專題08 解答中檔題：相似三角形（解析版）

專題08解答中檔題：相似三角形1．（2023?上海）如圖，在梯形中，點(diǎn)，分別在線段，上，且，．（1）求證：；（2）若，求證：．【答案】見解析【詳解】證明：（1），，，，；（2），，，，，，，，．2．（2022?上海）如圖所示，在等腰三角形中，，點(diǎn)，在線段上，點(diǎn)在線段上，且，．求證：（1）；（2）．【答案】見解析【詳解】證明：（1），，，，即，在和中，，，；（2），，，，，，，，，，，，，，，即．3．（2020?上海）已知：如圖，在菱形中，點(diǎn)、分別在邊、上，，的延長線交的延長線于點(diǎn)，的延長線交的延長線于點(diǎn)．（1）求證：；（2）如果，求證：．【答案】見解析【詳解】（1）證明：四邊形是菱形，，，，，，，，，，．（2）證明：，，，，，，，，，，．4．（2023?楊浦區(qū)一模）已知：如圖，在中，點(diǎn)、、分別在邊、、上，，．（1）求證：；（2）聯(lián)結(jié)，如果，求證：．【答案】見解析【詳解】證明：（1）如圖：，，，，，，；（2）如圖：由（1）知，，，，，，，即，，，，．5．（2023?黃浦區(qū)二模）已知：如圖，在正方形中，點(diǎn)在對角線的延長線上，作，且，聯(lián)結(jié)．（1）求證：；（2）延長交射線于點(diǎn)，求證：．【答案】見解析【詳解】證明：（1）四邊為正方形，，，，，，即，，在和中，，，；（2）如圖，四邊為正方形，，，由（1）知，，，，，為等腰直角三角形，，，，，，，，，．6．（2023?虹口區(qū)一模）如圖，在四邊形中，對角線與交于點(diǎn)，．（1）求證：；（2）過點(diǎn)作交于點(diǎn)，求證：．【答案】見解析【詳解】證明：（1），，，，，，，，即；（2），，，，，，由（1）知，，，．7．（2023?普陀區(qū)一模）已知：如圖，在四邊形中，為上一點(diǎn)，，．（1）求證：；（2）如果、、分別是、、的中點(diǎn)，連接、、、．求證：．【答案】見解析【詳解】證明：（1）如圖1，，，，，，，，．（2）如圖2，、、分別是、、的中點(diǎn)，，，，，，，，四邊形是平行四形，，，，，，，．8．（2023?寶山區(qū)一模）已知：如圖，四邊形、都是平行四邊形，是邊的中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)并延長，分別交、于點(diǎn)、．（1）求證：；（2）聯(lián)結(jié)，如果，求證：．【答案】見解析【詳解】證明：（1）四邊形為平行四邊形，，，是邊的中點(diǎn)，，，，，，四邊形為平行四邊形，，，，，，，；（2），，，，，，，，，，，，，，．9．（2023?金山區(qū)一模）如圖，已知菱形中，點(diǎn)在邊延長線上，聯(lián)結(jié)交邊于點(diǎn)，聯(lián)結(jié)，過點(diǎn)作交于點(diǎn)．（1）求證：；（2）聯(lián)結(jié)交于點(diǎn)，聯(lián)結(jié)，當(dāng)時(shí)，求證：．【答案】見解析【詳解】證明：（1）四邊形是菱形，，，，，，，，，，；（2）連接，四邊形是菱形，垂直平分，，四邊形是菱形，，，，又，，，，由（1）知：，，．10．（2023?松江區(qū)一模）如圖，已知梯形中，．是邊上一點(diǎn)，與對角線交于點(diǎn)，且．求證：（1）；（2）．【答案】見解析【詳解】證明：（1），，，，，，，；（2）由（1）知，，，，．11．（2023?虹口區(qū)二模）如圖，在梯形中，，，點(diǎn)為延長線上一點(diǎn)，，點(diǎn)在上，聯(lián)結(jié)．（1）求證：；（2）如果，求證：四邊形為梯形．【答案】見解析【詳解】證明：（1）在梯形中，，，．在和中，，，，，．，，．，；（2），，．，，，，，，，，，，．又與不平行，四邊形為梯形．12．（2023?青浦區(qū)一模）已知：如圖，在中，點(diǎn)、分別在邊、上，、相交于點(diǎn)，，．（1）求證：；（2）求證：．【答案】見解析【詳解】證明：（1），，，，，，，，，即，；（2），，，，，，，．13．（2023?奉賢區(qū)一模）已知：如圖，在梯形中，，點(diǎn)在對角線上，．（1）求證：；（2）如果點(diǎn)在邊上，且，求證：．【答案】見解析【詳解】證明：（1），，又，，，；（2），且，，而，，，．14．（2023?金山區(qū)二模）如圖，已知是等邊三角形，過點(diǎn)作，且，聯(lián)結(jié)、．（1）求證：四邊形是等腰梯形；（2）點(diǎn)在腰上，聯(lián)結(jié)交于點(diǎn)，若，求證：．【答案】見解析【詳解】證明：（1）為等邊三角形，，，，，，在和中，，，，，四邊形是等腰梯形；（2），，，，，，，，，，在和中，，，．15．（2023?崇明區(qū)一模）已知：如圖，在梯形中，，，對角線與交于點(diǎn)，點(diǎn)是邊上的中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)交于點(diǎn)，并滿足．（1）求證：；（2）求證：．【答案】見解析【詳解】證明：（1）點(diǎn)是邊上的中點(diǎn)，，，，，，，．（2），，，，，，，，，，，，，，，．16．（2023?青浦區(qū)二模）如圖，在平行四邊形中，已知平分，點(diǎn)在邊上，連接交于點(diǎn)，且．（1）求證：點(diǎn)在邊的垂直平分線上；（2）求證：．【答案】見解析【詳解】證明：（1）在平行四邊形中，，，平分，，，，，又，，，，，即點(diǎn)在邊的垂直平分線上；（2）由上題可知，又（公共角），，，，，，，，即．17．（2023?奉賢區(qū)二模）已知：如圖，在菱形中，，，垂足分別為、，射線交的延長線于點(diǎn)．（1）求證：；（2）如果，求證：．【答案】見解析【詳解】證明：（1）四邊形是菱形，，，，，，，在和中，，，，，；（2），，，，，由（1）知：，，，，，，，，，，，，，即．18．（2023?靜安區(qū)校級一模）如圖，在梯形中，，分別交對角線、底邊于點(diǎn)、，且．（1）求證：；（2）點(diǎn)在底邊上，，，聯(lián)結(jié)，如果與的面積相等，求的長．【答案】（1）見解析；（2）【詳解】（1）證明：，，，，，，；（2）根據(jù)題意可得，，，，，和面積相等，，解得．19．（2023?浦東新區(qū)模擬）已知：如圖，在直角梯形中，，，，，垂足為點(diǎn)，連接并延長，交線段于點(diǎn)．求證：（1）；（2）．【答案】見解析【詳解】證明：（1），，，，，，，，，，，，；（2），，，，而，