等邊三角形及反證法含答案

第1頁（共1頁）等邊三角形及反證法一．選擇題（共36小題）1．如圖，△ABC是等邊三角形，AB＝12，點D是BC邊上任意一點，DE⊥AB于點E，DF⊥AC于點F，則BE+CF的長是（）A．6 B．5 C．12 D．82．在等邊△ABC中，D、E分別為AB、AC邊上的動點，BD＝2AE，連接DE，以DE為邊在△ABC內(nèi)作等邊△DEF，連接CF，當D從點A向B運動（不運動到點B）時，∠ECF大小的變化情況是（）A．不變 B．變小 C．變大 D．先變大后變小3．如圖，△ABC是邊長為5的等邊三角形，點D，E分別在BC，AC上，DE∥AB，過點E作EF⊥DE，交BC的的延長線于點F，若BD＝2，則DF等于（）A．7 B．6 C．5 D．44．如圖，直線a∥b∥c，等邊△ABC的頂點B、C分別在直線c和b上，邊BC與直線c所夾的銳角為20°，則∠a的度數(shù)為（）A．20° B．40° C．60° D．80°5．如圖，△ABC是等邊三角形，點D是AC的中點，DE⊥BC，CE＝3，則AB等于（）A．11 B．12 C．13 D．146．如圖，△ABC是等邊三角形，DE∥BC，若AB＝10，BD＝6，則△ADE的周長為（）A．4 B．30 C．18 D．127．反證法證明命題：“在△ABC中，若∠B≠∠C，則AB≠AC”應先假設（）A．AB＝AC B．∠B＝∠C C．AB＞AC D．AB＜AC8．如圖，△ABC是等邊三角形，D為BA的中點，DE⊥AC，垂足為點E，EF∥AB，AE＝1，下列結(jié)論錯誤的是（）A．∠ADE＝30° B．AD＝2 C．△ABC的周長為10 D．△EFC的周長為99．如圖，等邊三角形ABC中，D為BC的中點，BE平分∠ABC交AD于E，若△CDE的面積等于1，則△BEC的面積等于（）A．2 B．4 C．6 D．1210．如圖，△ABC是等邊三角形，BC＝BD，∠BAD＝20°，則∠BCD的度數(shù)為（）A．50° B．55° C．60° D．65°11．已知等邊三角形的邊長為6，則此三角形的面積為（）A．18 B．9 C．6 D．1812．如圖所示，在等邊三角形ABC中，AD⊥BC，E為AD上一點，∠CED＝50°，則∠ABE等于（）A．10° B．15° C．20° D．25°13．已知：等邊三角形的邊長為6cm，則一邊上的高為（）A． B．2 C．3 D．14．如圖，AE∥BD，△ABC為等邊三角形，若∠CBD＝15°，則∠EAC的度數(shù)是（）A．60° B．45° C．55° D．75°15．如圖，等邊三角形ABC的周長為18，則BC邊上的高AD的長為（）A．3 B．3 C．6 D．616．如圖，直線l1∥l2，將等邊三角形如圖放置若∠α＝25°，則∠β等于（）A．35° B．30° C．25° D．20°17．如圖，直線a∥b，等邊三角形ABC的頂點B在直線b上，若∠1＝34°，則∠2等于（）A．84° B．86° C．94° D．96°18．將等邊三角形如圖放置，a∥b，∠1＝35°，則∠2＝（）A．20° B．25° C．30° D．35°19．三個等邊三角形的擺放位置如圖，若∠3＝60°，則∠1+∠2的度數(shù)為（）A．90° B．120° C．270° D．360°20．如圖，在等邊△ABC中，D是AB的中點，DE⊥AC于E，EF⊥BC于F，已知AB＝8，則BF的長為（）A．3 B．4 C．5 D．621．如圖，已知△ABC為等邊三角形，BD為中線，延長BC至E，使CE＝CD，連接DE，則∠BDE的度數(shù)為（）A．105° B．120° C．135° D．150°22．如圖，AD是等邊△ABC的中線，AE＝AD，則∠EDC的度數(shù)為（）A．30° B．20° C．25° D．15°23．如圖，過邊長為1的等邊△ABC的邊AB上一點P，作PE⊥AC于E，Q為BC延長線一點，當PA＝CQ時，連結(jié)PQ交AC于D，則DE的長為（）A． B． C． D．24．如圖，在等邊△ABC中，BD平分∠ABC交AC于點D，過點D作DE⊥BC于點E，且CE＝1.5，則AB的長為（）A．3 B．4.5 C．6 D．7.525．如圖，△ABC是等邊三角形，AQ＝PQ，PR⊥AB于點R，PS⊥AC于點S，PR＝PS，則下列結(jié)論：①點P在∠A的角平分線上；②AS＝AR；③QP∥AR；④△BRP≌△QSP．正確的有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個26．如圖，△ABC是等邊三角形，點P是三角形內(nèi)的任意一點，PD∥AB，PE∥BC，PF∥AC，若△ABC的周長為12，則PD+PE+PF＝（）A．12 B．8 C．4 D．327．如圖所示，△ABC是等邊三角形，且BD＝CE，∠1＝15°，則∠2的度數(shù)為（）A．15° B．30° C．45° D．60°28．用反證法證明“在一個三角形中，至少有一個內(nèi)角小于或等于60°”時應假設（）A．三角形中有一個內(nèi)角小于或等于60° B．三角形中有兩個內(nèi)角小于或等于60° C．三角形中有三個內(nèi)角小于或等于60° D．三角形中沒有一個內(nèi)角小于或等于60°29．用反證法證明“a＞0”時，應先假設結(jié)論的反面，下列假設正確的是（）A．a(chǎn)＜0 B．a(chǎn)＝0 C．a(chǎn)≠0 D．a(chǎn)≤030．如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠APB≠∠APC，求證：PB≠PC，當用反證法證明時，第一步應假設（）A．AB≠AC B．PB＝PC C．∠APB＝∠APC D．∠B≠∠C31．用反證法證明命題“三角形中必有一個內(nèi)角小于或等于60°”時，首先應該假設（）A．三角形中每個內(nèi)角都大于60° B．三角形中至少有一個內(nèi)角大于60° C．三角形中每個內(nèi)角都大于或等于60° D．三角形中每一個內(nèi)角都小于成等于60°32．用反證法證明命題“一個三角形中至多有一個角是直角”，應先假設這個三角形中（）A．至少有兩個角是直角 B．沒有直角 C．至少有一個角是直角 D．有一個角是鈍角，一個角是直角33．用反證法證明命題“三角形中至少一個內(nèi)角不大于60°，首先應假設這個三角形中（）A．沒有一個角不小于60° B．沒有一個角不大于60° C．所有內(nèi)角不大于60° D．所有內(nèi)角不小于60°34．已知五個正數(shù)的和等于1，用反證法證明：這五個正數(shù)中至少有一個大于或等于，先要假設這五個正數(shù)（）A．都大于 B．都小于 C．沒有一個小于 D．沒有一個大于35．用反證法證明“a≥b”，對于第一步的假設，下列正確的是（）A．a(chǎn)≤b B．a(chǎn)≠b C．a(chǎn)＜b D．a(chǎn)＝b36．用反證法證明命題“四邊形中至少有一個角是鈍角或直角”時，應（）A．假設四邊形ABCD中沒有一個角是鈍角或直角 B．.假設四邊形ABCD中至少有一個角是鈍角或直角 C．假設四邊形ABCD中最多有一個角是鈍角或直角 D．假設四邊形ABCD中沒有一個角是銳角二．填空題（共8小題）37．等邊△ABC中，BC＝2，則△ABC的面積為_____．38．如圖，在正△ABC中，點D在邊AB上，點E在邊AC上，將△ADE折疊，使點A落在BC邊上的點F處，則∠BDF+∠CEF＝_____．39．如圖，已知∠AOB＝α（0°＜α＜60°），射線OA上一點M，以OM為邊在OA下方作等邊△OMN，點P為射線OB上一點，若∠MNP＝α，則∠OMP＝_____．40．如圖，在△ABC中，∠ABC＝60°，AB＝AC，AD⊥BC，垂足為D，點E在線段AD上，∠BEC＝90°，則∠ACE等于_____．41．如圖，點D、E分別在等邊△ABC的邊AB、BC上，將△BDE沿直線DE翻折，使點B落在B1處，DB1、EB1分別交邊AC于點F、G．若∠ADF＝80°，則∠CEG＝_____．42．如圖所示，△ABC是等邊三角形，BC⊥CD且AC＝CD，則∠BAD＝_____．43．已知等邊三角形的高為2，則它的邊長為_____．44．如圖，已知等邊三角形ABC紙片，點E在AC邊上，點F在AB邊上，沿EF折疊，使點A落在BC邊上的點D的位置，且ED⊥BC，則∠EFD＝_____．三．解答題（共6小題）45．如圖，△ABC是等邊三角形，AD為中線，AD＝AE，E在AC上，求∠EDC的度數(shù)．46．如圖，△ABC是等邊三角形，點D在BC上，△ADE是等腰三角形，AD＝AE，∠DAE＝100°，當DE⊥AC時，求∠BAD和∠EDC的度數(shù)．47．如圖，△ABC是等邊三角形，D、E、F分別是AB、BC、AC上一點，且∠DEF＝60°．（1）若∠1＝50°，求∠2；（2）連接DF，若DF∥BC，求證：∠1＝∠3．48．證明：在一個三角形中，至少有一個內(nèi)角小于或等于60度．49．利用反證法求證：一個三角形中不能有兩個角是鈍角．50．如圖，在△ABC中，AB＝AC，P是△ABC內(nèi)的一點，且∠APB＞∠APC，求證：PB＜PC（反證法）

等邊三角形及反證法參考答案與試題解析一．選擇題（共36小題）1．解：設BD＝x，則CD＝20﹣x，∵△ABC是等邊三角形，∴∠B＝∠C＝60°，∴∠BDE＝30°，∠CDF＝30°，∴BE＝BD＝，同理可得，CF＝，∴BE+CF＝+＝6，故選：A．2．解：在AC上截取CN＝AE，連接FN，如圖所示：∵△ABC是等邊三角形，∴∠A＝60°，AB＝AC，∵BD＝2AE，∴AD＝EN，∵△DEF是等邊三角形，∴DE＝EF，∠DEF＝60°，∵∠ADE＝180°﹣∠A﹣∠AED＝180°﹣60°﹣∠AED＝120°﹣∠AED，∠NEF＝180°﹣∠DEF﹣∠AED＝180°﹣60°﹣∠AED＝120°﹣∠AED，∴∠ADE＝∠NEF，在△ADE和△NEF中，，∴△ADE≌△NEF（SAS），∴AE＝FN，∠FNE＝∠A＝60°，∴FN＝CN，∴∠NCF＝∠NFC，∵∠FNE＝∠NCF+∠NFC＝60°，∴∠NCF＝30°，即∠ECF＝30°，故選：A．3．解：∵△ABC是等邊三角形，∴∠B＝60°，∵DE∥AB，∴∠EDC＝∠B＝60°，∵EF⊥DE，∴∠DEF＝90°，∴∠F＝30°，∵∠ACB＝∠EDC＝60°，∴△DEC是等邊三角形，∴ED＝DC＝BC﹣BD＝5﹣2＝3，∵∠DEF＝90°，∠F＝30°，∴DF＝2DE＝6．故選：B．4．解：如圖，∵a∥b∥c，∴∠ACE＝∠α，∵△ABC是等邊三角形，∴∠ACB＝60°，∴∠α＝∠ACE＝∠ACB+∠BCE＝60°+20°＝80°，故選：D．5．解：∵△ABC是等邊三角形，∴AB＝AC，∠C＝60°，∵DE⊥BC，∴∠DEC＝90°，∴CD＝2CE＝6，∵點D是AC的中點，∴AC＝2CD＝12，∴AB＝AC＝12，故選：B．6．解：∵△ABC為等邊三角形，∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠AED＝∠B＝∠C＝60°，∴△ADE為等邊三角形，∵AB＝10，BD＝6，∴AD＝AB﹣BD＝10﹣6＝4，∴△ADE的周長為12．故選：D．7．解：用反證法證明命題“在△ABC中，∠B≠∠C，那么AB≠AC”的過程中，第一步應是假設AB＝AC．故選：A．8．解：∵△ABC是等邊三角形，∴∠A＝60°，AB＝BC＝AC，∵DE⊥AC，∴∠AED＝90°，∴∠ADE＝30°∵AE＝1，∴AD＝2AE＝2，故選項A，B正確，∵AD＝DB＝2，∴AB＝BC＝AC＝4，∴△ABC的周長為12，故選項C錯誤．∵EF∥AB，∴∠CEF＝∠A＝60°，∠EFC＝∠B＝60°，∴△EFC是等邊三角形，∴△EFC的周長＝3×（4﹣1）＝9，故選項D正確，故選：C．9．解：∵△ABC是等邊三角形，∴AB＝AC，∵D為BC的中點，∴BD＝DC，AD⊥BC，∴S△CDE＝S△BDE，∵△CDE的面積等于1，∴△BEC的面積＝1+1＝2，故選：A．10．解：∵△ABC是等邊三角形，∴∠ABC＝60°，AB＝BC，∵BC＝BD，∴AB＝BD，∴∠BAD＝∠BDA＝20°，∴∠ABD＝180°﹣20°﹣20°＝140°，∴∠CBD＝80°，∴∠BCD＝∠BDC＝（180°﹣80°）＝50°，故選：A．11．解：過A作AD⊥BC于D，∵△ABC是等邊三角形，∴BD＝CD＝BC＝＝3，在Rt△ADB中，由勾股定理得：AD＝＝＝3，∴等邊△ABC的面積＝×BC?AD＝×6×3＝9，故選：B．12．解：∵在等邊三角形ABC中，AD⊥BC，∴AD是BC的線段垂直平分線，∵E是AD上一點，∴EB＝EC，∴∠EBD＝∠ECD，∵∠CED＝50°，∴∠ECD＝40°，又∵∠ABC＝60°，∠ECD＝40°，∴∠ABE＝60°﹣40°＝20°，故選：C．13．解：根據(jù)等邊三角形：三線合一，所以它的高為：＝3，故選：C．14．解：如圖，延長AC交BD于H．∵△ABC是等邊三角形，∴∠ACB＝60°，∵∠ACB＝∠CBD+∠CHB，∠CBD＝15°，∴∠CHB＝45°，∵AE∥BD，∴∠EAC＝∠CHB＝45°，故選：B．15．解：∵△ABC是等邊三角形，∴AB＝BC＝AC＝×18＝6，∠B＝60°，∵AD⊥BC，∴BD＝CD＝3，∴AD＝＝3，故選：B．16．解：過點B作BD∥l1，如圖，則∠ABD＝∠β．∵l1∥l2，∴BD∥l2，∵∠DBC＝∠α＝35°．∵△ABC是等邊三角形，∴∠ABC＝60°，∴∠β＝∠ABD＝∠ABC﹣∠DBC＝60°﹣25°＝35°．故選：A．17．解：∵∠3＝∠1＝34°，∵△ABC是等邊三角形，∴∠A＝60°，∴∠4＝∠A+∠3＝94°，∵直線a∥b，∴∠2＝∠4＝94°，故選：C．18．解：過點A作AD∥a，如圖，則AD∥b，∴∠BAD＝∠1＝35°．∵a∥b，∴AD∥b，∵∠DAC＝∠2，∵△ABC是等邊三角形，∴∠BAC＝60°，∴∠2＝∠DAC＝∠BAC﹣∠DAB＝60°﹣35°＝25°．故選：B．19．解：∵圖中是三個等邊三角形，∠3＝60°，∴∠ABC＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∠ACB＝180°﹣60°﹣∠2＝120°﹣∠2，∠BAC＝180°﹣60°﹣∠1＝120°﹣∠1，∵∠ABC+∠ACB+∠BAC＝180°，∴60°+（120°﹣∠2）+（120°﹣∠1）＝180°，∴∠1+∠2＝120°．故選：B．20．解：∵在等邊△ABC中，D是AB的中點，AB＝8，∴AD＝4，AC＝8，∠A＝∠C＝60°，∵DE⊥AC于E，EF⊥BC于F，∴∠AFD＝∠CFE＝90°，∴AE＝AD＝2，∴CE＝8﹣2＝6，∴CF＝CE＝3，∴BF＝5，故選：C．21．解：∵△ABC為等邊三角形，BD為中線，∴∠BDC＝90°，∠ACB＝60°∴∠ACE＝180°﹣∠ACB＝180°﹣60°＝120°，∵CE＝CD，∴∠CDE＝∠CED＝30°，∴∠BDE＝∠BDC+∠CDE＝90°+30°＝120°，故選：B．22．解：∵AD是等邊△ABC的中線，∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD＝∠BAC＝×60°＝30°，∴∠ADC＝90°，∵AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED＝＝75°，∴∠EDC＝∠ADC﹣∠ADE＝90°﹣75°＝15°．故選：D．23．解：過P作PF∥BC交AC于F．如圖所示：∵PF∥BC，△ABC是等邊三角形，∴∠PFD＝∠QCD，△APF是等邊三角形，∴AP＝PF＝AF，∵PE⊥AC，∴AE＝EF，∵AP＝PF，AP＝CQ，∴PF＝CQ．∵在△PFD和△QCD中，，∴△PFD≌△QCD（AAS），∴FD＝CD，∵AE＝EF，∴EF+FD＝AE+CD，∴AE+CD＝DE＝AC，∵AC＝1，∴DE＝．故選：A．24．解：∵△ABC是等邊三角形，∴∠ABC＝∠C＝60°，AB＝BC＝AC，∵DE⊥BC，∴∠CDE＝30°，∵EC＝1.5，∴CD＝2EC＝3，∵BD平分∠ABC交AC于點D，∴AD＝CD＝3，∴AB＝AC＝AD+CD＝6．故選：C．25．解：∵△ABC是等邊三角形，PR⊥AB，PS⊥AC，且PR＝PS，∴P在∠A的平分線上，故①正確；由①可知，PB＝PC，∠B＝∠C，PS＝PR，∴△BPR≌△CPS，∴AS＝AR，故②正確；∵AQ＝PQ，∴∠PQC＝2∠PAC＝60°＝∠BAC，∴PQ∥AR，故③正確；由③得，△PQC是等邊三角形，∴△PQS≌△PCS，又由②可知，④△BRP≌△QSP，故④也正確，∵①②③④都正確，故選：D．26．解：延長EP、FP分別交AB、BC于G、H，則由PD∥AB，PE∥BC，PF∥AC，可得，四邊形PGBD，EPHC是平行四邊形，∴PG＝BD，PE＝HC，又△ABC是等邊三角形，又有PF∥AC，PD∥AB可得△PFG，△PDH是等邊三角形，∴PF＝PG＝BD，PD＝DH，又△ABC的周長為12，∴PD+PE+PF＝DH+HC+BD＝BC＝×12＝4，故選：C．27．解：在△ABD和△BCE中，，∴△ABD≌△BCE，∴∠1＝∠CBE，∵∠2＝∠1+∠ABE，∴∠2＝∠CBE+∠ABE＝∠ABC＝60°．故選：D．28．解：用反證法證明“在一個三角形中，至少有一個內(nèi)角小于或等于60°”時，第一步應先假設三角形中沒有一個內(nèi)角小于或等于60°，故選：D．29．解：用反證法證明“a＞0”時，應先假設a≤0．故選：D．30．解：假設結(jié)論PB≠PC不成立，即：PB＝PC成立．故選：B．31．解：用反證法證明“三角形中必有一個內(nèi)角小于或等于60°”時，應先假設三角形中每一個內(nèi)角都不小于或等于60°，即每一個內(nèi)角都大于60°．故選：A．32．解：用反證法證明“一個三角形中不能有兩個角是直角”，應先假設這個三角形中有兩個角是直角．故選：A．33．解：反證法證明命題“三角形中至少有一個角不大于60°”時，首先應假設這個三角形中沒有一個角不大于60°，故選：B．34．解：已知五個正數(shù)的和等于1，用反證法證明這五個正數(shù)中至少有一個大于或等于，先要假設這五個正數(shù)都小于，故選：B．35．解：反證法證明“a≥b”，第一步是假設，a＜b，故選：C．36．解：假設正確的是：假設四邊形ABCD中沒有一個角是鈍角或直角．故選：A．二．填空題（共8小題）37．解：如圖，過A作AD⊥BC于D，∵△ABC是等邊三角形，∴∠BAC＝60°，AB＝BC＝2，∵AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∠BAD＝30°，∴AD＝AB＝，∴△ABC的面積為2×＝，故答案為：．38．解：∵△ABC為正三角形∴∠A＝∠B＝∠C＝60°∵折疊∴△ADE≌△FDE∴∠DFE＝∠A＝60°∵∠B+∠BDF+∠BFD＝180°，∠DFE+∠BFD+∠CFE＝180°∴∠BDF+∠BFD＝120°，∠BFD+∠CFE＝120°∴∠BDF＝∠CFE∵∠CFE+∠CEF+∠C＝180°∴∠CFE+∠CEF＝120°∴∠BDF+∠CEF＝120°故答案為：120°．39．解：（1）當P位于MN左側(cè)時，如圖1，∵△OMN是等邊三角形，∴MN＝MO＝ON，∠MON＝∠MNO＝60°，∵∠MNP＝∠AOB＝α，∴∠PON＝∠PNO，∴PO＝PN，△MPO≌△MPN，（SAS）∴∠OMP＝∠NMP＝∠OMN＝×60°＝30°（2）當P位于MN右側(cè)時，如圖2，將△MNP繞著點M順時針旋轉(zhuǎn)60°得到△MOQ，此時△MPQ是等邊三角形，∴∠MPQ＝60°，∴∠OMP＝180°﹣∠MPQ﹣∠MOP＝180°﹣60°﹣α＝120°﹣α，故答案為：30°或120°﹣α．40．解：∵等邊三角形ABC中，AD⊥BC，∴BD＝CD，即：AD是BC的垂直平分線，∵點E在AD上，∴BE＝CE，∴∠EBC＝∠ECB，∵∠EBC＝45°，∴∠ECB＝45°，∵△ABC是等邊三角形，∴∠ACB＝60°，∴∠ACE＝∠ACB﹣∠ECB＝15°，故答案為：15°41．解：由翻折可得∠BDE＝∠EDF，∠BED＝∠DEG∵∠ADF＝80°∴∠BDE＝∠EDF＝50°∴∠B＝60°∴∠BED＝∠DEG＝70°∴∠CEG＝180°﹣70°﹣70°＝40°故答案為：40°42．解：∵△ABC是等邊三角形，∴∠BAC＝∠ACB＝60°，∵BC⊥CD，∴∠BCD＝90°，∴∠ACD＝60°+90°＝150°，∵AC＝CD，∴∠DAC＝＝15°，∴∠BAD＝60°﹣15°＝45°．故答案為：45°．43．解：如圖，∵△ABC是等邊三角形，∴∠B＝60°，AB＝BC＝AC