高中數(shù)學(xué)競賽講座20講

競賽講座01一奇數(shù)和偶數(shù)

整數(shù)中，能被2整除的數(shù)是偶數(shù)，反之是奇數(shù)，偶數(shù)可用2k表示，奇數(shù)可用2k+l表示，這里k是整數(shù).

關(guān)于奇數(shù)和偶數(shù)，有下面的性質(zhì)：

（1）奇數(shù)不會(huì)同時(shí)是偶數(shù)；兩個(gè)連續(xù)整數(shù)中必是一個(gè)奇數(shù)一個(gè)偶數(shù)；

（2）奇數(shù)個(gè)奇數(shù)和是奇數(shù)；偶數(shù)個(gè)奇數(shù)的和是偶數(shù)；任意多個(gè)偶數(shù)的和是偶數(shù)：

（3）兩個(gè)奇（偶）數(shù)的差是偶數(shù)；-個(gè)偶數(shù)與一個(gè)奇數(shù)的差是奇數(shù)；

（4）若a、b為整數(shù)，則a+b與a-b有相同的奇數(shù)偶；

（5）n個(gè)奇數(shù)的乘積是奇數(shù)，n個(gè)偶數(shù)的乘積是2n的倍數(shù)；順式中有個(gè)是偶數(shù)，則乘積是偶數(shù).

以上性質(zhì)簡單明了，解題時(shí)如果能巧妙應(yīng)用，常?？梢猿銎嬷苿?

L代數(shù)式中的奇偶問題

例1（第2屆“華羅庚金杯”決賽題）下列每個(gè)算式中，最少有一個(gè)奇數(shù)，一個(gè)偶數(shù)，那么這12個(gè)整數(shù)中，

至少有幾個(gè)偶數(shù)？

□xn=n口+口=口.

解因?yàn)榧臃ê蜏p法算式中至少各有一個(gè)偶數(shù)，乘法和除法算式中至少各有二個(gè)偶數(shù)，故這12個(gè)整數(shù)中至

少有六個(gè)偶數(shù).

例2（第1屆“祖沖之杯”數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽）己知n是偶數(shù)，m是奇數(shù)，方程組

|jr-l988|y

峭"

卜=q

是整數(shù)，那么

（A）p、q都是偶數(shù).（B）p、q都是奇數(shù).

（C）p是偶數(shù)，q是奇數(shù)（D）p是奇數(shù)，q是偶數(shù)

分析由于1988y是偶數(shù)，由第一方程知p=x=n+1988y,所以p是偶數(shù)，將其代入第二方程中，于是Ux

也為偶數(shù)，從而27y=m-llx為奇數(shù)，所以是y=q奇數(shù)，應(yīng)選（C）

例3在1,2,3…，1992前面任意添上一個(gè)正號(hào)和負(fù)號(hào)，它們的代數(shù)和是奇數(shù)還是偶數(shù).

分析因?yàn)閮蓚€(gè)整數(shù)之和與這兩個(gè)整數(shù)之差的奇偶性相同，所以在題設(shè)數(shù)字前面都添上正號(hào)和負(fù)號(hào)不改變

1992cl992

其奇偶性，而1+2+3+…+1992=2=996X1993為偶數(shù)于是題設(shè)的代數(shù)和應(yīng)為偶數(shù).

2.與整除有關(guān)的問題

例4（首屆“華羅庚金杯”決賽題）70個(gè)數(shù)排成一行，除了兩頭的兩個(gè)數(shù)以外，每個(gè)數(shù)的3倍都恰好等于

它兩邊兩個(gè)數(shù)的和，這一行最左邊的幾個(gè)數(shù)是這樣的：0,1,3,8,21,….問最右邊的一個(gè)數(shù)被6除余

幾？

解設(shè)70個(gè)數(shù)依次為al,a2,a3據(jù)題意有

al=0,偶

a2=l奇

a3=3a2-al,奇

a4=3a3-a2,偶

a5=3a4-a3,奇

a6=3a5-a4,奇

由此可知:

當(dāng)n被3除余1時(shí)，an是偶數(shù)；

當(dāng)n被3除余0時(shí)，或余2時(shí)，an是奇數(shù)，顯然a70是3k+l型偶數(shù)，所以k必須是奇數(shù)，令k=2n+l，則

a70=3k+l=3(2n+l)+l=6n+4.

解設(shè)十位數(shù)，五個(gè)奇數(shù)位數(shù)字之和為a,五個(gè)偶數(shù)位之和為b(10WaW35,10WbW35),則a+b=45,又

十位數(shù)能被11整除，則a-b應(yīng)為0,11,22(為什么？).由于a+b與a-b有相同的奇偶性，因此a-b=ll

即a=28,b=17.

要排最大的十位數(shù)，妨先排出前四位數(shù)9876,由于偶數(shù)位五個(gè)數(shù)字之和是17,現(xiàn)在8+6=14,偶數(shù)位其它

三個(gè)數(shù)字之和只能是17-14=3,這三個(gè)數(shù)字只能是2,1,0.

故所求的十位數(shù)是9876524130.

例6(1990年日本高考數(shù)學(xué)試題)設(shè)a、b是自然數(shù)，且有關(guān)系式

123456789=(11111+a)(11111-b),①

證明a-b是4的倍數(shù).

證明由①式可知

11111(a-b)=ab+4X617②

Va>0,b>0,.*.a-b>0

首先，易知a-b是偶數(shù)，否則11111(a-b)是奇數(shù)，從而知ab是奇數(shù)，進(jìn)而知a、b都是奇數(shù)，可知(11111+a)

及(11111-b)都為偶數(shù)，這與式①矛盾

其次，從a-b是偶數(shù)，根據(jù)②可知ab是偶數(shù)，進(jìn)而易知a、b皆為偶數(shù)，從而ab+4X617是4的倍數(shù)，由

②知a-b是4的倍數(shù).

3.圖表中奇與偶

例7(第10屆全俄中學(xué)生數(shù)學(xué)競賽試題)在3X3的正方格(a)和(b)中，每格填“+”或的符號(hào)，

然后每次將表中任一行或一列的各格全部變化試問重復(fù)若干次這樣的“變號(hào)”程序后，能否從一張表變化

為另一張表.

解按題設(shè)程序，這是不可能做到的，考察下面填法：

在黑板所示的2X2的正方形表格中，按題設(shè)程序“變號(hào)”，“+”號(hào)或者不變，或者變成兩個(gè).

(a)(b)

表(a)中小正方形有四個(gè)“+”號(hào)，實(shí)施變號(hào)步驟后，“+”的個(gè)數(shù)仍是偶數(shù)；但表(b)中小正方形“+”號(hào)

的個(gè)數(shù)仍是奇數(shù)，故它不能從一個(gè)變化到另一個(gè).

顯然，小正方形互變無法實(shí)現(xiàn)，3X3的大正方形的互變，更無法實(shí)現(xiàn).

例8(第36屆美國中學(xué)生數(shù)學(xué)競賽試題)將奇正數(shù)1,3,5,7…排成五列，按右表的格式排下去，1985

所在的那列，從左數(shù)起是第幾列？(此處無表)

解由表格可知，每行有四個(gè)正奇數(shù)，而1985=4X496+1,因此1985是第497行的第一個(gè)數(shù)，又奇數(shù)行

的第一個(gè)數(shù)位于第二列，偶數(shù)行的第一個(gè)數(shù)位于第四列，所以從左數(shù)起，1985在第二列.

例9如圖3T,設(shè)線段AB的兩個(gè)端點(diǎn)中，一個(gè)是紅點(diǎn)，一個(gè)是綠點(diǎn)，在線段中插入n個(gè)分點(diǎn)，把AB分成

n+1個(gè)不重疊的小線段，如果這些小線段的兩個(gè)端點(diǎn)一個(gè)為紅點(diǎn)而另一個(gè)為綠點(diǎn)的話，則稱它為標(biāo)準(zhǔn)線段.

證明不論分點(diǎn)如何選取，標(biāo)準(zhǔn)線段的條路總是奇數(shù).

分析n個(gè)分點(diǎn)的位置無關(guān)緊要，感興趣的只是紅點(diǎn)還是綠點(diǎn)，現(xiàn)用A、B分別表示紅、綠點(diǎn)；

不難看出：分點(diǎn)每改變一次字母就得到一條標(biāo)準(zhǔn)線段，并且從A點(diǎn)開始，每連續(xù)改變兩次又回到A,現(xiàn)在

最后一個(gè)字母是B,故共改變了奇數(shù)次，所以標(biāo)準(zhǔn)線段的條數(shù)必為奇數(shù).

123

ABBBABBBB

圖3-1

4.有趣的應(yīng)用題

例10（第2屆“從小愛數(shù)學(xué)”賽題）圖3-2是某個(gè)淺湖泊的平面圖，圖中所有曲線都是湖岸.

（1）如果P點(diǎn)在岸上，那么A點(diǎn)在岸上還是在水中？

（2）某人過這湖泊，他下水時(shí)脫鞋，上岸時(shí)穿鞋.如果有一點(diǎn)B,他脫鞋垢次數(shù)與穿鞋的次數(shù)和是個(gè)奇數(shù),

那么B點(diǎn)是在岸上還是在水中？說明理由.

圖3-2

解（1）連結(jié)AP,顯然與曲線的交點(diǎn)數(shù)是個(gè)奇數(shù)，因而A點(diǎn)必在水中.

（2）從水中經(jīng)過一次陸地到水中，脫鞋與穿鞋的次數(shù)和為2,山于A點(diǎn)在水中，氫不管怎樣走，走在水

中時(shí)，脫鞋、穿鞋的次數(shù)的和總是偶數(shù)，可見B點(diǎn)必在岸上.

例11書店有單價(jià)為10分，15分，25分，40分的四種賀年片，小華花了幾張一元錢，正好買了30張,

其中某兩種各5張，另兩種各10張，問小華買賀年片花去多少錢？

分析設(shè)買的賀年片分別為a、b、c、d（張），用去k張1元的人民幣，依題意有

10a+15b+25c+40d=100k,（k為正整數(shù)）

即2a+3b+5c+8d=20k

顯然b、c有相同的奇偶性.

13

若同為偶數(shù)，b-c=10和a=b=5,2不是整數(shù);

若同為奇數(shù),b=c=5和a=d=10,k=7.

例12一個(gè)矩形展覽廳被縱橫垂直相交的墻壁隔成若干行、若干列的小矩形展覽室，每相鄰兩室間都有若

干方形門或圓形門相通，僅在進(jìn)出展覽廳的出入口處有若干門與廳外相通，試證明：任何一個(gè)參觀者選擇

任何路線任意參觀若干個(gè)展覽室（可重復(fù)）之后回到廳外，他經(jīng)過的方形門的次數(shù)與圓形門的次數(shù)（重復(fù)

經(jīng)過的重復(fù)計(jì)算）之差總是偶數(shù).

證明給出入口處展覽室記“+”號(hào)，凡與“+”相鄰的展覽室記號(hào)，凡與號(hào)相鄰的展覽室都記

“+”號(hào)，如此則相鄰兩室的“+”、號(hào)都不同.

一參觀者從出入口處的“+”號(hào)室進(jìn)入廳內(nèi)，走過若干個(gè)展覽室又回到入口處的“+”號(hào)室，他的路線是

+-+—?+-+-,即從“+”號(hào)室起到“+”號(hào)室止，中間、“+”號(hào)室為n+1（重復(fù)經(jīng)過的重復(fù)計(jì)算），即

共走了2n+l室，于是參觀者從廳外進(jìn)去參觀后又回到廳外共走過了2n+2個(gè)門（包括進(jìn)出出入口門各1次）.

設(shè)其經(jīng)過的方形門的次數(shù)是r次，經(jīng)過圓形門的次數(shù)是s,則s+r=2n+2為偶數(shù)，故r-s也為偶數(shù)，所以命

題結(jié)論成立.

例13有一無窮小數(shù)A=0.ala2a3…anan+lan+2…其中ai（i=l,2）是數(shù)字，并且al是奇數(shù)，a2是偶數(shù),

a3等于al+a2的個(gè)位數(shù)…,an+2是an+an+1（n=l,2…，）的個(gè)位數(shù)，證明A是有理數(shù).

證明為證明A是有理數(shù)，只要證明A是循環(huán)小數(shù)即可，由題意知無窮小數(shù)A的每一個(gè)數(shù)字是由這個(gè)數(shù)

字的前面的兩位數(shù)字決定的，若某兩個(gè)數(shù)字ab重復(fù)出現(xiàn)了，即0.…ab…ab…此小數(shù)就開始循環(huán).

而無窮小數(shù)A的各位數(shù)字有如下的奇偶性規(guī)律：

A=0.奇偶奇奇偶奇奇偶奇……

又a是奇數(shù)可取1,3,5,7,9；

b是偶數(shù)可取0,2,4,6,8.

所以非負(fù)有序?qū)崝?shù)對(duì)一共只有25個(gè)是不相同的，在構(gòu)成A的前25個(gè)奇偶數(shù)組中，至少出現(xiàn)兩組是完全相

同的，這就證得A是…循環(huán)小數(shù)，即A是有理數(shù).

練習(xí)

1.填空題

（1）有四個(gè)互不相等的自然數(shù)，最大數(shù)與最小數(shù)的差等于4,最大數(shù)與最小數(shù)的積是一個(gè)奇數(shù)，而這四個(gè)

數(shù)的和是最小的兩位奇數(shù)，那么這四個(gè)數(shù)的乘積是.

1

（2）有五個(gè)連續(xù)偶數(shù)，已知第三個(gè)數(shù)比第一個(gè)數(shù)與第五個(gè)數(shù)和的；多18,這五個(gè)偶數(shù)之和是

（3）能否把1993部電話中的每一部與其它5部電話相連結(jié)？

效口____?

2.選擇題

（1）設(shè)a、b都是整數(shù)，下列命題正確的個(gè)數(shù)是（）

①若a+5b是偶數(shù),則a-3b是偶數(shù);

②若a+5b是偶數(shù),則a-3b是奇數(shù);

③若a+5b是奇數(shù),則a-3b是奇數(shù);

④若a+5b是奇數(shù),則a-3b是偶數(shù).

(A)1(B)2(C)3(D)4

H-1T

⑵若n是大于1的整數(shù)，則Pr的值（）.

（A）一定是偶數(shù)（B）必然是非零偶數(shù)

（C）是偶數(shù)但不是2（D）可以是偶數(shù)，也可以是奇數(shù)

（3）已知關(guān)于x的二次三項(xiàng)式ax2+bx+c（a、b、c為整數(shù)），如果當(dāng)x=0與x=l時(shí)，二次三項(xiàng)式的值都是

奇數(shù)，那么a（）

（A）不能確定奇數(shù)還是偶數(shù)（B）必然是非零偶數(shù)

（C）必然是奇數(shù)（D）必然是零

3.（1986年宿州競賽題）試證明11986+91986+81986+61986是一個(gè)偶數(shù).

4.請(qǐng)用0到9十個(gè)不同的數(shù)字組成一個(gè)能被11整除的最小十位數(shù).

5.有n個(gè)整數(shù)，共積為n,和為零，求證：數(shù)n能被4整除

6.在一個(gè)凸n邊形內(nèi)，任意給出有限個(gè)點(diǎn)，在這些點(diǎn)之間以及這些點(diǎn)與凸n邊形頂點(diǎn)之間，用線段連續(xù)起

來，要使這些線段互不相交，而且把原凸n邊形分為只朋角形的小塊，試證這種小三我有形的個(gè)數(shù)與n有

相同的奇偶性.

7.(1983年福建競賽題)一個(gè)四位數(shù)是奇數(shù)，它的首位數(shù)字淚地其余各位數(shù)字，而第二位數(shù)字大于其它各

位數(shù)字，第三位數(shù)字等于首末兩位數(shù)字的和的兩倍，求這四位數(shù).

8.(1909年匈牙利競賽題)試證：3n+l能被2或22整除，而不能被2的更高次幕整除.

9.(全俄15屆中學(xué)生數(shù)學(xué)競賽題)在1,2,3-,1989之間填上“+”或號(hào)，求和式可以得到最小

的非負(fù)數(shù)是多少？

練習(xí)參考答案

1.(1)30.(最小兩位奇數(shù)是11,最大數(shù)與最小數(shù)同為奇數(shù))

(2)180.設(shè)第一個(gè)偶數(shù)為x，則后面四個(gè)衣次為x+2,x+4,x+6,x+8.

(3)不能.

2.B.B.A

3.11986是奇數(shù)1,91986的個(gè)位數(shù)字是奇數(shù)1,而81986,61986都是偶數(shù)，故最

后為偶數(shù).

4.仿例51203465879.

5.設(shè)al,a2,???,an滿足題設(shè)即a1+a2H--Fan=0①

a1?a2...an=n②。假如n為奇數(shù)，由②，所有ai皆為奇數(shù)，但奇數(shù)個(gè)奇數(shù)之和為奇數(shù)，故

這時(shí)①不成立，可見n只能為偶數(shù).由于n為偶數(shù)，由②知ai中必有一個(gè)偶數(shù)，由①知ai中必有另一

個(gè)偶數(shù).于是ai中必有兩個(gè)偶數(shù)，因而由②知n必能被4整除.

6.設(shè)小三角形的個(gè)數(shù)為k,則k個(gè)小三角形共有3k條邊，減去n邊形的n條邊及重復(fù)計(jì)算的邊數(shù)扣共

11

有」(3k+n)條線段，顯然只有當(dāng)k與n有相同的奇偶性時(shí)，-(3k-n)才是整數(shù).

7.設(shè)這個(gè)四位數(shù)是由于1WaVd,d是奇數(shù)所以<123于是。=2(a+d)28,即c=8

或c=9.因c是偶數(shù)，所以c=8,由此得a=1,d=3.又因b>c,所以b=9因此該數(shù)為19

83.

8.當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，考慮(4-1)n+1的展開式；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，考慮(2+1)n+1的展開式.

9.除995外，可將1,2,…，1989所有數(shù)分為994對(duì)：(1,1989)(2,1988)…

(994,996)每對(duì)數(shù)中兩個(gè)數(shù)的奇偶性相同，所以在每對(duì)數(shù)前無論放置“十”，“一”號(hào)，運(yùn)算結(jié)

果只能是偶數(shù).而995為奇數(shù)，所以數(shù)1,2,1989的總值是奇數(shù)，于是所求的最小非負(fù)數(shù)不

小于1,數(shù)1可用下列方式求得：

1=1+(2-3-4+5)+(6-7-8+9)H----1-(1986-1987-1988+1989).

競賽講座02

一整數(shù)的整除性

1.整數(shù)的整除性的有關(guān)概念、性質(zhì)

(1)整除的定義：對(duì)于兩個(gè)整數(shù)a、d(dWO),若存在一個(gè)整數(shù)p,使得成立，則稱d整除a,

或a被d整除，記作da。

若d不能整除a,則記作da,如2|6,46。

(2)性質(zhì)

1)若b|a,則b|(-a),且對(duì)任意的非零整數(shù)m有bmlam

2)若a|b,b'a,則|a|=|b|;

3)若b|a,c|b,則c|a

4)若b|ac,而(a,b)=1((a,b)=1表示a、b互質(zhì)，則b|c；

5)若b|ac,而b為質(zhì)數(shù)，則b|a,或b|c；

6)若c|a,clb,則c|(ma+nb),其中m、n為任意整數(shù)(這一性質(zhì)還可以推廣到更多項(xiàng)的和)

例1(1987年北京初二數(shù)學(xué)競賽題)x,y,z均為整數(shù),若11I(7x+2y-5z),求證：11I(3x-7y+12z)(.

證明：4(3x-7y+12z)+3(7x+2y-5z)=ll(3x-2y+3z)

而11Ill(3x-2y+3z),

且11I(7x+2y-5z),

11|4(3x-7y+12z)

又(11,4)=1

/.11|(3x-7y+12z).

2.整除性問題的證明方法

(1)利用數(shù)的整除性特征(見第二講)

例2(1980年加拿大競賽題)設(shè)721麗帝怵Of的值。

解72=8X9,且(8,9)=1,所以只需討論8、9都整除0679時(shí)的值。

若8I標(biāo)麗，則8IM,由除法可得b=2。

若9|,則9|(a+6+7+9+2),得a=3。

(2)利用連續(xù)整數(shù)之積的性質(zhì)

①任意兩個(gè)連續(xù)整數(shù)之積必定是一個(gè)奇數(shù)與一個(gè)偶數(shù)之一積，因此一定可被2整除。

②任意三個(gè)連續(xù)整數(shù)之中至少有一個(gè)偶數(shù)且至少有一個(gè)是3的倍數(shù)，所以它們之積一定可以被2整

除，也可被3整除，所以也可以被2義3=6整除。

這個(gè)性質(zhì)可以推廣到任意個(gè)整數(shù)連續(xù)之積。

31

***?—M-1

例3(1956年北京競賽題)證明：22對(duì)任何整數(shù)n都為整數(shù)，且用3除時(shí)余2。

M3?-M-1+D3+DT

證明2

為連續(xù)二整數(shù)的積,必可被2整除.

G+D

2對(duì)任何整數(shù)n均為整數(shù),

V2為整數(shù),即原式為整數(shù).

4M(?+儀加+。

又：28

2M(2M+D-2)

8

2n、2n+l、2n+2為三個(gè)連續(xù)整數(shù)，其積必是3的倍數(shù)，而2與3互質(zhì),

2是能被3整除的整數(shù).

Jx3,J［必+於+口-2

故222被3除時(shí)余2.

例4一整數(shù)a若不能被2和3整除，則a2+23必能被24整除.

證明；a2+23=(a2-l)+24,只需證a2T可以被24整除即可.

V2二.；.a為奇數(shù).設(shè)a=2k+l(k為整數(shù))，

則a2-l=(2k+l)2-l=4k2+4k=4k(k+1).

；k、k+1為二個(gè)連續(xù)整數(shù)，故k(k+1)必能被2整除，

A814k(k+1),即8(a2-l).

又???(a-1),a,(a+1)為三個(gè)連續(xù)整數(shù)，其積必被3整除，即31a(a-1)(a+1)=a(a2-l),

V3a,A31(a2T).3與8互質(zhì),124|(a2T),即a2+23能被24整除.

(3)利用整數(shù)的奇偶性

下面我們應(yīng)用第三講介紹的整數(shù)奇偶性的有關(guān)知識(shí)來解兒個(gè)整數(shù)問題.

例5求證:不存在這樣的整數(shù)a、b^c、d使：

MM

a?b?c?d-a=①

M酬

a?b?c?d-b=②

a?b?c?d-c=low個(gè)③

UM

a?b?c?d-d=④

UNI

證明由①，a(bcd-1)=0?勢(shì).

?.?右端是奇數(shù)，...左端a為奇數(shù),bcd-1為奇數(shù).

同理，由②、③、④知b、c、d必為奇數(shù)，那么bed為奇數(shù)，bcd-1必為偶數(shù)，則a(bcd-1)必為偶數(shù),

與①式右端為奇數(shù)矛盾.所以命題得證.

例6(1985年合肥初中數(shù)學(xué)競賽題)設(shè)有n個(gè)實(shí)數(shù)xl,x2,…，xn,其中每一個(gè)不是+1就是T,

且

fl+3+A?上+工?0_

試證n是4的倍數(shù).

證明(i=l,2,???,n-1),

則yi不是+1就是T,但yl+y2+…+yn=O,故其中+1與T的個(gè)數(shù)相同，設(shè)為k,于是n=2k.又yly2y3…yn=l,

即(-1)k=l,故k為偶數(shù)，

；.n是4的倍數(shù).

其他方法：

整數(shù)a整除整數(shù)b,即b含有因子a.這樣,要證明a整除b,采用各種公式和變形手段從b中分解出因子a

就成了一條極自然的思路.

例7(美國第4屆數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽題)使n3+100能被n+10整除的正整數(shù)n的最大值是多少？

解n3+100=(n+10)(n2-10n+100)-900.

若n+100能被n+10整除,則900也能被n+10整除.而且，當(dāng)n+10的值為最大時(shí),相應(yīng)地n的值為最大.因?yàn)?/p>

900的最大因子是900.所以，n+10=900,n=890.

例8(上海1989年高二數(shù)學(xué)競賽)設(shè)a、b、c為滿足不等式IVaVbVc的整數(shù)，月一(ab-1)(bcT)

(ca-1)能被abc整除，求所有可能數(shù)組(a,b,c).

解,:(ab-1)(bc-1)(ca-1)

=a2b2c2-abc(a+b+c)+ab+ac+bcT,①

'/abc|(ab-1)(bcT)(caT).

存在正整數(shù)k,使

ab+ac+bcT=kabc,②

_L12,

k=<ibc<abc<abc<a<2

：.k=l.

若a23,此時(shí)

1二abcabc<34560矛盾.

已知a>l.?二只有a=2.

當(dāng)a=2時(shí)，代入②中得2b+2c-l=bc,

—2?—2——I—2+_2■4

即i=bcbe<bbb

>\0<b<4,知b=3,從而易得c=5.

說明：在此例中通過對(duì)因數(shù)k的范圍討論，從而逐步確定a、b、c是一項(xiàng)重要解題技巧.

例9(1987年全國初中聯(lián)賽題)已知存在整數(shù)n,能使數(shù)”被1987整除.求證數(shù)

尸力啰食8呼M即2不

■TH”“，

??!*

都能被1987整除.

PX#吟心+蚣楸=+M彳7崢#

證明XXX

里的1

(103n+9Xl0?+8X1M+7),且K能被1987整除，；.p能被1987整除.

同樣,

I崢#

q=(to**>4-9x10^+8X10"**7)

且“

I3*5-IO^IO1-cicyio1；

故n10231）、1*被哼，余數(shù)分別為1000,100,

押豕

10,于是q表示式中括號(hào)內(nèi)的數(shù)被K除，余數(shù)為1987,它可被1987整除，所以括號(hào)內(nèi)的數(shù)能被1987

整除，即q能被1987整除.

練習(xí)二

1.選擇題

（1）（1987年上海初中數(shù)學(xué)競賽題）若數(shù)n=20?30?40?50?60?70?80?90?100?110?120?130,

則不是n的因數(shù)的最小質(zhì)數(shù)是（）.

(A)19(B)17(C)13(D)非上述答案

(2)在整數(shù)0、1、2…、8、9中質(zhì)數(shù)有x個(gè),偶數(shù)有y個(gè)，完全平方數(shù)有z個(gè)，則x+y+z等于（）.

(A)14(B)13(C)12(D)11(E)10

(3)可除盡311+518的最小整數(shù)是().

(A)2(B)3(C)5(D)311+518(E)以匕都不是

2.填空題

(1)（1973年加拿大數(shù)學(xué)競賽題）把100000表示為兩個(gè)整數(shù)的乘積，使其中沒有?個(gè)是10的整倍數(shù)的表

達(dá)式為.

（2）一個(gè)自然數(shù)與3的和是5的倍數(shù),與3的差是6的倍數(shù),這樣的自然數(shù)中最小的是.

（3）（1989年全國初中聯(lián)賽題）在十進(jìn)制中，各位數(shù)碼是0或1,并且能被225整除的最小自然數(shù)是

3.求使J200M為整數(shù)的最小自然數(shù)a的值.

4.（1971年加拿大數(shù)學(xué)競賽題）證明：對(duì)一切整數(shù)n,n2+2n+12不是121的倍數(shù).

5.（1984年韶關(guān)初二數(shù)學(xué)競賽題）設(shè)題是一個(gè)四位正整數(shù)，已知三位正整數(shù)而與246的和是一位正整

數(shù)d的111倍,而又是18的倍數(shù).求出這個(gè)四位數(shù)即，并寫出推理運(yùn)算過程.

6.（1954年蘇聯(lián)數(shù)學(xué)競賽題）能否有正整數(shù)m、n滿足方程m2+1954=n2.

7.證明：（1）133|（lln+2+12n+l）,其中n為非負(fù)整數(shù).

（2）若將（1）中的11改為任意一個(gè)正整數(shù)a,貝hl）中的12,133將作何改動(dòng)?證明改動(dòng)后的結(jié)論.

8.（1986年全國初中數(shù)學(xué)競賽題）設(shè)a、b、c是三個(gè)互不相等的正整數(shù).求證:在a3b-ab3,b3c-bc3,c3a-ca3

三個(gè)數(shù)中,至少有一個(gè)能被10整除.

9.（1986年上海初中數(shù)學(xué)競賽題）100個(gè)正整數(shù)之和為101101,則它們的最大公約數(shù)的最大可能值是多少?

證明你的結(jié)論.

練習(xí)參考答案

1.B.B.A

2.(1)25?55.(2)27.

3.由2000a為一整數(shù)平方可推出a=5.

4.反證法.若是121的倍數(shù)，設(shè)nZ+Zn+lZnlZlkKCn+l)2：11(1lk-1).：

11是素?cái)?shù)且除盡(+1)2,

11除盡n+1—112除盡(n+1)2或11|Ilk-1,不可能.

5.由必：+246是d的111倍，=心可能是198309,420,531,642,753；

又又是的倍數(shù),

18只能是198.而198+246=444,d=4,4rf是1984.