人教A版高中數(shù)學必修五教案1.1.1正弦定理

1．1．1正弦定理（一）教學目標1．知識與技能:通過對任意三角形邊長和角度關系的探索，掌握正弦定理的內(nèi)容及其證明方法；會運用正弦定理與三角形內(nèi)角和定理解斜三角形中的一類簡單問題2.過程與方法:讓學生從已有的幾何知識出發(fā),共同探究在任意三角形中，邊與其對角的關系，引導學生通過觀察，推導，比較，由特殊到一般歸納出正弦定理，并進行定理基本應用的實踐操作。3．情態(tài)與價值：培養(yǎng)學生在方程思想指導下處理解三角形問題的運算能力；培養(yǎng)學生合情推理探索數(shù)學規(guī)律的數(shù)學思思想能力，通過三角形函數(shù)、正弦定理、向量的數(shù)量積等知識間的聯(lián)系來體現(xiàn)事物之間的普遍聯(lián)系與辯證統(tǒng)一。（二）教學重、難點重點：正弦定理的探索和證明及其基本應用。難點：正弦定理的推導即理解（三）學法與教學用具學法：引導學生首先從直角三角形中揭示邊角關系：，接著就一般斜三角形進行探索，發(fā)現(xiàn)也有這一關系；分別利用傳統(tǒng)證法和向量證法對正弦定理進行推導，讓學生發(fā)現(xiàn)向量知識的簡捷，新穎。教學用具：直尺、投影儀、計算器（四）教學過程1[創(chuàng)設情景]問題：“工人師傅的一個三角形的模型壞了，只剩下如右圖所示的部分，∠A=47°,∠B=53°,AB長為1m,想修好這個零件，但他不知道AC和BC的長度是多少好去截料，你能幫師傅這個忙嗎？”讓學生有幫助別人的熱情，從而進入今天的學習課題。2[探索研究](圖1．11)在初中，我們已學過如何解直角三角形，下面就首先來探討直角三角形中，角與邊的等式關系。如圖1．12，在RtABC中，設BC=a,AC=b,AB=c,根據(jù)銳角三角函數(shù)中正弦函數(shù)的定義，有，，又,A則bc從而在直角三角形ABC中，CaB(圖1．12)思考：那么對于任意的三角形，以上關系式是否仍然成立？（由學生討論、分析）可分為銳角三角形和鈍角三角形兩種情況：如圖1．13，當ABC是銳角三角形時，設邊AB上的高是CD，根據(jù)任意角三角函數(shù)的定義，有CD=,則，C同理可得，ba從而AcB(圖1．13)思考：是否可以用其它方法證明這一等式？由于涉及邊長問題，從而可以考慮用向量來研究這個問題。（證法二）：過點A作，C由向量的加法可得則AB∴∴，即同理，過點C作，可得從而類似可推出，當ABC是鈍角三角形時，以上關系式仍然成立。（由學生課后自己推導）從上面的研探過程，可得以下定理正弦定理：在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等，即[理解定理]（1）正弦定理說明同一三角形中，邊與其對角的正弦成正比，且比例系數(shù)為同一正數(shù)，即存在正數(shù)k使，，；（2）等價于，，從而知正弦定理的基本作用為：①已知三角形的任意兩角及其一邊可以求其他邊，如；β②已知三角形的任意兩邊與其中一邊的對角可以求其他角的正弦值，如。一般地，已知三角形的某些邊和角，求其他的邊和角的過程叫作解三角形。3[例題分析]例1．在中，已知，，cm，解三角形。解：根據(jù)三角形內(nèi)角和定理， ；根據(jù)正弦定理，；根據(jù)正弦定理，評述：對于解三角形中的復雜運算可使用計算器。例2如圖，在ΔABC中，∠A的平分線AD與邊BC相交于點D，求證：AABCD證明：如圖在ΔABD和ΔCAD中，由正弦定理，得，，ABCABCDβα1800α五、鞏固深化反饋研究1已知ΔABC已知A=600，B=300，a=3；求邊b=（）:Ａ３Ｂ２ＣD（2）已知ΔABC已知A=450，B=750，b=8；求邊ａ＝（）A8B4C43D88（3）正弦定理的內(nèi)容是————————————（4）已知a+b=12B=450A=60（5）已知在ΔABC中,三內(nèi)角的正弦比為4:5:6，有三角形的周長為7.5，則其三邊長分別為（6