湖南省長沙市長郡教育集團2023-2024學年七年級下學期期中數(shù)學試卷

湖南省長沙市長郡教育集團2023-2024學年七年級（下）期中數(shù)學試卷一、單項選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）1．（3分）下列各數(shù)是無理數(shù)的是（）A． B． C．1.010010001 D．π2．（3分）點P（﹣2，3）所在象限為（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．（3分）如圖，AB∥DE，若∠BDE＝25°，則∠B的度數(shù)是（）A．55° B．30° C．25° D．20°4．（3分）下列是二元一次方程組2x+3y＝5的解的是（）A． B． C． D．5．（3分）將含30°的直角三角板與直尺如圖所示放置，若∠2＝40°，則∠1的度數(shù)為（）A．30° B．40° C．50° D．60°6．（3分）下列命題中，是假命題的是（）A．在同一平面內(nèi)，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直 B．同旁內(nèi)角互補，兩直線平行 C．如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行 D．兩條直線被第三條直線所截，同位角相等7．（3分）如圖，這是一個利用平面直角坐標系畫出的某學校的示意圖，如果這個坐標系以正東方向為x軸的正方向，以正北方向為y軸的正方向，并且綜合樓和教學樓的坐標分別是（﹣4，﹣1）和（1，2）則食堂的坐標是（）A．（3，5） B．（﹣2，3） C．（2，4） D．（﹣1，2）8．（3分）《九章算術》中曾記載：“今有牛五羊二，直金十兩；牛二羊五，直金八兩．問牛、羊各直金幾何？”譯文：“假設有5頭牛，2只羊，值金10兩；2頭牛、5只羊，值金8兩．問：每頭牛、每只羊各值金多少兩？若設每頭牛值金x兩，每只羊值金y兩，則可列方程組為（）A． B． C． D．9．（3分）如圖，面積為7的正方形ABCD的頂點A在數(shù)軸上，且表示的數(shù)為1，若點E在數(shù)軸上，（點E在點A的右側(cè)）且AB＝AE，則點E所表示的數(shù)為（）A． B． C．1 D．+210．（3分）如圖，點O（0，0），A（0，1）是正方形OAA1B的兩個頂點，以對角線OA1為邊作正方形OA1A2B1，再以正方形OA1A2B1的對角線OA2為邊作正方形OA2A3B2，…，依此規(guī)律，則點A2024的坐標是（）A．（21012，0） B．（﹣21012，0） C．（0，21012） D．（0，﹣21012）二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）11．（3分）49的平方根是．12．（3分）在2x+y＝7中，用含y的代數(shù)式表示x：．13．（3分）點A（2，7）到x軸的距離為．14．（3分）如圖，把長方形ABCD沿EF對折，若∠1＝50°，則∠AEF的度數(shù)等于．15．（3分）在平面直角坐標系中，點A的坐標為（m+2，2m+1），若將點A向左平移3個單位長度后剛好落在y軸上，則m的值為．16．（3分）我校在本學期4月上旬舉行了“古詩詞大賽”，最后有小涵、小穎和小睿三位同學進入最后的冠軍角逐，決賽共分為六輪．規(guī)定：每輪分別決出第一，第二，第三名（不并列），對應名次的得分分別為a，b，c（a＞b＞c，且a，b，c均為正整數(shù)）；選手最后得分為各輪得分之和，得分最高者為冠軍．如表是三位選手在每輪比賽中的部分得分情況：第一輪第二輪第三輪第四輪第五輪第六輪最后得分小穎a26小睿bc12小涵b10根據(jù)題中所給的信息，下列說法正確的是（填序號）．①可求得a+b+c＝8；②小睿每輪比賽都沒有獲得第一名；③小涵一定有兩輪且只有兩輪獲得第三名；④每輪比賽第二名得分為2分．三、解答題（本大題共9小題，共72分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17．（8分）計算：（1）；（2）．18．（8分）解二元一次方程組．（1）；（2）．19．（6分）已知△ABC在平面直角坐標系中的位置如圖所示，其中每一個小方格都是邊長為1個單位長度的正方形．（1）將△ABC先向右平移4個單位長度，再向下平移3個單位長度，得到△A′B′C′，請在坐標系中作出△A′B′C′；（2）求四邊形AA′C′C的面積．20．（6分）甲、乙兩人共同解方程組由于甲看錯了方程①中的a，得到方程組的解為，乙看錯了方程②中的b，得到方程組的解為，試計算的值．21．（8分）如圖，∠ABC+∠ECB＝180°，∠P＝∠Q．求證：∠1＝∠2．根據(jù)圖形和已知條件，請補全下面這道題的解答過程．證明：∵∠ABC+∠ECB＝180°（），∴AB∥ED（）．∴∠ABC＝∠BCD（），又∵∠P＝∠Q（已知），∴PB∥．∴∠PBC＝．∴∠ABC﹣＝∠BCD﹣（），即∠1＝∠2．22．（8分）如圖，直線CD、EF交于點O，AO⊥BO，且∠1+∠2＝90°．（1）求證：AB∥CD；（2）若OB平分∠DOE，∠2：∠3＝2：5，求∠AOF的度數(shù)．23．（8分）長郡開福中學在今年3月29日組織了一場有聲有色的“愛心義賣”活動．在這次活動中，學生會組織的“衫衫來了，愛心義賣”成為活動焦點．活動前一個月左右學生會購進黑白兩種純色文化衫共200件，組織學校美術愛好者進行DIY手繪設計，計劃設計好后全部在義賣活動中售出（顏料由學校提供，不計入成本），預計獲利3360元．已知每種文化衫的成本和售價如表：白色文化衫黑色文化衫成本（元/件）1012售價（元/件）2630（1）他們購進兩種文化衫各多少件？（2）由于活動時間有限，白色文化衫按原價售出后，剩余的七五折銷售，黑色文化衫原價售出55件后，剩余的八折銷售，最后全部賣完．他們將實際獲利全部捐贈，求他們在這次“愛心義賣”活動中實際捐款多少元？24．（10分）規(guī)定：若P（x，y）是以x，y為未知數(shù)的二元一次方程ax+by＝c的整數(shù)解，則稱此時點P為二元一次方程ax+by＝c的“理想點”．請回答以下關于x，y的二元一次方程的相關問題．（1）已知A（﹣2，2），B（2，﹣1），C（3，﹣2），請問哪些點是方程3x+y＝5的“理想點”？哪些點不是方程3x+y＝5的“理想點”？并說明理由；（2）已知m，n為非負整數(shù)，且，若是方程x+2y＝4的“理想點”，求2m+n的平方根；（3）已知k是正整數(shù)，且P（x，y）是方程2x+y＝2和kx+2y＝6的“理想點”，求點P的坐標．25．（10分）如圖，直線PQ∥MN，一副三角尺△ABC，△DEF中，∠EDF＝90°，∠ABC＝∠BAC＝45°，∠DEF＝60°，∠DFE＝30°．（1）若△DEF如圖①擺放，當ED平分∠PEF時，求證：FD平分∠EFM；（2）如圖②，△ABC的邊AB在直線MN上，△DEF的頂點D恰好落在直線PQ上，且邊EF與邊AC在同一直線上．當△ABC固定，將△DEF沿著AC方向平移，使邊DF與直線PQ相交于點G，作∠FGQ和∠GFA的平分線GH，F(xiàn)H相交于點H（圖③），求∠GHF的度數(shù)；（3）若圖②中△DEF固定，將△ABC繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)（圖④），速度為2分鐘半圈，在旋轉(zhuǎn)至BC與直線BM首次重合的過程中，請求出當△ABC的一邊與△DEF的一邊平行時旋轉(zhuǎn)的時間．參考答案與試題解析一、單項選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）1．【解答】解：A、＝2，是有理數(shù)，故該選項不符合題意；B、是分數(shù)，屬于有理數(shù)，故該選項不符合題意；C、1.010010001，是有理數(shù)，故該選項不符合題意；D、π是無理數(shù)，故該選項符合題意．故選：D．2．【解答】解：∵點P的橫坐標為負，縱坐標為正，∴點P（﹣2，3）所在象限為第二象限．故選：B．3．【解答】解：∵AB∥DE，∴∠B＝∠BDE，∵∠BDE＝25°，∴∠B＝25°．故選：C．4．【解答】解：將代入方程，左邊＝2×2+3×（﹣2）＝﹣2≠右邊，∴不是方程的解，∴A不正確，不符合題意；將代入方程，左邊＝2×3+3×（﹣2）＝0≠右邊，∴不是方程的解，∴B不正確，不符合題意；將代入方程，左邊＝2×（﹣2）+3×3＝5＝右邊，∴是方程的解，∴C正確，符合題意；將代入方程，左邊＝2×5+3×（﹣3）＝1≠右邊，∴不是方程的解，∴D不正確，不符合題意．故選：C．5．【解答】解：標出字母，如圖：∵∠3＝∠2＝40°，∠ACB＝90°，∴∠4＝90°﹣∠3＝50°，∵DE∥FG，∴∠1＝∠4＝50°．故選：C．6．【解答】解：A、在同一平面內(nèi)，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直，這個命題為真命題；B、同旁內(nèi)角互補，兩直線平行，這個命題為真命題；C、如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行，這個命題為真命題；D、兩條直線被第三條直線所截，同位角相等，這個命題為假命題．故選：D．7．【解答】解：1﹣3＝﹣2，﹣1+4＝3，所以食堂的坐標（﹣2，3），故選：B．8．【解答】解：由題意可列方程組為，故選：A．9．【解答】解：∵面積為7的正方形ABCD為7，∴AB＝，∵AB＝AE，∴AE＝，∵A點表示的數(shù)為1，∴E點表示的數(shù)為，故選：C．10．【解答】解：觀察，發(fā)現(xiàn)：A（0，1）、A1（1，1），A2（2，0），A3（2，﹣2），A4（0，﹣4），A5（﹣4，﹣4），A6（﹣8，0），A7（﹣8，8），A8（0，16），A9（16，16）…，∴A8n（0，24n）（n為自然數(shù)）．∵2024＝253×8，∴A2024（0，2253×4），即點A2024的坐標是（0，21012）．故選：C．二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）11．【解答】解：49的平方根是±7．故答案為：±7．12．【解答】解：方程2x+y＝7，2x＝7﹣y，解得：x＝，故答案為：x＝．13．【解答】解：點A（2，7）到x軸的距離為7．故答案為：7．14．【解答】解：根據(jù)長方形ABCD沿EF對折，若∠1＝50°，得∠BFE＝（180°﹣∠1）＝65°．∵AD∥BC，∴∠AEF＝115°．15．【解答】解：∵將點A（m+2，2m+1）向左平移3個單位長度后，所得到的點的坐標為（m﹣1，2m+1），又∵平移后恰好落在y軸上，∴m﹣1＝0，∴m＝1．故答案為：1．16．【解答】解：∵每輪分別決出第1，2，3名（不并列），∴（a+b+c）×6＝26+12+10＝48，∴a+b+c＝8，選項①符合題意；∵小涵的得分最高為6a，∴6a≥26，∵a為正整數(shù)，∴a≥5，∵a＞b＞c，且a，b，c均為正整數(shù)，∴b、c的最小值分別為2、1，∴b+c≥3，∵a+b+c＝8，∴a≤5，又∵a≥5，∴a＝5，b＝2，c＝1，選項④符合題意；∵26＝5×5+1，∴小涵5輪得第一，1輪得第三；假設小睿有1輪獲得第1名，則小睿的得分至少是5+2+1+1+1+1＝11（分），與小睿實際得了10分不符，∴小睿沒有1輪獲得第1名，小穎有1輪獲得第1名，∴選項②不符合題意；∵12﹣5﹣2﹣1＝4（分），∴小穎1輪得第一，2輪得第二，3輪得第三，∴小睿4輪得第二，2輪得第三，∴選項③符合題意，綜上，可得：說法正確的是①③④，故答案為：①③④．三、解答題（本大題共9小題，共72分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17．【解答】解：（1）＝4+（﹣3）﹣＝．（2）＝×++（2﹣）＝3++2﹣＝5．18．【解答】解：（1）①+②，得4x＝12，∴x＝3．把x＝3代入②，得3+2y＝3，解得y＝0所以原方程組的解為；（2），②化簡得：2（x﹣2）﹣3（y﹣2）＝6，即2x﹣3y＝4③，①+③得：3x＝18，解得：x＝6，將x＝6代入①得：6+3y＝14，解得：y＝，∴原方程組的解為：．19．【解答】解：（1）如圖所示：△A′B′C′即為所求；（2）四邊形△AA′C′C的面積為：2S△ACA′＝2××3×3＝9．20．【解答】解：把代入②，得﹣12+b＝﹣2，解得b＝10；把代入①，得5a+20＝15，解得a＝﹣1；所以．21．【解答】證明：∵∠ABC+∠ECB＝180°（已知），∴AB∥ED（同旁內(nèi)角互補，兩直線平行）．∴∠ABC＝∠BCD（兩直線平行，內(nèi)錯角相等），又∵∠P＝∠Q（已知），∴PB∥CQ．∴∠PBC＝∠QCB．∴∠ABC﹣∠PBC＝∠BCD﹣∠QCB（等式的性質(zhì)），即∠1＝∠2．故答案為：已知；同旁內(nèi)角互補，兩直線平行；兩直線平行，內(nèi)錯角相等；CQ；∠QCB；∠PBC；∠QCB；等式的性質(zhì)．22．【解答】（1）證明：∵AO⊥BO，∴∠AOB＝90°，∴∠AOC+∠2＝90°，∵∠1+∠2＝90°，∴∠AOC＝∠1，∴AB∥CD；（2）解：∵OB平分∠DOE，∴∠EOB＝∠2，∵∠2：∠3＝2：5，設∠2＝∠EOB＝2x，∠3＝5x，則∠EOB+∠2+∠3＝180°，即2x+2x+5x＝180°，解得x＝20°，∴∠EOB＝40°，又∵∠AOB＝90°，∴∠AOE＝∠AOB﹣∠EOB＝50°，∴∠AOF＝180°﹣∠AOE＝130°．23．【解答】解：（1）設購進白色文化衫x件，黑色文化衫y件，依題意得：，解得：，答：購進白色文化衫120件，黑色文化衫80件；（2）120××（26﹣10）+120×（26×0.75﹣10）+55×（30﹣12）+（80﹣55）×（30×0.8﹣12）＝1280+380+990+300＝2950（元），答：他們在這次“愛心義賣”活動中實際捐款2950元．24．【解答】解：（1）點B是方程3x+y＝5的“理想點”，點A，點C不是方程3x+y＝5的“理想點”，理由如下：∵x＝﹣2，y＝2時，3x+y＝3×（﹣2）+2＝﹣6+2＝﹣4≠5，x＝2，y＝﹣1時，3x+y＝3×2+（﹣1）＝6﹣1＝5，x＝3，y＝﹣2時，3x+y＝3×3﹣2＝9﹣2＝7≠5，∴點B是方程2x+3y＝6的“理想點”，點A，點C不是方程2x+3y＝6的“理想點”；（2）把代入方程x+2y＝4，得+2|n|＝4，又∵，解得，∵m，n為非負整數(shù)，∴m＝4，n＝1，∴2m+n＝8+1＝9，∴±＝±3；（3）根據(jù)題意，得，解得，∵x是整數(shù)，∴k﹣4＝±2或k﹣4＝±1，∵y是整數(shù)，∴k﹣4＝±1或k﹣4＝±2或k﹣4＝±4，∴k﹣4＝±1或k﹣4＝±2，當k﹣4＝1時，，當k﹣4＝﹣1時，，當k﹣4＝2時，，當k﹣4＝﹣2時，，綜上，P點坐標為（2，﹣2）或（﹣2，6）或（1，0）或（﹣1，4）．25．【解答】（1）證明：在△DEF中，∠EDF＝90°，∠DFE＝30°，∠DEF＝60°，∵ED平分∠PEF，∴∠PEF＝2∠PED＝2∠DEF＝2×60°＝120°，∵PQ∥MN，∴∠MFE＝180°﹣∠PEF＝180°﹣120°＝60°，∴∠MFD＝∠MFE﹣∠DFE＝60°﹣30°＝30°，∴∠MFD＝∠DFE，∴FD平分∠EFM；（2）如圖3，分別過點F、H作FL∥MN，HR∥PQ，∴∠LFA＝∠BAC＝45°，∠RHG＝∠QGH，∵FL∥MN，HR∥PQ，PQ∥MN，∴FL∥PQ∥HR，∴∠QGF+∠GFL＝180°，∠RHF＝∠HFL＝∠HFA﹣∠LFA，∵∠FGQ和∠GFA的角平分線GH、FH相交于點H，∴，∵∠DFE＝30°，∴∠GFA＝180°﹣∠DFE＝150°，∴，∴∠RHF＝∠HFL＝∠HF