專題13 正方形存在性問題（解析版）

專題13正方形存在性問題一、知識導(dǎo)航作為特殊四邊形中最特殊的一位，正方形擁有更多的性質(zhì)，因此坐標(biāo)系中的正方形存在性問題變化更加多樣，從判定的角度來說，可以有如下：（1）有一個角為直角的菱形；（2）有一組鄰邊相等的矩形；（3）對角線互相垂直平分且相等的四邊形．依據(jù)題目給定的已知條件選擇恰當(dāng)?shù)呐卸ǚ椒?，即可確定所求的點坐標(biāo)．從未知量的角度來說，正方形可以有4個“未知量”，因其點坐標(biāo)滿足4個等量關(guān)系，考慮對角線性質(zhì)，互相平分（2個）垂直（1個）且相等（1個）．比如在平面中若已知兩個定點，可以在平面中確定另外兩個點使得它們構(gòu)成正方形，而如果要求在某條線上確定點，則可能會出現(xiàn)不存在的情況，即我們所說的未知量小于方程個數(shù)，可能無解．從動點角度來說，關(guān)于正方形存在性問題可分為：（1）2個定點+2個全動點；（2）1個定點+2個半動點+1個全動點;甚至可以有：（3）4個半動點．不管是哪一種類型，要明確的是一點，我們肯定不會列一個四元一次方程組求點坐標(biāo)！常用處理方法：思路1：從判定出發(fā)若已知菱形，則加有一個角為直角或?qū)蔷€相等；若已知矩形，則加有一組鄰邊相等或?qū)蔷€互相垂直；若已知對角線互相垂直或平分或相等，則加上其他條件．思路2：構(gòu)造三垂直全等若條件并未給關(guān)于四邊形及對角線的特殊性，則考慮在構(gòu)成正方形的4個頂點中任取3個，必是等腰直角三角形，若已知兩定點，則可通過構(gòu)造三垂直全等來求得第3個點，再求第4個點．總結(jié)：構(gòu)造三垂直全等的思路僅適合已知兩定點的情形，若題目給了4個動點，則考慮從矩形的判定出發(fā)，觀察該四邊形是否已為某特殊四邊形，考證還需滿足的其他關(guān)系．正方形的存在性問題在中考中出現(xiàn)得并不多，正方形多以小題壓軸為主．二、典例精析例：在平面直角坐標(biāo)系中，A（1,1），B（4,3），在平面中求C、D使得以A、B、C、D為頂點的四邊形是正方形．如圖，一共6個這樣的點C使得以A、B、C為頂點的三角形是等腰直角三角形．至于具體求點坐標(biāo)，以為例，構(gòu)造△AMB≌△，即可求得坐標(biāo)．至于像、這兩個點的坐標(biāo)，不難發(fā)現(xiàn)，是或的中點，是或的中點．題無定法，具體問題還需具體分析，如上僅僅是大致思路．三、中考真題演練1．（2023·湖南·中考真題）我們約定：若關(guān)于x的二次函數(shù)與同時滿足，則稱函數(shù)與函數(shù)互為“美美與共”函數(shù)．根據(jù)該約定，解答下列問題：(1)若關(guān)于x的二次函數(shù)與互為“美美與共”函數(shù)，求k，m，n的值；(3)在同一平面直角坐標(biāo)系中，若關(guān)于x的二次函數(shù)與它的“美美與共”函數(shù)的圖像頂點分別為點A，點B，函數(shù)的圖像與x軸交于不同兩點C，D，函數(shù)的圖像與x軸交于不同兩點E，F(xiàn)．當(dāng)時，以A，B，C，D為頂點的四邊形能否為正方形？若能，求出該正方形面積的取值范圍；若不請說明理由．【詳解】（1）解：由題意可知：，∴．答：k的值為，m的值為3，n的值為2．（3）解：由題意可知，，∴，∴，，∵且，∴；①若，則，要使以A，B，C，D為頂點的四邊形能構(gòu)成正方形，則為等腰直角三角形，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴；

②若，則A、B關(guān)于y軸對稱，以A，B，C，D為頂點的四邊形不能構(gòu)成正方形，綜上，以A，B，C，D為頂點的四邊形能構(gòu)成正方形，此時．【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用、正方形的性質(zhì)等知識點，解題的關(guān)鍵是利用分類討論的思想解決問題．2．（2023·遼寧·中考真題）如圖，拋物線與軸交于點和點，與軸交于點，點在拋物線上．

(1)求拋物線的解析式；(3)點在直線上，點在平面內(nèi)，當(dāng)四邊形是正方形時，請直接寫出點的坐標(biāo)．分析：（3）先求得直線的解析式為，分別過點M、E作y的垂線，垂足分別為P、Q，證明，推出，，設(shè)，則，由點M在直線上，列式計算，可求得m的值，利用平移的性質(zhì)可得點N的坐標(biāo)；設(shè)點，則點，當(dāng)繞著點O逆時針旋轉(zhuǎn)得到時，當(dāng)點M繞點O逆時針得到點E時，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，可得點N的坐標(biāo)．【詳解】（1）解：∵拋物線經(jīng)過點和，∴，解得，∴拋物線的解析式為；（3）解：令，則，解得或，∴，同理，直線的解析式為，∵四邊形是正方形，∴，，分別過點M、E作y的垂線，垂足分別為P、Q，如圖，

，，∴，∴，，設(shè)，∴，，則，∵點M在直線上，∴，解得或，當(dāng)時，，，即點M與點C重合，點E與點B重合時，四邊形是正方形，此時；當(dāng)時，，，點O向左平移個單位，再向下平移1個單位，得到點M，則點E向左平移個單位，再向下平移1個單位，得到點N，∴，即；設(shè)點，則點，當(dāng)繞著點O逆時針旋轉(zhuǎn)得到時，如圖，∵點E在的圖象上，∴，∴點，∵點E在的圖象上，∴，解得：或0，∴，，當(dāng)點M繞點O逆時針得到點E時，點，，∵點E在的圖象上，∴，解得：，∴點，，，，∴點N的坐標(biāo)為或；綜上，點的坐標(biāo)為或或或．【點睛】本題考查的是待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，兩點之間的距離公式和正方形的性質(zhì)，是一道綜合性較強(qiáng)的題，解題的關(guān)鍵是求出二次函數(shù)和一次函數(shù)解析式以及分情況討論．3．（2023·黑龍江綏化·中考真題）如圖，拋物線的圖象經(jīng)過，，三點，且一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點．

(1)求拋物線和一次函數(shù)的解析式．(2)點，為平面內(nèi)兩點，若以、、、為頂點的四邊形是正方形，且點在點的左側(cè)．這樣的，兩點是否存在？如果存在，請直接寫出所有滿足條件的點的坐標(biāo)：如果不存在，請說明理由．(3)將拋物線的圖象向右平移個單位長度得到拋物線，此拋物線的圖象與軸交于，兩點（點在點左側(cè)）．點是拋物線上的一個動點且在直線下方．已知點的橫坐標(biāo)為．過點作于點．求為何值時，有最大值，最大值是多少？【分析】（1）待定系數(shù)法求解析式即可求解；（2）①當(dāng)為正方形的邊長時，分別過點點作，，使，，連接、，證明，得出，，則同理可得，；②以為正方形的對角線時，過的中點作，使與互相平分且相等，則四邊形為正方形，過點作軸于點，過點作于點，證明，得出，在中，，解得或4，進(jìn)而即可求解；【詳解】（1）解：把，，代入得

解得

∴

把代入得∴（2）滿足條件的、兩點存在，，，

解：①當(dāng)為正方形的邊長時，分別過點點作，，使，，連接、.

過點作軸于.∵，又，∴，∴，∴同理可得，②以為正方形的對角線時，過的中點作，使與互相平分且相等，則四邊形為正方形，過點作軸于點，過點作于點

∵，又∴∴，∵∴∴在中，∴解得或4當(dāng)時，，此時點在點右側(cè)故舍去；當(dāng)時，.綜上所述：，，4．（2023·湖南岳陽·中考真題）已知拋物線與軸交于兩點，交軸于點．

(1)請求出拋物線的表達(dá)式．(2)如圖1，在軸上有一點，點在拋物線上，點為坐標(biāo)平面內(nèi)一點，是否存在點使得四邊形為正方形？若存在，請求出點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【分析】（1）把代入，求出即可；（2）假設(shè)存在這樣的正方形，過點E作于點R，過點F作軸于點I，證明可得故可得，；【詳解】（1）∵拋物線與軸交于兩點，交軸于點，∴把代入，得，解得，∴解析式為：；（2）假設(shè)存在這樣的正方形，如圖，過點E作于點R，過點F作軸于點I，

∴∵四邊形是正方形，∴∴∴又∴∴∵∴∴∴；同理可證明：∴∴∴；【點睛】本題是二次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法求解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，正方形的性質(zhì)等知識，運用數(shù)形結(jié)合思想解決問題是解題的關(guān)鍵．5．（2022·山東濟(jì)寧·中考真題）已知拋物線與x軸有公共點．(1)當(dāng)y隨x的增大而增大時，求自變量x的取值范圍；(2)將拋物線先向上平移4個單位長度，再向右平移n個單位長度得到拋物線（如圖所示），拋物線與x軸交于點A，B（點A在點B的右側(cè)），與y軸交于點C．當(dāng)OC＝OA時，求n的值；(3)D為拋物線的頂點，過點C作拋物線的對稱軸l的垂線，垂足為G，交拋物線于點E，連接BE交l于點F．求證：四邊形CDEF是正方形．【答案】(1)(2)n＝2(3)見解析【分析】（1）根據(jù)拋物線與軸由公共點，可得，從而而求出的值，進(jìn)而求得拋物線對稱軸，進(jìn)一步得到結(jié)果；（2）根據(jù)圖像平移的特征可求出平移后拋物線的解析式，根據(jù)和分別得出點和的坐標(biāo)，根據(jù)列出方程，進(jìn)而求的結(jié)果；（3）從而得出點、點的坐標(biāo)，由拋物線的解析式可得出點的坐標(biāo)和點的坐標(biāo)，進(jìn)而求得的解析式，從而得出點的坐標(biāo)，進(jìn)而得出，進(jìn)一步得出結(jié)論．【詳解】（1）解：∵拋物線與x軸有公共點，∴∴∴．∴，∴，∵，∴當(dāng)時，y隨著x的增大而增大．（2）解：由題意，得，當(dāng)y＝0時，，解得：或，∵點A在點B的右側(cè)，∴點A的坐標(biāo)為（1+n，0），點B的坐標(biāo)為（－3+n，0）．∵點C的坐標(biāo)為（0，－n2+2n+3），∴n+1＝－n2+2n+3．解得：n＝2或n＝－1（舍去）．故n的值為2.（3）解：由（2）可知：拋物線C2的解析式為y＝－（x－1）2+4．∴點A的坐標(biāo)為（3，0），點B的坐標(biāo)為（－1，0）點C的坐標(biāo)為（0，3），點D的坐標(biāo)為（1，4），拋物線C2的對稱軸是直線x＝1，∵點E與點C關(guān)于直線x＝1對稱，∴點E的坐標(biāo)為（2，3）．∴點G的坐標(biāo)為（1，3）．設(shè)直線BE解析式為y＝kx+b，∴解得：∴y＝x+1．當(dāng)x＝1時，y＝1+1＝2．點F的坐標(biāo)為（1，2）．∴FG＝EG＝DG＝CG＝1．∴四邊形CDEF為矩形．又∵CE⊥DF，∴四邊形CDEF為正方形．【點睛】本題主要考查二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，求一次函數(shù)的解析式，平移圖像的特征，正方形的判定，解決問題的關(guān)鍵是平移前后拋物線解析式之間的關(guān)系．6．（2022·山東泰安·中考真題）若二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點，，其對稱軸為直線，與x軸的另一交點為C．(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式；(2)若點M在直線上，且在第四象限，過點M作軸于點N．①若點N在線段上，且，求點M的坐標(biāo)；②以為對角線作正方形（點P在右側(cè)），當(dāng)點P在拋物線上時，求點M的坐標(biāo)．【答案】(1)(2)①；②【分析】（1）利用待定系數(shù)解答，即可求解；（2）①先求出直線的表達(dá)式為，然后設(shè)點N的坐標(biāo)為．可得．可得到，．再由，即可求解；②連接與交與點E．設(shè)點M的坐標(biāo)為，則點N的坐標(biāo)為根據(jù)正方形的性質(zhì)可得E的坐標(biāo)為，進(jìn)而得到P的坐標(biāo)．再由點P在拋物線上，即可求解．【詳解】（1）解：二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點，．又拋物線經(jīng)過點，對稱軸為直線，解得∶拋物線的表達(dá)式為．（2）解∶①設(shè)直線的表達(dá)式為．點A，B的坐標(biāo)為，，∴，解得∶，直線的表達(dá)式為．根據(jù)題意得∶點C與點關(guān)于對稱軸直線對稱，．設(shè)點N的坐標(biāo)為．軸，．∴．，解，得．點M的坐標(biāo)；②連接與交與點E．設(shè)點M的坐標(biāo)為，則點N的坐標(biāo)為四邊形是正方形，，，．∵M(jìn)N⊥x軸，軸．E的坐標(biāo)為．．．∴P的坐標(biāo)．點P在拋物線上，．解，得，．點P在第四象限，舍去．即．點M坐標(biāo)為．【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)的綜合題，熟練掌握二次函數(shù)的圖形和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．7．（2023·遼寧葫蘆島·一模）如圖，拋物線與x軸交于點A和點，與y軸交于點，點D是拋物線上一動點．

(1)求拋物線的解析式；(2)如圖1，當(dāng)點D在直線上方時，作軸于點F，交直線于點E，當(dāng)時，求點D的坐標(biāo)；(3)點P在拋物線的對稱軸l上，點Q是平面直角坐標(biāo)系內(nèi)一點，當(dāng)四邊形為正方形時，請直接寫出點Q的坐標(biāo)．【答案】(1)(2)(3)，，，【分析】（1）將B，C兩點坐標(biāo)代入拋物線解析式，利用待定系數(shù)法求解即可；（2）根據(jù)題意可求出直線的解析式，由可證明，作于H，則，設(shè)點D的橫坐標(biāo)為t，分別表達(dá)和，建立方程即可得出結(jié)論；（3）若四邊形為正方形，則是等腰直角三角形，且，根據(jù)題意畫