圓的方程5題型分類

2.4圓的方程5題型分類一、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程1．圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(1)條件：圓心為C(a，b)，半徑長(zhǎng)為r.(2)方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2.(3)特例：圓心為坐標(biāo)原點(diǎn)，半徑長(zhǎng)為r的圓的方程是x2＋y2＝r2.2．點(diǎn)與圓的位置關(guān)系點(diǎn)M(x0，y0)與圓C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置關(guān)系及判斷方法位置關(guān)系利用距離判斷利用方程判斷點(diǎn)M在圓上|CM|＝r(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2點(diǎn)M在圓外|CM|>r(x0－a)2＋(y0－b)2>r2點(diǎn)M在圓內(nèi)|CM|<r(x0－a)2＋(y0－b)2<r2二、圓的一般方程1．圓的一般方程當(dāng)D2＋E2－4F>0時(shí)，二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0稱為圓的一般方程．2．方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的圖形條件圖形D2＋E2－4F<0不表示任何圖形D2＋E2－4F＝0表示一個(gè)點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))D2＋E2－4F>0表示以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))為圓心,以eq\f(\r(D2＋E2－4F),2)為半徑的圓（一）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程1．待定系數(shù)法求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的一般步驟：2．幾何法即是利用平面幾何知識(shí)，求出圓心和半徑，然后寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．3．求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的策略:確定圓的標(biāo)準(zhǔn)方程只需確定圓心坐標(biāo)和半徑，常用到中點(diǎn)坐標(biāo)公式、兩點(diǎn)間距離公式，有時(shí)還用到平面幾何知識(shí)，如“弦的中垂線必過(guò)圓心”“兩條弦的中垂線的交點(diǎn)必為圓心”等．題型1：求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程11．（2023秋·四川雅安·高二校考階段練習(xí)）已知圓的方程是，其圓心和半徑分別是（

）A．，2 B．，4 C．，2 D．，4【答案】C【分析】根據(jù)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的特點(diǎn)即可求解.【詳解】因?yàn)閳A的標(biāo)準(zhǔn)方程的圓心為，半徑為，所以圓的圓心和半徑分別為，2.故選：C.12．（江西省部分高中學(xué)校20232024學(xué)年高二上學(xué)期10月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）圓心為，且經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)給定條件，求出圓的半徑即可得解.【詳解】依題意，圓心為，且經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的圓的半徑，所以所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故選：D13．（2023秋·山東·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知點(diǎn)，，則以線段為直徑的圓的方程為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)為直徑得到圓心坐標(biāo)和半徑，然后求圓的方程即可.【詳解】由題意得圓心為，即，半徑，所以圓的方程為.故選：B14．（2023秋·河南鄭州·高二?？茧A段練習(xí)）過(guò)點(diǎn)，，圓心在直線上的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為【答案】【分析】設(shè)圓心為，由，列方程解出和，可得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.【詳解】圓心在直線上，設(shè)，設(shè)圓的半徑為，由圓過(guò)點(diǎn)，，有，則，解得，，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故答案為：15．（2023秋·黑龍江鶴崗·高二鶴崗市第三中學(xué)?？茧A段練習(xí)）圓：關(guān)于直線對(duì)稱的圓的方程為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】圓關(guān)于直線對(duì)稱的圓關(guān)于直線對(duì)稱的對(duì)稱點(diǎn)即可解題.【詳解】圓：的圓心為，半徑為2，設(shè)關(guān)于直線對(duì)稱的對(duì)稱點(diǎn)為，則，解得.關(guān)于直線對(duì)稱的對(duì)稱點(diǎn)為，圓：關(guān)于直線對(duì)稱的圓的方程為.故選：D.16．（2023秋·江西撫州·高二金溪一中校聯(lián)考階段練習(xí)）已知的三個(gè)頂點(diǎn)為，，.(1)求過(guò)點(diǎn)A且平行于的直線方程；(2)求的外接圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.【答案】(1)；(2).【分析】（1）利用平行線之間的斜率關(guān)系，結(jié)合點(diǎn)斜式即可求出該直線方程；（2）利用待定系數(shù)法計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)方程即可.【詳解】（1）設(shè)所求直線的斜率為，則，易知，即，則過(guò)點(diǎn)A且平行于的直線方程為：；（2）設(shè)過(guò)三點(diǎn)的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，將，，三點(diǎn)代入得，解方程得.即的外接圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（二）點(diǎn)與圓的位置關(guān)系判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系：1．代數(shù)法：主要利用點(diǎn)到圓心的距離與半徑比較大?。僭O(shè)圓的半徑為r，點(diǎn)到圓心的距離為d，則有：d＜r點(diǎn)在圓內(nèi)；d=r點(diǎn)在圓上；d＞r點(diǎn)在圓外.幾何法：把點(diǎn)的坐標(biāo)代入圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，判斷式子兩邊的大小，并作出判斷．點(diǎn)P（x1,y1)與圓(xa)2+(yb)2=r2的位置關(guān)系：（1）當(dāng)(x1a)2+(y1b)2＞r2時(shí)，則點(diǎn)P在圓外.（2）當(dāng)(x1a)2+(y1b)2=r2時(shí)，則點(diǎn)P在圓上.（3）當(dāng)(x1a)2+(y1b)2＜r2時(shí)，則點(diǎn)P在圓內(nèi).題型2：判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系21．【多選】（2023秋·吉林長(zhǎng)春·高二?？茧A段練習(xí)）已知圓的方程為，則圓上的點(diǎn)有（）A． B． C． D．【答案】BD【分析】將點(diǎn)的坐標(biāo)代入方程，檢驗(yàn)方程是否成立，即可判斷.【詳解】因?yàn)閳A，對(duì)于A：，所以點(diǎn)不在圓上；對(duì)于B：，所以點(diǎn)在圓上；對(duì)于C：，所以點(diǎn)不在圓上；對(duì)于D：，所以點(diǎn)在圓上；故選：BD22．（2023·全國(guó)·高二隨堂練習(xí)）已知點(diǎn)和，求以線段AB為直徑的圓的方程，并判斷點(diǎn)，是否在這個(gè)圓上．【答案】圓的方程：；點(diǎn)，不在圓上．【分析】由已知可求圓心與半徑，從而可求圓的方程，再由點(diǎn)到圓心的距離與半徑的大小關(guān)系判斷點(diǎn)是否在圓上【詳解】設(shè)圓心為，因?yàn)锳B為圓的直徑，且，，所以圓心坐標(biāo)為，半徑，所以，以線段AB為直徑的圓的方程為，因?yàn)?，，，所以點(diǎn)，不在這個(gè)圓上．23．（2023秋·江蘇常州·高二常州高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在圓的方程的探究中，有四位同學(xué)分別給出了一個(gè)結(jié)論，甲：該圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)；乙：該圓的圓心為；丙：該圓的半徑為5；?。涸搱A經(jīng)過(guò)點(diǎn)．如果只有一位同學(xué)的結(jié)論是錯(cuò)誤的，那么這位同學(xué)是（

）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁【答案】A【分析】假設(shè)乙、丙同學(xué)的結(jié)論正確，求出圓的方程，再依次檢驗(yàn)丁的結(jié)論與甲的結(jié)論是否成立即可.【詳解】若乙、丙同學(xué)的結(jié)論正確，則該圓的方程為，當(dāng)，時(shí)，成立，此時(shí)丁的結(jié)論正確，當(dāng)，時(shí)，不成立，此時(shí)甲的結(jié)論錯(cuò)誤.故選：A.24．（2023秋·四川遂寧·高二射洪中學(xué)校考階段練習(xí)）已知圓心為的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，.(1)求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)已知在圓C外，求的取值范圍.【答案】(1)；(2).【分析】（1）設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，代入，，求解即可；（2）因?yàn)樵趫AC外，所以，代入求解即可.【詳解】（1）解：設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，代入，，得，解得：，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：；（2）解：因?yàn)樵趫AC外，所以，又因?yàn)?，，所以，解得或，所以的取值范圍為?25．（2023秋·四川雅安·高二?？茧A段練習(xí)）若點(diǎn)在圓C：外，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，列出不等式求解即得.【詳解】由點(diǎn)在圓C：外，得，而，所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是.故選：C26．（2023秋·安徽淮南·高二校考階段練習(xí)）若點(diǎn)在圓的內(nèi)部，則a的取值范圍是（）.A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入圓的方程計(jì)算，即可得到結(jié)果.【詳解】由題可知，半徑，所以，把點(diǎn)代入方程，則，解得，所以故a的取值范圍是.故選：D（三）圓的一般方程的辨析圓的一般方程：當(dāng)D2＋E2－4F>0時(shí)，二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0稱為圓的一般方程．圓的一般方程的辨析:(1)由圓的一般方程的定義，若D2＋E2－4F>0成立，則表示圓，否則不是圓．(2)將方程配方后，根據(jù)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的特征求解．題型3：圓的一般方程的辨析31．（2023·全國(guó)·高二隨堂練習(xí)）判斷下列方程分別表示什么圖形，如果是圓，求出它的圓心坐標(biāo)和半徑．(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)表示圓，圓心為,半徑(2)表示圓，圓心為,半徑(3)表示點(diǎn)(4)表示圓，圓心為,半徑【分析】根據(jù)一般式，結(jié)合與0的關(guān)系，即可判斷是否是圓，進(jìn)而可得圓心和半徑.【詳解】（1）由可得,所以,故表示圓，且圓心為,半徑，（2）由可得,所以,故表示圓，且圓心為,半徑（3）由可得,所以,故表示一個(gè)點(diǎn)，不能表示圓，（4）由可得,所以,故表示圓，且圓心為,半徑32．（2023秋·浙江舟山·高二舟山中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若，則方程表示的圓的個(gè)數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】由圓的一般方程表示圓的條件計(jì)算即可.【詳解】由題意可知：，解之得，又，所以.故選：C33．（2023秋·遼寧沈陽(yáng)·高二沈陽(yáng)市第一二〇中學(xué)?？茧A段練習(xí)）方程表示一個(gè)圓，則m的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】化簡(jiǎn)方程為，根據(jù)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，得到不等式，即可求解.【詳解】由方程，可化為，要使得方程表示一個(gè)圓，則滿足，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選：A.34．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知“”是“”表示圓的必要不充分條件，則實(shí)數(shù)t的取值范圍為．【答案】【分析】先求出“”表示圓的等價(jià)條件，再將條件之間的邏輯關(guān)系轉(zhuǎn)化為子集關(guān)系，即可解決.【詳解】若“”表示圓，則，解得．“”是“”表示圓的必要不充分條件，可得，即所以實(shí)數(shù)t的取值范圍是．故答案為：.（四）求圓的一般方程求圓的方程的策略(1)幾何法：由已知條件通過(guò)幾何關(guān)系求得圓心坐標(biāo)、半徑，得到圓的方程；(2)待定系數(shù)法：選擇圓的一般方程或標(biāo)準(zhǔn)方程，根據(jù)條件列關(guān)于a，b，r或D，E，F(xiàn)的方程組解出系數(shù)得到方程．題型4：求圓的一般方程41．（2023秋·江蘇常州·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知圓C的方程為，則圓C的半徑為（

）A． B．2 C． D．8【答案】C【分析】化圓的一般式為標(biāo)準(zhǔn)式得圓C的半徑.【詳解】由圓C的半徑得，所以圓C的半徑為，故選：C42．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）圓心在射線上，半徑為5，且經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的圓的方程為（

）.A．B．C．D．【答案】C【分析】根據(jù)圓心在射線上，設(shè)出圓心坐標(biāo)，利用圓心到原點(diǎn)距離等于半徑求得圓心坐標(biāo)，即可求出圓的方程.【詳解】因?yàn)閳A心在射線上，故設(shè)圓心為，又半徑為5，且經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，所以，解得或（舍去），即圓的圓心坐標(biāo)為，則圓的方程為，即.故選：C43．（2023·全國(guó)·高二隨堂練習(xí)）試判斷，，，四點(diǎn)是否共圓，并說(shuō)明理由．【答案】共圓，理由見(jiàn)解析【分析】先假設(shè)、、三點(diǎn)共圓，利用待定系數(shù)法求解圓的方程，然后代入點(diǎn)的坐標(biāo)進(jìn)行檢驗(yàn)是否滿足圓的方程即可求解．【詳解】設(shè)、、三點(diǎn)所在圓的方程為，其中則，解得，圓的方程為，代入點(diǎn)的坐標(biāo)，左邊右邊．、、、四點(diǎn)共圓．44．（2023秋·河南鄭州·高二?？茧A段練習(xí)）已知三角形ABC的三個(gè)頂點(diǎn)分別為，，，求(1)邊上的高所在直線的方程；(2)三角形外接圓的方程【答案】(1)(2)【分析】（1）由直線的位置關(guān)系得斜率后求解點(diǎn)斜式方程，（2）由待定系數(shù)法求解．【詳解】（1）由題意得斜率，則上的高所在直線斜率為，方程為，即（2）設(shè)外接圓的方程為，則，解得，則圓方程為，即45．【多選】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知的三個(gè)頂點(diǎn)為，則下列關(guān)于的外接圓圓M的說(shuō)法正確的是（

）A．圓M的圓心坐標(biāo)為B．圓M的半徑為C．圓M關(guān)于直線x＋y＝0對(duì)稱D．點(diǎn)在圓M內(nèi)【答案】ABD【分析】根據(jù)待定系數(shù)法求出的外接圓方程即可判斷AB，根據(jù)圓心不在直線x＋y＝0上判斷C，根據(jù)點(diǎn)與圓心的距離與半徑比較判斷D.【詳解】設(shè)的外接圓圓M的方程為（），則，解得，所以的外接圓圓M的方程為，即.故圓M的圓心坐標(biāo)為，圓M的半徑為，故AB正確；因?yàn)橹本€x＋y＝0不經(jīng)過(guò)圓M的圓心，所以圓M不關(guān)于直線x＋y＝0對(duì)稱，故C錯(cuò)誤；因?yàn)椋庶c(diǎn)在圓M內(nèi)，故D正確.故選：ABD（五）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程1、求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程常用方法“四步一回頭”：四步：（1）建立適當(dāng)坐標(biāo)系，設(shè)出動(dòng)點(diǎn)M的坐標(biāo)(x,y).（2）寫出適合條件的點(diǎn)M的集合P=P{M|P(M)}.（3）將P(M)“翻譯”成代數(shù)方程f(x,y)=0.（4）化簡(jiǎn)代數(shù)方程f(x,y)=0為最簡(jiǎn)形式.一回頭：回頭看化簡(jiǎn)方程的過(guò)程是否為同解變形，驗(yàn)證求得的方程是否為所要求的方程.2、求與圓有關(guān)的軌跡問(wèn)題的方程(1)直接法：直接根據(jù)題目提供的條件列出方程．(2)定義法：根據(jù)圓、直線等定義列方程．(3)代入法：找到要求點(diǎn)與已知點(diǎn)的關(guān)系，代入已知點(diǎn)滿足的關(guān)系式等．題型5：求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程51．（2023·全國(guó)·高二隨堂練習(xí)）從定點(diǎn)向圓任意引一割線交圓于P，Q兩點(diǎn)，求弦PQ的中點(diǎn)M的軌跡方程.【答案】（在圓C內(nèi)部的部分）【分析】設(shè)所求軌跡上任一點(diǎn)，求得圓C的圓心坐標(biāo)為，因?yàn)?，所以，求解即可．【詳解】設(shè)所求軌跡上任一點(diǎn)，圓C的方程可化為則圓心坐標(biāo)為，，

因?yàn)?，所以點(diǎn)M的軌跡是以AC為直徑的圓（在圓C內(nèi)部的部分），因?yàn)锳C的中點(diǎn)坐標(biāo)為，所以點(diǎn)M的軌跡方程為（在圓C內(nèi)部的部分）．52．（2023·全國(guó)·高一隨堂練習(xí)）已知一曲線是與兩個(gè)定點(diǎn)，的距離之比為的點(diǎn)的軌跡，求這個(gè)曲線的方程，并畫出該曲線.【答案】方程為，圖形見(jiàn)解析【分析】設(shè)點(diǎn)為曲線上任意一點(diǎn)，則由題意列方程化簡(jiǎn)可得曲線方程【詳解】設(shè)點(diǎn)為曲線上任意一點(diǎn)，因?yàn)榍€是與兩個(gè)定點(diǎn)，的距離之比為的點(diǎn)的軌跡，所以，所以，化簡(jiǎn)得，即所求曲線方程為，53．（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）已知、兩定點(diǎn)．若動(dòng)點(diǎn)滿足，求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程．【答案】【分析】設(shè)，根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)公式計(jì)算即可.【詳解】設(shè)，則，由，得，即，所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為．54．（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）已知定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)在圓上，點(diǎn)在線段上，且，求點(diǎn)的軌跡方程．【答案】【分析】在找一點(diǎn)使，作交于，此時(shí)滿足，應(yīng)用兩點(diǎn)距離公式求軌跡即可.【詳解】在上找一點(diǎn)，則，過(guò)作交于，此時(shí)滿足，如下圖，所以，令，則.

55．（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）設(shè)平面上有一條長(zhǎng)度為4的線段，試建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，求：(1)到線段兩端點(diǎn)的距離的平方差為16的點(diǎn)的軌跡方程；(2)到線段兩端點(diǎn)的距離的平方和為16的點(diǎn)的軌跡方程．【答案】(1)(2)【分析】（1）建立直角坐標(biāo)系且、，根據(jù)距離的平方差及兩點(diǎn)距離公式求軌跡方程；（2）根據(jù)距離的平方和及兩點(diǎn)距離公式求軌跡方程.【詳解】（1）如圖取中點(diǎn)為原點(diǎn)，所在直線為軸，過(guò)點(diǎn)且垂直于的直線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則有、．設(shè)點(diǎn)到、兩點(diǎn)的距離的平方差為16，則，化簡(jiǎn)得．因此，所求軌跡方程為，其軌跡是兩條垂直于軸的直線．

（2）設(shè)點(diǎn)到、兩點(diǎn)的距離的平方和為16，則，化簡(jiǎn)得．因此，所求軌跡方程，其軌跡是以為直徑的圓．一、單選題1．（2023秋·江蘇淮安·高二?？茧A段練習(xí)）圓心是，且過(guò)點(diǎn)的圓的方程為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用兩點(diǎn)間距離公式求半徑，然后可得方程.【詳解】由題可得，又圓心為，所以圓的方程為.故選：C2．（江西省部分高中學(xué)校20232024學(xué)年高二上學(xué)期10月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）若點(diǎn)在圓：的外部，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由題意可知點(diǎn)與圓心的距離大于圓的半徑，由此可以列出與有關(guān)的不等式，從而解不等式即可求解.【詳解】一方面：將圓：化為標(biāo)準(zhǔn)方程可得，首先有圓心，其次圓的半徑滿足，解得，另一方面：又因?yàn)辄c(diǎn)在圓：的外部，所以，即，解得；綜上所述：的取值范圍為.故選：A.3．（2023秋·陜西西安·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）若直線是圓的一條對(duì)稱軸，則（

）A．0 B．1 C．2 D．4【答案】A【分析】根據(jù)直線經(jīng)過(guò)圓心即可求解.【詳解】由題意可得，直線過(guò)圓心，則，解得.故選：A4．（2023秋·湖南·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）若方程表示的曲線為一個(gè)圓，則（

）A． B．或C． D．或【答案】B【分析】根據(jù)已知列出不等式，求解即可得出答案.【詳解】因?yàn)榉匠瘫硎镜那€為一個(gè)圓，所以，即，解得或．故選：B.5．（2023秋·江西·高二南昌市第十七中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）若圓的半徑為2，則實(shí)數(shù)的值為（

）A．9 B．8 C．9 D．8【答案】D【分析】由圓的一般方程配方得出其標(biāo)準(zhǔn)方程，由半徑為2得出答案.【詳解】由，得，所以，解得.故選：D.6．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）以，為直徑兩端點(diǎn)的圓的方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出圓心坐標(biāo)，兩點(diǎn)間距離公式求出圓的直徑，得解.【詳解】，，的中點(diǎn)坐標(biāo)為，以為直徑的圓的圓心為，又，圓的半徑為1，以為直徑的圓的方程為即.故選：A.7．（2023秋·遼寧鐵嶺·高二鐵嶺市清河高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）點(diǎn)，點(diǎn)是圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則線段的中點(diǎn)的軌跡方程是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】設(shè)出點(diǎn)坐標(biāo)，得出點(diǎn)坐標(biāo)，代入圓方程，即可得到線段的中點(diǎn)M的軌跡方程.【詳解】設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，因?yàn)辄c(diǎn)是線段的中點(diǎn)，可得，點(diǎn)在圓上，則，即.故選：A.二、多選題8．（2023秋·遼寧鐵嶺·高二鐵嶺市清河高級(jí)中學(xué)校考階段練習(xí)）已知方程，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．當(dāng)時(shí)，表示圓心為的圓 B．當(dāng)時(shí)，表示圓心為的圓C．當(dāng)時(shí)，表示的圓的半徑為 D．當(dāng)時(shí)，表示的圓與軸相切【答案】BCD【分析】將圓的一般方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，結(jié)合選項(xiàng)，逐項(xiàng)判定，即可求解.【詳解】由題意，方程，可化為，可圓的圓心坐標(biāo)為，A中，當(dāng)時(shí)，此時(shí)半徑為，所以A錯(cuò)誤；B中，當(dāng)時(shí)，此時(shí)半徑大于，表示圓心為的圓，所以B正確；C中，當(dāng)時(shí)，表示的圓的半徑為，所以C正確；D中，當(dāng)時(shí)，可得，方程表示的圓半徑為，又圓心坐標(biāo)為，所以圓心到軸的距離等于半徑，所以圓與軸相切，所以D正確．故選：BCD.9．（2023秋·湖南·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）若為圓：上任意一點(diǎn)，點(diǎn)，則的取值可以為（

） B．2 【答案】ABC【分析】利用配方法，結(jié)合圓的幾何性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】圓：化為標(biāo)準(zhǔn)方程得，半徑，，所以的取值區(qū)間為．故選：ABC10．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）已知方程，下列敘述正確的是（

）A．方程表示的是圓B．方程表示的圓的圓心在x軸上C．方程表示的圓的圓心在y軸上D．當(dāng)時(shí)，方程表示以為圓心，半徑為1的圓【答案】BD【分析】根據(jù)圓的一般方程的條件，對(duì)各個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行逐一判斷．【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：因?yàn)?，，，由方程表示圓的條件得，即，解得，所以只有當(dāng)時(shí)才表示圓，故A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B、C：因?yàn)?，，若方程表示圓，圓心坐標(biāo)為，圓心在x軸上，故B正確，C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D：當(dāng)時(shí)，半徑，故D正確；故選：BD.11．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．圓的圓心為 B．點(diǎn)在圓內(nèi)C．圓的半徑為5 D．點(diǎn)在圓內(nèi)【答案】ABC【分析】根據(jù)給定圓的方程，結(jié)合點(diǎn)與圓的位置關(guān)系逐項(xiàng)判斷作答.【詳解】圓的圓心為，半徑為5，AC正確；由，得點(diǎn)在圓內(nèi)，B正確；由，得點(diǎn)在圓外，D錯(cuò)誤.故選：ABC12．（2023秋·遼寧·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）（多選）已知某圓圓心C在x軸上，半徑為5，且在y軸上截得線段AB的長(zhǎng)為8，則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A． B．C． D．【答案】AB【分析】利用勾股定理求出的長(zhǎng)，從而確定圓心的坐標(biāo)，寫出圓的方程即可.【詳解】由題意設(shè)，，所以，在中，如圖所示，有兩種情況：故圓心C的坐標(biāo)為或，故所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為故選：AB.三、填空題13．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）由曲線圍成的圖形的面積為.【答案】【分析】曲線圍成的圖形關(guān)于軸，軸對(duì)稱，故只需要求出第一象限的面積即可，結(jié)合圓的方程運(yùn)算求解.【詳解】將或代入方程，方程不發(fā)生改變，故曲線關(guān)于軸，軸對(duì)稱，因此只需求出第一象限的面積即可，當(dāng)，時(shí)，曲線可化為：，表示的圖形為以為圓心，半徑為的一個(gè)半圓，則第一象限圍成的面積為，故曲線圍成的圖形的面積為.故答案為：.14．（2023秋·河南三門峽·高二?？茧A段練習(xí)）圓心坐標(biāo)為，并經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．【答案】【分析】先求得圓的半徑，進(jìn)而求得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.【詳解】圓的半徑為，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故答案為：.15．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知，，，則過(guò)A，B，C三點(diǎn)圓的一般方程．【答案】【分析】設(shè)圓的一般方程為，解方程組即得解.【詳解】設(shè)圓的一般方程為，由題意得，解得，，．圓的一般方程是．故答案為：．16．（2023秋·浙江嘉興·高二?？茧A段練習(xí)）若方程表示圓，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.【答案】【分析】根據(jù)計(jì)算即可.【詳解】由題可知：所以故答案為：四、解答題17．（2023·全國(guó)·高二隨堂練習(xí)）寫出下列各圓的方程：(1)圓心在原點(diǎn)的單位圓；(2)圓心為，半徑是5；(3)圓心為，經(jīng)過(guò)點(diǎn)；(4)圓心在x軸上，經(jīng)過(guò)與兩點(diǎn)．【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】根據(jù)題意，找出圓心坐標(biāo)和半徑，即可寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．【詳解】（