專題26 多邊形與平行四邊形【二十個題型】（舉一反三）（原卷版）

專題26多邊形與平行四邊形【二十個題型】TOC\o"1-3"\h\u【題型1計算多邊形對角線條數(shù)】 1【題型2對角線分三角形個數(shù)問題】 3【題型3多邊形內(nèi)角和問題】 3【題型4多邊形的外角問題】 4【題型5多邊形內(nèi)角和、外角和與角平分線、平行線的綜合運(yùn)用】 5【題型6利用平行四邊形的性質(zhì)求解】 6【題型7利用平行四邊形的性質(zhì)證明】 7【題型8構(gòu)成平行四邊形的條件】 9【題型9證明四邊形是平行四邊形】 10【題型10與平行四邊形有關(guān)的新定義問題】 11【題型11利用平行四邊形的性質(zhì)與判定求解】 13【題型12利用平行四邊形的性質(zhì)與判定證明】 14【題型13平行四邊形性質(zhì)與判定的實際應(yīng)用】 15【題型14與三角形中位線有關(guān)的計算】 17【題型15與三角形中位線有關(guān)的證明】 18【題型16與三角形中位線有關(guān)的規(guī)律探究】 20【題型17與三角形中位線有關(guān)的格點(diǎn)作圖】 21【題型18三角形中位線的實際應(yīng)用】 23【題型19連接兩點(diǎn)構(gòu)造三角形中位線】 25【題型20已知中點(diǎn)，取另一條線段的中點(diǎn)構(gòu)造中位線】 26【知識點(diǎn)多邊形與平行四邊形】1.多邊形的相關(guān)概念定義1：在平面內(nèi)，由一些線段首尾順次相接組成的封閉圖形叫做多邊形。按照組成多邊形的線段的條數(shù)可以分為：三角形.四邊形.五邊形.六邊形.···。三角形是最簡單的圖形。如果一個多邊形由n條線段組成，那么這個多邊形叫做n邊形。定義2：多邊形相鄰兩邊組成的角叫做它的內(nèi)角。多邊形的邊與它的鄰邊的延長線組成的角叫做多邊形的外角。定義3：連接多邊形不相鄰的兩個頂點(diǎn)的線段，叫做多邊形的對角線。定義4：各個角都相等，各條邊都相等的多邊形叫做正多邊形。n邊形內(nèi)角和等于(n-2)×180°，對角線條數(shù)為。多邊形的外角和等于360°。2.平行四邊形的性質(zhì)與判定(1)定義兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形。平行四邊形用符號“□ABCD”表示，如平行四邊形ABCD記作“□ABCD”，讀作“平行四邊形ABCD”。(2)平行四邊形的性質(zhì)平行四邊形的對邊平行且相等；平行四邊形的對角相等；平行四邊形的對角線互相平分。平行四邊形的判定兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形；兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形；對角線互相平分的四邊形是平行四邊形；一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形。（4）兩條平行線的距離兩條平行線中，一條直線上的任意一點(diǎn)到另一條直線的距離，叫做這兩條平行線的距離。平行線間的距離處處相等。（5）平行四邊形的面積S平行四邊形=底×高(6)中位線定義：連接三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中位線。中位線定理：三角形的中位線平行于三角形的第三邊，并且等于第三邊的一半?！绢}型1計算多邊形對角線條數(shù)】【例1】（2023·河北·模擬預(yù)測）一個多邊形的內(nèi)角和等于它的外角和的3倍，那么這個多邊形從一個頂點(diǎn)引對角線的條數(shù)是（）條．A．3 B．4 C．5 D．6【變式1-1】（2023·吉林長春·統(tǒng)考二模）如圖所示的五邊形木架不具有穩(wěn)定性，若要使該木架穩(wěn)定，則要釘上的細(xì)木條的數(shù)量至少為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【變式1-2】（2023·上?！そy(tǒng)考中考真題）通過畫出多邊形的對角線，可以把多邊形內(nèi)角和問題轉(zhuǎn)化為三角形內(nèi)角和問題．如果從某個多邊形的一個頂點(diǎn)出發(fā)的對角線共有2條，那么該多邊形的內(nèi)角和是度．【變式1-3】（2023·陜西西安·高新一中?？寄M預(yù)測）一個正多邊形的中心角是72°，則過它的一個頂點(diǎn)有條對角線．【題型2對角線分三角形個數(shù)問題】【例2】（2023·陜西西安·?？寄M預(yù)測）一個多邊形的內(nèi)角和為1080°，從該多邊形的一個頂點(diǎn)出發(fā)引對角線，可以把這個多邊形分割成個三角形．【變式2-1】（2023·陜西咸陽·統(tǒng)考三模）過某多邊形一個頂點(diǎn)的所有對角線，將這個多邊形分成3個三角形，這個多邊形的邊數(shù)是．【變式2-2】（2023·陜西榆林·統(tǒng)考一模）從七邊形的一個頂點(diǎn)出發(fā)的所有對角線，可以把這個七邊形分割成個三角形．【變式2-3】（2023·廣東深圳·校聯(lián)考一模）如圖，從多邊形一個頂點(diǎn)出發(fā)作多邊形的對角線，試根據(jù)下面幾種多邊形的頂點(diǎn)數(shù)、線段數(shù)及三角形個數(shù)統(tǒng)計結(jié)果，推斷f,e,v三個量之間的數(shù)量關(guān)系是:多邊形：

頂點(diǎn)個數(shù)f1:

4

5

6

…線段條數(shù)e:

5

7

9

…三角形個數(shù)v1:

2

3

4

…【題型3多邊形內(nèi)角和問題】【例3】（2023·山東·中考真題）一個多邊形截去一個角后，形成另一個多邊形的內(nèi)角和為720°，那么原多邊形的邊數(shù)為（

）A．5 B．5或6 C．5或7 D．5或6或7【變式3-1】（2023·山東·統(tǒng)考中考真題）已知一個多邊形的內(nèi)角和為540°，則這個多邊形是邊形．【變式3-2】（2023·浙江·統(tǒng)考中考真題）一個多邊形過頂點(diǎn)剪去一個角后，所得多邊形的內(nèi)角和為720°，則原多邊形的邊數(shù)是．【變式3-3】（2023·湖南·統(tǒng)考中考真題）剪紙片：有一張長方形的紙片，用剪刀沿一條不過任何頂點(diǎn)的直線將其剪成了2張紙片；從這2張中任選一張，再用剪刀沿一條不過任何頂點(diǎn)的直線將其剪成了2張紙片，這樣共有3張紙片：從這3張中任選一張，再用剪刀沿一條不過任何頂點(diǎn)的直線將其剪成了2張紙片，這樣共有4張紙片；……；如此下去，若最后得到10張紙片，其中有1張五邊形紙片，3張三角形紙片，5張四邊形紙片，則還有一張多邊形紙片的邊數(shù)為．【題型4多邊形的外角問題】【例4】（2023·四川自貢·統(tǒng)考中考真題）第29屆自貢國際恐龍燈會“輝煌新時代”主題燈組上有一幅不完整的正多邊形圖案，小華量得圖中一邊與對角線的夾角∠ACB=15°，算出這個正多邊形的邊數(shù)是（

）

A．9 B．10 C．11 D．12【變式4-1】（2023·甘肅蘭州·統(tǒng)考中考真題）如圖1是我國古建筑墻上采用的八角形空窗，其輪廓是一個正八邊形，窗外之境如同鑲嵌于一個畫框之中．如圖2是八角形空窗的示意圖，它的一個外角∠1=（

）

A．45° B．60° C．110° D．135°【變式4-2】（2023·河北·統(tǒng)考二模）如圖，將幾個全等的正八邊形進(jìn)行拼接，相鄰的兩個正八邊形有一條公共邊，圍成一圈后中間形成一個正方形．設(shè)正方形的邊長為1，則該圖形外輪廓的周長為；若n個全等的正多邊形中間圍成的圖形是正三角形，且相鄰的兩個正多邊形有一條公共邊，設(shè)正三角形的邊長為1，則該圖形外輪廓的周長是．【變式4-3】（2023·山東煙臺·統(tǒng)考二模）如圖，CG平分正五邊形ABCDE的外角∠DCF，并與∠EAB的平分線交于點(diǎn)O，則∠AOG的度數(shù)為（

）A．144° B．126° C．120° D．108°【題型5多邊形內(nèi)角和、外角和與角平分線、平行線的綜合運(yùn)用】【例5】（2023·江蘇宿遷·模擬預(yù)測）如圖，一束太陽光平行照射在正n邊形A1A2A3……A

【變式5-1】（2023·陜西西安·校考二模）如圖，AB∥CD，∠BED=61°，∠ABE的平分線與∠CDE的平分線交于點(diǎn)F【變式5-2】（2023·湖北武漢·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，AB∥CD，AD平分∠BDC，CE∥AD，∠DCE=150°.(1)求∠BAD的度數(shù)：(2)若∠F=40°，求∠E的度數(shù).【變式5-3】（2023·浙江·三模）如圖，在△ABC中，沿∠BAC的平分線AB1折疊，剪掉重復(fù)部分；將余下部分沿∠B1A1C的平分線A1B1折疊，剪掉重復(fù)部分……將余下部分沿∠B（1）若經(jīng)過n次折疊∠BAC是△ABC的好角，則∠B與∠C（設(shè)∠B>∠C）之間的等量關(guān)系為．（2）若一個三角形的最小角是4°，且該三角形的三個角均是此三角形的好角．請寫出符合要求三角形的另兩個角的度數(shù)．（寫出一種即可）【題型6利用平行四邊形的性質(zhì)求解】【例6】（2023·湖北黃石·統(tǒng)考中考真題）如圖，將?ABCD繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)到?A'B'C'D'的位置，使點(diǎn)B'落在BC上，B'C'與CD交于點(diǎn)E若

【變式6-1】（2023·四川甘孜·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平行四邊形ABCD(AB<AD)中，按如下步驟作圖：①以點(diǎn)A為圓心，以適當(dāng)長為半徑畫弧，分別交AB，AD于點(diǎn)M，N；②分別以點(diǎn)M，N為圓心，以大于12MN的長為半徑畫弧，兩弧在∠BAD內(nèi)交于點(diǎn)P；③作射線AP交BC于點(diǎn)E．若∠B=120°，則∠EAD為

【變式6-2】（2023·江蘇蘇州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在?ABCD中，AB=3+1,BC=2,AH⊥CD，垂足為H,AH=3．以點(diǎn)A為圓心，AH長為半徑畫弧，與AB,AC,AD分別交于點(diǎn)E,F,G．若用扇形AEF圍成一個圓錐的側(cè)面，記這個圓錐底面圓的半徑為r1；用扇形AHG圍成另一個圓錐的側(cè)面，記這個圓錐底面圓的半徑為r

【變式6-3】（2023·江西·統(tǒng)考中考真題）如圖，在?ABCD中，∠B=60°，BC=2AB，將AB繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)角α（0°<α<360°）得到AP，連接PC，PD．當(dāng)△PCD為直角三角形時，旋轉(zhuǎn)角α的度數(shù)為

【題型7利用平行四邊形的性質(zhì)證明】【例7】（2023·遼寧營口·統(tǒng)考中考真題）在?ABCD中，∠ADB=90°，點(diǎn)E在CD上，點(diǎn)G在AB上，點(diǎn)F在BD的延長線上，連接EF，DG．∠FED=∠ADG，

(1)如圖1，當(dāng)k=1時，請用等式表示線段AG與線段DF的數(shù)量關(guān)系______；(2)如圖2，當(dāng)k=3時，寫出線段AD，DE(3)在（2）的條件下，當(dāng)點(diǎn)G是AB的中點(diǎn)時，連接BE，求tan∠EBF【變式7-1】（2023·山東淄博·統(tǒng)考中考真題）如圖，在?ABCD中，E，F(xiàn)分別是邊BC和AD上的點(diǎn)，連接AE，CF，且AE∥

(1)∠1=∠2；(2)△ABE≌【變式7-2】（2023·山東青島·統(tǒng)考中考真題）如圖，在?ABCD中，∠BAD的平分線交BC于點(diǎn)E，∠DCB的平分線交AD于點(diǎn)F，點(diǎn)G，H分別是AE和CF的中點(diǎn)．

(1)求證：△ABE≌△CDF；(2)連接EF．若EF=AF，請判斷四邊形GEHF的形狀，并證明你的結(jié)論．【變式7-3】（2023·黑龍江牡丹江·統(tǒng)考中考真題）?ABCD中，AE⊥BC，垂足為E，連接DE，將ED繞點(diǎn)E逆時針旋轉(zhuǎn)90°，得到EF，連接BF．

(1)當(dāng)點(diǎn)E在線段BC上，∠ABC=45°時，如圖①，求證：(2)當(dāng)點(diǎn)E在線段BC延長線上，∠ABC=45°時，如圖②：當(dāng)點(diǎn)E在線段CB延長線上，∠ABC=135°時，如圖③，請猜想并直接寫出線段AE，EC，(3)在（1）、（2）的條件下，若BE=3，DE=5，則CE=_______．【題型8構(gòu)成平行四邊形的條件】【例8】（2023·湖南衡陽·統(tǒng)考中考真題）如圖，在四邊形ABCD中，AC與BD相交于點(diǎn)O，下列條件不能判定四邊形ABCD為平行四邊形的是（

）

A．AB∥CD，AB=CD B．AB=CD，AD=CBC．AB∥CD，AD=CB D．OA=OC，OB=OD【變式8-1】（2023·湖南岳陽·統(tǒng)考中考真題）如圖，在四邊形ABCD中，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分別為點(diǎn)E，F(xiàn)．（1）請你只添加一個條件（不另加輔助線），使得四邊形AECF為平行四邊形，你添加的條件是________；（2）添加了條件后，證明四邊形AECF為平行四邊形．【變式8-2】（2023·河北保定·統(tǒng)考模擬預(yù)測）圖中每個四邊形上所做的標(biāo)記中，線段上的劃記數(shù)量相同的表示線段相等，角的標(biāo)記弧線數(shù)量相同的表示角相等，則下列一定為平行四邊形的有（）

A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【變式8-3】（2023·河南洛陽·校聯(lián)考一模）如圖，在平行四邊形ABCD中，對角線AC、BD相交于點(diǎn)O．E、F是對角線AC上的兩個不同點(diǎn)，當(dāng)E、F兩點(diǎn)滿足下列條件時，四邊形DEBF不一定是平行四邊形（

）．A．AE＝CF B．DE＝BFC．∠ADE=∠CBF D．∠AED=∠CFB【題型9證明四邊形是平行四邊形】【例9】（2023·湖南·統(tǒng)考中考真題）如圖所示，在△ABC中，點(diǎn)D、E分別為AB、AC的中點(diǎn)，點(diǎn)H在線段CE上，連接BH，點(diǎn)G、F分別為

(1)求證：四邊形DEFG為平行四邊形(2)DG⊥BH，BD=3，【變式9-1】（2023·青?！そy(tǒng)考中考真題）如圖，∠CAE是△ABC的一個外角，AB=AC，CF∥

(1)尺規(guī)作圖：作∠CAE的平分線，交CF于點(diǎn)D（保留作圖痕跡，不寫作法）；(2)求證：四邊形ABCD是平行四邊形.【變式9-2】（2023·浙江杭州·統(tǒng)考中考真題）如圖，平行四邊形ABCD的對角線AC,BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E,F在對角線BD上，且BE=EF=FD，連接AE,EC，CF,FA．

(1)求證：四邊形AECF是平行四邊形．(2)若△ABE的面積等于2，求△CFO的面積．【變式9-3】（2023·上海·統(tǒng)考中考真題）如圖（1）所示，已知在△ABC中，AB=AC，O在邊AB上，點(diǎn)F為邊OB中點(diǎn)，為以O(shè)為圓心，BO為半徑的圓分別交CB，AC于點(diǎn)D，E，聯(lián)結(jié)EF交OD于點(diǎn)G．

(1)如果OG=DG，求證：四邊形CEGD為平行四邊形；(2)如圖（2）所示，聯(lián)結(jié)OE，如果∠BAC=90°,∠OFE=∠DOE,AO=4，求邊OB的長；(3)聯(lián)結(jié)BG，如果△OBG是以O(shè)B為腰的等腰三角形，且AO=OF，求OGOD【題型10與平行四邊形有關(guān)的新定義問題】【例10】（2023·江蘇南京·統(tǒng)考二模）百度百科這樣定義凹四邊形：把四邊形的某邊向兩方延長，其他各邊有不在延長所得直線的同一旁，這樣的四邊形叫做凹四邊形．關(guān)于凹四邊形ABCD（如圖），以下結(jié)論：①∠BCD=∠A+∠B+∠D；②若AB=AD,BC=CD，則AC⊥BD；③若∠BCD=2∠A，則BC=CD；④存在凹四邊形ABCD，有AB=CD,AD=BC．其中所有正確結(jié)論的序號是（

）A．①② B．①②③ C．①②④ D．①③④【變式10-1】（2023·湖北武漢·校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖，由25個點(diǎn)構(gòu)成的5×5的正方形點(diǎn)陣中，橫、縱方向相鄰的兩點(diǎn)之間的距離都是1個單位．定義：由點(diǎn)陣中的四個點(diǎn)為頂點(diǎn)的平行四邊形叫做陣點(diǎn)平行四邊形．圖中以A，B為頂點(diǎn)，面積為4的陣點(diǎn)平行四邊形的個數(shù)為（

）A．6個 B．7個 C．9個 D．11個【變式10-2】（2023·浙江寧波·統(tǒng)考中考真題）定義：有兩個相鄰的內(nèi)角是直角，并且有兩條鄰邊相等的四邊形稱為鄰等四邊形，相等兩鄰邊的夾角稱為鄰等角．

(1)如圖1，在四邊形ABCD中，AD∥BC,∠A=90°，對角線BD平分∠ADC．求證：四邊形ABCD為鄰等四邊形．(2)如圖2，在6×5的方格紙中，A，B，C三點(diǎn)均在格點(diǎn)上，若四邊形ABCD是鄰等四邊形，請畫出所有符合條件的格點(diǎn)D．(3)如圖3，四邊形ABCD是鄰等四邊形，∠DAB=∠ABC=90°，∠BCD為鄰等角，連接AC，過B作BE∥AC交DA的延長線于點(diǎn)E．若AC=8,DE=10，求四邊形EBCD的周長．【變式10-3】（2023·廣東梅州·統(tǒng)考一模）【定義】對角線相等且所夾銳角為60°的四邊形叫“60°等角線四邊形”．如圖1，四邊形ABCD為“60°等角線四邊形”，即AC=BD，∠AOB=60°，【定義探究】(1)判斷下列四邊形是否為“60°等角線四邊形”，如果是在括號內(nèi)打“√”，如果不是打“×”．①對角線所夾銳角為60°的平行四邊形．

（

）②對角線所夾銳角為60°的矩形．

（

）③對角線所夾銳角為60°，且順次連接各邊中點(diǎn)所形成的四邊形是菱形的四邊形．

（

）【性質(zhì)探究】(2)如圖2，以AC為邊，向下構(gòu)造等邊△ACE，連接BE，請直接寫出AB+CD與AC的大小關(guān)系；(3)請判斷AD+BC與3AC【應(yīng)用提升】(4)若“60°等角線四邊形”的對角線長為2，則該四邊形周長的最小值為________．【題型11利用平行四邊形的性質(zhì)與判定求解】【例11】（2023·遼寧·統(tǒng)考中考真題）如圖，平行四邊形ABCD的對角線AC，BD相交于點(diǎn)O，過點(diǎn)B作BE∥AC，交DA的延長線于點(diǎn)B，連接OE，交AB于點(diǎn)F，則四邊形BCOF的面積與△AEF的面積的比值為．

【變式11-1】（2023·西藏·統(tǒng)考中考真題）如圖，兩張寬為3的長方形紙條疊放在一起，已知∠ABC=60°，則陰影部分的面積是（

）

A．92 B．33 C．93【變式11-2】（2023·浙江臺州·統(tǒng)考中考真題）如圖，點(diǎn)C，D在線段AB上（點(diǎn)C在點(diǎn)A，D之間），分別以AD，BC為邊向同側(cè)作等邊三角形ADE與等邊三角形CBF，邊長分別為a，b．CF與DE交于點(diǎn)H，延長

（1）若四邊形EHFG的周長與△CDH的周長相等，則a，b，（2）若四邊形EHFG的面積與△CDH的面積相等，則a，b，c之間的等量關(guān)系為．【變式11-3】（2023·安徽·統(tǒng)考中考真題）已知四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，對角線BD是⊙O的直徑．

(1)如圖1，連接OA,CA，若OA⊥BD，求證；CA平分∠BCD；(2)如圖2，E為⊙O內(nèi)一點(diǎn)，滿足AE⊥BC,CE⊥AB，若BD=33，AE=3，求弦BC【題型12利用平行四邊形的性質(zhì)與判定證明】【例12】（2023·遼寧大連·統(tǒng)考二模）如圖1，△ABC中，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別在BC，AC，AB上，AB=AD，DE∥AB，BE，EF分別與AD相交于點(diǎn)G，H，

(1)求證：∠DEG=∠DHE；(2)求證：BG=EF；(3)如圖2，若H是AD中點(diǎn)，AB=kDE，求k的值．【變式12-1】（2023·湖北武漢·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，點(diǎn)D、E、F分別是三角形ABC的邊BC、CA、AB上的點(diǎn)，DE∥BA，DF∥CA

(1)求證：∠FDE=∠A．(2)若BD:DC=1:4，直接寫出S△CDE【變式12-2】（2023·江蘇徐州·統(tǒng)考中考真題）【閱讀理解】如圖1，在矩形ABCD中，若AB=a,BC=b，由勾股定理，得AC2=a2【探究發(fā)現(xiàn)】如圖2，四邊形ABCD為平行四邊形，若AB=a,BC=b，則上述結(jié)論是否依然成立？請加以判斷，并說明理由．【拓展提升】如圖3，已知BO為△ABC的一條中線，AB=a,BC=b,AC=c．求證：BO【嘗試應(yīng)用】如圖4，在矩形ABCD中，若AB=8,BC=12，點(diǎn)P在邊AD上，則PB2+PC2的最小值為【變式12-3】（2023·安徽·模擬預(yù)測）如圖1，AD是△ABC的中線，過CD上一點(diǎn)F作EG∥AB，分別與AD的延長線和AC相交于點(diǎn)E，G，連接BE．(1)若DFCF=2(2)如圖2，在AD上取一點(diǎn)P，使得DP=DE，連接FP并延長交AB于點(diǎn)H．①求證：HF∥②連接GH．求證：GH=BE．【題型13平行四邊形性質(zhì)與判定的實際應(yīng)用】【例13】（2023·陜西西安·校聯(lián)考模擬預(yù)測）問題提出：（1）如圖①，在△ABC中，∠A＝45°，AB＝3，AC=22，求BC問題解決：（2）如圖②，某幼兒園有一塊平行四邊形ABCD的空地，其中AB＝6米，BC＝10米，∠B＝60°，為了豐富孩子們的課業(yè)生活，將該平行四邊形空地改造成多功能區(qū)域，已知點(diǎn)E、G在邊BC上，點(diǎn)F在邊AD上，連接AE、EF、DG．現(xiàn)要求將其中的陰影三角形ABE區(qū)域設(shè)置成木工區(qū)，陰影四邊形EFDG區(qū)域設(shè)置成益智區(qū)，其余區(qū)域為角色游戲區(qū)，若AB∥EF，∠1＋∠2＝【變式13-1】（2023·湖北襄陽·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖所示，從A地到B地要經(jīng)過一條小河（河的兩岸平行），現(xiàn)要在河上建一座橋（橋垂直于河的兩岸），應(yīng)如何選擇橋的位置，才能使從A地到B地的路程最短？

【變式13-2】（2023·陜西·統(tǒng)考中考真題）問題提出（1）如圖1，在?ABCD中，∠A=45°，AB=8，AD=6，E是AD的中點(diǎn)，點(diǎn)F在DC上且DF=5求四邊形ABFE的面積．（結(jié)果保留根號）問題解決（2）某市進(jìn)行河灘治理，優(yōu)化美化人居生態(tài)環(huán)境．如圖2所示，現(xiàn)規(guī)劃在河畔的一處灘地上建一個五邊形河畔公園ABCDE按設(shè)計要求，要在五邊形河畔公園ABCDE內(nèi)挖一個四邊形人工湖OPMN，使點(diǎn)O、P、M、N分別在邊BC、CD、AE、AB上，且滿足BO=2AN=2CP，AM=OC．已知五邊形ABCDE中，∠A=∠B=∠C=90°，AB=800m，BC=1200m，CD=600m，AE=900m．滿足人工湖周邊各功能場所及綠化用地需要，想讓人工湖面積盡可能小．請問，是否存在符合設(shè)計要求的面積最小的四邊形人工湖OPMN？若存在，求四邊形OPMN面積的最小值及這時點(diǎn)【變式13-3】（2023·湖北襄陽·統(tǒng)考模擬預(yù)測）七巧板是一種古老的中國傳統(tǒng)智力玩具，如圖，在正方形紙板ABCD中，BD為對角線，E，F(xiàn)分別為BC，CD的中點(diǎn)，AP⊥EF分別交BD，EF于O，P兩點(diǎn)，M，N分別為BO，DO的中點(diǎn)，連接MP，NF，沿圖中實線剪開即可得到一副七巧板，則在剪開之前，關(guān)于該圖形的下列說法：①圖中的三角形都是等腰直角三角形；②圖中的四邊形MPEB是菱形；③四邊形EFNB的面積占正方形ABCD面積的58．正確的有（

A．①③ B．①② C．只有① D．②③【題型14與三角形中位線有關(guān)的計算】【例14】（2023·遼寧丹東·統(tǒng)考中考真題）如圖，在矩形ABCD中，對角線AC與BD相交于點(diǎn)O，∠ABD=60°，AE⊥BD，垂足為點(diǎn)E，F(xiàn)是OC的中點(diǎn)，連接EF，若EF=23，則矩形ABCD的周長是（

A．163 B．83+4 C．4【變式14-1】（2023·山東東營·統(tǒng)考一模）如圖1，在△ABC中，∠ABC=60°，點(diǎn)D是BC邊上的中點(diǎn)，點(diǎn)P從△ABC的頂點(diǎn)A出發(fā)，沿A→B→D的路徑以每秒1個單位長度的速度勻速運(yùn)動到點(diǎn)D．線段DP的長度y隨時間x變化的關(guān)系圖象如圖2所示，點(diǎn)N是曲線部分的最低點(diǎn)，則△ABC的面積為（

）A．4 B．43 C．8 D．【變式14-2】（2023·安徽·模擬預(yù)測）如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，BC=4，D是線段AB上靠近點(diǎn)B的一個三等分點(diǎn)，延長CB到點(diǎn)E，使得BE=12BC，連接DE．若P，Q分別是DE，AC的中點(diǎn)，則

A．4 B．352 C．13 D【變式14-3】（2023·浙江寧波·校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=BC，AC=4，D，F(xiàn)分別是AB，BC邊的中點(diǎn)，DE⊥AC于點(diǎn)EA．2 B．3 C．22 D．【題型15與三角形中位線有關(guān)的證明】【例15】（2023·福建泉州·南安市實驗中學(xué)?？寄M預(yù)測）設(shè)AX，BY，CZ是△ABC的三條中線，求證：AX，BY，CZ三線共點(diǎn)．

【變式15-1】（2023·浙江溫州·校聯(lián)考二模）如圖，Rt△ABC中，∠ABC=90°，點(diǎn)D，E分別為AB，AC的中點(diǎn)，延長DE至F，使EF=2DE，連結(jié)BE，CF

(1)求證：四邊形BCFE是平行四邊形．(2)已知BE=3，EG=DE，求【變式15-2】（2023·安徽合肥·統(tǒng)考二模）問題背景：如圖1，在等腰△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足為點(diǎn)D，在△AEF中，∠AEF=90°，∠EAF=12∠BAC，連接BF，M是BF觀察發(fā)現(xiàn)：(1)為了探究線段EM和DM之間的數(shù)量關(guān)系，可先將圖形位置特殊化，將△AEF繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，使AE與AB重合，如圖2，易知EM和DM之間的數(shù)量關(guān)系為操作證明：(2)繼續(xù)將△AEF繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，使AE與AD重合時，如圖3，（1）中線段EM和問題解決：(3)根據(jù)上述探究的經(jīng)驗，我們回到一般情況，如圖1，在其他條件不變的情況下，上述的結(jié)論還成立嗎？請說明你的理由．【變式15-3】（2023·安徽宿州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O交BC于點(diǎn)P，交CA的延長線于點(diǎn)D，連接BD．

(1)求作⊙O的切線PQ，PQ交AC于點(diǎn)Q；（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）(2)在（1）的條件下，求證：PQ=1【題型16與三角形中位線有關(guān)的規(guī)律探究】【例16】（2023·黑龍江·校聯(lián)考三模）如圖，在等腰直角三角形ABC中，∠ABC=90°，AB=4，分別連接AB，AC，BC的中點(diǎn)，得到第1個等腰直角三角形A1B1C1；分別連接A1B，A1C1，BC1【變式16-1】（2023·重慶·統(tǒng)考中考模擬）如圖，在圖1中，A1、B1、C1分別是等邊ΔABC的邊BC、CA、AB的中點(diǎn)，在圖2中，A2，B2，C2分別是ΔA1B1C1A．n2 B．2n C．3n D．【變式16-2】（2023·山東青島·統(tǒng)考一模）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，AC=2，點(diǎn)D、點(diǎn)E、點(diǎn)F分別是AC，AB，BC邊的中點(diǎn)，連接DE、EF，得到△AED，它的面積記作S；點(diǎn)D1、點(diǎn)E1、點(diǎn)F1分別是EF，EB，F(xiàn)B邊的中點(diǎn)，連接D1E1、E1【變式16-3】（2023·云南·統(tǒng)考中考真題）如圖，在△ABC中，BC=1，點(diǎn)P1，M1分別是AB，AC邊的中點(diǎn)，點(diǎn)P2，M2分別是AP1，AM1的中點(diǎn)，點(diǎn)P3，M3分別是AP2，AM2的中點(diǎn)，按這樣的規(guī)律下去，PnMn的長為（n為正整數(shù)）．【題型17與三角形中位線有關(guān)的格點(diǎn)作圖】【例17】（2023·吉林長春·統(tǒng)考一模）圖①、圖②、圖③分別是6×6的正方形網(wǎng)格，網(wǎng)格中每個小正方形的邊長均為1，小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，點(diǎn)A、B、C、D、E、P、Q、M、N均在格點(diǎn)上，僅用無刻度的直尺在下列網(wǎng)格中按要求作圖，保留作圖痕跡．(1)在圖①中，畫線段AB的中點(diǎn)F．(2)在圖②中，畫△CDE的中位線GH，點(diǎn)G、H分別在線段CD、CE上，并直接寫出△CGH與四邊形DEHG的面積比．(3)在圖③中，畫△PQR，點(diǎn)R在格點(diǎn)上，且△PQR被線段MN分成的兩部分圖形的面積比為1：3．【變式17-1】（2023·吉林長春·統(tǒng)考二模）圖①、圖②、圖③均是6×6的正方形網(wǎng)格，每個小正方形的邊長為1，小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，△ABC的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上．只用無刻度的直尺，在給定的網(wǎng)格中，按要求畫出相應(yīng)圖形，保留作圖痕跡．

(1)在網(wǎng)格①中的AC邊上找點(diǎn)D，在BC邊上找點(diǎn)E，連接ED，使AB=2DE．(2)在網(wǎng)格②中的AC邊上找點(diǎn)D，連接BD，使∠CAB=∠CBD．(3)在網(wǎng)格③中的AC邊上找點(diǎn)E，連接BE，使△ABE的面積是△BCE面積的4倍．【變式17-2】（2023·吉林長春·?？寄M預(yù)測）圖①、圖②、圖③均是4×4的正方形網(wǎng)格，每個小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，△ABC的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上，僅用無刻度的直尺，在給定的網(wǎng)格中，分別按要求畫圖，保留作圖痕跡．(1)在圖①中的AC邊上找一點(diǎn)D，連結(jié)BD，使得△ABD的面積等于△ABC面積的12(2)在圖②中的△ABC的內(nèi)部找一點(diǎn)E，連結(jié)AE、BE，使得△ABE的面積等于△ABC面積的12(3)在圖③中的△ABC的內(nèi)部找一點(diǎn)F，連結(jié)AF、BF、CF，使得△ABF、△ACF和△BCF的面積相等．【變式17-3】（2023·湖北武漢·武漢市第一初級中學(xué)?？寄M預(yù)測）如圖是由小正方形組成的9×9網(wǎng)格，每個小正方形的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)．A、B、C三點(diǎn)是格點(diǎn)，F(xiàn)，T分別是BC，AC與網(wǎng)格線的交點(diǎn)，僅用無刻度直尺在給定網(wǎng)格中完成畫圖．

(1)在圖1中，取AB的中點(diǎn)D，AC的中點(diǎn)E，連接ED；再作平行四邊形BDEK；(2)在圖2中，在AB上畫出一點(diǎn)G，使S△ACG(3)在圖2中，在△ABT的邊AT上畫一點(diǎn)M，使得M是正方形MNHP的一個頂點(diǎn)，且正方形的頂點(diǎn)N在AB上，頂點(diǎn)H、P在BT上．（只需畫出點(diǎn)M）【題型18三角形中位線的實際應(yīng)用】【例18】（2023·河南省直轄縣級單位·校聯(lián)考一模）阿基米德說：“給我一個支點(diǎn)，我就能撬動地球．”（如圖1）這句話形容杠桿的作用之大：只要有合適的工具和一個合適的支點(diǎn)（或像地球一樣重的物體）輕松撬動．小亮看到廣場上有一塊球形的大石頭，他想知道這塊球形石頭的半徑為多少，他找來一塊棱長為20cm的正方體和長度為200cm的木棒，模仿阿基米德撬動地球的方法，如圖2，木棒和石頭相切于點(diǎn)N，正方體橫截面上的點(diǎn)E，點(diǎn)M，A，E，

(1)求證：∠MON=∠BCD；(2)若木棒與水平面的夾角∠BAF=45°，切點(diǎn)N恰好為AC的中點(diǎn)，則石頭的半徑為多少？（結(jié)果保留根號）【變式18-1】（2023·福建廈門·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，要測量被池塘隔開的A，B兩點(diǎn)間的距離，可以在池塘外選一點(diǎn)C，連接AC，BC，分別取AC，BC的中點(diǎn)D，E，測得DE=40m，則AB的長是m

【變式18-2】（2023·山東青島·?？家荒＃┤鐖D一只羊在山坡BD中點(diǎn)E處吃草，