山西省晉城市2024屆高三第二次模擬考試數學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1山西省晉城市2024屆高三第二次模擬考試數學試題一、選擇題1.已知復數z滿足，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因為，則，所以.故選：A.2.已知圓錐的側面積為，它的側面展開圖是圓心角為的扇形，則此圓錐的體積為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗設圓錐的底面半徑為，母線長為，由題意可得：，解得，則圓錐的高，所以此圓錐的體積為.故選：B.3.已知向量和滿足，，，則向量在向量上的投影向量為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由向量和滿足，，，可得，解得，所以向量在向量上的投影向量.故選：A.4.已知雙曲線（，）的兩條漸近線均和圓相切，且雙曲線的左焦點為圓C的圓心，則該雙曲線的方程為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因為圓的圓心為，半徑，又因為雙曲線的一條漸近線為，即，雙曲線的左焦點到漸近線的距離，由題意可知：，可得，所以該雙曲線的方程為.故選：D.5.將函數的圖象向右平移（）個單位長度，得到函數的圖象，若函數在區(qū)間上恰有兩個零點，則的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗將函數的圖象向右平移個單位長度，得的圖象，由，得，又在上有2個零點，所以，解得，即實數的取值范圍為.故選：C6.“五一”假期將至，某旅行社適時推出了“晉祠”“五臺山”“云岡石窟”“喬家大院”“王家大院”共五條旅游線路可供旅客選擇，其中“喬家大院”線路只剩下一個名額，其余線路名額充足．現有小張、小胡、小李、小郭這四人前去報名，每人只選擇其中一條線路，四人選完后，恰好選擇了三條不同的線路．則不同的報名情況總共有（）A.360種 B.316種 C.288種 D.216種〖答案〗C〖解析〗若四人中，沒有人選擇“喬家大院”線路，，則方法數有種.若四人中，恰有1人選擇“喬家大院”線路，則方法數有種.所以他們報名的情況總共有種.故選：C.7.已知等差數列的前n項和為，若，，則的取值范圍是（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗由題意可得：，即，可知，設等差數列的公差為，則，可得等差數列為遞減數列，則，由可得，則，所以.故選：B.8.已知正方形的邊長為2，點P在以A為圓心，1為半徑的圓上，則的最小值為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗妨設，因為，設，則，因為，則，可知當，即時，取得最小值，所以的最小值為.故選：D.二、選擇題9.水稻產量是由單位面積上的穗數、每穗粒數（每穗穎花數）、成粒率和粒重四個基本因素構成．某實驗基地有兩塊面積相等的試驗田，在種植環(huán)境相同的條件下，這兩塊試驗田分別種植了甲、乙兩種水稻，連續(xù)試驗5次，水稻的產量如下：甲（單位：kg）250240240200270乙（單位：kg）250210280240220則下列說法正確的是（）A.甲種水稻產量的極差為70B.乙種水稻產量的中位數為240C.甲種水稻產量的平均數大于乙種水稻產量的平均數D.甲種水稻產量的方差小于乙種水稻產量的方差〖答案〗ABD〖解析〗根據給定數表知，甲種水稻產量的極差為，乙種水稻產量的中位數為240，A，B都正確；甲種水稻產量平均數為，乙種水稻產量平均數為，C錯誤；甲種水稻產量方差為，乙種水稻產量方差為，D正確.故選：ABD10.已知函數的定義域為，且對任意的，都有，若，則下列說法正確的是（）A. B.的圖象關于y軸對稱C. D.〖答案〗AC〖解析〗因為，且函數的定義域為，對于選項A：令，可得，解得，故A正確；對于選項B：令，可得，解得，令，可得，所以的圖象不關于y軸對稱，故B錯誤；對于選項CD：若，可得，令，可得，可知數列是以首項，公差為1的等差數列，可得，則，所以，故C正確，D錯誤；故選：AC.11.如圖，在棱長為2的正方體中，點P是側面內的一點，點E是線段上的一點，則下列說法正確的是（）A.當點P是線段的中點時，存在點E，使得平面B.當點E為線段的中點時，過點A，E，的平面截該正方體所得的截面的面積為C.點E到直線的距離的最小值為D.當點E為棱的中點且時，則點P的軌跡長度為〖答案〗ACD〖解析〗對于A，如下圖所示，連接，因為點是線段的中點，所以點也是線段的中點，所以平面即為平面.根據正方體的性質，平面，平面，所以，又因為，平面，平面，所以平面，所以與重合時，平面，故A正確；對于B，如下圖所示，取的中點，根據分別為的中點，易得，所以四點共面，所以截面為四邊形，且該四邊形為等腰梯形.又因為，所以等腰梯形的高為，所以截面面積為，故B錯誤；對于C，如圖建立空間直角坐標系，由圖可得，，所以，設，所以，所以點到直線的距離，所以時，距離最小，最小為，故C正確；對于D，如圖所示，取的中點，連接，易得平面，又因為平面，所以，所以，則點在側面內的運動軌跡為以為圓心，半徑為2的劣弧，圓心角為，所以點軌跡長度為，故D正確.故選：ACD.三、填空題12.已知集合，，若，則的子集的個數為________．〖答案〗8〖解析〗由可知，則，可得，解得：，所以，即.,所以，則的子集的個數為.故〖答案〗為：813.已知，，則________．〖答案〗〖解析〗因為，即，可得，又因為，可得，所以.故〖答案〗為：.14.已知橢圓（）的左、右焦點分別為，，過的直線與C交于A，B兩點，且，若的面積為，其中O為坐標原點，則的值為________．〖答案〗〖解析〗設，，，則，在中，可知，即，可得，由余弦定理可得，即，可得，則，解得或，又因為，則，可得，可知，又因為，可知為等邊三角形，即，結合對稱性可知軸，則，，所以.故〖答案〗為：.四、解答題15.在中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，．（1）求的值；（2）如圖，，點D為邊AC上一點，且，，求的面積．解：（1）因為，由正弦定理可得，則，注意到，則，可得，且，則，可得，則，又因為，則，可知，可得，，所以.（2）由（1）可得：，因為，在中，可得，，又因為，可得，則，在中，由余弦定理，即，解得，可知，所以的面積.16.長跑可提高呼吸系統(tǒng)和心血管系統(tǒng)機能，較長時間有節(jié)奏的深長呼吸，能使人體呼吸大量的氧氣，吸收氧氣量若超過平時的7—8倍，就可以抑制人體癌細胞的生長和繁殖．其次長跑鍛煉還改善了心肌供氧狀態(tài)，加快了心肌代謝，同時還使心肌肌纖維變粗，心收縮力增強，從而提高了心臟工作能力．某學校對男、女學生是否喜歡長跑進行了調查，調查男、女生人數均為200，統(tǒng)計得到以下列聯表：喜歡不喜歡合計男生12080200女生100100200合計220180400（1）試根據小概率值的獨立性檢驗，能否認為學生對長跑的喜歡情況與性別有關聯？（2）為弄清學生不喜歡長跑的原因，從調查的不喜歡長跑的學生中按性別采用分層抽樣的方法隨機抽取9人，再從這9人中抽取3人進行面對面交流，記隨機變量X表示抽到的3人中女生的人數，求X的分布列；（3）將頻率視為概率，用樣本估計總體，從該校全體學生中隨機抽取12人，記其中喜歡長跑的人數為Y，求Y的數學期望．附：，其中．0.1000.0500.0250.0100.0012.7063.8415.0246.63510.828解：（1）根據題意，由列聯表中的數據，可得，所以有認為學生對長跑的喜歡情況與性別有關聯.（2）從調查的不喜歡長跑的學生中按性別采用分層抽樣的方法隨機抽取9人，其中男生的人數為人，女生的人數為人，從9人中隨機抽取3人，所以隨機變量的可能取值為，可得，，則隨機變量的分布列為：0123（3）由題意知，任抽1人喜歡長跑的概率為，所以隨機變量服從二項分布，即，所以.17.如圖1，在中，，，點D是線段AC的中點，點E是線段AB上的一點，且，將沿DE翻折到的位置，使得，連接PB，PC，如圖2所示，點F是線段PB上的一點．（1）若，求證：平面；（2）若直線CF與平面所成角的正弦值為，求線段BF的長．（1）證明：由題意可知：，，平面，可得平面，且，以為坐標原點，分別為軸，建立空間直角坐標系，則，可得，設，則，若，則，，由題意可知：平面的法向量，因，且平面，所以∥平面.（2）解：由（1）可得：，設平面的法向量，則，令，則，可得，由題意可得：，整理得，解得或，所以或，即線段BF的長為或.18.已知拋物線C：（）的準線與圓O：相切．（1）求C的方程；（2）設點P是C上的一點，點A，B是C的準線上兩個不同的點，且圓O是的內切圓．①若，求點P的橫坐標；②求面積最小值．解：（1）因為圓O：的圓心為，半徑，由題意可知：拋物線C的準線為，可得，所以拋物線C的方程為.（2）設，可知直線，即，因為直線與圓O相切，則，整理得，且，化簡可得：，同理可得：，同構可知：是關于x的方程的兩根，則，可得，注意到點在拋物線C：上，則，則.①若，整理得，解得或（舍去），即點P的橫坐標為3；②因為點到準線的距離，則面積，設，則，可得，且，當且僅當時，等號成立，所以，所以面積的最小值為.19.已知函數（）．（1）若，求的圖象在處的切線方程；（2）若對于任意的恒成立，求a的取值范圍；（3）若數列滿足且（），記數列的前n項和為，求證：．（1）解：當時，，則，得，又，所以在處的切線為；（2）解：對恒成立，，設