立體幾何專題之空間的角與距離（2）-滬教版（上海）高中數(shù)學2019-2020學年高三數(shù)學二輪復習教案（教育機構(gòu)專用）

滬教版（上海）高中數(shù)學2019-2020學年度高三數(shù)學二輪復習立體幾何專題之空間的角與距離②教學目標空間向量的引入為求立體幾何的空間角和距離問題、證線面平行與垂直以及解決立體幾何的探索性試題提供了簡便、快速的解法。它的實用性是其它方法無法比擬的，因此應加強運用向量方法解決幾何問題的意識，提高使用向量的熟練程度和自覺性，注意培養(yǎng)向量的代數(shù)運算推理能力，掌握向量的基本知識和技能，充分利用向量知識解決圖形中的角和距離、平行與垂直問題。知識梳理一、利用向量知識求點到點，點到線，點到面，線到線，線到面，面到面的距離（1）求點到平面的距離除了根據(jù)定義和等積變換外還可運用平面的法向量求得，方法是：求出平面的一個法向量的坐標，再求出已知點與平面內(nèi)任一點構(gòu)成的向量的坐標，那么到平面的距離（2）求兩點之間距離，可轉(zhuǎn)化求向量的模。（3）求點到直線的距離，可在上取一點，令或的最小值求得參數(shù)，以確定的位置，則為點到直線的距離。還可以在上任取一點先求，再轉(zhuǎn)化為，則為點到直線的距離。(4)求兩條異面直線之間距離，可設與公垂線段平行的向量，分別是上的任意兩點，則之間距離二、利用向量知識求線線角，線面角，二面角的大小。（1）設是兩條異面直線，是上的任意兩點，是直線上的任意兩點，則所成的角為（2）設是平面的斜線，且是斜線在平面內(nèi)的射影，則斜線與平面所成的角為。設是平面的法向量，是平面的一條斜線，則與平面所成的角為。（3）設是二面角的面的法向量，則就是二面角的平面角或補角的大小。典例精講zABCDMNxyzzzz(★★)zABCDMNxyzzzz解：如圖建立坐標系，則，設是直線與的公垂線，且則，(★★★)ABCDxyz例2：如圖，在長方體中，求平面與平面的距離。ABCDxyz解：，同理又，建立直角坐標系，，,設為平面的法向量，則由，不妨設，再選一條斜線段（端點分別在兩個平面內(nèi)），求斜線段對應的向量在法向量上的射影向量的模即可。點評：若是平面的法向量，是平面的一條斜線段，且，則點到平面的距離，平行平面之間的距離轉(zhuǎn)化為點到平面的距離，變?yōu)樾本€在法向量上的射影向量的模。(★★★)例3：在棱長為的正方體中，分別是的中點，ABCDEFABCDEFGxyz（2）求直線與平面所成的角，（3）求平面與平面所成的角解：（1）如圖建立坐標系，則，故所成的角為（2）所以在平面內(nèi)的射影在的平分線上，又為菱形，為的平分線，故直線與平面所成的角為，建立如圖所示坐標系，則，，故與平面所成角為由所以平面的法向量為下面求平面的法向量，設，由，，，所以平面與平面所成的角(★★★)SBACDzxy例4：如圖，在底面是直角梯形的四棱錐S-ABCD中，∠ABC=90°，SA⊥面ABCD，SA=AB=BC=1，SBACDzxy解：如圖建立直角坐標系，則，所以是平面的一個法向量。設平面的一個法向量由，令，平面與平面所成的二面角的正切值為點評：用向量知識求二面角的大小時，是將二面角的問題轉(zhuǎn)化為兩平面的法向量的夾角問題，（1）當法向量的方向分別指向二面角內(nèi)側(cè)與外側(cè)時，二面角的大小等于法向量的夾角的大小。（2）當法向量的方向同時指向二面角的內(nèi)側(cè)或外側(cè)時，二面角的大小等于法向量的夾角的補角。鞏固練習：(★★★★)1：如圖，在四棱錐P—ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD為正方形，PD=DC，E、F分別是AB、PB的中點.（1）求證：EF⊥CD；（2）在平面PAD內(nèi)是否存在一點G，使GF⊥平面PCB，并證明你的結(jié)論；（3）求DB與平面DEF所成角的大小.解：以DA、DC、DP所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系（如圖），設AD=a，則D（0，0，0）、A（a,0,0）、B(a,a,0)、C(0,a,0)、、（1）（2）假設存在，（3）設平面DEF的法向量為AzyBxFEPDC(★★★)2、如圖8，四棱錐P-ABCD中，PD底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，BAD=ADC=90，AB=AD=PD=2，CD=4，E是PB的中點，以DA、DC、DP分別為x軸、yAzyBxFEPDC(1)若點F平面ABCD，且FE面PBC，，求F點坐標；(2)求直線AB與平面PBC所成的角。解：依題意，知A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，4，0）,P(0,0,2) F平面ABCD，故可設F（x，y，0）又E（1，1，1），=（x–1，y–1，–1）FE面PBC，,又=（2，2，–2），=（0，4，-2）于是解得，故F（）（2）由（1）知，為平面PBC的法向量，=（），又=(0,2,0)，cos====cos=設AB與平面PBC所成的角為,則有=,sin=cos=即AB與平面PBC所成的角為arcsin.點評：本例中，按常規(guī)方法。求AB與平面PBC所成的角，需找AB在平面PBC內(nèi)的射影，而過A點作平面PBC的垂線，垂足的位置不易找到，利用向量來解，巧妙地繞過了這一難點，問題迎刃而解。(★★★★)3、在正方體中，棱長為1，為的中點，求下列問題：（1）求到面的距離；（2）求到面的距離；（3）求面與面的距離；（4）求異面直線與的距離.解：（1）如圖，建立空間直角坐標系，則，設為面的法向量則取，得，選點到面的斜向量為得點到面的距離為（2）由（1）知平面A1BE的法向量，斜向量∴點D1到面A1BE的距離為（3）由圖知平面A1BD的法向量為，而斜向量∴點D1到面A1BD的距離為即面A1BD與D1CB1的距離為（4）建立空間直角坐標系，則D1(0,0,1)，B(1,1,0)，A1(1,0,1)，E(0,eq\f(1,2),1)，∴設是與都垂直的向量，則，取，得一個法向量為選的兩點向量得的距離為課堂檢測：(★★★)1、如圖，四棱錐P—ABCD中，底面四邊形ABCD是正方形，側(cè)面PDC是邊長為a的正三角形，且平面PDC⊥底面ABCD，E為PC的中點。（1）求異面直線PA與DE所成的角的余弦值；（2）求點D到面PAB的距離．解：如圖取DC的中點O，連PO，∵△PDC為正三角形，∴PO⊥DC.又∵面PDC⊥面ABCD，∴PO⊥面ABCD.如圖建立空間直角坐標系則（1）E為PC中點，，，（2）可求，設面PAB的一個法向量為，①.②由②得y=0，代入①得令則D到面PAB的距離d等于即點D到面PAB的距離等于ACBEP(★★★★)2、如圖，在三棱錐中，，，．ACBEP（1）求證：；（2）求二面角的大??；（3）求點到平面的距離．解：（1），，．又，．，平面．平面，．ACBPzxyHACBPzxyHE則．設．，，．取中點，連結(jié)．，，，．是二面角的平面角．，，，．二面角的大小為．（3），在平面內(nèi)的射影為正的中心，且的長為點到平面的距離．如（2）建立空間直角坐標系．，點的坐標為．．點到平面的距離為．回顧總結(jié)