2024年山西省大同市新榮區(qū)三校聯(lián)考中考一模數(shù)學(xué)試題（含答案解析）

2024年中考第一次模擬數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（本大題共10個(gè)小題，每小題2分，共20分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的）1.如圖，□ABCD中，點(diǎn)E是邊AD的中點(diǎn)，EC交對(duì)角線BD于點(diǎn)F，則EF:FC等于（）A.3:2 B.3:1 C.1:1 D.1:2【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意得出△DEF∽△BCF，進(jìn)而得出，利用點(diǎn)E是邊AD的中點(diǎn)得出答案即可．【詳解】解：∵?ABCD，故AD∥BC，∴△DEF∽△BCF，∴，∵點(diǎn)E是邊AD的中點(diǎn)，∴AE=DE=AD，∴．故選D．2.在反比例函數(shù)的圖象的每一個(gè)分支上，y都隨x的增大而減小，則k的取值范圍是（）A.k＞1 B.k＞0 C.k≥1 D.k＜1【答案】A【解析】【分析】根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)，當(dāng)反比例函數(shù)的系數(shù)大于0時(shí)，在每一支曲線上，y都隨x的增大而減小，可得k﹣1＞0，解可得k的取值范圍．【詳解】解：根據(jù)題意，在反比例函數(shù)圖象的每一支曲線上，y都隨x的增大而減小，即可得k﹣1＞0，解得k＞1．故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)：①當(dāng)k＞0時(shí)，圖象分別位于第一、三象限；當(dāng)k＜0時(shí)，圖象分別位于第二、四象限．②當(dāng)k＞0時(shí)，在同一個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增大而減?。划?dāng)k＜0時(shí)，在同一個(gè)象限，y隨x的增大而增大．3.下列四個(gè)函數(shù)圖像中，當(dāng)x＞0時(shí)，y隨x的增大而增大的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【詳解】A、錯(cuò)誤，此函數(shù)為減函數(shù)，y隨x的增大而減小；B、錯(cuò)誤，此函數(shù)為反比例函數(shù)，x＞0時(shí)，y隨x的增大而減??；C、正確，此函數(shù)為二次函數(shù)，x＞0時(shí)，y隨x的增大而增大；D、錯(cuò)誤，此函數(shù)為二次函數(shù)，x＞0時(shí)，在對(duì)稱軸的左側(cè)y隨x的增大而減小，在對(duì)稱軸的右側(cè)y隨x的增大而增大．故選C．4.若，，，則等于（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理先求出，再根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)角相等即可得到．【詳解】解：∵，，∴，∵，∴，故選：D．5.關(guān)于反比例函數(shù)y=的圖象，下列說(shuō)法正確的是（）A.圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1，1） B.兩個(gè)分支分布在第二、四象限C.兩個(gè)分支關(guān)于x軸成軸對(duì)稱 D.當(dāng)x＜0時(shí)，y隨x的增大而減小【答案】D【解析】【詳解】試題分析：圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1,1)為y=，則A錯(cuò)誤；k＞0時(shí)，反比例函數(shù)處于一、三象限，則B錯(cuò)誤；反比例函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱，則C錯(cuò)誤；D正確.考點(diǎn)：反比例函數(shù)的性質(zhì).6.如圖，△OAB與△OCD是以點(diǎn)O為位似中心的位似圖形，相似比為1：2，∠OCD=90°，CO=CD．若B（1，0），則點(diǎn)C的坐標(biāo)為（）A.（1，2） B.（1，1） C.（，） D.（2，1）【答案】B【解析】【詳解】解：連接CB，∵△OAB與△OCD是以點(diǎn)O為位似中心的位似圖形，相似比為1：2，∴A為OC的中點(diǎn)，∵∠OCD＝90°，∴∠OAB＝90°，∴AB∥CD，∴OB＝BD，∵∠OCD＝90°，CO＝CD，∴CB⊥OD，OB＝BC＝1，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（1，1），故選：B．

【點(diǎn)睛】此題主要考查了位似變換性質(zhì)，正確理解位似與相似的關(guān)系，記憶關(guān)于原點(diǎn)位似的兩個(gè)圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．7.已知點(diǎn)A（1，y1）、B（2，y2）、C（﹣3，y3）都在反比例函數(shù)的圖象上，則y1、y2、y3的大小關(guān)系是（）A.y3＜y1＜y2 B.y1＜y2＜y3 C.y2＜y1＜y3 D.y3＜y2＜y1【答案】D【解析】【分析】分別把各點(diǎn)代入反比例函數(shù)求出y1、y2、y3的值，再比較出其大小即可．也可以畫出函數(shù)的大致圖像，根據(jù)函數(shù)的增減性來(lái)判斷．【詳解】解：∵點(diǎn)A（1，y1）、B（2，y2）、C（-3，y3）都在反比例函數(shù)的圖象上，∴，∵-2<3<6，∴y3<y2<y1．故選D．8.函數(shù)的圖象如圖所示，則結(jié)論：①兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，2）；②當(dāng)x>2時(shí)，；③當(dāng)x=1時(shí)，BC=3；④當(dāng)x逐漸增大時(shí)，隨著的增大而增大，隨著的增大而減?。畡t其中正確結(jié)論的序號(hào)是()A.①② B.①③ C.②④ D.①③④【答案】D【解析】【分析】一次函數(shù)和反比例函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)就是一次函數(shù)與反比例函數(shù)組成的方程組的解；根據(jù)圖象可求得x＞2時(shí)y1＞y2；根據(jù)x＝1時(shí)求出點(diǎn)B點(diǎn)C的坐標(biāo)從而求出BC的值；根據(jù)圖像可確定一次函數(shù)和反比例函數(shù)在第一象限的增減性．【詳解】解：①聯(lián)立一次函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式，解得，，∴A（2，2），故①正確；②由圖象得x＞2時(shí)，y1＞y2，故②錯(cuò)誤；③當(dāng)x＝1時(shí)，B（1，4），C（1，1），∴BC＝3，故③正確；④一次函數(shù)y隨x的增大而增大，反比例函數(shù)k＞0，y隨x的增大而減?。盛苷_．∴①③④正確．故選D．【點(diǎn)睛】本題主要是考查學(xué)生對(duì)兩個(gè)函數(shù)圖象性質(zhì)的理解．這是一道常見(jiàn)的一次函數(shù)與反比例函數(shù)結(jié)合的題目，需要學(xué)生充分掌握一次函數(shù)和反比例函數(shù)的圖象特征．理解一次函數(shù)和反比例函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)就是一次函數(shù)與反比例函數(shù)組成的方程組的解．9.如圖，在邊長(zhǎng)為1的小正方形組成的網(wǎng)格中，A，B，C，D四個(gè)點(diǎn)均在格點(diǎn)上，與相交于點(diǎn)E，連接，則與的周長(zhǎng)比為（）A.1：4 B.4：1 C.1：2 D.2：1【答案】D【解析】【分析】運(yùn)用網(wǎng)格圖中隱藏的條件證明四邊形DCBM為平行四邊形，接著證明，最后利相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比即可求出．【詳解】如圖：由題意可知，，，∴，而，∴四邊形DCBM為平行四邊形，∴，∴，，∴，∴．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)及勾股定理，熟練掌握相關(guān)知識(shí)并正確計(jì)算是解題關(guān)鍵．10.在四邊形ABCD中，∠B＝90°，AC＝4，AB//CD，DH垂直平分AC，點(diǎn)H為垂足，設(shè)AB＝x，AD＝y(tǒng)，則y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系用圖象大致可以表示為()A. B. C. D.【答案】D【解析】【詳解】∵DH垂直平分AC，∴DA=DC，AH=HC=2，∴∠DAC=∠DCH，∵CD∥AB，∴∠DCA=∠BAC，∴∠DAN=∠BAC，∵∠DHA=∠B=90°，∴△DAH∽△CAB，∴，∴，∴y=，∵AB<AC，∴x<4，∴圖象是D．故選：D．二、填空題（本大題共8個(gè)小題，每小題3分，共24分．請(qǐng)把答案填在題中的橫線上）11.已知反比例函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)A（-2，3），則當(dāng)時(shí)，y的值是_______.【答案】2.【解析】【詳解】試題分析：∵反比例函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)A（-2，3），∴.∴反比例函數(shù)的解析式為.∴當(dāng)時(shí)，.考點(diǎn)：曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系.12.如圖，菱形OABC的頂點(diǎn)O是原點(diǎn)，頂點(diǎn)B在y軸上，菱形的兩條對(duì)角線的長(zhǎng)分別是6和4，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，則k的值為_(kāi)____．【答案】-6【解析】【詳解】∵菱形兩條對(duì)角線的長(zhǎng)分別是6和4，∴C（﹣3，2）.∵點(diǎn)C在反比例函數(shù)的圖象上，∴，解得：k=-6.故答案為：-613.將一副三角板按圖疊放，則△AOB與△DOC的面積之比等于【答案】1：3．【解析】【分析】一副三角板按圖疊放，則得到兩個(gè)相似三角形，且相似比等于1：，相似三角形的性質(zhì)相似三角形面積的比等于相似比的平方得到△AOB與△DOC的面積之比等于1：3．【詳解】解：∵∠ABC=90°，∠DCB=90°∴AB∥CD，∴∠OCD=∠A，∠D=∠ABO，∴△AOB∽△COD又∵AB：CD=BC：CD=tan30°=1：∴△AOB與△DOC的面積之比等于1：3．故答案1：3．考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)．14.如圖，四邊形ABCD中，AD∥BC，CM是∠BCD的平分線，且CM⊥AB，M為垂足，AM=AB．若四邊形ABCD的面積為，則四邊形AMCD的面積是_____．【答案】1【解析】【詳解】試題分析：如圖所示：延長(zhǎng)BA、CD，交點(diǎn)為E．∵CM平分∠BCD，CM⊥AB，∴MB=ME．又∵AM=AB，∴AE=AB，∴AE=BE．∵AD∥BC，∴△EAD∽△EBC，∴，∴S四邊形ADBC=S△EBC=，∴S△EBC=，∴S△EAD=×=，∴S四邊形AMCD=S△EBC﹣S△EAD=﹣=1．故答案為1．考點(diǎn)：相似三角形判定與性質(zhì)；等腰三角形的判定與性質(zhì)．15.如圖，是反比例函數(shù)（）圖像上一點(diǎn)，點(diǎn)、在軸正半軸上，是關(guān)于點(diǎn)的位似圖形，且與的位似比是1：3，的面積為1，則該反比例函數(shù)的表達(dá)式為_(kāi)_____．【答案】【解析】【分析】設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（a，），根據(jù)位似比即可得出BD的長(zhǎng)度，根據(jù)的面積為1，即可求出k的值．【詳解】解：設(shè)點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為a，∵點(diǎn)A在反比例函數(shù)圖像上，∴點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為反比例函數(shù)，即A（a，），∴B（0，），則OB=，AB=a，∵與的位似比是1：3，∴，∴BD==，∵的面積為1，∴，則：，解得：k=8．∴該反比例函數(shù)的表達(dá)式為：，故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形的位似以及反比例函數(shù)的圖像和性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)內(nèi)容，通過(guò)位似比和三角形的面積求出k的值是解題的關(guān)鍵．16.如圖，以點(diǎn)O為位似中心，將五邊形ABCDE放大后得到五邊形A′B′C′D′E′，已知OA=10cm，OA′=20cm，則五邊形ABCDE的周長(zhǎng)與五邊形A′B′C′D′E′的周長(zhǎng)的比值是_________．【答案】1：2【解析】【分析】由五邊形與五邊形位似，可得五邊形五邊形，又由，，即可求得其相似比，根據(jù)相似多邊形的周長(zhǎng)的比等于其相似比，即可求得答案．【詳解】解：五邊形與五邊形位似，，，五邊形五邊形，且相似比為：，五邊形的周長(zhǎng)與五邊形的周長(zhǎng)的比為：．故答案為：1：2．【點(diǎn)睛】本題考查了多邊形位似的知識(shí)．解題的關(guān)鍵是注意位似是相似的特殊形式與相似多邊形的周長(zhǎng)的比等于其相似比知識(shí)的應(yīng)用．17.若，兩點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，則當(dāng)，滿足________時(shí)，．（只需填一個(gè)你認(rèn)為正確的條件）【答案】或或（答案不唯一）【解析】【分析】本題考查反比例函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)反比例函數(shù)的增減性，進(jìn)行作答即可．【詳解】解：∵，，∴雙曲線過(guò)一，三象限，且在每一個(gè)象限內(nèi)，隨著的增大而減小，∴當(dāng)或或時(shí)：；故答案為：或或（答案不唯一）．18.如圖，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=9cm，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊AB，BC上，AE=2cm，BD，EF交于點(diǎn)G，若G是EF的中點(diǎn)，則BG的長(zhǎng)為_(kāi)___________cm．【答案】【解析】【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)可得AB=CD=6cm，∠ABC=∠C=90°，AB∥CD，從而可得∠ABD=∠BDC，然后利用直角三角形斜邊上的中線可得EG=BG，從而可得∠BEG=∠ABD，進(jìn)而可得∠BEG=∠BDC，再證明△EBF∽△DCB，利用相似三角形的性質(zhì)可求出BF的長(zhǎng)，最后在Rt△BEF中，利用勾股定理求出EF的長(zhǎng)，即可解答．【詳解】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴AB=CD=6cm，∠ABC=∠C=90°，AB∥CD，∴∠ABD=∠BDC，∵AE=2cm，∴BE=AB-AE=6-2=4（cm），∵G是EF的中點(diǎn)，∴EG=BG=EF，∴∠BEG=∠ABD，∴∠BEG=∠BDC，∴△EBF∽△DCB，∴，∴，∴BF=6，∴EF=（cm），∴BG=EF=（cm），故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，矩形的性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線，熟練掌握直角三角形斜邊上的中線，以及相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．三、解答題（本大題共7個(gè)小題，共56分．解答時(shí)應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）19.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知一次函數(shù)＝的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（1，0），與反比例函數(shù)＝（＞0）的圖象相交于點(diǎn)B（2，1）．（1）求的值和一次函數(shù)的解析式；（2）結(jié)合圖象直接寫出：當(dāng)＞0時(shí)，不等式＞的解集．【答案】（1）m=2，y=x-1；（2）x＞2．【解析】【分析】（1）將B的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式中，求出m的值，將A和B的坐標(biāo)分別代入一次函數(shù)解析式中，得到關(guān)于k與b的方程組，求出方程組的解集得到k與b的值，確定出一次函數(shù)解析式；（2）由B的橫坐標(biāo)為2，將x軸正半軸分為兩部分，找出一次函數(shù)在反比例函數(shù)圖象上方時(shí)x的范圍，即為所求不等式的解集．【詳解】解：（1）把點(diǎn)B（2，1）代入y＝，得1＝，∴m＝2．把A（1，0）和B（2，1）代入y＝，得，解得，∴一次函數(shù)的解析式為y＝．（2）x＞2．20.如圖，在中，，平分，交于點(diǎn)D，，交于點(diǎn)E．（1）若，，求的長(zhǎng)；（2）試探究是否為定值．如果是，請(qǐng)求出這個(gè)定值；如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）（2），是定值，理由見(jiàn)解析【解析】【分析】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，等角對(duì)等邊，三角形外角的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)等等：（1）先證明得到，再由平行線的性質(zhì)推出，進(jìn)而可證明，則，據(jù)此代值計(jì)算即可；（2）先證明，得到，再由，得到，即．【小問(wèn)1詳解】解：∵平分，∴，∵，∴，∴；∵，∴，∴，∴，∴，即，∴；【小問(wèn)2詳解】解：，是定值，理由如下：∵，，∴，又∵，∴，∴，∵，∴，∴．21.如圖，在中，，，，線段由線段繞點(diǎn)A按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到，由沿方向平移得到，且直線過(guò)點(diǎn)D．求的長(zhǎng)．【答案】【解析】【分析】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，平移的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，，可得，由平移的性質(zhì)可得，則，即可得到，通過(guò)證明．可得，據(jù)此求出的長(zhǎng)即可求解．詳解】解：線段由線段繞點(diǎn)A按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到，，，，根據(jù)平移的性質(zhì)可知，，．∴，，又，，，，，即，解得，∴．22.如圖，小東用長(zhǎng)為3.2m的竹竿（）做測(cè)量工具測(cè)量學(xué)校旗桿（）的高度，移動(dòng)竹竿，使竹竿、旗桿頂端的影子恰好落在地面上的同一點(diǎn)（A），此時(shí)，竹竿與這一點(diǎn)相距8m，與旗桿相距22m，求旗桿的高度．【答案】【解析】【分析】本題考查了相似三角形的應(yīng)用，要求旗桿高度，易證，根據(jù)對(duì)應(yīng)線段成比例，列出式子即可求出．【詳解】解：如圖，，，，，，，，旗桿的高為．23.已知：△ABC在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（0，3）、B（3，4）、C（2，2）（正方形網(wǎng)格中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)是一個(gè)單位長(zhǎng)度）．（1）畫出△ABC向下平移4個(gè)單位長(zhǎng)度得到的△A1B1C1，點(diǎn)C1的坐標(biāo)是_______；（2）以點(diǎn)B為位似中心，在網(wǎng)格內(nèi)畫出△A2B2C2，使△A2B2C2與△ABC位似，且位似比為2：1，點(diǎn)C2的坐標(biāo)是_______；（3）△A2B2C2的面積是_______平方單位．【答案】（1）（2，﹣2）；（2）（1，0）；（3）10．【解析】【分析】（1）根據(jù)平移的性質(zhì)得出平移后的圖從而得到點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）根據(jù)位似圖形的性質(zhì)得出對(duì)應(yīng)點(diǎn)位置，從而得到點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）利用等腰直角三角形的性質(zhì)得出△A2B2C2的面積．【詳解】（1）如圖所示：C1（2，﹣2）；故答案為（2，﹣2）；（2）如圖所示：C2（1，0）；故答案為（1，0）；（3）∵，，，∴△A2B2C2是等腰直角三角形，∴△A2B2C2的面積是：（平方單位）．故答案為10．【點(diǎn)睛】本題主要考查作圖一平移變換和位似變換，解題的關(guān)鍵是掌握平移變換和位似變換的定義和性質(zhì)．24.如圖，點(diǎn)A（m，6），B（n，1）在反比例函數(shù)圖象上，AD⊥x軸于點(diǎn)D，BC⊥x軸于點(diǎn)C，DC=5．（1）求m，n的值并寫出反比例函數(shù)的表達(dá)式；（2）連結(jié)AB，在線段DC上是否存在一點(diǎn)E，使△ABE的面積等于5？若存在，求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）（2）（5，0）【解析】【分析】（1）由反比例函數(shù)定義可知6m=n，m+5=n，聯(lián)立可求解m和n的值，設(shè)反比例函數(shù)表達(dá)式為，代入A點(diǎn)坐標(biāo)即可求解表達(dá)式；（2）設(shè)E（x，0），則DE=x﹣1，CE=6﹣x，則可分別計(jì)算或表示出S四邊形ABCD、S△ADE、S△BCE的面積，再由S△ABE=S四邊形ABCD﹣S△ADE﹣S△BCE=5即可求解x的值.【詳解】（1）由題意得：，解得：，∴A（1，6），B（6，1），設(shè)反比例函數(shù)表達(dá)式為，將A（1，6）代入得：