高中數學7.4二項式定理同步練習教師版蘇教版選擇性必修第二冊

7.4二項式定理一、單選題1．的展開式中的系數為（

）A．15 B． C．60 D．【答案】C【分析】根據二項式展開公式求解即可.【解析】展開通項公式為，令得，所以，所以的系數為60，故選：C.2．展開式中，的系數為（）A． B．320 C． D．240【答案】A【分析】根據二項式的通項公式進行求解即可.【解析】因為，所以通項公式為：，令，所以，設二項式的通項公式為：，令，所以，因此項的系數為：，故選：A.3．的展開式中的系數為（

）A．30 B．40 C．70 D．80【答案】A【分析】求出的展開式中含的項,再求出其系數即可.【解析】因為的展開式中含的項為，所以的系數為.故選：A.4．，則（

）A．1 B．3 C．0 D．【答案】C【分析】根據展開式，利用賦值法取即得.【解析】因為，令，可得.故選：C.5．的二項展開式中，奇數項的系數和為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】設，令、計算即可求解.【解析】設，令可得，令可得，兩式相加可得：，所以奇數項系數之和為，故選：C.6．若的展開式有9項，則自然數的值為（

）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】B【分析】根據二項式展開式的項數即可得解.【解析】解：因為的展開式共有項，所以，所以，故選：B．7．關于的展開式中共有7項，下列說法中正確的是（

）A．展開式中二項式系數之和為32 B．展開式中各項系數之和為1C．展開式中二項式系數最大的項為第3項 D．展開式中系數最大的項為第4項【答案】B【分析】依題意可得，再根據二項式系數和為判斷A，令即可求出展開式系數和，即可判斷B，根據二項式系數的特征判斷C，再求出展開式系數最大值，即可判斷D；【解析】解：因為二項式的展開式中共有7項，所以，選項A：所有項的二項式系數和為，故A不正確；選項B：令，則，所以所有項的系數的和為1，故B正確；選項C：二項式系數最大的項為第4項，故C不正確；選項D：二項式的展開式的通項為，故系數為，系數的最大項只從中選擇，當時，當時，當時，當時，故當時系數最大，所以展開式中系數最大的項為第3項，故D不正確.故選：B8．在的展開式中，只有第4項的二項式系數最大，則（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】B【分析】當n為偶數時，展開式中第項二項式系數最大，當n為奇數時，展開式中第和項二項式系數最大.【解析】因為只有一項二項式系數最大，所以n為偶數，故，得.故選：B9．二項式的展開式中系數為有理數的項共有（

）A．6項 B．7項 C．8項 D．9項【答案】D【分析】由二項式的通項公式結合有理項的性質即可求解.【解析】二項式的通項，若要系數為有理數，則，，，且，即，，易知滿足條件的，故系數為有理數的項共有9項.故選：D10．在的展開式中，除常數項外，其余各項系數的和為（

）A．63 B．-517 C．-217 D．-177【答案】B【解析】利用賦值法令求各項系數的和，再利用生成法求常數項，再求其余各項系數的和.【解析】常數項是，令求各項系數和，，則除常數項外，其余各項系數的和為.故選：B11．在的二項展開式中，稱為二項展開式的第項，其中r=0，1，2，3，……，n．下列關于的命題中，不正確的一項是（

）A．若，則二項展開式中系數最大的項是．B．已知，若，則二項展開式中第2項不大于第3項的實數的取值范圍是．C．若，則二項展開式中的常數項是．D．若，則二項展開式中的冪指數是負數的項一共有12項．【答案】D【分析】A選項：根據系數最大列不等式，解不等式即可；B選項：根據題意列不等式，然后分和兩種情況解不等式即可；C選項：令，解方程即可；D選項：令，解不等式即可.【解析】A選項：令，解得，所以，所以A正確；B選項：，整理可得，當時，不等式恒成立；當時，解得，所以，故B正確；C選項：令，解得，所以常數項為，故C正確；D選項：令，解得，所以可取，共11項，故D錯.故選：D.12．“楊輝三角”是中國古代數學文化的瑰寶之一，它揭示了二項式展開式中的組合數在三角形數表中的一種幾何排列規(guī)律，如圖所示，則下列關于“楊輝三角”的結論正確的是（

）A．B．在第2022行中第1011個數最大C．第6行的第7個數、第7行的第7個數及第8行的第7個數之和等于9行的第8個數D．第34行中第15個數與第16個數之比為2：3【答案】C【分析】A選項由及即可判斷；B選項由二項式系數的增減性即可判斷；C選項由及即可判斷；D選項直接計算比值即可判斷.【解析】由可得，故A錯誤；第2022行中第1011個數為，故B錯誤；，故C正確；第34行中第15個數與第16個數之比為，故D錯誤.故選：C.二、多選題13．已知二項式的展開式中各項系數的和為,則下列結論正確的是（

）A．B．展開式中二項式系數和為128C．展開式中項的系數為21D．展開式中有3項有理項【答案】BD【分析】根據各項系數的和為,令即可得,可得選項A錯誤,二項式系數和即,即可判斷選項B的正誤,根據二項式定理寫出通項,使的冪次為1,解得項數,即可得選項C的正誤,使通項中的冪次為有理數即可判斷選項D的正誤.【解析】解:由題可得,不妨令,得,所以,故選項A錯誤;展開式中二項式系數和為,故選項B正確;展開式的通項公式為,令,解得,展開式中項的系數為,故選項C錯誤;展開式的通項公式為,當時,為有理項,故選項D正確.故選:BD14．已知，則（

）A． B．C． D．【答案】AC【分析】對AB，根據二項式公式求解對應項的系數求解即可；對CD，利用賦值法分別求與和判斷即可.【解析】對A，為展開式中最高次項系數，只能由展開式的最高次項相乘，故為，即，故A正確；對B，，故，故B錯誤；對C，令，則，即，令，則，即.故，故C正確；對D，令，則，結合C，，故...①又...②，①+②可得，故，，故，故D錯誤.故選：AC15．若，，則（

）A．B．C．D．【答案】ABD【分析】根據給定條件，利用二項式定理及賦值法逐項分析、計算判斷作答.【解析】因，則，A正確；展開式的通項，，當為奇數時，，當為偶數時，，則，B正確；，而，則，C不正確；，而，則，D正確.故選：ABD16．若，則正確的是（

）A．B．C．D．【答案】BC【分析】利用二項式定理，結合賦值法逐項分析計算作答.【解析】依題意，令，，A不正確；，，則，B正確；顯然，，則，C正確；，D不正確.故選：BC三、填空題17．在展開式中，含的項的系數是___________.【答案】720【分析】根據乘法分配律以及組合數的計算求得正確答案.【解析】根據乘法分配律可知，含的項的系數是：.故答案為：18．在的展開式中，只有第5項的二項式系數最大，則展開式中含項的系數為___________【答案】【分析】先由二項式系數最大確定,再由通項公式求含項的系數即可.【解析】由只有第5項的二項式系數最大可得：.∴通項公式，令，解得.∴展開式中含項的系數為.故答案為：.19．已知，則的值為______．【答案】【分析】利用二項式展開式的通項進行求解即可.【解析】的展開式通項為，所以，故答案為：20．已知集合，記集合的非空子集為、、、，且記每個子集中各元素的乘積依次為、、、，則的值為___________.【答案】【分析】構造函數，設該函數展開式中所有項系數之和為，則，利用賦值法可求得結果.【解析】設集合的十個元素分別為、、、..設函數展開式中所有項系數之和為，則，因為，所以．故答案為：.【點睛】關鍵點點睛：本題主要考查的集合子集的判定，構造函數求解，屬于難題．本題的關鍵是根據二項定理的推導過程構造出函數，這種轉化思想是本題的難點．四、解答題21．在二項式的展開式中，求：(1)二項式系數之和；(2)各項系數之和；【答案】(1)(2)【分析】（1）利用展開式的二項式系數和可求得結果；（2）令可求得展開式各項系數之和.(1)解：由題意可知，展開式的二項式系數之和為.(2)解：由題意可知，展開式的各項系數之和為.22．已知二項式的展開式中共有11項.(1)求展開式的第3項的二項式系數；(2)求展開式中含的項.【答案】(1)(2)【分析】（1）先根據項數求出，再求解第3項的二項式系數；（2）利用通項公式求解含的項.（1）因為二項式的展開式中共有11項，所以，所以展開式的第3項的二項式系數為.（2）的展開式的通項公式為；令可得，所以展開式中含的項為.23．已知（）的展開式中前項的二項式系數之和等于．(1)求的值；(2)若展開式中的一次項的系數為，求實數的值．【答案】(1)；(2).【分析】（1）由題設有，結合組合數公式整理成關于n的一元二次方程求解即可.（2）由（1）寫出二項式展開式通項，進而判斷含的項，結合其系數列方程求的值．(1)由題設，，整理得，解得（舍）或；(2)由（1）知：二項式展開式通項為，當時為含的項，故，解得.24．已知，其中．(1)若，，求的值；(2)若，，求的值．【答案】(1)2(2)【分析】（1）結合二項式的展開式的通項公式得，令即可求出結果；（2）構造，分別求出和的值，進而可求出結果.(1)，，，令，得，∴．(2)若，，記，，，∴25．已知（為正整數）的二項展開式中.(1)若，求所有項的系數之和；(2)若，求展開式中的有理項的個數；(3)若，求系數最大的項.【答案】(1)(2)11(3)【分析】（1）由題意求出，令中，即可得出答案.（2）求出，寫出的通項，要使展開式為有理項，則，求解即可；（3）設二項式展開式第項的系數最大，求出的通項，則，解不等式即可得出答案.【解析】（1）因為，而，所以.所以令中，則所有項的系數之和為：.（2）若，則，，解得：.則的通項為：，其中，要使展開式為有理項，則，則，故展開式中的有理項的個數為.（3）若，則的通項為：，則設二項式展開式第項的系數最大，則，得，化簡得：，解得：.因為，則，所以系數最大的項為.26．若，其中.(1)求m的值；(2)求；(3)求.【答案】(1)(2)(3)0【分析】（1）由展開式的通項求解即可；（2）令與即可求解；（3）令并結合（2）即可求解得【解析】（1）的展開式的通項為，所以，所以，解得；（2）由（1）知，令，可得，令，可得，所以；（3）令，可得，由（2）知，所以27．將的二項展開式中的二項式系數依次列為：.(1)依據二頂式定理，將展開，并求證：；(2)研究所列二項式系數的單調性，并求證：其最大值為.【答案】(1)，證明見解析；(2)答案見解析．【分析】（1）由二項式定理得展開式，在展開式中令可證結論成立；（2）用作差法可得出二項式系數的單調性，從而得出最大值．【解析】（1）由已知，令得；（2），，當，，即時，，，當，即時，，，所以中，從到遞增，從到遞減，所以是最大值．28．已知．在以下A，B，C三問中任選兩問作答，若三問都分別作答，則按前兩問作答計分，作答時，請在答題卷上標明所選兩問的題號．（A）求；（B）求；（C）設，證明：．【答案】答案不唯一，具體見解析【分析】選A利用二項式展開寫出所有含的項即可算出結果；選B，利用賦值法時，可得進而求得結果；選C，分別令，即可得出證明.【解析】選A

解：因為．選B

解：令，得，則．選C

證明：令，得；令，得．故．29．在中，把稱為三項式的系數．(1)當時，寫出三項式的系數的值；(2)類比的二項式展開式(楊輝三角)的規(guī)律，當時，寫出三項式的(楊輝三角)數字表，并求出