山東省曲阜師大附中2017-2018學(xué)年高二下學(xué)期第一次考試（4月）數(shù)學(xué)（理）試題

曲阜師范大學(xué)附屬中學(xué)高二下學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)（理）試題命題人：張松審題人：李加敏、宋修江試卷滿分150分.考試用時(shí)120分鐘.注意事項(xiàng)：答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡指定位置.2.選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào).答在試題卷、草稿紙上無效.3.填空題和解答題的作答：用黑色的簽字筆將答案直接答在答題卡上對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域.答在試題卷、草稿紙上無效.4.考生必須保持答題卡的整潔.請(qǐng)將答題卡上交.第Ⅰ卷一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，滿分60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.）1．已知復(fù)數(shù)z滿足，則=（）A．B．2C．D．2．函數(shù)從1到4的平均變化率為（）A． B． C．1 D．33.下列各式中正確的是()A．B．C．D．4.“∵四邊形ABCD是矩形，∴四邊形ABCD的對(duì)角線相等”，補(bǔ)充以上推理的大前提是()A.正方形的對(duì)角線相等B.矩形的對(duì)角線相等C.等腰梯形的對(duì)角線相等D.矩形的對(duì)邊平行且相等5．設(shè)，若，則等于（）A． B． C． D．6．若函數(shù)在內(nèi)無極值，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A．B．C．D．7．函數(shù)的圖像與軸所圍成的封閉圖形的面積為()A.B．1C．2D.8．已知曲線，在點(diǎn)的曲線的切線方程為（）A.B．C．和D．切線不存在9.已知，且，則方程在區(qū)間上()A．至少有三個(gè)實(shí)數(shù)根B．至少有兩個(gè)實(shí)根C．有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根D．有兩種情況，有一個(gè)根或有三個(gè)根10．設(shè)分別是定義在上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，且，則不等式的解集是（）A．(－3，0)∪(3，+∞)B．(－3，0)∪(0，3)C．(－∞，－3)∪(3，+∞)D．(－∞，－3)∪(0，3)11.設(shè)函數(shù)滿足，，若函數(shù)有三個(gè)不同的零點(diǎn)，則c的取值范圍是（）A．(0，)B．(，0)C．(－∞，0)∪(，+∞)D．(－∞，)∪(0，+∞)12.函數(shù)的值域是[0，2]，則實(shí)數(shù)a的范圍是（）A．[0，]B．[1，]C．[1，]D．[，2]第Ⅱ卷填空題：本大題共4小題，每小題5分，請(qǐng)將答案填在答題卡對(duì)應(yīng)題號(hào)的位置上．答錯(cuò)位置，書寫不清，模棱兩可均不得分．13.設(shè)，若，則實(shí)數(shù)________14.函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且滿足，則15.已知,,則t=________16.已知，，，…，，…，（，）．則的值為______．三、解答題：(本大題共6小題，滿分70分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．)17．（本小題滿分10分）已知，求的單調(diào)區(qū)間.18．（本小題滿分12分）已知數(shù)列滿足.（1）求；（2）猜想數(shù)列的通項(xiàng)公式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明.19.（本小題滿分12分）某地環(huán)保部門跟蹤調(diào)查一種有害昆蟲的數(shù)量．根據(jù)調(diào)查數(shù)據(jù)，該昆蟲的數(shù)量（萬只）與時(shí)間（年）（其中）的關(guān)系為．為有效控制有害昆蟲數(shù)量、保護(hù)生態(tài)環(huán)境，環(huán)保部門通過實(shí)時(shí)監(jiān)控比值（其中為常數(shù)，且）來進(jìn)行生態(tài)環(huán)境分析．(1)當(dāng)時(shí)，求比值的最小值；(2)經(jīng)過調(diào)查，環(huán)保部門發(fā)現(xiàn)：當(dāng)比值不超過時(shí)不需要進(jìn)行環(huán)境防護(hù)，現(xiàn)恰好3年不需要進(jìn)行保護(hù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．20.(本小題滿分12分)設(shè)函數(shù)，其中.(1)若在處取得極值，求常數(shù)的值；(2)若在(－∞，0)上為增函數(shù)，求的取值范圍．21．（本小題滿分12分）已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的極值；(2)設(shè)函數(shù)，存在實(shí)數(shù)，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．22．（本小題滿分12分）直角坐標(biāo)系xOy中，以原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的方程為，直線方程為（t為參數(shù)），直線與C的公共點(diǎn)為T.(1)求點(diǎn)T的直角坐標(biāo);(2)過點(diǎn)T作直線，被曲線C截得的線段長為2，求直線的極坐標(biāo)方程.答案15CADBB 610DABCD 11A 12C13、1 14、1 15、 16、17、解：18、解（1）由可得（2）猜想下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：①當(dāng)時(shí)，左邊右邊猜想成立.②假設(shè)時(shí)猜想成立，即，當(dāng)時(shí)，，故當(dāng)時(shí)，猜想也成立.由①，②可知，對(duì)任意都有成立.19、解（1）當(dāng)時(shí)，，∴；、的變化如表所示，12－0＋↓ˉ極小值↑∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，∴在時(shí)取最小值；此時(shí)（2）∵根據(jù)（1）知：在上單調(diào)減，在上單調(diào)增；∵恰好3年不需要進(jìn)行保護(hù)，∴，解得，即實(shí)數(shù)的取值范圍為．20、解(1)f′(x)＝6x2－6(a＋1)x＋6a＝6(x－a)(x－1)．因f(x)在x＝3處取得極值，所以f′(3)＝6(3－a)(3－1)＝0，解得a＝3.經(jīng)檢驗(yàn)知當(dāng)a＝3時(shí)，x＝3為f(x)的極值點(diǎn)．(2)令f′(x)＝6(x－a)(x－1)＝0得x1＝a，x2＝1.當(dāng)a<0時(shí)，若x∈(－∞，a)∪(1，＋∞)，則f′(x)>0，所以f(x)在(－∞，a)和(1，＋∞)上為增函數(shù)．當(dāng)0≤a<1時(shí)，f(x)在(－∞，0)上為增函數(shù)．當(dāng)a≥1時(shí)，若x∈(－∞，1)∪(a，＋∞)，則f′(x)>0，所以f(x)在(－∞，1)和(a，＋∞)上為增函數(shù)，從而f(x)在(－∞，0)上為增函數(shù)．綜上可知，當(dāng)a≥0時(shí)，f(x)在(－∞，0)上為增函數(shù)．21、解(1)函數(shù)的定義域?yàn)镽，f′(x)＝－，令f′(x)＝0，得x=0.、的變化如表所示，0↑極大值↓則x=0處取得極大值=1(2)存在x1，x2∈[0,1]，使得2φ(x1)<φ(x2)成立，則2[φ(x)]min<[φ(x)]max.∵φ(x)＝xf(x)＋tf′(x)＋e－x＝，∴φ′(x)＝＝.①當(dāng)t≥1時(shí)，φ′(x)≤0，φ(x)在[0,1]上單調(diào)遞減，∴2φ(1)<φ(0)，即t>3－>1；②當(dāng)t≤0時(shí)，φ′(x)>0，φ(x)在[0,1]上單調(diào)遞增，∴2φ(0)<φ(1)，即t<3－2e<0；③當(dāng)0<t<1時(shí)，若x∈[0，t)，φ′(x)<0，φ(x)在[0，t)上單調(diào)遞減，若t∈(t,1]，φ′(x)>0，φ(x)在(t,1)上單調(diào)遞增，∴2φ(t)<max{φ(0)，φ(1)}，即2·<max{1，}．(*)由(1)知，g(t)＝2·在[0,1]上單調(diào)遞減，故≤2·≤2，而