湘豫名校聯(lián)考2024屆高三下學(xué)期第二次模擬考試數(shù)學(xué)試卷（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1湘豫名校聯(lián)考2024屆高三下學(xué)期第二次模擬考試數(shù)學(xué)試卷一?選擇題1.已知全集，集合，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗全集，，則，而，所以.故選：B.2.若復(fù)數(shù)滿足，為虛數(shù)單位，則在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限〖答案〗D〖解析〗因?yàn)?，所以，所以的共軛?fù)數(shù)，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)坐標(biāo)為位于第四象限.故選：D.3.若函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗依題意，函數(shù)是偶函數(shù)，則，即，而，所以.故選：B.4.已知，則（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗因?yàn)?，，又，所以，又，所?故選：A5.某單位選派一支代表隊(duì)參加市里的辯論比賽，現(xiàn)有“初心”“使命”兩支預(yù)備隊(duì).選哪支隊(duì)是隨機(jī)的，其中選“初心”隊(duì)獲勝的概率為0.8，選“使命”隊(duì)獲勝的概率為0.7，單位在比賽中獲勝的條件下，選“使命”隊(duì)參加比賽的概率為（）A B. C. D.〖答案〗D〖解析〗依題意，記選“初心”隊(duì)為事件，選“使命”隊(duì)為事件，該單位獲勝為事件，則,因此，所以選“使命”隊(duì)參加比賽的概率.故選：D6.如圖，平面四邊形中，，.若是橢圓和雙曲線的兩個(gè)公共焦點(diǎn)，是與的兩個(gè)交點(diǎn)，則與的離心率之積為（）A. B. C.2 D.3〖答案〗C〖解析〗依題意，由對(duì)稱性知，四邊形是等腰梯形，過作于，連接，則，，在中，,所以與的離心率之積為.故選：C7.如圖，在中，分別為的中點(diǎn)，為上一點(diǎn)，且滿足，則（）A. B.1 C. D.〖答案〗B〖解析〗過點(diǎn)作于，令，由，得，，由分別為的中點(diǎn)，得，，所以.故選：B8.已知直線與直線相交于點(diǎn)，且點(diǎn)到點(diǎn)的距離等于1，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A.B.C.D.〖答案〗D〖解析〗直線過定點(diǎn)，直線過定點(diǎn)，又直線，因此點(diǎn)的軌跡是以線段為直徑的圓（除點(diǎn)外），圓心，半徑，圓的方程為且，又，顯然點(diǎn)與的距離大于1，則點(diǎn)在圓：上，依題意，圓與圓有公共點(diǎn)，于是，即，解得或，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：D.二?多選題9.人均可支配收入和人均消費(fèi)支出是兩個(gè)非常重要的經(jīng)濟(jì)和民生指標(biāo)，常被用于衡量一個(gè)地區(qū)經(jīng)濟(jì)發(fā)展水平和群眾生活水平.下圖為2018~2023年前三季度全國(guó)城鎮(zhèn)居民人均可支配收入及人均消費(fèi)支出統(tǒng)計(jì)圖，據(jù)此進(jìn)行分析，則（）A.2018~2023年前三季度全國(guó)城鎮(zhèn)居民人均可支配收入逐年遞增B2018~2023年前三季度全國(guó)城鎮(zhèn)居民人均消費(fèi)支出逐年遞增C.2018~2023年前三季度全國(guó)城鎮(zhèn)居民人均可支配收入的極差比人均消費(fèi)支出的極差大D.2018~2023年前三季度全國(guó)城鎮(zhèn)居民人均消費(fèi)支出的中位數(shù)為21180元〖答案〗ACD〖解析〗對(duì)于A，由題中折線圖知人均可支配收入逐年遞增，A正確；對(duì)于B，由題中折線圖知，20182023年前三季度全國(guó)城鎮(zhèn)居民人均消費(fèi)支出先增后減再增，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，20182023年前三季度全國(guó)城鎮(zhèn)居民人均可支配收入的極差為元，人均消費(fèi)支出的極差為元，C正確；對(duì)于D，20182023年前三季度全國(guó)城鎮(zhèn)居民人均消費(fèi)支出的中位數(shù)為元，D正確.故選：ACD10.已知是定義在上不恒為0的函數(shù)，的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，且函數(shù)的圖象的對(duì)稱中心也是圖象的一個(gè)對(duì)稱中心，則（）A.點(diǎn)是的圖象的一個(gè)對(duì)稱中心B.為周期函數(shù)，且4是的一個(gè)周期C.為偶函數(shù)D.〖答案〗AC〖解析〗由的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，得函數(shù)關(guān)于對(duì)稱，即為偶函數(shù)，，顯然函數(shù)圖象的對(duì)稱中心為原點(diǎn)，則函數(shù)的圖象的對(duì)稱中心為，即，對(duì)于A，，則是圖象的一個(gè)對(duì)稱中心，A正確；對(duì)于B，由，得，即，，是周期函數(shù)，8是該函數(shù)的一個(gè)周期，若4是的一個(gè)周期，則，而，從而與已知矛盾，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，因此為偶函數(shù)，C正確；對(duì)于D，由，得，則，D錯(cuò)誤.故選：AC11.如圖，在正四面體中，分別為側(cè)棱上的點(diǎn)，且，為的中點(diǎn)，為四邊形內(nèi)（含邊界）一動(dòng)點(diǎn)，，則（）A.B.五面體的體積為C.點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為D.與平面所成角的正切值為〖答案〗ABD〖解析〗對(duì)于A，取的中點(diǎn)，連接，依題意，是正的重心，則點(diǎn)在上，由平面，得平面，而平面，則，又，，，在中，由余弦定理得，顯然，則，而平面，則平面，又平面，所以，A正確；對(duì)于B，由選項(xiàng)A知，正四面體的高，由已知，平面平面，則平面，同理平面，又平面，于是平面平面，四面體為正四面體，高為，，因此五面體的體積：，B正確；對(duì)于C，由選項(xiàng)A知，，則，而，以線段為直徑的半圓交于，點(diǎn)的軌跡是此半圓在四邊形及內(nèi)部的弧和弧，顯然是的中點(diǎn)，而，，因此，點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由選項(xiàng)C知，是與平面所成角，，D正確.故選：ABD.三?填空題12.已知圓錐軸截面為正三角形，球與圓錐的底面和側(cè)面都相切.設(shè)圓錐的體積?表面積分別為，球的體積?表面積分別為，則__________.〖答案〗1〖解析〗依題意，設(shè)正的邊長(zhǎng)為2，則圓錐的底面圓半徑為1，高為，母線長(zhǎng)為2，因此，，球半徑即為正的邊心距，因此，，所以.故〖答案〗為：113.已知角滿足，則__________.〖答案〗0〖解析〗由已知得，顯然，否則與矛盾，則，即，于是，而，即，因此，所以.故〖答案〗為：0.14.已知為實(shí)數(shù)，若不等式對(duì)任意恒成立，則的最大值是______.〖答案〗6〖解析〗因?yàn)?，所以，則不等式等價(jià)于，等價(jià)于，令，則，從而，令，由對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)知，因?yàn)?，即，所以，令，則，解得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào)，故的最大值是6.故〖答案〗為：6.四?解答題15.設(shè)函數(shù)，曲線在點(diǎn)處的切線與直線平行.（1）求的值；（2）求的單調(diào)區(qū)間和極值.解：（1）由函數(shù)，求導(dǎo)得，依題意，，解得，此時(shí)，顯然點(diǎn)不直線上，符合題意，所以.（2）由（1）知，函數(shù)的定義域?yàn)椋?，?dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，取得極小值，當(dāng)時(shí)，取得極大值，所以函數(shù)的遞減區(qū)間是，遞增區(qū)間是，極小值，極大值0.16.如圖1，中，分別是線段上的動(dòng)點(diǎn)，且，將沿折起至，如圖2，在四棱錐中，為的中點(diǎn)，且平面.（1）證明：；（2）若為線段上一點(diǎn)，若平面與平面的夾角為，求直線與平面所成角的正弦值.（1）證明：取中點(diǎn)，連接，由為的中點(diǎn)，得，由，得，則，由平面，平面，平面平面，因此，四邊形是平行四邊形，，所以.（2）解：由（1）知，，，而，以點(diǎn)為原點(diǎn)，直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，由點(diǎn)在線段上，設(shè)，，設(shè)平面的法向量，則，令，得，設(shè)平面的法向量，則，令，得，依題意，，解得，則，所以直線與平面所成角的正弦值為.17.除夕吃年夜飯（又稱為團(tuán)圓飯）是中國(guó)人的傳統(tǒng)，年夜飯也是闔家歡聚的盛宴.設(shè)一家個(gè)人圍坐在圓形餐桌前，每個(gè)人面前及餐桌正中央均各擺放一道菜，每人每次只能從中夾一道菜.（1）當(dāng)時(shí)，若每人都隨機(jī)夾了一道菜，且每道菜最多被夾一次，計(jì)算每人夾的菜都不是餐桌正中央和自己面前的菜的概率；（2）現(xiàn)規(guī)定每人只能在自己面前或餐桌正中央的兩道菜中隨機(jī)夾取一道菜，每個(gè)人都各夾過一次菜后，記被夾取過的菜數(shù)為，求滿足的的最小值.注：若均為離散型隨機(jī)變量，則.解：（1）當(dāng)時(shí)，樣本空間包含個(gè)樣本點(diǎn)，記“每人夾的菜都不是餐桌正中央和自己面前的菜”為事件，則事件的結(jié)果數(shù)是個(gè)元素的全錯(cuò)位排列數(shù)，記表示4個(gè)元素的全錯(cuò)位排列數(shù)，可以分步計(jì)算，第一步，讓來先夾菜，除了正中央和自己面前的菜外，他有3種選擇；第二步，若他選擇了面前的菜，則讓來夾，對(duì)于，可以分為兩類，若選面前的菜，則其余人共有種選擇，若不選面前的菜，可有種選擇，而余下的兩人也只有種選擇，所以事件含有的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)為，所以由古典概型概率公式得，.（2）將道菜編號(hào)，餐桌正中央的菜編號(hào)為，其余菜編號(hào)為，，則，所以，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，所以，由題意有由題后注可知，.因?yàn)?，故?shù)列是遞增數(shù)列，又，，所以的最小值為.18.如圖，過點(diǎn)的動(dòng)直線交拋物線于兩點(diǎn).（1）若，求的方程；（2）當(dāng)直線變動(dòng)時(shí)，若不過坐標(biāo)原點(diǎn)，過點(diǎn)分別作（1）中的切線，且兩條切線相交于點(diǎn)，問：是否存在唯一的直線，使得？并說明理由.解：（1）由，得直線的斜率為，方程為，即，由消去得：，設(shè)，則，由，得，解得，所以拋物線的方程是.（2）由（1）知，拋物線的方程是，直線不垂直于軸，設(shè)直線，顯然，由消去并整理得，，則，設(shè)拋物線在處的切線方程為，由消去得：，由，得，于是拋物線在處的切線方程為，同理拋物線在處的切線方程為，設(shè)點(diǎn)，由，，得，，即點(diǎn)，于是直線的斜率分別為，若存在直線，使得，則，設(shè)直線的傾斜角分別為，則，由，得或，因此，即，則，，整理得，化簡(jiǎn)得，令，求導(dǎo)得，顯然，即恒成立，則函數(shù)在R上單調(diào)遞增，而，因此存在唯一，使得所以存在唯一的直線，使得.19.已知由個(gè)數(shù)構(gòu)成有序數(shù)組，如果恒成立，則稱有序數(shù)組為“非嚴(yán)格差增數(shù)組”.（1）設(shè)有序數(shù)組，試判斷是否為“非嚴(yán)格差增數(shù)組”？并說明理由；（2）若有序數(shù)組為“非嚴(yán)格差增數(shù)組”，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解：（1）對(duì)于有序數(shù)組，有，所以有序數(shù)組是“非嚴(yán)格差增數(shù)組”；對(duì)于有序數(shù)組，有，因?yàn)椋杂行驍?shù)組不是“非嚴(yán)格差增數(shù)組”.（2）由題意，知有序數(shù)組中的數(shù)構(gòu)成