四川省雅安市2024屆高三下學期4月聯(lián)考數(shù)學試題（文）（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1四川省雅安市2024屆高三下學期4月聯(lián)考數(shù)學試題（文）第I卷一、選擇題1.若集合，，則B中元素的最小值為（）A. B. C. D.32〖答案〗A〖解析〗由題意可得，，所以B中元素的最小值為.故選：A.2.若向量，，，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因為，所以，解得.故選：A.3.若圓與圓外切，則（）A.2 B.3 C.4 D.5〖答案〗C〖解析〗由圓與圓知，圓心分別為，半徑為1，，因為兩圓外切，所以，解得.故選：C.4.設，為兩個不同的平面，為兩條不同的直線，且，，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗D〖解析〗如圖1，當時，與不一定垂直，如圖2，當時，m與n不一定垂直，所以“”是“”的既不充分也不必要條件，故選：D.5.若復數(shù)的實部為4，則點的軌跡是（）A.短軸長為4的橢圓 B.實軸長為4的雙曲線C.長軸長為4的橢圓 D.虛軸長為4的雙曲線〖答案〗C〖解析〗因為，所以，即，所以點的軌跡是長軸長為4的橢圓.故選：C.6.函數(shù)是（）A.最小正周期為的奇函數(shù) B.最小正周期為的奇函數(shù)C.最小正周期為的偶函數(shù) D.最小正周期為的偶函數(shù)〖答案〗B〖解析〗因為,，所以該函數(shù)為奇函數(shù)，故C,D項錯誤；因為,顯然在上不能恒成立，故A,C項錯誤；又，即是的周期，故B項正確.故選：B.7.設的整數(shù)部分為，則數(shù)列的前30項和為（）A.465 B.466 C.467 D.468〖答案〗D〖解析〗當時，；當時，；當時，，，故數(shù)列的前30項和為.故選：D.8.若函數(shù)的值域為R，則的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗依題意，取遍所有正數(shù)，則，而，解得，所以.故選：B9.一質(zhì)點的速度（單位：）與時間（單位：s）滿足函數(shù)關系式，其中為常數(shù).當時，該質(zhì)點的瞬時加速度為，則當時，該質(zhì)點的瞬時加速度為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗，當時，，解得.當時，，所以該質(zhì)點的瞬時加速度為.故選：A.10.已知函數(shù)，，則（）A.當有2個零點時，只有1個零點B.當有3個零點時，有2個零點C.當有2個零點時，有2個零點D.當有2個零點時，有4個零點〖答案〗D〖解析〗兩個函數(shù)的零點個數(shù)轉(zhuǎn)化為圖象與的圖象的公共點的個數(shù)，作出，的大致圖象，如圖所示.由圖可知，當有2個零點時，無零點或只有1個零點；當有3個零點時，只有1個零點；當有2個零點時，有4個零點.故選：D.11.的最小值為（）A. B.5 C. D.6〖答案〗B〖解析〗設，，，易知點的軌跡是拋物線的上半部分，又，因為為拋物線的焦點，由拋物線的定義知，等于到準線的距離，所以的最小值為，故選：A.12.在四棱錐中，底面為矩形，底面與底面所成角分別為，且，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗如圖，設，因為在矩形中，，所以，因為底面，所以分別是與底面所成的角，即，所以.因為，所以，解得(負根舍去)，所以.故選：D.第Ⅱ卷二、填空題13.一組樣本數(shù)據(jù)的眾數(shù)為______，中位數(shù)為______．〖答案〗〖解析〗將樣本數(shù)據(jù)，從小排到大得到，由眾數(shù)及中位數(shù)的定義知：眾數(shù)為，中位數(shù)為，故〖答案〗為：，.14.若x，y滿足約束條件則的取值范圍是______.〖答案〗〖解析〗作出約束條件表示可行域，設，即，聯(lián)立，解得，當直線經(jīng)過點時，縱截距取得最大值3，所以的取值范圍是.故〖答案〗為：.15.甲、乙、丙、丁四位同學的座位要進行調(diào)整，且四位同學的座位就在他們四人之間隨機調(diào)整（每人不能坐回自己的原位），則調(diào)整座位之后，甲和乙的座位恰好交換的概率為____________〖答案〗〖解析〗四位同學的所有換位情況如下圖所示：由圖知甲和乙的座位恰好交換的情況只有一種，故甲和乙的座位恰好交換的概率為，故〖答案〗為：16.已知定義在上的函數(shù)滿足，，則______.〖答案〗〖解析〗令，得.設數(shù)列滿足，，則，，所以數(shù)列是首項為2，公比也為2的等比數(shù)列，則，即，所以.故〖答案〗為：三、解答題（一）必考題17.已知甲社區(qū)有120人計劃去四川旅游，他們每人將從峨眉山與青城山中選擇一個去旅游，將這120人分為東、西兩小組，兩組的人數(shù)相等，已知東小組中去峨眉山的人數(shù)是去青城山人數(shù)的兩倍，西小組中去峨眉山的人數(shù)比去青城山的人數(shù)少10.（1）完成下面的2×2列聯(lián)表

去峨眉山旅游去青城山旅游合計東小組

西小組

合計

（2）判斷是否有99%的把握認為游客的選擇與所在的小組有關，說明你的理由.參考公式：，.0.0500.0100.0013.8416.63510.828解：（1）因為東西兩組的人數(shù)相等，故兩小組各有60人，已知東小組中去峨眉山的人數(shù)是去青城山人數(shù)的兩倍，故東小組中去峨眉山的有人，去青城山的有人，設西小組中去峨眉山的人數(shù)為x,則，故，則青城山人數(shù)為35人，2×2列聯(lián)表如下：

去峨眉山旅游去青城山旅游合計東小組402060西小組253560合計6555120（2）因為，所以有99%的把握認為游客的選擇與所在的小組有關.18.已知的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且，.（1）求A；（2）若D為邊上一點，且，證明：外接圓的周長為.（1）解：因，所以，即，又，所以.因為，所以.（2）證明：在中，由正弦定理，得，則，則設外接圓的半徑為，則，所以外接圓的周長為.19.如圖，在直三棱柱中，，，D為的中點.（1）證明：平面.（2）若以為直徑的球的表面積為，求三棱錐的體積.（1）證明：連接交于點E，則E為的中點，連接，而為的中點，則，又平面，平面，所以平面.（2）解：由，為的中點，得，且，由以為直徑的球的表面積為，得，解得，因此，解得，顯然面積，所以.20.已知函數(shù).（1）當時，求的單調(diào)區(qū)間;（2）定義表示不超過的最大整數(shù)，當時，證明:有兩個零點，，并求的值.參考數(shù)據(jù):，，.解：（1）的定義域為，.令，得.當時，，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為.當時，，的單調(diào)遞增區(qū)間為.（2）證明：當時，，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.，，，，由零點存在性定理知有兩個零點，，且，，則，所以.21.雙曲線上一點到左?右焦點的距離之差為6，（1）求雙曲線的方程，（2）已知，過點的直線與交于（異于）兩點，直線與交于點，試問點到直線的距離是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請說明理由，解：（1）依題意可得，解得，故雙曲線的方程為.（2）由題意可得直線的斜率不為0，設直線的方程為，聯(lián)立，消去，得，則，，設，則，又，直線，直線，聯(lián)立，兩式相除，得，即，解得，所以點在定直線上，因為直線與直線之間的距離為，所以點到直線的距離為定值，且定值為.（二）選考題[選修4—4：坐標系與參數(shù)方程]22.在極坐標系中，O為極點，曲線M的方程為，曲線N的方程為，其中m為常數(shù).（1）以O為坐標原點，極軸為x軸的正半軸，建立直角坐標系，求曲線M與N的直角坐標方程；（2）設，曲線M與N的兩個交點為A，B，點C的極坐標為，若的重心G的極角為，求t的值.解：（1）由，得，則，所以，所以曲線M的直角坐標方程為.曲線N的直角坐標方程為.（2）因為，所以曲線N的直角坐標方程