16正多邊形與圓的有關(guān)的證明和計算綜合過關(guān)檢測（考試時間：90分鐘，試卷滿分：100分）一、單選題（本題共10小題，每題3分，共30分）1．一個正多邊形的中心角為，這個正多邊形的邊數(shù)是（

）A．5 B．8 C．10 D．12【答案】D【分析】本題考查的是正多邊形和圓，根據(jù)正多邊形的中心角和為和正多邊形的中心角相等，列式計算即可．【詳解】解：正多邊形的中心角和為，正多邊形的中心角是，這個正多邊形的邊數(shù)．故選：D．2．如圖，半徑為2的是正六邊形的外接圓，則下列說法錯誤的是（

）A．點(diǎn)O是正六邊形的中心 B．正六邊形的邊長是2C．正六邊形的中心角是 D．正六邊形的邊心距【答案】D【分析】本題考查了正多邊形與圓，正多邊形的性質(zhì)，是正六邊形的外接圓可判斷選項(xiàng)A，連接，證明是等邊三角形可判斷B，C；由勾股定理求出可判斷D【詳解】解：∵是正六邊形的外接圓，∴點(diǎn)O是正六邊形的中心，故選項(xiàng)A正確，不符合題意；連接，如圖，∵正六邊形內(nèi)接于，∴，∵，∴是等邊三角形，∴，∴正六邊形的邊長是2，故選項(xiàng)B正確，不符合題意；∴正六邊形的中心角是，故選項(xiàng)C正確，不符合題意；∵，∴，∴，∴選項(xiàng)D錯誤，符合題意；故選：D．3．齊齊哈爾市龍沙公園內(nèi)有一樓亭，始建于1908年，1964年7月21日，朱德委員長來齊齊哈爾市視察，登樓遠(yuǎn)眺，神清氣爽，嫩江水碧波蕩漾，齊齊哈爾風(fēng)光盡收眼底，朱老總即興揮毫題寫了“望江樓”三個大字，后將其制成黑底金字的長匾懸掛于飛檐之下，得名“望江樓”．我國古代許多樓亭的地基都是正六邊形（如圖），若有一個亭子，它的地基是邊長為的正六邊形，則地基的面積為（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】本題主要考查等多邊形的性質(zhì)，等邊三角形的判定性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握正多邊形中心角相等；過點(diǎn)O作于點(diǎn)C，通過證明為等邊三角形，得出，，根據(jù)勾股定理可得：，則，即可得出地基的面積．【詳解】解：過點(diǎn)O作于點(diǎn)C，

∵該六邊形為正六邊形，∴，∴為等邊三角形，∴，∵，∴，根據(jù)勾股定理可得：，∴，∴地基的面積，故選：D．4．如圖，、、、為一個正多邊形的頂點(diǎn)，為正多邊形的中心，若，則這個正多邊形的邊數(shù)為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了正多邊形與圓，圓周角定理，連接，，根據(jù)圓周角定理得到，即可得到結(jié)論，熟練掌握圓周角定理的應(yīng)用及正確理解正多邊形與圓的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：連接，，∵、、、為一個正多邊形的頂點(diǎn)，為正多邊形的中心，∴點(diǎn)、、、在以點(diǎn)為圓心，為半徑的同一個圓上，∵，∴，∴這個正多邊形的邊數(shù)，故選：．5．如圖，是內(nèi)接正六邊形的一邊，點(diǎn)在弧上，且是內(nèi)接正八邊形的一邊．此時是內(nèi)接正邊形的一邊，則的值是（

）A．12 B．16 C．20 D．24【答案】D【分析】本題考查正多邊形和圓的計算．根據(jù)中心角的度數(shù)邊數(shù)，列式計算分別求出的度數(shù)，則，則邊數(shù)中心角，據(jù)此求解即可．【詳解】解：連接，∵是內(nèi)接正六邊形的一邊，∴∵是內(nèi)接正八邊形的一邊，∴∴∴故選：D．6．如圖是半徑為4的的內(nèi)接正六邊形，則圓心O到邊的距離是（

）A．4 B． C．2 D．【答案】B【分析】本題考查了正多邊形的性質(zhì)，勾股定理，過點(diǎn)O作于點(diǎn)M，根據(jù)正六邊形的性質(zhì)得出，則，進(jìn)而得出，最后根據(jù)勾股定理即可求解．【詳解】解：過點(diǎn)O作于點(diǎn)M，∵六邊形為正六邊形，∴，∵，∴，∴，根據(jù)勾股定理可得：，故選：B．7．如圖，正八邊形的邊長為2，則該正八邊形的面積為（

）．A． B． C． D．【答案】A【分析】本題主要考查了正八邊形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握正八邊形的性質(zhì)．連接、、、，延長，過點(diǎn)C作于點(diǎn)M，根據(jù)正八邊形的性質(zhì)，得出四邊形為正方形，求出，證明為等腰直角三角形，求出，得出，求出，得出，最后求出結(jié)果即可．【詳解】解：連接、、、，延長，過點(diǎn)C作于點(diǎn)M，如圖所示：∵八邊形為正八邊形，∴四邊形為正方形，，∵，∴，∴為等腰直角三角形，∴，∴，，∴，∴正八邊形的面積為：．故選：A．8．如圖擺放的兩個正六邊形的頂點(diǎn)A，B，C，D在同一個圓上．若，則該圓的半徑為（

）

A．6 B．8 C． D．【答案】C【分析】此題考查的是正多邊形和垂徑定理，由正六邊形的性質(zhì)可得，再根據(jù)勾股定理可得答案，正確作出圖形及輔助線是解決此題的關(guān)鍵．【詳解】解：如圖，設(shè)圓的圓心為點(diǎn)，即點(diǎn)為正六邊形邊的中點(diǎn)，連接，過作于點(diǎn)，

∴，∵正六邊形的每個內(nèi)角都為，∴，，在中，，∴，∴，∴，∴，∴該圓的半徑為，故選：C．9．如圖，正三角形和正方形分別內(nèi)接于等圓和，若正三角形的周長為m，正方形的周長為n，則m與n的關(guān)系為（

）A． B． C． D．不能確定【答案】A【分析】本題考查正多邊形和圓，設(shè)圓的半徑為，分別求出正三角形，正方形的邊長，進(jìn)而求出的值，即可得出結(jié)果．【詳解】解：設(shè)等圓和的半徑為，如圖，，∵正三角形和正方形分別內(nèi)接于等圓和，∴，∴，，∴，，∴，∵，∴，∴；故選A．10．我國古代數(shù)學(xué)家劉徽在《九章算術(shù)注》中提到了著名的“割圓術(shù)”，即利用圓的內(nèi)接正多邊形逼近圓的方法來近似估算，指出“割之彌細(xì)，所失彌少．割之又割，以至于不可割，則與圓周合體，而無所失矣”．如圖，⊙O的半徑是2，運(yùn)用“割圓術(shù)”，以圓內(nèi)接正十二邊形面積近似估計⊙O的面積，可得π的估計值是（

）A．3.1 B．3 C．1+ D．2【答案】B【分析】過作于，求得的度數(shù)，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到，求出三角形的面積，于是得到正十二邊形的面積，根據(jù)圓的面積公式即可得到結(jié)論．本題考查了正多邊形與圓，三角形的面積的計算，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵．【詳解】如圖，是正十二邊形的一條邊，點(diǎn)是正十二邊形的中心，過作于，在正十二邊形中，

，∴正十二邊形的面積為,，,的近似值為3，故選：B．二、填空題（本題共10小題，每題3分，共30分）11．如圖，在正六邊形中，以點(diǎn)O為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，邊落在x軸上.若點(diǎn)A的坐標(biāo)為，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為________．

【答案】【分析】本題考查正多邊形，圖形和坐標(biāo)，勾股定理，先根據(jù)正六邊形得到，，然后再中利用勾勾股定理計算是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，∵正六邊形，點(diǎn)A的坐標(biāo)為∴，，∴，∴，∴，，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為，故答案為：．

12．如圖，內(nèi)接于，，弦是圓內(nèi)接正多邊形的一邊，則該正多邊形的邊數(shù)是________．【答案】5【分析】如圖所示，連接，由圓周角定理得到，則該多邊形的中心角為，由此即可得到答案．【詳解】解：如圖所示，連接，∵，∴，∴，∴該正多邊形是正五邊形，故答案為：5．【點(diǎn)睛】本題考查了正多邊形和圓的知識，解題的關(guān)鍵是構(gòu)造同弧所對的圓心角，難度不大．13．如圖，正五邊形內(nèi)接于，與相切于點(diǎn)D，連接并延長，交于點(diǎn)P，則的度數(shù)是________．【答案】【分析】本題考查了圓內(nèi)接正多邊形，切線的性質(zhì)，直角三角形的特征；連接，由圓的內(nèi)接正多邊形的性質(zhì)得，由切線的性質(zhì)得，由即可求解；掌握相關(guān)的性質(zhì)，作輔助線連半徑是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：如圖，連接，正五邊形內(nèi)接于，，與相切于點(diǎn)D，，，；故答案：．14．已知的內(nèi)接正六邊形的邊為6．則該圓的邊心距為________．【答案】【分析】本題考查了圓內(nèi)接多邊形的性質(zhì)，勾股定理，等邊三角形的判定和性質(zhì)，垂徑定理，畫出圖形，證得是等邊三角形是解題的關(guān)鍵．如圖，證明是等邊三角形，可得，作于M，根據(jù)垂徑定理可得，然后利用勾股定理計算出即可．【詳解】解：的內(nèi)接正六邊形如圖，連接，，∴，，，∴是等邊三角形，∴，作于M，則，∴，即該圓的邊心距為，故答案為：．15．圖1是微信朋友圈的圖案，它是中心對稱圖形，圖2是其示意圖．其作圖過程為：取正八邊形中心點(diǎn)O，延長，交于點(diǎn)M，為半徑作，再延長正八邊形其余七邊得到的八等分點(diǎn)．若，則________．

【答案】/【分析】連接，，過C作于T，根據(jù)在正八邊形性質(zhì)，結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)和三角形的外角性質(zhì)證得，則，進(jìn)而，證明等腰直角三角形，求得即可求解．【詳解】解：連接，，過C作于T，

在正八邊形中，，，∴，∵，，∴，，∴，則，∴，∵，∴，在中，，，∴等腰直角三角形，則，由勾股定理得，∴，則，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查正多邊形的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理和外角性質(zhì)、勾股定理等知識，熟練掌握正多邊形的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)是解答的關(guān)鍵．16．我國魏晉時期數(shù)學(xué)家劉徽在《九章算術(shù)注》中提到了著名的“割圓術(shù)”，即利用圓的內(nèi)接正多邊形逼近圓的方法來近似估算，指出“割之彌細(xì)，所失彌少．割之又割，以至于不可割，則與圓周合體，而無所失矣”．如圖，的半徑為1，運(yùn)用“割圓術(shù)”，以圓內(nèi)接正六邊形面積近似估計的面積，可得的估計值為________（結(jié)果保留根號）【答案】/【分析】本題考查了正多邊形與圓，三角形的面積的計算．過作于，求得的度數(shù)，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到，求出三角形的面積，于是得到正六邊形的面積，根據(jù)圓的面積公式即可得到結(jié)論．【詳解】解：如圖，是正六邊形的一條邊，點(diǎn)是正六邊形的中心，過作于，

在正六邊形中，，則，，，，∴正六邊形的面積為，，，的近似值為，故選：B．17．如圖，正六邊形內(nèi)接于，點(diǎn)P在弦上，若的半徑為2，則陰影部分的面積是________．【答案】【分析】本題考查了正六邊形的性質(zhì)，勾股定理，矩形的性質(zhì)與判定．連接，，，證明四邊形是矩形，推出陰影部分的面積為矩形的一半，據(jù)此求解即可．【詳解】解：如圖所示，連接，，，依題意可知，，，∴四邊形是平行四邊形，，，，，∴四邊形是矩形，∴陰影部分的面積為矩形的一半，∴與經(jīng)過點(diǎn)，∴，，，∴，，，∴陰影部分的面積為，故答案為：．18．如圖，已知在矩形內(nèi)有一個等邊，點(diǎn)在上，若的內(nèi)切圓半徑為2，則矩形的外接圓半徑為________．【答案】【分析】設(shè)點(diǎn)O為的內(nèi)切圓的圓心，連接、、，則,，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和含30度角的直角三角形的性質(zhì)分別求得，，根據(jù)矩形的性質(zhì)和圓周角定理求得，為矩形的外接圓的直徑，利用勾股定理求得即可．【詳解】解：如圖，設(shè)點(diǎn)O為的內(nèi)切圓的圓心，連接、、，則,，∵為等邊三角形，∴點(diǎn)E、O、P共線，即，，∴，，∴，則，∵四邊形是矩形，，∴，，連接，則BD為矩形的外接圓的直徑，在中，，∴矩形的外接圓的半徑為，故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查三角形的內(nèi)切圓性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、含30度角的直角三角形的性質(zhì)、圓周角定理、勾股定理等知識，熟練掌握相關(guān)知識的聯(lián)系與運(yùn)用是解答的關(guān)鍵．19．如圖，正六邊形的邊長為，以一個頂點(diǎn)為圓心，為半徑作一個扇形，則圖中陰影扇形的面積為________．【答案】【分析】過作于點(diǎn)，由正多邊形的性質(zhì)得，，進(jìn)而利用三線合一及勾股定理得，再利用扇形的面積公式即可求解?！驹斀狻拷猓哼^作于點(diǎn)，如圖所示：∵六邊形是正六邊形，，∴，，∴，∴∴∴∴，故答案為．【點(diǎn)睛】本題主要考查勾股定理、正多邊形的性質(zhì)、度直角三角形的性質(zhì)，扇形面積計算及正多邊形的性質(zhì)，熟練掌握扇形面積計算及正多邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．20．劉微是我國魏晉時期卓越的數(shù)學(xué)家，他首次提出“割圓術(shù)”，利出圓內(nèi)接正多邊形逐步逼近圓來近似計算圓周率．如圖，多邊形是的內(nèi)接正邊形．已知的半徑為，的度數(shù)為，點(diǎn)到的距離為，的面積為．下面推斷中，①當(dāng)變化時，隨的變化而變化，與滿足函數(shù)關(guān)系．②無論n，r為何值，總有．③若為定值，當(dāng)變化時，隨的變化而變化，與滿足二次函數(shù)關(guān)系．其中正確的是________．（填序號）．【答案】①③/③①【分析】分別表示出與n、d與r、S與r的關(guān)系式，進(jìn)而判定得出結(jié)論．【詳解】解：①當(dāng)n變化時，隨n的變化而變化，與n滿足函數(shù)關(guān)系，①正確；②當(dāng)時，，，∴，故②錯誤；③如圖，∵n為定值，，∴為定值，∵，∴，∴S與r滿足二次函數(shù)關(guān)系．③正確；故答案為：①③．【點(diǎn)睛】本題考查了正多邊形與圓的關(guān)系，解直角三角形，正比例函數(shù)，反比例函數(shù)，二次函數(shù)的定義等知識，解決問題的關(guān)鍵是熟練掌握有關(guān)基礎(chǔ)知識．三、解答題(本題共3題，共40分）21(12分)．如圖，是的直徑，，是上兩點(diǎn)，且，連接，．過點(diǎn)作交的延長線于點(diǎn)．(1)判定直線與的位置關(guān)系，并說明理由；(2)連接和交于點(diǎn)，若，，①求證：四邊形是矩形；②求圖中陰影部分的面積．【答案】(1)直線與相切，理由見解析(2)①證明見解析；②【分析】本題考查圓的切線，勾股定理，矩形的性質(zhì)與判定，垂徑定理，扇形的面積，熟練掌握以上知識是解題關(guān)鍵．（1）先證明，即可得出，由可得，從而得出是的半徑；（2）①證明即可得證；②圖中陰影部分的面積，分別求出梯形的面積和扇形的面積即可解答．【詳解】（1）解：直線與相切，理由：連接，，，，，，，，，是的半徑，是的切線；（2）證明：，，，是的直徑，，，四邊形是矩形；解：如圖，連接，，，在中，，，，，，，，圖中陰影部分的面積．22（14分）．如圖，是的直徑，射線交于點(diǎn)D，點(diǎn)E是劣弧的中點(diǎn)，連接，，，過點(diǎn)E作于點(diǎn)F，延長交的延長線交于點(diǎn)G．(1)證明：是的切線；(2)若，，求的半徑；(3)在（2）的基礎(chǔ)上，求圖中陰影部分的面積．【答案】(1)見解析(2)的半徑為4；(3)．【分析】（1）根據(jù)角平分線的定義和等