河南省鄭州市六校聯(lián)盟2022-2023學年高一下學期期中數(shù)學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1河南省鄭州市六校聯(lián)盟2022-2023學年高一下學期期中數(shù)學試題一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，有且只有一個是符合題目要求的．1.復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點為，為復數(shù)z的共軛復數(shù)，則（）A.8 B.4 C. D.〖答案〗C〖解析〗由復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點為，可得復數(shù)，所以，則．故選：C．2.已知，其中為復數(shù)的共軛復數(shù)，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由題意得，所以．故選：D．3.如圖，正三棱錐中，，側(cè)棱長為，一只蟲子從A點出發(fā)，繞三棱錐的三個側(cè)面爬行一周后，又回到A點，則蟲子爬行的最短距離是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗將正三棱錐沿剪開，得到側(cè)面展開圖，如圖所示，因為，即，由的周長為，要使的周長的最小，則共線，即，又由正三棱錐側(cè)棱長為，是等邊三角形，所以，即蟲子爬行的最短距離是.故選：B.4.已知的三個頂點A，B，C的坐標分別是，則頂點D的坐標是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗設(shè)頂點D的坐標為，由題意知，,根據(jù)向量的坐標運算解得；，解得：，即頂點D的坐標為.故選；A.5.如圖，是斜二測畫法畫出的水平放置的的直觀圖，是的中點，且軸，軸，，則（）A.的長度大于的長度 B.的面積為4C.的面積為2 D.〖答案〗B〖解析〗由圖象知：，，，為的中點所以，A錯誤；的面積，B正確；因為，，所以的上的高，的面積，C錯誤；，所以，D錯誤.故選：B.6.已知是兩個不共線的向量，且，則（）A.三點共線 B.三點共線C.三點共線 D.三點共線〖答案〗A〖解析〗，故，則，又因為兩向量有公共點，故三點共線.故選：A.7.的內(nèi)角、、的對邊分別為、、，已知，，的面積為，則等于（）A.4 B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因為，，的面積為，所以,所以.由余弦定理得：.故選：D.8.已知復數(shù)z滿足，則的最小值為（）A.1 B.3 C. D.〖答案〗A〖解析〗設(shè)復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點為，因為復數(shù)滿足，所以由復數(shù)的幾何意義可知，點到點和的距離相等，所以在復平面內(nèi)點的軌跡為，又表示點到點的距離，所以問題轉(zhuǎn)化為上的動點到定點距離的最小值，當為時，到定點的距離最小，最小值為1，所以的最小值為1.故選：A．二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求的，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.下列說法正確的是（）A.在中，若，則－定是鈍角三角形B.在中，角的對邊分別為，若，則是等腰三角形C.在中，角所對的邊分別為，若，則一定是等腰三角形D.在中，若，則是一定鈍角三角形〖答案〗BD〖解析〗對于選項A：，故為銳角，但不－定是鈍角三角形，故A錯誤；對于選項B：由及正弦定理得，故，所以，即，即，因為，所以，故是等腰三角形，故B正確；對于選項C：由及正弦定理得，所以，因為，所以或即或，故等腰三角形或直角三角形，故C錯誤；對于選項D：由及正弦定理得，由知為鈍角，故是一定鈍角三角形，故D正確．故選：BD.10.已知兩個單位向量和的夾角為，則（）A.向量在向量上投影向量為 B.向量與向量的夾角為C.向量在向量上的投影向量為 D.的最小值為〖答案〗ACD〖解析〗選項A：向量在向量上的投影向量為，選項正確；選項B：，解得向量與向量的夾角為，選項錯誤；選項C：向量在向量上的投影向量為：選項正確；選項D：當選項正確.故選：ACD．11.點為△所在平面內(nèi)一點，則（）A.若，則點為△的重心B.若，則點為△的垂心C.若．則點為△的垂心D.在中，設(shè)，那么動點的軌跡必通過△的外心〖答案〗AD〖解析〗A：由于，其中為的中點，可知為邊上中線的三等分點（靠近線段），故為△的重心；選項A正確；B：向量，，分別表示在邊和上取單位向量和，它們的差是向量，當，即時，則點在的平分線上，同理由，知點在的平分線上，故為△的內(nèi)心；選項B錯誤；C．是以，為邊的平行四邊形的一條對角線的長，而是該平行四邊形的另一條對角線的長，表示這個平行四邊形是菱形，即，同理有，故為△的外心．選項C錯誤；對于D，設(shè)是的中點，，即，所以，所以動點在線段的中垂線上，故動點的軌跡必通過△的外心.選項D正確.故選：AD.12.在中，點滿足，過點的直線與、所在的直線分別交于點、，若，，則下列說法正確的是（）A. B.C.為定值 D.的最小值為〖答案〗BCD〖解析〗如圖所示，因為，即，所以，又因為，，所以，，所以，因為、、三點共線，則，所以，當且僅當時，等號成立，所以的最小值為.故選：BCD．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.在中，角的對邊分別為，若，則角的值為___________．〖答案〗〖解析〗因為，由正弦定理，即，解得，又因為，所以.故〖答案〗為：.14.已知平面向量，則向量與的夾角為__________.〖答案〗〖解析〗因為，所以，因為，所以.故〖答案〗：.15.設(shè)，，為虛數(shù)單位，若是關(guān)于的二次方程的一個虛根，則______．〖答案〗2〖解析〗將代入方程得：，即，即，所以，解得，所以.故〖答案〗為：2.16.在矩形ABCD中，，點E為邊AB的中點，點F為線段BC上的動點，則的取值范圍是_________．〖答案〗〖解析〗以為坐標原點，建立如圖所示直角坐標系，由題意得，，因為為中點，所以，設(shè)，則，，，則，，則.故〖答案〗為：.四、解答題：共70分，解答應寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟．17.解答下列各題：（1）已知z復數(shù)，為實數(shù)，為純虛數(shù)（i為虛數(shù)單位），求復數(shù)z；（2）已知復數(shù)，實數(shù)為何值時，復數(shù)表示的點位于第四象限．解：（1）設(shè)復數(shù)，因為為實數(shù)，所以，則復數(shù)，又因為為純虛數(shù)，則，得，所以復數(shù)．（2），由復數(shù)表示的點位于第四象限，可得，解得，當時，復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點在第四象限，∴m的取值范圍為.18.平面內(nèi)給出三個向量，，，求解下列問題：（1）若向量與向量的夾角為銳角，求實數(shù)的取值范圍；（2）若，求實數(shù)k的值．解：（1），，因為與的夾角為銳角，所以，且與不同向共線，即，解得且．（2），，因為，所以，解得．19.如圖，在平行四邊形中，點是的中點，是的三等分點.，設(shè).（1）用表示；（2）如果，用向量的方法證明：.解：（1）由題意，，.（2）由（1）得，所以.20.如圖，一個圓錐挖掉一個內(nèi)接正三棱柱（棱柱各頂點均在圓錐側(cè)面或底面上），若棱柱側(cè)面落在圓錐底面上．已知正三棱柱底面邊長為，高為2．（1）求挖掉的正三棱柱的體積；（2）求該幾何體的表面積．解：（1）因為正三棱柱的底面邊長為，高為2，則，所以正三棱柱的體積．（2）在正三棱柱中，由（1）知，，，設(shè)圓錐的底面圓圓心為O，則O是矩形的中心，設(shè)圓O半徑為，有，即，令的中點為，連接，則，且，，，于是，解得，則圓錐的母線長，圓錐的底面圓面積，側(cè)面積，三棱柱的表面積為，所以該幾何體的表面積為：.21.在海岸A處，發(fā)現(xiàn)北偏西75°的方向，與A距離2海里的B處有一艘走私船，在A處北偏東45°方向，與A距離（）海里的C處的緝私船奉命以10海里/小時的速度追截走私船．此時，走私船正以10海里/小時的速度從B向北偏西30°方向逃竄，問：（1）剛發(fā)現(xiàn)走私船時，緝私船距離走私船多遠？在走私船的什么方向？（2）緝私船沿什么方向能最快追上走私船？解：（1）由題意，可得，則，在中，由正弦定理，即，解得，因為，所以，所以為水平線，所以剛發(fā)現(xiàn)走私船時，緝私船距離走私船海里，在走私船的正東方向．（2）設(shè)經(jīng)過時間小時后，緝私船追上走私船，在中，可得，由正弦定理得，因為為銳角，所以，所以緝私船沿北偏西的方向能最快追上走私船．22.在①，②，③這三個條件中任選一個，補充在下面的問題中，并解答．記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知______．（1）求角C的大?。?）若，求的取值范