山西省晉城市2024屆高三第二次模擬考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1山西省晉城市2024屆高三第二次模擬考試數(shù)學(xué)試題一、選擇題1.已知復(fù)數(shù)z滿足，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因?yàn)?，則，所以.故選：A.2.已知圓錐的側(cè)面積為，它的側(cè)面展開(kāi)圖是圓心角為的扇形，則此圓錐的體積為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗設(shè)圓錐的底面半徑為，母線長(zhǎng)為，由題意可得：，解得，則圓錐的高，所以此圓錐的體積為.故選：B.3.已知向量和滿足，，，則向量在向量上的投影向量為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由向量和滿足，，，可得，解得，所以向量在向量上的投影向量.故選：A.4.已知雙曲線（，）的兩條漸近線均和圓相切，且雙曲線的左焦點(diǎn)為圓C的圓心，則該雙曲線的方程為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因?yàn)閳A的圓心為，半徑，又因?yàn)殡p曲線的一條漸近線為，即，雙曲線的左焦點(diǎn)到漸近線的距離，由題意可知：，可得，所以該雙曲線的方程為.故選：D.5.將函數(shù)的圖象向右平移（）個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象，若函數(shù)在區(qū)間上恰有兩個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得的圖象，由，得，又在上有2個(gè)零點(diǎn)，所以，解得，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選：C6.“五一”假期將至，某旅行社適時(shí)推出了“晉祠”“五臺(tái)山”“云岡石窟”“喬家大院”“王家大院”共五條旅游線路可供旅客選擇，其中“喬家大院”線路只剩下一個(gè)名額，其余線路名額充足．現(xiàn)有小張、小胡、小李、小郭這四人前去報(bào)名，每人只選擇其中一條線路，四人選完后，恰好選擇了三條不同的線路．則不同的報(bào)名情況總共有（）A.360種 B.316種 C.288種 D.216種〖答案〗C〖解析〗若四人中，沒(méi)有人選擇“喬家大院”線路，，則方法數(shù)有種.若四人中，恰有1人選擇“喬家大院”線路，則方法數(shù)有種.所以他們報(bào)名的情況總共有種.故選：C.7.已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，，則的取值范圍是（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗由題意可得：，即，可知，設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，可得等差數(shù)列為遞減數(shù)列，則，由可得，則，所以.故選：B.8.已知正方形的邊長(zhǎng)為2，點(diǎn)P在以A為圓心，1為半徑的圓上，則的最小值為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗妨設(shè)，因?yàn)椋O(shè)，則，因?yàn)椋瑒t，可知當(dāng)，即時(shí)，取得最小值，所以的最小值為.故選：D.二、選擇題9.水稻產(chǎn)量是由單位面積上的穗數(shù)、每穗粒數(shù)（每穗穎花數(shù)）、成粒率和粒重四個(gè)基本因素構(gòu)成．某實(shí)驗(yàn)基地有兩塊面積相等的試驗(yàn)田，在種植環(huán)境相同的條件下，這兩塊試驗(yàn)田分別種植了甲、乙兩種水稻，連續(xù)試驗(yàn)5次，水稻的產(chǎn)量如下：甲（單位：kg）250240240200270乙（單位：kg）250210280240220則下列說(shuō)法正確的是（）A.甲種水稻產(chǎn)量的極差為70B.乙種水稻產(chǎn)量的中位數(shù)為240C.甲種水稻產(chǎn)量的平均數(shù)大于乙種水稻產(chǎn)量的平均數(shù)D.甲種水稻產(chǎn)量的方差小于乙種水稻產(chǎn)量的方差〖答案〗ABD〖解析〗根據(jù)給定數(shù)表知，甲種水稻產(chǎn)量的極差為，乙種水稻產(chǎn)量的中位數(shù)為240，A，B都正確；甲種水稻產(chǎn)量平均數(shù)為，乙種水稻產(chǎn)量平均數(shù)為，C錯(cuò)誤；甲種水稻產(chǎn)量方差為，乙種水稻產(chǎn)量方差為，D正確.故選：ABD10.已知函數(shù)的定義域?yàn)?，且?duì)任意的，都有，若，則下列說(shuō)法正確的是（）A. B.的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱C. D.〖答案〗AC〖解析〗因?yàn)?，且函?shù)的定義域?yàn)椋瑢?duì)于選項(xiàng)A：令，可得，解得，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B：令，可得，解得，令，可得，所以的圖象不關(guān)于y軸對(duì)稱，故B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)CD：若，可得，令，可得，可知數(shù)列是以首項(xiàng)，公差為1的等差數(shù)列，可得，則，所以，故C正確，D錯(cuò)誤；故選：AC.11.如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，點(diǎn)P是側(cè)面內(nèi)的一點(diǎn)，點(diǎn)E是線段上的一點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（）A.當(dāng)點(diǎn)P是線段的中點(diǎn)時(shí)，存在點(diǎn)E，使得平面B.當(dāng)點(diǎn)E為線段的中點(diǎn)時(shí)，過(guò)點(diǎn)A，E，的平面截該正方體所得的截面的面積為C.點(diǎn)E到直線的距離的最小值為D.當(dāng)點(diǎn)E為棱的中點(diǎn)且時(shí)，則點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為〖答案〗ACD〖解析〗對(duì)于A，如下圖所示，連接，因?yàn)辄c(diǎn)是線段的中點(diǎn)，所以點(diǎn)也是線段的中點(diǎn)，所以平面即為平面.根據(jù)正方體的性質(zhì)，平面，平面，所以，又因?yàn)?，平面，平面，所以平面，所以與重合時(shí)，平面，故A正確；對(duì)于B，如下圖所示，取的中點(diǎn)，根據(jù)分別為的中點(diǎn)，易得，所以四點(diǎn)共面，所以截面為四邊形，且該四邊形為等腰梯形.又因?yàn)?，所以等腰梯形的高為，所以截面面積為，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，由圖可得，，所以，設(shè)，所以，所以點(diǎn)到直線的距離，所以時(shí)，距離最小，最小為，故C正確；對(duì)于D，如圖所示，取的中點(diǎn)，連接，易得平面，又因?yàn)槠矫?，所以，所以，則點(diǎn)在側(cè)面內(nèi)的運(yùn)動(dòng)軌跡為以為圓心，半徑為2的劣弧，圓心角為，所以點(diǎn)軌跡長(zhǎng)度為，故D正確.故選：ACD.三、填空題12.已知集合，，若，則的子集的個(gè)數(shù)為_(kāi)_______．〖答案〗8〖解析〗由可知，則，可得，解得：，所以，即.,所以，則的子集的個(gè)數(shù)為.故〖答案〗為：813.已知，，則________．〖答案〗〖解析〗因?yàn)?，即，可得，又因?yàn)?，可得，所?故〖答案〗為：.14.已知橢圓（）的左、右焦點(diǎn)分別為，，過(guò)的直線與C交于A，B兩點(diǎn)，且，若的面積為，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則的值為_(kāi)_______．〖答案〗〖解析〗設(shè)，，，則，在中，可知，即，可得，由余弦定理可得，即，可得，則，解得或，又因?yàn)?，則，可得，可知，又因?yàn)椋芍獮榈冗吶切?，即，結(jié)合對(duì)稱性可知軸，則，，所以.故〖答案〗為：.四、解答題15.在中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，．（1）求的值；（2）如圖，，點(diǎn)D為邊AC上一點(diǎn)，且，，求的面積．解：（1）因?yàn)椋烧叶ɡ砜傻?，則，注意到，則，可得，且，則，可得，則，又因?yàn)?，則，可知，可得，，所以.（2）由（1）可得：，因?yàn)?，在中，可得，，又因?yàn)?，可得，則，在中，由余弦定理，即，解得，可知，所以的面積.16.長(zhǎng)跑可提高呼吸系統(tǒng)和心血管系統(tǒng)機(jī)能，較長(zhǎng)時(shí)間有節(jié)奏的深長(zhǎng)呼吸，能使人體呼吸大量的氧氣，吸收氧氣量若超過(guò)平時(shí)的7—8倍，就可以抑制人體癌細(xì)胞的生長(zhǎng)和繁殖．其次長(zhǎng)跑鍛煉還改善了心肌供氧狀態(tài)，加快了心肌代謝，同時(shí)還使心肌肌纖維變粗，心收縮力增強(qiáng)，從而提高了心臟工作能力．某學(xué)校對(duì)男、女學(xué)生是否喜歡長(zhǎng)跑進(jìn)行了調(diào)查，調(diào)查男、女生人數(shù)均為200，統(tǒng)計(jì)得到以下列聯(lián)表：喜歡不喜歡合計(jì)男生12080200女生100100200合計(jì)220180400（1）試根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為學(xué)生對(duì)長(zhǎng)跑的喜歡情況與性別有關(guān)聯(lián)？（2）為弄清學(xué)生不喜歡長(zhǎng)跑的原因，從調(diào)查的不喜歡長(zhǎng)跑的學(xué)生中按性別采用分層抽樣的方法隨機(jī)抽取9人，再?gòu)倪@9人中抽取3人進(jìn)行面對(duì)面交流，記隨機(jī)變量X表示抽到的3人中女生的人數(shù)，求X的分布列；（3）將頻率視為概率，用樣本估計(jì)總體，從該校全體學(xué)生中隨機(jī)抽取12人，記其中喜歡長(zhǎng)跑的人數(shù)為Y，求Y的數(shù)學(xué)期望．附：，其中．0.1000.0500.0250.0100.0012.7063.8415.0246.63510.828解：（1）根據(jù)題意，由列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，可得，所以有認(rèn)為學(xué)生對(duì)長(zhǎng)跑的喜歡情況與性別有關(guān)聯(lián).（2）從調(diào)查的不喜歡長(zhǎng)跑的學(xué)生中按性別采用分層抽樣的方法隨機(jī)抽取9人，其中男生的人數(shù)為人，女生的人數(shù)為人，從9人中隨機(jī)抽取3人，所以隨機(jī)變量的可能取值為，可得，，則隨機(jī)變量的分布列為：0123（3）由題意知，任抽1人喜歡長(zhǎng)跑的概率為，所以隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，即，所以.17.如圖1，在中，，，點(diǎn)D是線段AC的中點(diǎn)，點(diǎn)E是線段AB上的一點(diǎn)，且，將沿DE翻折到的位置，使得，連接PB，PC，如圖2所示，點(diǎn)F是線段PB上的一點(diǎn)．（1）若，求證：平面；（2）若直線CF與平面所成角的正弦值為，求線段BF的長(zhǎng)．（1）證明：由題意可知：，，平面，可得平面，且，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，可得，設(shè)，則，若，則，，由題意可知：平面的法向量，因，且平面，所以∥平面.（2）解：由（1）可得：，設(shè)平面的法向量，則，令，則，可得，由題意可得：，整理得，解得或，所以或，即線段BF的長(zhǎng)為或.18.已知拋物線C：（）的準(zhǔn)線與圓O：相切．（1）求C的方程；（2）設(shè)點(diǎn)P是C上的一點(diǎn)，點(diǎn)A，B是C的準(zhǔn)線上兩個(gè)不同的點(diǎn)，且圓O是的內(nèi)切圓．①若，求點(diǎn)P的橫坐標(biāo)；②求面積最小值．解：（1）因?yàn)閳AO：的圓心為，半徑，由題意可知：拋物線C的準(zhǔn)線為，可得，所以拋物線C的方程為.（2）設(shè)，可知直線，即，因?yàn)橹本€與圓O相切，則，整理得，且，化簡(jiǎn)可得：，同理可得：，同構(gòu)可知：是關(guān)于x的方程的兩根，則，可得，注意到點(diǎn)在拋物線C：上，則，則.①若，整理得，解得或（舍去），即點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為3；②因?yàn)辄c(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，則面積，設(shè)，則，可得，且，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以，所以面積的最小值為.19.已知函數(shù)（）．（1）若，求的圖象在處的切線方程；（2）若對(duì)于任意的恒成立，求a的取值范圍；（3）若數(shù)列滿足且（），記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求證：．（1）解：當(dāng)時(shí)，，則，得，又，所以在處的切線為；（2）解：對(duì)恒成立，，設(shè)