2024年洛平許濟(jì)高三數(shù)學(xué)5月第四次質(zhì)量檢測卷附答案解析

年洛平許濟(jì)高三數(shù)學(xué)5月第四次質(zhì)量檢測卷注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)等填寫在答題卡上和試卷指定位置．2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)．回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的1．已知均為單位向量，且夾角為，則（

）A． B．1 C． D．2．過拋物線的焦點(diǎn)的直線交拋物線于兩點(diǎn)，若中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為4，則（

）A．16 B．12 C．10 D．83．已知為兩條不同的直線，為兩個(gè)不同的平面，下列命題為真命題的是（

）A．若，，，，則B．若，，則C．若，，，則D．若，，，則4．為加強(qiáng)校企合作，促進(jìn)大學(xué)畢業(yè)生就業(yè)，某企業(yè)欲從本市科技大學(xué)的農(nóng)學(xué)院、外國語學(xué)院、管理學(xué)院這三個(gè)學(xué)院招錄6名大學(xué)生，每個(gè)學(xué)院至少招錄1名，則不同的名額分配方案有（

）A．10種 B．20種 C．216種 D．729種5．已知等比數(shù)列的公比為，若，且成等差數(shù)列，則（

）A． B． C． D．6．在中，，且交于點(diǎn)，，則（

）A． B． C． D．7．若關(guān)于的不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的最大值為（

）A． B． C．1 D．8．已知點(diǎn)分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，過的直線與圓相切，切點(diǎn)為，直線與橢圓交于點(diǎn)，且點(diǎn)在與之間，若的面積為，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9．已知復(fù)數(shù)，為的共軛復(fù)數(shù)，則（

）A． B．C． D．10．已知函數(shù)，則（

）A．當(dāng)時(shí)， B．函數(shù)為偶函數(shù)C．在區(qū)間上單調(diào)遞增 D．的最大值為111．如圖，在棱長為1的正方體中，是棱上的動(dòng)點(diǎn)（不含端點(diǎn)），過三點(diǎn)的平面將正方體分為兩個(gè)部分，則下列說法正確的是（

）A．正方體被平面所截得的截面形狀為梯形B．存在一點(diǎn)，使得點(diǎn)和點(diǎn)到平面的距離相等C．正方體被平面所截得的截面的面積隨著線段的長度的增大而增大D．當(dāng)正方體被平面所截得的上部分的幾何體的體積為時(shí)，是的中點(diǎn)三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．定義集合運(yùn)算：，若集合，，則集合中所有元素之和為．13．在中，，的最大值為．若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的最大值為．14．已知函數(shù)的定義域?yàn)?，若，且，則，．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．如圖，在四棱臺(tái)中，底面為平行四邊形，側(cè)棱平面，，.(1)證明：平面平面；(2)若四棱臺(tái)的體積為．求直線與平面所成角的正弦值.16．某教學(xué)研究機(jī)構(gòu)從參加高考適應(yīng)性考試的20000名優(yōu)秀考生中隨機(jī)抽取了200人對其數(shù)學(xué)成績進(jìn)行了整理分析，作出了如下頻率分布直方圖：

(1)根據(jù)頻率分布直方圖，同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表，求得這200名考生數(shù)學(xué)成績的平均數(shù)為．據(jù)此估計(jì)這20000名優(yōu)秀考生數(shù)學(xué)成績的標(biāo)準(zhǔn)差；(2)根據(jù)以往經(jīng)驗(yàn)，可以認(rèn)為這20000名優(yōu)秀考生的數(shù)學(xué)成績近似服從正態(tài)分布，其中參數(shù)和可以分別用（1）中的和來估計(jì).記考生本次考試的各科總成績?yōu)?，若，試估?jì)這20000名優(yōu)秀考生中總成績的人數(shù).另：；若，則，.17．已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)若有兩個(gè)極值點(diǎn)，記過兩點(diǎn)的直線的斜率為，是否存在實(shí)數(shù)，使成立？若存在，求的值；若不存在，請說明理由．18．已知點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足直線與直線的斜率之積為，動(dòng)點(diǎn)的軌跡為曲線．(1)求曲線的方程：(2)直線與曲線交于兩點(diǎn)，且交于點(diǎn)，求定點(diǎn)的坐標(biāo)，使為定值；(3)過（2）中的點(diǎn)作直線交曲線于兩點(diǎn)，且兩點(diǎn)均在軸的右側(cè)，直線的斜率分別為，求的值．19．定義1

進(jìn)位制：進(jìn)位制是人們?yōu)榱擞?jì)數(shù)和運(yùn)算方便而約定的記數(shù)系統(tǒng)，約定滿二進(jìn)一，就是二進(jìn)制：滿十進(jìn)一，就是十進(jìn)制；滿十二進(jìn)一，就是十二進(jìn)制；滿六十進(jìn)一，就是六十進(jìn)制；等等．也就是說，“滿幾進(jìn)一”就是幾進(jìn)制，幾進(jìn)制的基數(shù)就是幾，一般地，若是一個(gè)大于1的整數(shù)，那么以為基數(shù)的進(jìn)制數(shù)可以表示為一串?dāng)?shù)字符號(hào)連寫在一起的形式進(jìn)制的數(shù)也可以表示成不同位上數(shù)字符號(hào)與基數(shù)的冪的乘積之和的形式．如．定義2

三角形數(shù)：形如，即的數(shù)叫做三角形數(shù)．(1)若是三角形數(shù)，試寫出一個(gè)滿足條件的的值；(2)若是完全平方數(shù)，求的值；(3)已知，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：當(dāng)時(shí)，．1．D【分析】先求向量的數(shù)量積，再求，平方開方即可.【詳解】由題意可知，，且，所以，所以.故選：D.2．B【分析】由拋物線焦點(diǎn)弦長公式結(jié)合中點(diǎn)坐標(biāo)公式即可求解.【詳解】設(shè)，由題設(shè)有，由拋物線的焦半徑公式有：而.故選：B.3．C【分析】由空間中直線與直線，直線與平面，平面平面的位置關(guān)系逐一判斷各個(gè)選項(xiàng)即可.【詳解】A：由，可知、可能平行或相交，A錯(cuò)誤；B：由，，可知、可能平行或異面，B錯(cuò)誤；C：由，，，可知，C正確；D：由，，，可知、可能平行或異面，D錯(cuò)誤.故選：C4．A【分析】由題意可知：人員名額分配有、和三種情況，結(jié)合排列數(shù)、組合數(shù)分析求解.【詳解】由題意可知：人員名額分配有、和三種情況，若，只有1種可能；若，有種可能；若，有種可能；綜上所述：不同的名額分配方案有種.故選：A.5．C【分析】根據(jù)等差數(shù)列定義和等比數(shù)列通項(xiàng)公式可構(gòu)造方程求得結(jié)果.【詳解】成等差數(shù)列，，又，，整理可得：，，解得：（舍）或.故選：C.6．B【分析】利用誘導(dǎo)公式求出，再利用余弦定理求出及即可得解.【詳解】由，得，而為銳角，則，在中，由余弦定理得，所以.故選：B7．B【分析】對所給不等式進(jìn)行適當(dāng)變形，利用同構(gòu)思想得出對于任意的恒成立，進(jìn)一步利用導(dǎo)數(shù)求出不等式右邊的最小值即可求解.【詳解】顯然首先，，令，則，所以在定義域內(nèi)嚴(yán)格單調(diào)遞增，所以若有成立，則必有，即對于任意的恒成立，令，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值，從而，所以的取值范圍是，即實(shí)數(shù)的最大值為.故選：B.8．D【分析】設(shè)，由橢圓定義得出，再由題意解出，最后由面積公式得出，進(jìn)而求出橢圓離心率.【詳解】如圖，過作直線的垂線，垂足為，設(shè)，由橢圓定義知：，且有直線與圓相切，直線，且，又因?yàn)榈拿娣e為，所以，所以，即，即，又因?yàn)?，直線，且，所以，在中，點(diǎn)為中點(diǎn)，所以，同理在中，，所以，所以，所以，解得，符合題意，即，所以.故選：D.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用橢圓定義及性質(zhì)結(jié)合圖形得出齊次方程是解決圓錐曲線離心率問題的一種重要的方法.9．ABC【分析】根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的概念得，然后根據(jù)復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算逐一計(jì)算即可判斷ABC；由可得，然后可判斷D.【詳解】對于A，因?yàn)?，所以，所以，A正確；對于B，，，B正確；對于C，，C正確；對于D，因?yàn)?，所以，所以，D錯(cuò)誤.故選：ABC10．ABD【分析】先由立方和，輔助角，二倍角公式對化簡，再由正弦函數(shù)的值域可得A正確；由偶函數(shù)的性質(zhì)可得B正確；舉反例代入和比大小可得C錯(cuò)誤；令，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)分析單調(diào)性和最值可得D正確.【詳解】，，A：因?yàn)?，且，又，所以，故A正確；B：，，因?yàn)椋院瘮?shù)為偶函數(shù)，故B正確；C：因?yàn)?，，所以，故C錯(cuò)誤；D：設(shè)，則，因?yàn)?，所以，所以原函?shù)可化為，則，令，解得，所以當(dāng)和時(shí)，，此時(shí)為減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)為增函數(shù)；又，，則最大值為，即的最大值為1，故D正確；故選：ABD.11．AC【分析】根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理可得，易證，從而判定A，假設(shè)點(diǎn)和點(diǎn)C到平面的距離相等可得平面，與已知矛盾判定B，求出截面的面積，利用導(dǎo)數(shù)可判定C，求出正方體被平面所截得的上部分的幾何體的體積與已知相等可判定D.相等，【詳解】選項(xiàng)A：設(shè)過三點(diǎn)的平面與交點(diǎn)為F，連接，因?yàn)槠矫嫫矫?，且平面平面，平面平面，所以，由正方體性質(zhì)可知，，所以四邊形為平行四邊形，所以，所以，即，所以正方體被平面所截得的截面形狀為梯形，故A正確.選項(xiàng)B：由點(diǎn)和點(diǎn)B到平面的距離相等，若點(diǎn)和點(diǎn)C到平面的距離相等，必有平面，又由，可得平面，與平面矛盾，故B錯(cuò)誤；選項(xiàng)C：如圖：在上取點(diǎn)H，使得，連接，設(shè)，因?yàn)?，可得平面為過三點(diǎn)的截面，在梯形中，，梯形的高為，梯形的面積為，令，則所以函數(shù)單調(diào)遞增，可得正方體被平面所截得的截面面積隨著的長度增大而增大，故C正確；選項(xiàng)D：因?yàn)?，，正方體被平面所截得的上部分的幾何體的體積為：，解得，故D錯(cuò)誤；故選：AC.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題C選項(xiàng)解決的關(guān)鍵是設(shè)，求得梯形的面積關(guān)于的表達(dá)式，再利用導(dǎo)數(shù)即可得解.12．4【分析】根據(jù)新定義求出集合中的所有元素，即可得解.【詳解】，，當(dāng)，時(shí)，；當(dāng)，時(shí)，；當(dāng)，時(shí)，.所以，所以集合中所有元素之和為.故答案為：413．2【分析】由已知在中，，由利用不等式可得，然后利用正弦函數(shù)的單調(diào)性與區(qū)間的關(guān)系列不等式即可.【詳解】因?yàn)?，故為銳角，且，又，所以，所以的最大值為，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即，等號(hào)成立，函數(shù)，因?yàn)?，所以，要使在區(qū)間上單調(diào)遞增，則，所以，所以的最大值為.故答案為：.14．【分析】通過賦值法解出，由解出；進(jìn)而求出，再證明函數(shù)為偶函數(shù)，進(jìn)而證出，結(jié)合偶函數(shù)得出函數(shù)周期，求出最后求解即可.【詳解】令，得，再令，得，所以，因?yàn)?，所以，令，?所以，即，若，則代入中，，由，所以，即，且，令，得，由，，所以，所以為偶函數(shù)；所以，，令，得，所以，即，因?yàn)?，所以，所以為周期函?shù)，周期為，所以，，所以.故答案為：；.15．(1)證明見解析(2)【分析】（1）先利用余弦定理和勾股定理計(jì)算得，再利用線面垂直的性質(zhì)定理及判定定理得平面，利用面面垂直的判定定理即可證明.（2）根據(jù)四棱臺(tái)的體積公式求得，然后建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求得線面角的正弦值.【詳解】（1）因?yàn)榈酌鏋槠叫兴倪呅?，，所以，因?yàn)樵谥?，，由余弦定理可得，所?所以，所以為直角三角形，即.又因?yàn)槠矫妫矫?，所以，因?yàn)槠矫?，平面，且，所以平?又因?yàn)槠矫?，所以平面平?（2）因?yàn)樗睦馀_(tái)的體積為，平面，而，所以，所以，解得.如圖，以點(diǎn)為原點(diǎn)，所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，所以，而平面的一個(gè)法向量為，設(shè)直線與平面所成角為，則.所以直線與平面所成角的正弦值為.16．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)平均數(shù)為，利用方差的計(jì)算公式可得方差，利用所給數(shù)據(jù)，估算得標(biāo)準(zhǔn)差.（2）由題目提示可得，，利用正態(tài)分布的性質(zhì)可得，又因?yàn)?，所以，從而估算得到最終結(jié)果.【詳解】（1）抽取的200名考生數(shù)學(xué)成績的方差估計(jì)值為.故估計(jì)這20000名考生數(shù)學(xué)成績方差為150，標(biāo)準(zhǔn)差.（2）由（1）知可用來估計(jì)，可用來估計(jì).故..，故.又，所以.故這20000名考生中成績在的人數(shù)服從二項(xiàng)分布，約為.17．(1)(2)不存在，理由見解析【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求出切線的斜率，再由點(diǎn)斜式求出切線方程即可.（2）假設(shè)存在，使得，依題意有是方程的兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根，利用韋達(dá)定理得到且，不妨令，則，表示出，得到，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，再說明理由即可.【詳解】（1）由題意得，函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)．當(dāng)時(shí)，，即切點(diǎn)為，所以曲線在處的切線方程為，即．（2）不存在這樣的．假設(shè)存在，使得．則是方程的兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根，即且，不妨令，則，因?yàn)?，所以由得，．?gòu)造函數(shù)，而恒成立，所以在上單調(diào)遞增，即．所以當(dāng)時(shí)，恒成立即無解．所以，不存在的值，使得．18．(1)(2)(3)【分析】（1）設(shè)是曲線上的任意一點(diǎn)，由動(dòng)點(diǎn)滿足直線與直線的斜率之積為，，列出方程，即可求解；（2）當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)的方程為，聯(lián)立方程組，結(jié)合，列出方程，求得，求得過定點(diǎn)；當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，設(shè)直線，聯(lián)立方程組，得到直線也過點(diǎn)，求得過定點(diǎn)，再由，得到點(diǎn)在以為直徑的圓上，即可求解；（3）設(shè)直線，聯(lián)立方程組求得，結(jié)合斜率公式，求得為定值.【詳解】（1）解：設(shè)是曲線上的任意一點(diǎn)，因?yàn)辄c(diǎn)，且動(dòng)點(diǎn)滿足直線與直線的斜率之積為，可得，整理得，其中．所以曲線的軌跡方程為.（2）解：①當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)的方程為，設(shè)，聯(lián)立方程組，整理得，則，即，且所以，因?yàn)?，所以，所以，化簡得，即，所以，且均滿足，當(dāng)時(shí)，直線的方程為，直線過定點(diǎn)，與已知矛盾，當(dāng)時(shí)，直線的方程為，過定點(diǎn)，記為點(diǎn)．②當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，由對稱性不妨設(shè)直線，聯(lián)立方程組，解得，此時(shí)直線也過點(diǎn)，綜上，直線過定點(diǎn)．又由，所以點(diǎn)在以為直徑的圓上，故當(dāng)為該圓圓心，即點(diǎn)為的中點(diǎn)時(shí)，為該圓半徑，即，所以存在定點(diǎn)，使為定值．

（3）解：設(shè)，易得直線的斜率不為0，可設(shè)直線聯(lián)立方程組，整理得，則，且，則，所以．

【點(diǎn)睛】方法知識(shí)總結(jié)：解答圓錐曲線的定點(diǎn)、定值問題的策略：1、參數(shù)法：參數(shù)解決定點(diǎn)問題的思路：①引進(jìn)動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)或動(dòng)直線中的參數(shù)表示變化量，即確定題目中核心變量（通常為變量）；②利用條件找到過定點(diǎn)的曲線之間的關(guān)系，得到關(guān)于與的等式，再研究變化量與參數(shù)何時(shí)沒有關(guān)系，得出定點(diǎn)的坐標(biāo)；2、由特殊