專題09 圓（解析版）

專題09圓（解析版）1．（2021·福建·統(tǒng)考中考真題）如圖，AB為⊙O的直徑，點(diǎn)P在AB的延長線上，PC,PD與⊙O相切，切點(diǎn)分別為C，D．若AB=6,PC=4，則sin∠CAD等于（

A．35 B．25 C．34【答案】D【分析】連接OC，CP，DP是⊙O的切線，根據(jù)定理可知∠OCP＝90°，∠CAP＝∠PAD，利用三角形的一個外角等于與其不相鄰的兩個內(nèi)角的和可求∠CAD=∠COP，在Rt△OCP中求出sin∠COP即可【詳解】解：連接OC，CP，DP是⊙O的切線，則∠OCP＝90°，∠CAP＝∠PAD，∴∠CAD=2∠CAP，∵OA=OC∴∠OAC＝∠ACO，∴∠COP＝2∠CAO∴∠COP＝∠CAD∵AB=6∴OC=3在Rt△COP中，OC=3，PC=4∴OP=5．∴sin∠CAD=sin∠COP=故選：D．【點(diǎn)睛】本題利用了切線的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，三角形的外角與內(nèi)角的關(guān)系求解．2．（2020·福建·統(tǒng)考中考真題）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AB=CD，A為BD中點(diǎn)，∠BDC=60°，則∠ADB等于（

）A．40° B．50° C．60° D．70°【答案】A【分析】根據(jù)AB=CD，A為BD中點(diǎn)求出∠CBD=∠ADB=∠ABD，再根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得到∠ABC+∠ADC=180°，即可求出答案．【詳解】∵A為BD中點(diǎn)，∴AB=∴∠ADB=∠ABD，AB=AD，∵AB=CD，∴∠CBD=∠ADB=∠ABD，∵四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∴∠ABC+∠ADC=180°，∴3∠ADB+60°=180°，∴∠ADB=40°，故選：A．【點(diǎn)睛】此題考查圓周角定理：在同圓中等弧所對的圓周角相等、相等的弦所對的圓周角相等，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)：對角互補(bǔ)．3．（2019·福建·統(tǒng)考中考真題）如圖，PA、PB是⊙O切線，A、B為切點(diǎn)，點(diǎn)C在⊙O上,且∠ACB＝55°，則∠APB等于(

)A．55° B．70° C．110° D．125°【答案】B【分析】根據(jù)圓周角定理構(gòu)造它所對的弧所對的圓心角，即連接OA，OB，求得∠AOB＝110°，再根據(jù)切線的性質(zhì)以及四邊形的內(nèi)角和定理即可求解．【詳解】解：連接OA，OB，∵PA，PB是⊙O的切線，∴PA⊥OA，PB⊥OB，∵∠ACB＝55°，∴∠AOB＝110°，∴∠APB＝360°?90°?90°?110°＝70°．故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了多邊形的內(nèi)角和定理，切線的性質(zhì)，圓周角定理的應(yīng)用，關(guān)鍵是求出∠AOB的度數(shù)．4．（2023·福建·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知△ABC內(nèi)接于⊙O,CO的延長線交AB于點(diǎn)D，交⊙O于點(diǎn)E，交⊙O的切線AF于點(diǎn)F，且AF∥(1)求證：AO∥BE；(2)求證：AO平分∠BAC．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）由切線的性質(zhì)可得∠OAF=90°，由圓周角定理可得∠CBE=90°，即∠OAF=∠CBE=90°，再根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠BAF=∠ABC，則根據(jù)角的和差可得∠OAB=∠ABE，最后根據(jù)平行線的判定定理即可解答；（2）由圓周角定理可得∠ABE=∠ACE，再由等腰三角形的性質(zhì)可得∠ACE=∠OAC，進(jìn)而得到∠ABE=∠OAC，再結(jié)合∠OAB=∠ABE得到∠OAB=∠OAC即可證明結(jié)論．【詳解】（1）證明∵AF是⊙O的切線，∴AF⊥OA，即∠OAF=90°．∵CE是⊙O的直徑，∴∠CBE=90°．∴∠OAF=∠CBE=90°．∵AF∥BC，∴∠BAF=∠ABC，∴∠OAF-∠BAF=∠CBE-∠ABC，即∠OAB=∠ABE，∴AO∥BE．（2）解：∵∠ABE與∠ACE都是AE所對的圓周角，∴∠ABE=∠ACE．∵OA=OC，∴∠ACE=∠OAC，∴∠ABE=∠OAC．由（1）知∠OAB=∠ABE，∴∠OAB=∠OAC，∴AO平分∠BAC．【點(diǎn)睛】本題主要考查角平分線、平行線的判定與性質(zhì)、圓周角定理、切線的性質(zhì)等知識點(diǎn)，靈活運(yùn)用相關(guān)性質(zhì)定理是解答本題的關(guān)鍵．5．（2022·福建·統(tǒng)考中考真題）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AD∥BC交⊙O于點(diǎn)D，DF∥AB交BC于點(diǎn)E，交⊙O于點(diǎn)F，連接(1)求證：AC=AF；(2)若⊙O的半徑為3，∠CAF=30°，求AC的長（結(jié)果保留π）．【答案】(1)證明見解析；(2)5π【分析】（1）根據(jù)已知條件可證明四邊形ABED是平行四邊形，由平行四邊形的性質(zhì)可得∠B=∠D，等量代換可得∠AFC=∠ACF，即可得出答案；（2）連接AO,CO，由（1）中結(jié)論可計(jì)算出∠AFC的度數(shù)，根據(jù)圓周角定理可計(jì)算出∠AOC的度數(shù)，再根據(jù)弧長計(jì)算公式計(jì)算即可得出答案．【詳解】（1）證明：∵AD∥BC，∴四邊形ABED為平行四邊形，∴∠B=∠D，∵∠AFC=∠B，∴∠AFC=∠ACF，∴AC=AF．（2）解：連接AO,CO，如圖，由（1）得∠AFC=∠ACF，∵∠AFC=180°-30°∴∠AOC=2∠AFC=150°，∴AC的長l=150×π×3【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，圓的性質(zhì)與弧長公式，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，推理能力，幾何直觀等數(shù)學(xué)素養(yǎng)．6．（2022·福建·統(tǒng)考中考真題）如圖，BD是矩形ABCD的對角線．(1)求作⊙A，使得⊙A與BD相切（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）；(2)在（1）的條件下，設(shè)BD與⊙A相切于點(diǎn)E，CF⊥BD，垂足為F．若直線CF與⊙A相切于點(diǎn)G，求tan∠ADB【答案】(1)作圖見解析(2)5【分析】（1）先過點(diǎn)A作BD的垂線，進(jìn)而找出半徑，即可作出圖形；（2）根據(jù)題意，作出圖形，設(shè)∠ADB=α，⊙A的半徑為r，先判斷出BE＝DE，進(jìn)而得出四邊形AEFG是正方形，然后在Rt△ABE中，根據(jù)勾股定理建立方程求解BE=rtanα，再判定△ABE≌△CDF，根據(jù)BE=DF=rtanα，DE=DF+EF=rtanα+r，在Rt△ADE中，利用tan【詳解】（1）解：如圖所示，⊙A即為所求作：（2）解：根據(jù)題意，作出圖形如下：設(shè)∠ADB=α，⊙A的半徑為r，∵BD與⊙A相切于點(diǎn)E，CF與⊙A相切于點(diǎn)G，∴AE⊥BD，AG⊥CG，即∠AEF＝∠AGF＝90°，∵CF⊥BD，∴∠EFG＝90°，∴四邊形AEFG是矩形，又AE=AG=r，∴四邊形AEFG是正方形，∴EF=AE=r，在Rt△AEB和Rt△DAB中，∠BAE+∠ABD=90°，∠ADB+∠ABD=90°，∴∠BAE=∠ADB=α，在Rt△ABE中，tan∠BAE=∴BE=rtan∵四邊形ABCD是矩形，∴AB∥CD，AB＝∴∠ABE=∠CDF，又∠AEB=∠CFD=90°，∴△ABE≌∴BE=DF=rtan∴DE=DF+EF=rtan在Rt△ADE中，tan∠ADE=AEDE∴rtanα+rtan∵tanα>0∴tanα=5-12，即tan∠【點(diǎn)睛】此題是圓的綜合題，主要考查了尺規(guī)作圖，切線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，正方形的判定與性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，勾股定理，銳角三角函數(shù)，利用三角函數(shù)得出線段長建立方程是解決問題的關(guān)鍵．7．（2020·福建·統(tǒng)考中考真題）如圖，AB與⊙O相切于點(diǎn)B，AO交⊙O于點(diǎn)C，AO的延長線交⊙O于點(diǎn)D，E是BCD上不與B,D重合的點(diǎn)，sinA=（1）求∠BED的大??；（2）若⊙O的半徑為3，點(diǎn)F在AB的延長線上，且BF=33，求證：DF與⊙O【答案】（1）60°；（2）詳見解析【分析】(1)連接OB，在Rt△AOB中由sinA=12求出∠A=30°，進(jìn)而求出∠AOB=60°，∠BOD=120°(2)連接OF，在Rt△OBF中，由tan∠BOF=BFOB=3可以求出∠BOF=60°，進(jìn)而得到∠FOD=60°【詳解】解：(1)連接OB，∵AB與⊙O相切于點(diǎn)B，∴OB⊥AB，∵sinA=12，∴∠AOB=60°，則∠BOD=120°．由同弧所對的圓周角等于圓心角的一半可知：∠BED=1故答案為：60°(2)連接OF，由(1)得OB⊥AB，∠BOD=120°，∵OB=3，BF=33，∴tan∴∠BOF=60°，∴∠DOF=60°．在ΔBOF與ΔDOF中，{∴ΔBOF≌ΔDOF(SAS)，∴∠ODF=∠OBF=90°．又點(diǎn)D在⊙O上，故DF與⊙O相切．【點(diǎn)睛】本題考查圓的有關(guān)性質(zhì)、直線與圓的位置關(guān)系、特殊角的三角函數(shù)值、解直角三角形、全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握其性質(zhì)是解決此類題的關(guān)鍵．8．（2019·福建·統(tǒng)考中考真題）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AB=AC，BD⊥AC，垂足為E，點(diǎn)F在BD的延長線上，且DF=DC，連接AF、CF.(1)求證：∠BAC=2∠DAC；(2)若AF＝10，BC＝45，求tan∠BAD的值.【答案】(1)見解析；(2)tan∠BAD=112【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出∠ABC＝∠ACB，根據(jù)圓心角、弧、弦的關(guān)系得到AB=AC，即可得到∠ABC＝∠ADB，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得到∠ABC＝12（180°?∠BAC）＝90°?12∠BAC，∠ADB＝90°?∠CAD，從而得到12∠BAC（2）易證得BC＝CF＝45，即可證得AC垂直平分BF，證得AB＝AF＝10，根據(jù)勾股定理求得AE、CE、BE，根據(jù)相交弦定理求得DE，即可求得BD，然后根據(jù)三角形面積公式求得DH，進(jìn)而求得AH，解直角三角形求得tan∠BAD的值．【詳解】解：（1）∵AB＝AC，∴AB=AC，∠ABC＝∠ACB，∴∠ABC＝∠ADB，∠ABC＝12（180°?∠BAC）＝90°?12∵BD⊥AC，∴∠ADB＝90°?∠DAC，∴12∠BAC＝∠DAC∴∠BAC＝2∠DAC；(2)∵DF=DC，∴∠BFC=12∠BDC=12∠BAC=∠∴CB=CF,又BD⊥AC，∴AC是線段BF的中垂線，AB=AF=10,AC=10.又BC＝45，設(shè)AE＝x,CE=10－x,AB2－AE2=BC2－CE2,100－x2=80－(10－x)2,x=6∴AE=6,BE=8,CE=4,∴DE=AE?CEBE=6×4∴BD＝BE＋DE＝3＋8＝11，作DH⊥AB，垂足為H，∵12AB?DH＝12∴DH＝BD?AEAB∴BH＝BD∴AH＝AB?BH＝10?445∴tan∠BAD=DHAH=336=【點(diǎn)睛】本題屬于圓綜合題，考查了圓周角定理，勾股定理，銳角三角函數(shù)，圓心角、弧、弦的關(guān)系，相交弦定理，等腰三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握并靈活運(yùn)用性質(zhì)定理，屬于中考壓軸題．9．（2020·福建·統(tǒng)考中考真題）一個扇形的圓心角是90°，半徑為4，則這個扇形的面積為______．（結(jié)果保留π）【答案】4π【分析】根據(jù)扇形的面積公式S=nπ【詳解】解：∵扇形的半徑為4，圓心角為90°，∴扇形的面積是：S=90×π×故答案為：4π．【點(diǎn)睛】本題考查了扇形面積的計(jì)算．熟記扇形的面積公式是解題的關(guān)鍵．10．（2019·福建·統(tǒng)考中考真題）如圖,邊長為2的正方形ABCD中心與半徑為2的⊙O的圓心重合,E、F分別是AD、BA的延長與⊙O的交點(diǎn),則圖中陰影部分的面積是______.(結(jié)果保留π)【答案】π－1【分析】延長DC，CB交⊙O于M，N，根據(jù)圓和正方形的面積公式即可得到結(jié)論．【詳解】解：延長DC，CB交⊙O于M，N，則圖中陰影部分的面積＝14×（S圓O?S正方形ABCD）＝14×（4π?4）＝故答案為π?1．【點(diǎn)睛】本題考查了圓中陰影部分面積的計(jì)算，正方形的性質(zhì)，正確的識別圖形是解題的關(guān)鍵．一、單選題1．（2023·福建廈門·?？级＃┤鐖D，在⊙O中，A、B、C為圓上三點(diǎn)，將下列命題“同弧所對的圓周角相等，且等于圓心角的一半”用符號語言表示為（）A．∵AB＝AB，∠C＝∠D，∴∠C=B．∵AB＝AB，∴∠C＝∠D，∠C=1C．∵AB=AB，∠C＝∠D，D．∵AB=AB，∴∠C＝∠D，【答案】D【分析】根據(jù)圓周角定理進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：由圓周角定理知：∵AB=∴∠C＝∠D，∠C=12∠AOB故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓周角定理，熟練用符號語言表示圓周角定理，是解題的關(guān)鍵．2．（2023·福建泉州·南安市實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考二模）生活中經(jīng)常把井蓋做成圓形的，這樣井蓋就不會掉進(jìn)井里去，這是因?yàn)椋?/p>

）A．同樣長度的線段圍成的平面圖形中圓的面積最大B．同一個圓所有的直徑都相等C．圓的周長是直徑的π倍D．圓是軸對稱圖形【答案】B【分析】根據(jù)圓的特征即可求解．【詳解】解：根據(jù)同一個圓所有的直徑都相等，則井蓋就不會掉進(jìn)井里去，故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查圓的基礎(chǔ)知識，理解并掌握圓的基礎(chǔ)知識，圓的基本特征是解題的關(guān)鍵．3．（2023·福建泉州·統(tǒng)考二模）如圖，BC與⊙O相切于點(diǎn)B，CO的延長線交⊙O于點(diǎn)A，連接AB，若∠ACB=20°，則∠BAC等于（

）．

A．25° B．30° C．35° D．40°【答案】C【分析】連接OB，根據(jù)切線的性質(zhì)可得出OB⊥BC，從而可求出∠BOC=90°-∠ACB=70°，再根據(jù)圓周角定理即可求出∠BAC=1【詳解】解：如圖，連接OB．

∵BC與⊙O相切于點(diǎn)B，∴OB⊥BC，∴∠BOC=90°-∠ACB=70°，∴∠BAC=1故選C．【點(diǎn)睛】本題考查切線的性質(zhì)，圓周角定理．連接常用的輔助線是解題關(guān)鍵．4．（2023·福建南平·統(tǒng)考一模）如圖，以點(diǎn)O為圓心的兩個圓中，大圓的弦AB切小圓于點(diǎn)C，OA交小圓于點(diǎn)D，若OD=2，tan∠OAB=12，則AB的長是（A．4 B．23 C．8 D．43【答案】C【詳解】試題解析：連接OC，∵大圓的弦AB切小圓于點(diǎn)C，∴OC⊥AB，∴AB=2AC，∵OD=2，∴OC=2，∵tan∠OAB=12∴AC=4，∴AB=8，故選C．考點(diǎn)：切線的性質(zhì)．5．（2023·福建漳州·統(tǒng)考一模）一個點(diǎn)到圓的最小距離為6cm，最大距離為9cm，則該圓的半徑是（

）A．1.5cm B．7.5cm C．1.5cm或7.5cm D．3cm或15cm【答案】C【分析】分兩種情況，點(diǎn)P在圓內(nèi)和點(diǎn)P在圓外，點(diǎn)P到圓的最遠(yuǎn)距離與最近距離之和或差就是直徑，據(jù)此求解即可．【詳解】設(shè)這個點(diǎn)為點(diǎn)P，分為兩種情況：①當(dāng)點(diǎn)P在圓內(nèi)時，最近點(diǎn)的距離為6cm，最遠(yuǎn)點(diǎn)的距離為9cm，則直徑是15cm，因而半徑是7.5cm；②當(dāng)點(diǎn)P在圓外時，最近點(diǎn)的距離為6cm，最遠(yuǎn)點(diǎn)的距離為9cm，則直徑是3cm，因而半徑是1.5cm．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，掌握點(diǎn)與圓的位置關(guān)系與半徑的大小關(guān)系是解題的關(guān)鍵．6．（2023·福建·統(tǒng)考中考真題）如圖，AB為⊙O的直徑，點(diǎn)P在AB的延長線上，PC,PD與⊙O相切，切點(diǎn)分別為C，D．若AB=6,PC=4，則sin∠CAD等于（

A．35 B．25 C．34【答案】D【分析】連接OC，CP，DP是⊙O的切線，根據(jù)定理可知∠OCP＝90°，∠CAP＝∠PAD，利用三角形的一個外角等于與其不相鄰的兩個內(nèi)角的和可求∠CAD=∠COP，在Rt△OCP中求出sin∠COP即可【詳解】解：連接OC，CP，DP是⊙O的切線，則∠OCP＝90°，∠CAP＝∠PAD，∴∠CAD=2∠CAP，∵OA=OC∴∠OAC＝∠ACO，∴∠COP＝2∠CAO∴∠COP＝∠CAD∵AB=6∴OC=3在Rt△COP中，OC=3，PC=4∴OP=5．∴sin∠CAD=sin∠COP=故選：D．【點(diǎn)睛】本題利用了切線的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，三角形的外角與內(nèi)角的關(guān)系求解．7．（2023·福建龍巖·統(tǒng)考一模）如圖，在△ABC中，AB=6，以點(diǎn)A為圓心，3為半徑的圓與邊BC相切于點(diǎn)D，與AC，AB分別交于點(diǎn)E和點(diǎn)G，點(diǎn)F是優(yōu)弧GE上一點(diǎn)，∠CDE=18°，則∠GFE的度數(shù)是（

）A．50° B．48° C．45° D．36°【答案】B【分析】連接AD，由切線性質(zhì)可得∠ADB=∠ADC=90°，根據(jù)AB=2AD及銳角的三角函數(shù)可求得∠BAD=60°，易求得∠ADE=72°，由AD=AE可求得∠DAE=36°，則∠GAC=96°，根據(jù)圓周角定理即可求得∠GFE的度數(shù)．【詳解】解：連接AD，則AD=AG=3，∵BC與圓A相切于點(diǎn)D，∴∠ADB=∠ADC=90°，在Rt△ADB中，AB=6，則cos∠BAD=ADAB=1∴∠BAD=60°，∵∠CDE=18°，∴∠ADE=90°﹣18°=72°，∵AD=AE，∴∠ADE=∠AED=72°，∴∠DAE=180°﹣2×72°=36°，∴∠GAC=36°+60°=96°，∴∠GFE=12∠GAC=48°故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查切線性質(zhì)、銳角的三角函數(shù)、等腰三角形的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理、圓周角定理，熟練掌握切線性質(zhì)和圓周角定理，利用特殊角的三角函數(shù)值求得∠BAD=60°是解答的關(guān)鍵．8．（2023·福建莆田·福建省莆田市中山中學(xué)?？级＃┤鐖D，AB、AC為⊙O的兩條切線，∠BAC=50°，點(diǎn)D是BC上一點(diǎn)，則∠BDC的大小是（

）A．100° B．110° C．115° D．125°【答案】C【分析】連接OB、OC，作出優(yōu)弧BC對應(yīng)的一個圓周角∠BD′C，首先求出∠BOC，再根據(jù)∠BD′C=12∠BOC，∠BDC+∠BD′C=180°【詳解】解：連接OB、OC，作出優(yōu)弧BC對應(yīng)的一個圓周角∠BD′C，如圖，∵AB、AC是⊙O的切線，∴OB⊥AB，OC⊥AC，∴∠ABO=∠ACO=90°，∵∠BAC=50°，∴∠BOC=360°-90°-90°-50°=130°，∴∠BD′C=12∠BOC=65°∴∠BDC=180°-65°=115°，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查切線的性質(zhì)、圓周角定理，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線．9．（2023·福建泉州·校聯(lián)考一模）如圖，兩個同心圓(圓心相同半徑不同的圓)的半徑分別為6cm和3cm，大圓的弦AB與小圓相切，則劣弧AB的長為(

)A．2πcm B．4πcm C．6πcm D．8πcm【答案】B【分析】首先連接OC，AO，由切線的性質(zhì)，可得OC⊥AB，根據(jù)已知條件可得：OA=2OC，進(jìn)而求出∠AOC的度數(shù)，則圓心角∠AOB可求，根據(jù)弧長公式即可求出劣弧AB的長．【詳解】解：如圖，連接OC，AO，∵大圓的一條弦AB與小圓相切，∴OC⊥AB，∵OA=6，OC=3，∴OA=2OC，∴∠A=30°，∴∠AOC=60°，∴∠AOB=120°，∴劣弧AB的長=120×π×6180=4π故選B．【點(diǎn)睛】本題考查切線的性質(zhì)，弧長公式，熟練掌握切線的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．10．（2023秋·福建福州·九年級福建省福州屏東中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，△ABC中，∠BAC=90°，BC=5，AC=3，點(diǎn)D是△ABC的內(nèi)心，則BD的長度為（）A．2 B．3 C．10 D．34【答案】C【分析】根據(jù)點(diǎn)D是△ABC的內(nèi)心，畫出△ABC的內(nèi)切圓⊙D，如圖，過點(diǎn)D作DE⊥AB，DF⊥BC，DH⊥AC，垂足為E，F(xiàn)，H，連接AD，根據(jù)內(nèi)切圓的性質(zhì)可知垂足E，F(xiàn)，H也是△ABC三邊與⊙D的切點(diǎn)，DE=DF=DH，AE=AH，BE=BF，CF=CH，利用勾股定理可得AB=BC2-AC2=4，設(shè)BE=x，則BF=x，根據(jù)切線長定理可求得BE=3，設(shè)DE=r【詳解】根據(jù)點(diǎn)D是△ABC的內(nèi)心，畫出△ABC的內(nèi)切圓⊙D，如圖，過點(diǎn)D作DE⊥AB，DF⊥BC，DH⊥AC，垂足為E，F(xiàn)，H，連接AD，根據(jù)內(nèi)切圓的性質(zhì)可知垂足E，F(xiàn)，H也是△ABC三邊與⊙D的切點(diǎn)，∴DE=DF=DH，∵∠BAC=90°，∴AB=B設(shè)BE=x，則BF=x，∴AE=AB-BE=4-x，CF=CH=5-x，AH=AE=4-x，∴5-x+4-x=3，∴x=3，∴BE=3，設(shè)DE=r，∵S△ABC∴12∴r=1，∴DE=1，∴BD=B故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的內(nèi)切圓和內(nèi)心，勾股定理，三角形的外接圓與外心，作出輔助線構(gòu)建直角三角形是解題的關(guān)鍵．二、填空題11．（2023·福建龍巖·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知圓錐的底面半徑為3，母線長為7，則圓錐的側(cè)面積是_____．【答案】21π．【分析】利用圓錐的側(cè)面展開圖為一扇形，這個扇形的弧長等于圓錐底面的周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長和扇形的面積公式計(jì)算．【詳解】解：圓錐的側(cè)面積＝12×2π×3×7＝21π故答案為21π．【點(diǎn)睛】本題考查圓錐的計(jì)算：圓錐的側(cè)面展開圖為一扇形，這個扇形的弧長等于圓錐底面的周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長．12．（2023·福建泉州·統(tǒng)考三模）如圖，量角器外沿上有A、B兩點(diǎn)，它們的讀數(shù)分別是75°、45°，則∠1的度數(shù)為_____.【答案】15°【分析】根據(jù)圓周角和圓心角的關(guān)系解答即可．【詳解】解：由圖可知，∠AOB＝75°﹣45°＝30°，根據(jù)同弧所對的圓周角等于它所對圓心角的一半可知，∠1＝12∠AOB＝12×30°＝故答案為15°【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，熟練掌握圓周角定理是解題的關(guān)鍵．13．（2023·福建福州·福建省福州延安中學(xué)校考三模）如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD交AB于點(diǎn)E，連接AC，AD．若∠BAC=28°，則∠D=______°【答案】62【分析】連接BD，根據(jù)直徑所對的圓周角是90°，可得∠ADB=90°，由CB=CB，可得∠BAC=∠BDC，進(jìn)而可得【詳解】解：連接BD，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB=90°，∵CB=∴∠BAC=∠BDC=28°，∴∠ADC=90°-∠BDC=62°故答案為：62【點(diǎn)睛】本題考查了同弧所對的圓周角相等，直徑所對的圓周角是直角，掌握圓周角定理是解題的關(guān)鍵．14．（2023秋·福建福州·九年級校聯(lián)考期中）如圖，AB，BC，CD分別與⊙O相切于E，F(xiàn)，G三點(diǎn)，且AB∥CD，BO=6cm，CO=8cm，則BC=___【答案】10【分析】先根據(jù)切線長定理得到BO平分∠ABC，CO平分∠BCD，再證明∠BOC=90°，然后利用勾股定理計(jì)算出BC即可．【詳解】解：∵AB、BC、CD分別與⊙O∴BO平分∠ABC，CO平分∠BCD∴∠OBC=12∠ABC∴∠OBC+∠OCB=1∵AB∥∴∠ABC+∠BCD=180°，∴∠OBC+∠OCB=1∴∠BOC=90°在Rt△OBC中，BO=6cm，CO=8∴BC=6故答案為：10【點(diǎn)睛】本題考查切線長定理，切線的性質(zhì)，勾股定理，綜合運(yùn)用相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．15．（2023·福建泉州·福建省泉州第一中學(xué)?？寄M預(yù)測）將一個底面半徑為3cm，高為4cm的圓錐形紙筒沿一條母線剪開，所得的側(cè)面展開圖面積為________．【答案】15πc【分析】根據(jù)圓錐的側(cè)面積公式求解即可．【詳解】∵半徑為3cm，高為4cm∴母線l=∴圓錐的側(cè)面積S=πrl=3×5π=15πc故答案為：15πcm【點(diǎn)睛】本題考查了圓錐的側(cè)面積問題，掌握圓錐的側(cè)面積公式是解題的關(guān)鍵．16．（2023·福建·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=30°，⊙E為內(nèi)切圓，若BE=4，則△BCE的面積為___________.【答案】4【分析】如圖（見解析），先根據(jù)三角形內(nèi)切圓的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、切線長定理可求出BD=BF=23,AF=AG=2,CD=CG，再設(shè)CD=CG=x，利用勾股定理可求出x的值，從而可得【詳解】如圖，設(shè)圓E與Rt△ABC三邊的相切點(diǎn)分別為點(diǎn)D,F,G，連接ED,EF,EG,EA則ED⊥BC,EF⊥AB,EG⊥AC，且ED=EF=EG由題意得：∠ACB=30°，∠BAC=90°，∠ABC=60°∵圓E為Rt△ABC的內(nèi)切圓∴AE平分∠BAC，BE平分∠ABC∴∠DBE=12則在Rt△BDE中，ED=12在Rt△AEF中，AF=EF=ED=2由切線長定理得：BD=BF=2∴AB=AF+BF=2+2設(shè)CD=CG=x，則BC=BD+CD=23+x在Rt△ABC中，由勾股定理得：A即(2+2解得x=4+2則△BCE的面積為1故答案為：43【點(diǎn)睛】本題考查了三角形內(nèi)切圓的性質(zhì)、切線長定理、圓的切線的性質(zhì)、勾股定理等知識點(diǎn)，掌握理解三角形內(nèi)切圓的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．三、解答題17．（2023·福建廈門·福建省廈門集美中學(xué)?？家荒＃┤鐖D，AD是⊙O的弦，AB經(jīng)過圓心O交⊙O于點(diǎn)C，∠A＝∠B＝30°，連接BD．求證：BD是⊙O的切線．【答案】證明見解析【分析】連接OD，求出∠ODB＝90°，根據(jù)切線的判定推出即可．【詳解】如圖，連接OD，∵OD＝OA，∴∠ODA＝∠DAB＝30°，∴∠DOB＝∠ODA+∠DAB＝60°，∴∠ODB＝180°﹣∠DOB﹣∠B＝180°﹣60°﹣30°＝90°，即OD⊥BD，∴直線BD與⊙O相切．【點(diǎn)睛】此題主要考查了切線的判定，三角形的內(nèi)角和以及三角形的外角性質(zhì)，關(guān)鍵是證明OD⊥BD．18．（2023·福建福州·統(tǒng)考一模）已知：在△ABC中，AB＝AC．（1）求作：△ABC的外接圓．（要求：尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）（2）若△ABC的外接圓的圓心O到BC邊的距離為8，BC＝12，則求出⊙O的面積．【答案】（1）見解析；（2）100π．【分析】（1）作AB和BC的垂直平分線，交點(diǎn)即為△ABC的外接圓的圓心．（2）根據(jù)垂徑定理以及勾股定理，即可得到OB的長，進(jìn)而得出⊙O的面積．【詳解】解：（1）如圖，⊙O即為所畫的圖形．（2）設(shè)線段BC的垂直平分線交BC于點(diǎn)E．由題意得：OE＝8，BE＝EC＝6，在Rt△BOE中，OB＝82+6∴S【點(diǎn)睛】本題考查的是作三角形的外接圓，以及求三角形的外接圓的面積，考查了垂徑定理，勾股定理的應(yīng)用，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．19．（2023·福建莆田·校聯(lián)考一模）(1)尺規(guī)作圖：如圖，AB為⊙O的直徑，過點(diǎn)A作⊙O的切線m;（2）在直線m上任取一點(diǎn)P（A點(diǎn)除外），連接PB交圓O與點(diǎn)C，請補(bǔ)全圖形，并證明：P【答案】(1)見解析；(2)見解析【分析】（1）過點(diǎn)A作AB的垂線得到⊙O的切線；（2）連接AC，利用切線的性質(zhì)得AP⊥AB，再利用圓周角定理得到∠ACB=90°，接著證明△APC～△BPA，然后利用相似三角形的性質(zhì)得到結(jié)論．【詳解】（1）解：如圖，直線m為所求作；（2）證明：連接AC．∵AP是⊙O的切線，∴AP⊥AB．又∵AB為⊙O的直徑，∴∠ACB=90°，∴∠ACP=∠BAP=90°．∵∠APC=∠BPA，∴△APC～△BPA，∴PA：PC=PB：PA，∴PA2=PC?PB．【點(diǎn)睛】本題考查了作圖﹣復(fù)雜作圖：復(fù)雜作圖是在五種基本作圖的基礎(chǔ)上進(jìn)行作圖，一般是結(jié)合了幾何圖形的性質(zhì)和基本作圖方法．解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．也考查了圓周角定理和相似三角形的判定與性質(zhì)．20．（2023·福建漳州·統(tǒng)考一模）如圖，AB為⊙O的直徑，點(diǎn)C在BA延長線上，點(diǎn)D在⊙O上，連接CD，AD，∠ADC=∠B，OF⊥AD于點(diǎn)E，交CD于點(diǎn)F．(1)求證：CD是⊙O的切線；(2)若S△COF:S【答案】(1)見解析(2)sin【分析】（1）連接OD，由AB是直徑，可得∠ADB=90°即∠ADO+∠BDO=90°，再由OB=OD，可得∠BDO=∠B，最后根據(jù)∠ADC=∠B（2）由OF⊥AD，∠ADB=90°，可證OF∥BD即∠COF=∠B，從而證明△COF∽CBD，可得S△COFS△CBD=COCB2，再由S【詳解】（1）證明：連接OD，∵AB是直徑，∴∠ADB=90°，∴∠ADO+∠BDO=90°，∵OB=OD，∴∠BDO=∠B，∵∠ADC=∠B，∴∠ADO+∠ADC=90°，即∠ODC=90°，∴CD是⊙O的切線．（2）∵OF⊥AD，∴∠AEO=90°，∵∠ADB=90°，∴OF∥BD，∴∠COF=∠B，∵∠C=∠C，∴△COF∽CBD，∴S△COF∵S△COF∴COCB∴OBCB=1∵OB=OD，∴CO=3OD，∴在Rt△CDO中，sin【點(diǎn)睛】本題考查了切線的判定、圓周角定理、平行線的性質(zhì)和判定、相似三角形的判定和性質(zhì)及解直角三角形，熟練掌握切線的判定和相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．21．（2023·福建寧德·中考真題）如圖，已知AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C，D在⊙O上，點(diǎn)E在⊙O外，∠EAC=∠B．（1）求證：直線AE是⊙O的切線；（2）若∠D=60°，AB=6時，求劣弧AC的長（結(jié)果保留π）．【答案】（1）證明見試題解析；（2）2π．【分析】（1）由AB是⊙O的直徑，得到∠ACB=90°，∠CBA+∠CAB=90°，由∠EAC=∠B，得到∠CAE+∠BAC=90°，從而可得直線AE是⊙O的切線；（2）連接CO，計(jì)算出AO的長，再利用圓周角定理得到∠AOC的度數(shù)，然后利用弧長公式可得答案．【詳解】（1）∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB=90°，∴∠CBA+∠CAB=90°，∵∠EAC=∠B，∴∠CAE+∠BAC=90°，即BA⊥AE，∴AE是⊙O的切線；（2）連接CO，∵AB=6，∴AO=3，∵∠D=60°，∴∠AOC=120°，∴l(xiāng)AC=120π×318022．（2023·福建莆田·校聯(lián)考一模）如圖，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上一點(diǎn)，過點(diǎn)C作⊙O的切線，交BA的延長線交于點(diǎn)D，過點(diǎn)B作BE⊥BA，交DC延長線于點(diǎn)E，連接OE，交⊙O于點(diǎn)F，交BC于點(diǎn)H，連接AC．（1）求證：∠ECB＝∠EBC；（2）連接BF，CF，若CF＝6，sin∠FCB=35，求AC【答案】（1）證明見解析；（2）AC的長為14【分析】（1）只要證明EB是⊙O的切線，利用切線長定理可知EC=EB，即可解決問題．（2）連接CF、CO、AC．在Rt△CFH中，由CF=6，sin∠FCH=35，推出FH=CF?sin∠FCH=185，CH=CF2-FH2=245，設(shè)OC=OF=x，在Rt△COH中，由OC2=CH2+OH2，可得x2=（245）2+（x-【詳解】（1）證明：∵BE⊥OB，∴BE是⊙O的切線，∵EC是⊙O的切線，∴EC=EB，∴∠ECB=∠EBC．（2）連接CF、CO、AC．∵EB=EC，OC=OB，∴EO⊥BC，∴∠CHF=∠CHO=90°，在Rt△CFH中，∵CF=6，sin∠FCH=35∴FH=CF?sin∠FCH=185，CH=C設(shè)OC=OF=x，在Rt△COH中，∵OC2=CH2+OH2，∴x2=（245）2+（x-185）∴x=5，∴OH=75∵OH⊥BC，∴CH=HB，∵OA=OB，∴AC=2OH=145【點(diǎn)睛】本題考查切線的性質(zhì)和判定、解直角三角形、勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問題．23．（2023·福建福州·?？既＃┤鐖D，已知⊙O的半徑為2，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)P是AB延長線上一點(diǎn)．以PO為邊作△OPC，使得PC=PO，OC=4，OC與⊙O的交點(diǎn)為D，連接AC，PD．

(1)判斷直線DP和⊙O位置關(guān)系；(2)若BD的長為3π5，AC=AP，延長PD交AC于點(diǎn)E，求證：EA=EP【答案】(1)直線DP與⊙O相切，理由見解析(2)見解析【分析】（1）由題意可證△DOP≌△DCPSSS，可知∠ODP=∠CDP=90°，進(jìn)而可得直線DP與⊙O（2）由BD的長為3π5，求得∠BOD=54°，可得∠DPO=90°-∠BOD=36°，根據(jù)△DOP≌△DCP，∠CPD=∠DPO=36°，即∠APC=∠DPO+∠CPO=72°，由AC=AP，可得∠ACP=∠APC=72°，進(jìn)而∠A=∠DPO=36°，即可證明EA=EP【詳解】（1）解：直線DP與⊙O相切，理由如下，

∵⊙O的半徑為2，AB是⊙O的直徑，OC=4，∴OD=CD=2，又∵PC=PO，PD=PD，∴△DOP≌△DCPSSS∴∠ODC=∠CDP，則∠ODP=∠CDP=90°，∵D為OC與⊙O的交點(diǎn)，即點(diǎn)D在⊙O上，∴OD⊥PD，∴直線DP與⊙O相切；（2）∵BD的長為3π5，即：∠BOD∴∠BOD=54°，∵∠ODP=90°，∴∠