四川省安寧河聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期4月期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1四川省安寧河聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期4月期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知?jiǎng)t（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗已知?jiǎng)t.故選：D.2.已知為共線向量，且，則（）A. B.3 C. D.〖答案〗C〖解析〗共線，則，得，故.故選：C.3.已知，是第四象限角，則的值為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因?yàn)?，所以，則，是第四象限角，，．故選：D．4.的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，已知，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因?yàn)椋烧叶ɡ淼糜?，則，化簡(jiǎn)得.故選：D.5.已知向量非零向量滿足，則在方向上的投影向量為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗在方向上投影向量為.故選：B.6.的圖象如圖所示，為了得到的圖象，則只要將的圖象（）A.向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度 B.向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度C.向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度 D.向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度〖答案〗C〖解析〗函數(shù)的部分圖象，可得，，，則，又，，則，故，對(duì)A：向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到，故A錯(cuò)誤；對(duì)B：向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到，故B錯(cuò)誤；對(duì)C：向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到，故C正確；對(duì)D：向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到，故D錯(cuò)誤.故選：C．7.筒車亦稱“水轉(zhuǎn)筒車”，是我國(guó)古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，筒車發(fā)明于隋而盛于唐，距今已有1000多年的歷史，明朝科學(xué)家徐光啟在《農(nóng)政全書(shū)》中用圖畫(huà)描繪了筒車的工作原理（如圖）．假設(shè)在水流量穩(wěn)定的情況下，一個(gè)半徑為的筒車按逆時(shí)針?lè)较蜃鲆蝗Φ膭蛩賵A周運(yùn)動(dòng)，已知筒車的軸心O到水面的距離為，且該筒車均勻分布有8個(gè)盛水筒（視為質(zhì)點(diǎn)），以筒車上的某個(gè)盛水筒P剛浮出水面開(kāi)始計(jì)時(shí)，設(shè)轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)間為t（單位：），則下列說(shuō)法正確的是（）①時(shí)，盛水筒P到水面的距離為；②與時(shí)，盛水筒P到水面的距離相等；③經(jīng)過(guò)，盛水筒P共8次經(jīng)過(guò)筒車最高點(diǎn)；④記與盛水筒P相鄰盛水筒為Q，則P，Q到水面的距離差的最大值為．A.①② B.②③ C.①③④ D.①②④〖答案〗A〖解析〗依題意作圖如下：以水車的軸心為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系如圖，由題可知水車旋轉(zhuǎn)一周的時(shí)間為4min，當(dāng)剛露出水面時(shí)，與軸的夾角是，相鄰盛水桶之間的夾角是，當(dāng)旋轉(zhuǎn)時(shí)，旋轉(zhuǎn)了，旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)，此時(shí)點(diǎn)到水面的距離為，所以①正確；②當(dāng)時(shí)，旋轉(zhuǎn)了周，即，此時(shí)的位置是點(diǎn)，與軸正半軸的夾角是，當(dāng)時(shí)，旋轉(zhuǎn)了，即點(diǎn)，與軸正半軸的夾角也是，點(diǎn)與點(diǎn)到水面的距離相等，所以②正確；③經(jīng)過(guò)，則水車轉(zhuǎn)過(guò)了個(gè)周期，所以盛水桶共9次經(jīng)過(guò)最高點(diǎn)，故③錯(cuò)誤；④設(shè)在的上方，與軸負(fù)方向的夾角為，，則與軸負(fù)方向的夾角為，相鄰兩筒到水面的距離差為：，其中，，當(dāng)時(shí)取最大值為，故④錯(cuò)誤.故選：A．8.如圖，在中，為上一點(diǎn)，且滿足，若則的值為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因?yàn)樗砸驗(yàn)槿c(diǎn)共線，所以即，又因，所以，且為不共線的非零向量，所以，解得，所以，所以.故選：B.二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求；全部選對(duì)的得6分，選對(duì)但不全的得3分，有選錯(cuò)的得0分．9.下列計(jì)算中正確的是（）A. B.C D.〖答案〗ABC〖解析〗對(duì)于A：原式，故A正確；對(duì)于B：原式，故B正確；對(duì)于C：原式，故C正確；對(duì)于D：原式，故D錯(cuò)誤.故選：ABC.10.已知函數(shù)，則下列結(jié)論中正確有（）A.函數(shù)〖解析〗式化簡(jiǎn)后為：B.的對(duì)稱軸為，C.的對(duì)稱中心為，D.的單調(diào)遞增區(qū)間為，〖答案〗AD〖解析〗，A正確；對(duì)于B，令，則，對(duì)稱軸為，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，令，，可得對(duì)稱中心為，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，令，則，單調(diào)遞增區(qū)間為，故D正確．故選：AD．11.八卦是中國(guó)文化的基本哲學(xué)概念，如圖1是八卦模型圖，其平面圖形記為圖2中的正八邊形，其中，則下列結(jié)論正確的有（）A.B.C.在上的投影向量為D.若點(diǎn)為正八邊形邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最大值為〖答案〗BCD〖解析〗由題意可知，正八邊形每個(gè)邊所對(duì)的角都是，中心到各頂點(diǎn)的距離為2，對(duì)于A，，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，則以，為鄰邊的對(duì)角線長(zhǎng)是的倍，可得，故B正確；對(duì)于C，在上的投影向量為，故C正確；對(duì)于D，設(shè)的夾角為則，其中表示在上的投影，易知，延長(zhǎng)DC交AB延長(zhǎng)線于Q，當(dāng)P在線段DC上運(yùn)動(dòng)，投影最大，易知為等腰直角三角形，且，則在中，，在等腰三角形中，則，故D正確．故選：ABD．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知向量，若，則實(shí)數(shù)的值為_(kāi)__________．〖答案〗〖解析〗若，則，得.故〖答案〗為：.13.在中，已知，當(dāng)時(shí)，的面積為_(kāi)__________．〖答案〗〖解析〗設(shè)中，角所對(duì)的邊分別為，因?yàn)?，則，當(dāng)時(shí)，，故的面積為.故〖答案〗為：.14.已知，則___________．〖答案〗〖解析〗設(shè)則.故〖答案〗為：．四、解答題（本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．）15.已知，且與的夾角為，求：（1）求的值；（2）求向量與的夾角的余弦值．解：（1）由平面向量數(shù)量積的定義得，故的值為.（2）設(shè)向量與的夾角為，，又，，故向量與的夾角的余弦值為.16.已知函數(shù)，若相鄰兩條對(duì)稱軸的距離為.（1）求的〖解析〗式；（2）在中，，求的面積.解：（1），因?yàn)榈南噜弮蓷l對(duì)稱軸的距離為，，故的〖解析〗式為.（2）由題意知：，所以，，由余弦定理，可得，解得，.17.如圖、在四邊形中，，分別為，的中點(diǎn)．（1）求證：；（2）若，，向量，的夾角為，，求．解：（1）證明：，分別為，的中點(diǎn)，，，，①，②①②得：，．（2），，，，向量，的夾角為，，．18.銳角的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知（1）求角的值；（2）若求面積的取值范圍．解：（1）及正弦定理，，，，，即又，.（2）在中，由正弦定理定理，可得，是銳角三角形，，解得，由，得，所以，于是有，故面積的取值范圍為.19.某居民小區(qū)為緩解業(yè)主停車難的問(wèn)題，擬對(duì)小區(qū)內(nèi)一塊扇形空地進(jìn)行改造．如圖所示，矩形區(qū)域?yàn)橥＼噲?chǎng)，其余部分建成綠地，已知扇形的半徑為2（百米），圓心角分別為，現(xiàn)要探究在該扇形內(nèi)截取一個(gè)矩形，應(yīng)該如何截取，可以使得截取的矩形面積最大．一種方案是將矩形的一邊CD放在OA上，另外兩個(gè)頂點(diǎn)E，F(xiàn)分別在弧AB和OB上（如圖2所示）；（1）若按方案一來(lái)進(jìn)行修建，求停車場(chǎng)面積的最大值；（2）修建停車場(chǎng)的一種方案是，將矩形一邊的兩個(gè)頂點(diǎn)D，E在弧AB上，另外兩個(gè)頂點(diǎn)C，F(xiàn)分別在OA和OB上（如圖3所示）．比較兩種方案，哪種方案更優(yōu)？解：（1）連接OE，設(shè)，