6.7 角的和差（7大題型）（分層練習）（解析版）

第6章圖形的初步認識6.7角的和差（7大題型）分層練習題型目錄考查題型一與方向角有關(guān)的計算題考查題型二三角板中角度計算問題考查題型三幾何圖形中角度計算問題考查題型四角度的四則運算考查題型五實際問題中角度計算問題考查題型六角平分線的有關(guān)計算考查題型七角n等分線的有關(guān)計算考查題型一與方向角有關(guān)的計算題1．如圖，是北偏東30°方向的一條射線，若，則的方位角是（

）

A．北 B．北偏西60° C．北偏東30° D．北偏東60°【答案】B【分析】根據(jù)方向角的定義可得：，然后利用角的和差關(guān)系可求出，從而根據(jù)方向角的定義，即可解答．【詳解】解：如圖：

由題意得：，，，的方位角是北偏西，故選：B．【點睛】本題考查了方向角，熟練掌握方向角的定義是解題的關(guān)鍵．2．已知、兩地的位置如圖所示，且，那么地在地的（

）

A．西偏北方向 B．南偏東方向C．北偏東方向 D．東偏北方向【答案】C【分析】利用，得出∠1的度數(shù)，進而求出B地與A地的位置關(guān)系．【詳解】解：如圖，

∵，∴，∴B地在A地的北偏東方向．故選：C．【點睛】本題考查的是方向角的概念，熟知方向角的描述方法是解答此題的關(guān)鍵．3．如圖，在燈塔O處觀測到輪船A位于北偏西的方向，同時輪船B在南偏東的方向，那么的大小為．

【答案】/143度【分析】利用方向角的定義求解即可．【詳解】

∵A在北偏西，∴，∴，∵B在南偏東，∴，∴．故答案為：．【點睛】本題主要考查了方向角，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意找出圖中角的度數(shù)．4．如圖，某海域有三個小島A，B，O，在小島O處觀測小島A在它北偏東的方向上，小島B在它南偏東，則的度數(shù)是．

【答案】【分析】根據(jù)方位角的表示可知，計算即可得出結(jié)果．【詳解】解：∵在小島O處觀測小島A在它北偏東的方向上，小島B在它南偏東，∴，故答案為：．【點睛】本題考查了方位角及其計算，掌握方位角的概念是解題的關(guān)鍵．5．如圖，貨輪在航行的過程中，同時發(fā)現(xiàn)燈塔和輪船，燈塔在貨輪的北偏東，則輪船在貨輪的北偏西多少度？

【答案】輪船B在貨輪北偏西．【分析】先求解，，可得，再根據(jù)方向角的定義即可得到結(jié)論．【詳解】解：∵燈塔A在貨輪O北偏東的方向，∴，∴，∵，∴，∴，∴輪船B在貨輪北偏西．【點睛】本題考查了方向角的定義，角的和差運算，理解方向角的定義是解題的關(guān)鍵．考查題型二三角板中角度計算問題1．將含有角的三角板和直尺按如圖方式疊放在一起，若，則度數(shù)（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)條件可得，再根據(jù)即可求解．【詳解】解：如圖所示，

∵，，∵，，，故選：C．【點睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，準確識圖，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．2．用一副直角三角板可以畫出一些特殊角，例如：如圖所示的的角，則下列角度不能利用這副直角三角板直接畫出的是（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】利用角的和差關(guān)系，通過計算得結(jié)論．【詳解】解：一副三角板有、、、的角，∵，，．∵用一副三角板可以畫出、、等特殊的角，不能畫出．故選：A．【點睛】本題考查了角的和差計算．能夠熟練計算角的和差度數(shù)是解決本題的關(guān)鍵．3．將一副直角三角尺如圖放置，若，則等于．

【答案】/20度【分析】根據(jù)求解即可．【詳解】解：∵，∴，∴．故答案為：．【點睛】本題主要考查的是角的和差計算，明確圖形中相關(guān)角之間的和差關(guān)系是解題的關(guān)鍵．4．如圖，將一個三角板角的頂點與另一個三角板的直角頂點重合，，則．

【答案】【分析】根據(jù)題目的已知可求出的度數(shù)，再利用減去的度數(shù)即可解答．【詳解】解：，，，，，故答案為：．【點睛】本題考查了三角板中的角度計算，熟練掌握度分秒的進制是解題的關(guān)鍵．5．將一副三角板中的兩塊直角三角尺的直角頂點按如圖所示的方式疊放在一起．(1)若，則的度數(shù)為；(2)若，求的度數(shù)；(3)猜想與之間存在什么數(shù)量關(guān)系？并說明理由：【答案】(1)(2)(3)，理由見解析【分析】本題考查了角的和與差，能夠根據(jù)圖形正確表示兩個角的和與差是解題關(guān)鍵．（1）根據(jù)和的度數(shù)，求得的度數(shù)，再根據(jù)求得的度數(shù)；（2）根據(jù)和的度數(shù)，求得的度數(shù)，再根據(jù)求得的度數(shù)；（3）根據(jù)以及，進行計算即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：由題意可得：，∵，∴，∵，∴；故答案為：；（2）解：∵，∴，∴；（3）解：猜想：，理由如下：∵，又∵，∴，即．考查題型三幾何圖形中角度計算問題1．如圖，將一張長方形紙的一角斜折過去，使頂點A落在處，為折痕，若為的平分線，則的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】利用角平分線的性質(zhì)和平角的定義計算．【詳解】解：如圖，

∵頂點A落在處，，又為的平分線，，，，．故選：B．【點睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)，角的計算的應(yīng)用，熟練掌握角平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．已知射線，由點O引射線，，則的度數(shù)是（

）A． B． C．或 D．或【答案】D【分析】有兩種情況：在的內(nèi)部和外部，畫出圖形，即可得出結(jié)果．【詳解】解：如圖

由題意知；∴的值為或．故選：D．【點睛】本題考查了角的計算．解題的關(guān)鍵在于考慮的位置．3．已知，從的頂點O作射線，若，那么的度數(shù)為．【答案】或【分析】本題考查角的和差計算．分射線在的上方和下方，兩種情況，進行討論求解即可．正確的畫出圖形，利用數(shù)形結(jié)合和分類討論的思想，進行求解，是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵，∴，當射線在的上方：如圖：

則：；當射線在的下方時，如圖：

則：；綜上：，．故答案為：或．4．如圖，用量角器度量，可以讀出的度數(shù)為．【答案】/度【分析】本題主要考查了角的度量，角度的和差關(guān)系，根據(jù)的度數(shù)為，即可求解．【詳解】解：依題意，故答案為：．5．如圖，已知是直角，在的外部，且平分，平分．

(1)若，求的度數(shù)；(2)若，求的度數(shù)．【答案】(1)(2)【分析】（1）先利用求出的度數(shù)，角平分線求出的度數(shù)，再利用，計算即可；（2）先利用，求出的度數(shù)，角平分線求出的度數(shù)，再利用，計算即可．【詳解】（1）解：因為是直角，，所以．因為平分，所以．因為平分，所以，所以．（2）因為，是直角，所以．因為平分，所以，所以．【點睛】本題考查與角平分線有關(guān)的計算．正確的識圖，理清角度之間的和差，倍數(shù)關(guān)系，是解題的關(guān)鍵．考查題型四角度的四則運算1．將轉(zhuǎn)化為度分秒的形式為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)，進行換算即可得到答案．【詳解】解：，，，故選：B．【點睛】本題考查了度、分、秒之間的換算，熟練掌握，是解題的關(guān)鍵．2．如圖，點在直線上，若，則的度數(shù)是（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】利用平角定義可得，然后再利用度分秒的進制進行計算即可解答．【詳解】】解：∵，∴，故選：C．【點睛】本題考查了度分秒的換算，角的計算，熟練掌握平角定義是解題的關(guān)鍵．3．計算：．【答案】【分析】根據(jù)角度的運算法則計算即可【詳解】解：，故答案為：．【點睛】本題考查了角度的計算與換算，解題關(guān)鍵是掌握．4．計算：（1）；

（2）；（3）；

（4）．【答案】【分析】根據(jù)度、分、秒的運算法則進行計算即可．【詳解】（1）；（2）；（3）；（4）．故答案為：，，，．【點睛】本題主要考查了度、分、秒的運算，熟練掌握運算法則，是解題的關(guān)鍵．5．計算：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)．【答案】(1)(2)(3)(4)(5)(6)【分析】（1）根據(jù)角度的加法運算法則進行計算即可；（2）根據(jù)角度的減法運算法則進行計算即可；（3）根據(jù)角度的乘法運算法則進行計算即可；（4）根據(jù)角度的除法運算法則進行計算即可；（5）根據(jù)角度的加法運算法則進行計算即可；（6）根據(jù)角度的乘法運算法則進行計算即可．【詳解】（1）解：；（2）解：；（3）解：；（4）解：；（5）解：；（6）解：．【點睛】本題主要考查了角度的運算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握度、分、秒之間的換算關(guān)系，，．考查題型五實際問題中角度計算問題1．入射光線和平面鏡的夾角為40°，轉(zhuǎn)動平面鏡，使入射角減小20°，反射光線與入射光線的夾角和原來相比較將（）A．減小40° B．增大40° C．減小20° D．不變【答案】A【分析】分別求出平面鏡轉(zhuǎn)動前后反射光線與入射光線的夾角，再對兩者進行比較即可得到解答．【詳解】解：入射光線與平面鏡的夾角是40°，所以入射角為90°?40°=50°．根據(jù)光的反射定律，反射角等于入射角，反射角也為50°，所以入射光線與反射光線的夾角是100°．入射角減小20°，變?yōu)?0°?20°=30°，所以反射角也變?yōu)?0°，此時入射光線與反射光線的夾角為60°．則反射光線與入射光線間的夾角和原來比較將減小40°．故選：A．【點睛】本題考查角度與光反射的綜合應(yīng)用，熟練掌握光的反射規(guī)律及角度的計算方法是解題關(guān)鍵．2．據(jù)中國載人航天工程辦公室消息，北京時間2021年12月9日15點40分，“天宮課堂”第一課正式開講．在時刻15：40時，時鐘上的時針與分針之間所成的夾角是（

）A．150° B．120° C．130° D．140°【答案】C【分析】根據(jù)時鐘上一大格是，時針1分鐘轉(zhuǎn)進行計算即可．【詳解】解：由題意得：，在時刻時，時鐘上的時針與分針之間所成的夾角是：，故選：C．【點睛】本題考查了方向角，解題的關(guān)鍵是熟練掌握時鐘上一大格是，時針1分鐘轉(zhuǎn)．3．已知，都是鈍角，甲，乙，丙，丁四位同學計算的結(jié)果依次是50°，26°，72°，90°，其中計算結(jié)果正確的同學是：．【答案】甲【分析】根據(jù)鈍角的取值范圍，得到兩個鈍角和的取值范圍，除以6后看所給的哪個角在這個范圍內(nèi)即可．【詳解】解：∵，都是鈍角，∴，，∴，∴，∴算得正確的是甲．故答案為：甲．【點睛】本題主要考查了角的有關(guān)計算的應(yīng)用，解決本題的關(guān)鍵是得到所求角的取值范圍．4．我們將圓形鐘面的時針和分針看作是兩條從圓心發(fā)出的射線，當時針和分針夾角180度時形成一條直線，這條直線剛好平分鐘面，我們將這樣的時刻稱為“平衡時刻”，如圖，6點整就是一個平衡時刻，請問從0時到24時共有個平衡時刻．【答案】24【分析】由題意易得每小時會出現(xiàn)一次時針與分針的夾角為180°的時刻，由此問題可求解．【詳解】解：∵每小時會出現(xiàn)一次時針與分針的夾角為180°的時刻，∴24×1=24（次），即從0時到24時共有24個平衡時刻；故答案為24．【點睛】本題主要考查鐘面上的角度問題，熟練掌握鐘面上的角度問題是解題的關(guān)鍵．5．如圖，直線，交于點，將一個三角板的直角頂點放置于點處，使其兩條直角邊分別位于的兩側(cè)．若剛好平分，，求的度數(shù)．【答案】【分析】設(shè)∠COE=α，則∠BOE=2α，∠BOC=3α，依據(jù)角平分線即可得出∠BOC=∠BOF=45°+α，求得α的值，即可得到∠BOC的度數(shù)，進而得到∠BOD的度數(shù)．【詳解】解：設(shè)，則，，∵，∴，又∵平分，∴，∴，解得，∴，∴．【點睛】本題主要考查了角平分線的定義，利用角的和差關(guān)系進行計算是解決問題的關(guān)鍵．考查題型六角平分線的有關(guān)計算1．如圖，已知是直線上一點，，平分，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先根據(jù)平角的概念求出，再根據(jù)角平分線定義計算即可．【詳解】解：∵，∴，∵平分，∴，故選：C．【點睛】本題考查了角平分線定義，熟知角的平分線將角分成相等的兩部分是解題的關(guān)鍵．2．如圖，，平分，若，則（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)角平分線的定義可得，即，根據(jù)等角的余角相等，可得，則，根據(jù)已知條件，即可求解．【詳解】解：∵平分，∴，∴∵，∴∴，∴，∵∴∴，故選：A．【點睛】本題考查了角平分線的定義，等角的余角相等，求一個角的余角，數(shù)形結(jié)合得出是解題的關(guān)鍵．3．如圖，是直角，平分，平分，，則的度數(shù)為．【答案】【分析】根據(jù)角平線的定義可知，進而可求得的度數(shù)，根據(jù)角平線的定義可求得，進而可求得答案．【詳解】∵平分，∴．∴．∵平分，∴．∴．故答案為：．【點睛】本題主要考查角平分線，牢記角平分線的定義是解題的關(guān)鍵．4．已知是的平分線，，∠的平分線，則∠的度數(shù)為．【答案】或【分析】試題分析：由于與的位置關(guān)系不能確定，故應(yīng)分在內(nèi)和在外兩種情況進行討論．【詳解】解：當與的位置關(guān)系如圖所示時，是的平分線，是的平分線，，，，，﹣﹣；當與的位置關(guān)系如圖所示時，是的平分線，是的平分線，，，，，．故答案為：或．【點睛】本題考查了角平分線的定義，分類討論是解題的關(guān)鍵．5．如圖所示，已知點A、O、E在同一直線上，平分，，，求的度數(shù)．

【答案】【分析】首先根據(jù)角平分線的概念得到，然后利用平角的概念求解即可．【詳解】∵平分，∴∵∴．【點睛】本題考查了角的計算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握角平分線的性質(zhì)和角的和差計算．考查題型七角n等分線的有關(guān)計算1．如圖，∠AOB＝∠BOD，OC平分∠AOD，下列四個等式中正確的是（）①∠BOC＝∠AOB；②∠DOC＝2∠BOC；③∠COB＝∠BOA；④∠COD＝3∠COB．A．①② B．②③ C．③④ D．①④【答案】C【分析】根據(jù)∠AOB＝∠BOD，OC平分∠AOD，得到∠AOB=∠AOD，∠AOC=∠DOC=∠AOD，進而得到∠BOC=∠AOB，∠DOC＝3∠BOC從而判斷出①②錯誤，③④正確．【詳解】解：因為∠AOB＝∠BOD，所以∠AOB=∠AOD，因為OC平分∠AOD，所以∠AOC=∠DOC=∠AOD，所以∠BOC=∠AOC－∠AOB＝∠AOD－∠AOD=∠AOD=∠AOB，故①錯誤，③正確；因為∠DOC=∠AOD，∠BOC=∠AOD，所以∠DOC＝3∠BOC故②錯誤，④正確．【點睛】本題考查了角的和差倍數(shù)關(guān)系，根據(jù)題意表示∠AOB=∠AOD，∠AOC=∠DOC=∠AOD，進而根據(jù)角的關(guān)系即可作出判斷．2．如圖，已知射線OC平分∠AOB，射線OD，OE三等分∠AOB，又OF平分∠AOD，圖中等于∠BOE的角共有()A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【分析】根據(jù)角平分線的定義和三等分線分析求解即可.【詳解】解：∵射線OD，OE三等分∠AOB，∴∵OF平分∠AOD，OC平分∠AOB，∴又∵射線OD，OE三等分∠AOB，∴∴,共3個故選C.【點睛】利用角平分線和角的三等分點證明角的等量關(guān)系是本題的解題關(guān)鍵.3．已知射線是的三等分線，射線為的平分線，若，則．【答案】或【分析】根據(jù)三等分線的定義可得或，畫出圖形，進行分類討論即可．【詳解】解：∵射線是的三等分線，∴或，當時，如圖：∵，，∴，∵射線為的平分線，∴，∴；

當時，如圖：∵，，∴，∵射線為的平分線，∴，∴；

故答案為：或．【點睛】本題主要考查了角的三等分線和角平分線，解題的關(guān)鍵是掌握角的三等分線有兩條．4．定義：從一個角的頂點出發(fā)，把這個角分成兩個部分的射線，叫做這個角的三分線，一個角的三分線有兩條．如圖1，，則OB是的一條三分線．（1）如圖1，若，則；（2）如圖2，若，，是的兩條三分線，且．①則；②若以點為中心，將順時針旋轉(zhuǎn)（）得到，當恰好是的三分線時，的值為．【答案】/度/度或【分析】（1）根據(jù)三分線的定義計算即可；（2）①根據(jù)三分線的定義計算即可；②根據(jù)三分線的定義可得，由旋轉(zhuǎn)得，然后分兩種情況：當是的三分線，且時；當是的三分線，且時，分別求出和的值即可．【詳解】（1）解：∵，則是的一條三分線．∵∴,故答案為：（2）①∵，是的兩條三分線，，∴，故答案為：；②∵，，是的兩條三分線，∴，由旋轉(zhuǎn)得：，分兩種情況：當是的三分線，且時，可得，∴，∴，即；當是的三分線，且時，可得，∴，即；故答案為：或．【點睛】本題屬于新定義類型的問題，主要考查了角的計算，解決問題的關(guān)鍵是掌握角的三分線的定義，解題時注意分類思想的運用，分類時不能重復，也不能遺漏．5．如圖，已知點O為直線上一點，，是的平分線．

(1)如圖1，若，求的度數(shù)；(2)如圖2，是的平分線，求的度數(shù)；(3)在（2）的條件下，是的一條三等分線，若，求的度數(shù)．【答案】(1)(2)(3)或【分析】（1）由互余得度數(shù)，進而由角平分線得到度數(shù)，根據(jù)可得度數(shù)；（2）由角平分線得出，，繼而由得出結(jié)論．（3），結(jié)合已知和可求，再由，再根據(jù)是的一條三等分線，分兩種情況來討論，即可解答．【詳解】（1）解：，，，是的平分線，，；答：的度數(shù)為．（2）解：是的平分線．，是的平分線，，，，答：的度數(shù)為．（3）解：由（2）得，，又，，，，，，，當，，；當，，【點睛】本題考查了角平分線的定義、平角的定義及角的和與差，能根據(jù)圖形確定所求角和已知各角的關(guān)系是解此題的關(guān)鍵．1．（2022上·湖北宜昌·七年級統(tǒng)考期末）如圖，在一條直線上，分別是的角平分線，則的度數(shù)是（

）

A． B． C． D．不確定【答案】B【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得，，再結(jié)合，即可獲得答案．【詳解】解：∵分別是的角平分線，∴，，∵在一條直線上，∴，∴．故選：B．【點睛】本題主要考查了補角、角平分線等知識，熟練掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．2．（2022上·河北秦皇島·七年級統(tǒng)考開學考試）輪船向北偏東航行，因有緊急任務(wù)，按順時針方向調(diào)頭去執(zhí)行任務(wù)，那么這時輪船的航行方向是（

）A．南偏東 B．南偏東 C．北偏西 D．北偏西【答案】A【分析】根據(jù)方向角的定義即可作出判斷．【詳解】如圖，設(shè)射線為輪船原來航行方向，射線為順時針方向調(diào)頭后的方向，

則，，∴∴射線表示方向為南偏東．故選：A【點睛】本題考查方向角與角的和與差，解題的關(guān)鍵是理解方向角的定義．3．（2023下·山東青島·六年級統(tǒng)考期中）如圖，學校A在小明家B北偏東的方向上，點C表示超市所在的位置，，則超市C在小明家B的（）

A．北偏西的方向上 B．北偏西的方向上C．南偏西的方向上 D．南偏東的方向上【答案】B【分析】根據(jù)題意可得：，然后利用角的和差關(guān)系可得，再根據(jù)方向角的定義即可解答．【詳解】解：如圖，

∵學校A在小明家B北偏東的方向上，∴，∵，∴，∴超市C在小明家B的北偏西的方向上，故選：B．【點睛】此題主要考查了方向角的定義，正確根據(jù)圖形得出的度數(shù)是解題關(guān)鍵．4．（2023上·河南駐馬店·七年級統(tǒng)考期末）如圖，已知，以點為頂點作直角，以點為端點作一條射線．通過折疊的方法，使與重合，點落在點處，所在的直線為折痕，若，則（

）．

A． B． C． D．【答案】C【分析】利用角平分線的定義求出即可解決問題．【詳解】解：平分，，，，，，，故選：C．【點睛】本題考查角的和差定義，角平分線的定義等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考?？碱}型．5．（2022上·河北石家莊·七年級?？计谥校┮阎?，為的平分線，則的度數(shù)為．【答案】或【分析】分當在的外部時和內(nèi)部時，分別畫出圖形，根據(jù)角平分線的定義即可求解．根據(jù)角的和差，可得∠AOC，根據(jù)角平分線的定義，可得∠AOE，根據(jù)角的和差，可得答案．【詳解】解：如圖所示，當在的外部時，

，∵為的平分線，∴，當在的內(nèi)部時

∵為的平分線，∴，綜上所述，的度數(shù)為或，故答案為：或．【點睛】本題考查了角平分線的定義，結(jié)合圖形角度的計算，分類討論是解題的關(guān)鍵．6．（2023上·貴州貴陽·七年級統(tǒng)考期末）如圖，將一個三角板角的頂點與另一個三角板的直角頂點重合，若，則的度數(shù)是．

【答案】【分析】根據(jù)題目的已知可求出的度數(shù)，再利用減去的度數(shù)即可解答．【詳解】解：∵，，∴，∵，∴，故答案為：．【點睛】本題考查了角的和差運算，理解、、之間的關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵．7．（2023上·七年級課時練習）如圖，是的平分線，平分，且，則．

【答案】72°/72度【分析】根據(jù)角平分線的概念進行計算即可．【詳解】解：平分，，，又是的平分線，，故答案為：72°．【點睛】本題考查角平分線，理解角平分線的概念是正確計算的前提．8．（2023上·黑龍江大慶·六年級統(tǒng)考開學考試）如圖，長方形紙片，點P在邊上，點M，N在邊上，連接，．將對折，點D落在直線上的點處，得折痕；將對折，點A落在直線上的點處，得折痕．若，則．【答案】或【分析】分兩種情形：如圖1中，當點N在點M的上方時，可得，由翻折變換的性質(zhì)可知，，由可得答案；當點N在點M的上方時，設(shè)，，則可以得到，由翻折變換的性質(zhì)可知，，根據(jù)即可求解．【詳解】解：如圖1中，當點N在點M的上方時．∵，∴，由翻折變換的性質(zhì)可知，，∴，∴．當點N在點M的下方時，設(shè)，，則，由翻折變換的性質(zhì)可知，，∴．綜上所述，滿足條件的或．故答案為：或．【點睛】本題考查角的計算，翻折的性質(zhì)等知識，解題關(guān)鍵是理解題意，學會用分類討論的思想思考問題．9．（2023上·黑龍江大慶·七年級校考階段練習）如圖，O為直線上一點，，平分，平分，求的度數(shù)．【答案】【分析】由平分，平分，可得，，結(jié)合平