浙江省金華十校2024屆高三4月模擬考試數(shù)學試卷（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1浙江省金華十校2024屆高三4月模擬考試數(shù)學試卷選擇題部分一、選擇題1.已知集合，，則（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗，故，故選：B.2.（）A B.C. D.〖答案〗A〖解析〗，故選：A.3.設，條件，條件，則p是q的（）A.充分不要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗B〖解析〗由于，若，則，充分性不成立，若，則，必要性成立，故是的必要不充分條件．故選：B．4.設直線，圓，則l與圓C（）A.相交 B.相切 C.相離 D.以上都有可能〖答案〗C〖解析〗圓的圓心為，半徑，則圓心到直線的距離，故直線與圓相離．故選：C．5.等差數(shù)列的首項為正數(shù)，公差為，為的前項和，若，且，，成等比數(shù)列，則（）A.1 B.2 C. D.2或〖答案〗B〖解析〗因為，，成等比數(shù)列，所以，即，即，所以或，又，，當，則，解得（舍去），當，則，解得，則.故選：B.6.在中，，，，則的面積為（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗由題意，，由正弦定理，，即，所以，故選：D.7.金華市選拔2個管理型教師和4個教學型教師去新疆支教，把這6個老師分配到3個學校，要求每個學校安排2名教師，且管理型教師不安排在同一個學校，則不同的分配方案有（）A.72種 B.48種 C.36種 D.24種〖答案〗A〖解析〗選取一個學校安排2名教學型老師有種不同的方法，剩余2名教學型老師與2名管理型教師，各取1名，分成兩組共有種，這2組分配到2個不同學校有種不同分法，所以由分步乘法計數(shù)原理知，共有種不同的分法.故選：A8.已知，，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由得，又，所以，所以．故選：C．二、選擇題9.從某小區(qū)抽取100戶居民用戶進行月用電量調查,發(fā)現(xiàn)他們的用電量都在之間，進行適當分組后（每組為左閉右開區(qū)間），畫出頻率分布直方圖如圖所示，記直方圖中六個小矩形的面積從左到右依次為（，2，，6），則（）A.x的值為0.0044B.這100戶居民該月用電量的中位數(shù)為175C.用電量落在區(qū)間內的戶數(shù)為75D.這100戶居民該月的平均用電量為〖答案〗AD〖解析〗對于A，由頻率分布直方圖的性質可知，，解得，故A正確；對于B，因為，，所以中位數(shù)落在區(qū)間內，設其為，則，解得，故B錯誤；對于C，用電量落在區(qū)間，內的戶數(shù)為，故C錯誤；對于D，這100戶居民該月的平均用電量為，故D正確.故選：AD．10.已知，，則（）A. B.C D.〖答案〗ACD〖解析〗對于A，因為,所以指數(shù)函數(shù)在上單調遞減，且，所以，因為冪函數(shù)在上單調遞增，且，所以，所以，故A正確，對于B，取，，則，故B錯誤；對于C，因為對數(shù)函數(shù)在上單調遞減，在上單調遞增，所以，，所以，故C正確；對于D，因為在上單調遞增，所以，，則，因為對數(shù)函數(shù)在上單調遞減，所以，故D正確．故選：ACD．11.在矩形中，，E為線段的中點，將沿直線翻折成．若M為線段的中點，則在從起始到結束的翻折過程中，（）A.存在某位置，使得B.存在某位置，使得C.的長為定值D.與所成角的正切值的最小值為〖答案〗BCD〖解析〗如圖，設的中點，連接，則，若，由，平面，可得平面，平面，則可證出，顯然矛盾，故A錯誤；因為，所以當平面，由平面可得，由，平面，即可得平面，再由平面，則有，故B正確；取中點，，，，且方向相同，所以為定值，所以為定值，故C正確；不妨設，以分別為軸，如圖建立空間直角坐標系，設，則，，，，設與所成角為，則，即與所成最小角的余弦值為，此時，故D正確.故選：BCD非選擇題部分三、填空題12.已知單位向量，滿足，則與的夾角為________．〖答案〗（或寫成）〖解析〗因為，所以，所以，．故〖答案〗為：.13.已知函數(shù)若在點處的切線與點處的切線互相垂直，則______．〖答案〗〖解析〗當時，，所以，且點不在上，否則切線不垂直，故，當時，，所以，由切線垂直可知，，解得.故〖答案〗為：14.設橢圓與雙曲線有相同的焦距，它們的離心率分別為，，橢圓的焦點為，，，在第一象限的交點為P，若點P在直線上，且，則的值為______．〖答案〗〖解析〗設橢圓與雙曲線相同的焦距為，則，又，所以，又點在第一象限，且在直線上，所以，又點在橢圓上，所以，即，整理得，即，解得，因為，所以，同理可得點在雙曲線上，所以，即，解得，所以.故〖答案〗為：.四、解答題15.為鼓勵消費，某商場開展積分獎勵活動，消費滿100元的顧客可拋擲骰子兩次，若兩次點數(shù)之和等于7，則獲得5個積分：若點數(shù)之和不等于7，則獲得2個積分．（1）記兩次點數(shù)之和等于7為事件A，第一次點數(shù)是奇數(shù)為事件B，證明：事件A，B是獨立事件；（2）現(xiàn)有3位顧客參與了這個活動，求他們獲得的積分之和X的分布列和期望．（1）證明：因為兩次點數(shù)之和等于7有以下基本事件：共6個，所以，又．而第一次點數(shù)是奇數(shù)且兩次點數(shù)之和等于7的基本事件是共3個，所以，故，所以事件A，B是獨立事件．（2）解：設三位參與這個活動的顧客共獲得的積分為X，則X可取6，9，12，15，，，，，所以分布列為：691215所以.16.設，．（1）若，求的值域；（2）若存在極值點，求實數(shù)a的取值范圍．解：（1）若，，當時，，則，單調遞增；當時，，則，單調遞減又，，所以，即的值域為（2）．存在極值點，則在上有解，即有解．令，則在上有解．因為函數(shù)在區(qū)間上單調遞減，所以，經(jīng)檢驗符合題意．17.如圖，在三棱柱中，是邊長為2的正三角形，側面是矩形，．（1）求證：三棱錐是正三棱錐；（2）若三棱柱的體積為，求直線與平面所成角的正弦值．（1）證明：分別取AB，BC中點D，E，連接CD，AE交于點O，則點O為正三角形ABC的中心．因為得，又平面，所以平面，又平面，則；取中點，連接，則四邊形是平行四邊形，因為側面是矩形，所以，又，又平面，所以平面，又平面，則；又，平面，所以平面，所以三棱錐是正三棱錐．（2）解：因為三棱柱的體積為，底面積為，所以高，以E為坐標原點，EA為x軸正方向，EB為y軸正方向，過點E且與平行的方向為z軸的正方向建立空間直角坐標系，則，設平面的法向量，因為．則，取，可得，又，設直線與平面所成角為θ，所以.18.設拋物線，直線是拋物線C的準線，且與x軸交于點B，過點B的直線l與拋物線C交于不同的兩點M，N，是不在直線l上的一點，直線，分別與準線交于P，Q兩點．（1）求拋物線C的方程；（2）證明：：（3）記，的面積分別為，，若，求直線l的方程．（1）解：因為為拋物線的準線，所以，即，故拋物線C的方程為（2）證明：如圖，設l：，，聯(lián)立，消去x得，則，且，又AM：，令得，同理可得，所以，，故.（3）解：由（2）可得：，，由，得：，解得，所以直線l的方程為．19.設p為素數(shù)，對任意的非負整數(shù)n，記，，其中，如果非負整數(shù)n滿足能被p整除，則稱n對p“協(xié)調”．（1）分別判斷194，195，196這三個數(shù)是否對3“協(xié)調”，并說明理由；（2）判斷并證明在，，，…，這個數(shù)中，有多少個數(shù)對p“協(xié)調”；（3）計算前個對p“協(xié)調”的非負整數(shù)之和．解：（1）因為，所以，，所以，，所以，所以194，196對3“協(xié)調”，195對3不“協(xié)調”.（2）先證引理：對于任意的非負整數(shù)t，在中有且僅有一個數(shù)對p“協(xié)調”．證明如下：設，由于pt是p的倍數(shù)，所以，所以，即對于這一項的系數(shù)為，所以，根據(jù)整除原理可知，中有且僅有一個數(shù)能被p整除，所以在中有且僅有一個數(shù)對p“協(xié)調”．接下來把以上個數(shù)進行分組，分成以下p組（每組p個數(shù)）：根據(jù)引理可知，在以上每組里恰有1個數(shù)對p“協(xié)調”，所以共有p個數(shù)對p“協(xié)調”．（3）繼續(xù)考慮這個數(shù)分成p組，每組