重難點 陰影部分面積求解問題 中考數(shù)學復習

1/20重難點突破陰影部分面積求解問題目錄原創(chuàng)精品資源學科網(wǎng)獨家享有版權，侵權必究！1/14TOC\o"1-3"\n\h\z\u方法一直接公式法方法二和差法題型01直接和差法題型02構造和差法題型03割補法類型一全等法類型二等面積法類型三平移法、旋轉法類型四對稱法題型04容斥原理1/54【基礎】設⊙OQUOTE的半徑為R，n°QUOTE圓心角所對弧長為l，n為弧所對的圓心角的度數(shù)，則扇形弧長公式l=nπR180（扇形面積公式S扇形=nπR2圓錐側面積公式S圓錐側=πrl（其中l(wèi)是圓錐的母線長，r是圓錐的底面半徑）圓錐全面積公式S圓錐全=πrl+πr2（圓錐的表面積=扇形面積+底面圓面積）圓錐的高h，圓錐的底面半徑rr【方法技巧】1）利用弧長公式計算弧長時，應先確定弧所對的圓心角的度和半徑，再利用公式求得結果．在弧長公式l=nπR2）在利用扇形面積公式求面積時，關鍵是明確扇形所在圓的半徑、扇形的圓心角的度數(shù)或扇形的弧長，然后直接代入公式S扇形=nπR2360或S3）扇形面積公式S扇形=14）根據(jù)扇形面積公式和弧長公式，已知S扇形，l，n，R中的任意兩個量，都可以求出另外兩個量．5）在解決有關圓錐及其側面展開圖的計算題時，常借助圓錐底面圓的周長等于側面展開圖扇形的弧長，即2πr=nπR1806）求弧長或扇形的面積問題常結合圓錐考查，解這類問題只要抓住圓錐側面展開即為扇形，而這個扇形的弧長等于原圓錐底面的周長，扇形的半徑等于原圓錐的母線長．注意不要混淆圓錐的底面半徑和圓錐展開后的扇形半徑兩個概念．【陰影部分面積求解問題簡介】求陰影部分面積時，最基本的思想就是轉化思想，即把所求的不規(guī)則的圖形的面積轉化為規(guī)則圖形的面積．常用的方法有：1）直接用公式求解．圖形公式S陰影=S扇形ABCS陰影=S△ABCS陰影=S四邊形ABCD=ab2）和差法：所求面積的圖形是一個不規(guī)則圖形，可將其轉化變成多個規(guī)則圖形面積的和或差，進行求解．①直接和差法.（陰影部分是幾個常見圖形組合而成，即S陰影=S常見圖形±S常見圖形）圖形面積計算方法圖形面積計算方法S陰影=S△ACB?S扇形ABDS陰影=S扇形AOB?S△AOBS陰影=S△AOB?S扇形CODS陰影=S扇形BAD?S半圓ABS陰影=S半圓AB?S△AOBS陰影=S扇形之和=nπR2S陰影=S扇形EAF?S△ADE②構造和差法（所求陰影部分面積需要添加輔助線構造扇形、三角形或特殊四邊形,然后進行相加減。）圖形公式S陰影=S扇形AOC+S△BOCS陰影=S△ODC-S扇形DOES陰影=S扇形AOB-S△AOBS陰影=S扇形BOE+S△OCE-S扇形COD3）割補法：直接求面積較復雜或無法計算時，可通過旋轉、平移、割補等方法，對圖形進行轉化，為利用公式法或和差法創(chuàng)造條件，從而求解．①全等法圖形公式S陰影=S△AOBS陰影=S扇形BOCS陰影=S矩形ACDFS陰影=S正方形PCQE②等面積法圖形公式S陰影=S扇形COD③平移法圖形公式S陰影=S正方形BCFES陰影=S矩形ABHG④旋轉法圖形公式S陰影=S扇形AOES陰影=S扇形BODS陰影=S扇形ABE-S扇形MBN⑤對稱法圖形公式S陰影=S△ACDS陰影=S扇形CDES陰影=S△OBC=14S正方形AS陰影=S扇形ACB-S△ACD4)容斥原理當陰影部分是由幾個圖形疊加形成時,1）需先找出疊加前的幾個圖形;2）然后理清圖形之間的重疊關系.圖形（舉例）公式S陰影=S扇形BAB′+S半圓AB′?S半圓ABS陰影=S半圓AC+S半圓BC?S△ACBS陰影=S扇形AEC+S扇形BCD?S△ACB方法一直接公式法1．（2022·湖北武漢·校考三模）如圖，AB是半圓的直徑，點C在直徑上，以C為圓心、CA為半徑向內(nèi)作直角扇形，再以D為圓心、DC為半徑向內(nèi)作直角扇形，使點E剛好落到半圓上，若AB=10，則陰影部分的面積為（

）

A．16π B．12π C．8π D．4π2．（2023·四川成都·校考三模）如圖，在矩形ABCD中，AB=1，BC=2，以B為圓心，BC的長為半徑畫弧，交AD于點E．若將一骰子（看成一個點）投到矩形ABCD中，則骰子落在陰影部分的概率為．3．（2023·吉林長春·吉林大學附屬中學?？寄M預測）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，BC=6，點D是BC的中點，將AD繞點A按逆時針方向旋轉90°得AD'

方法二和差法題型01直接和差法4．（2019上·河北石家莊·九年級統(tǒng)考期中）已知點C在以AB為直徑的半圓上，連接AC、BC，AB=10，BC:AC=3:4

5．（2023·青海·統(tǒng)考中考真題）如圖，正方形ABCD的邊長是4，分別以點A，B，C，D為圓心，2為半徑作圓，則圖中陰影部分的面積是（結果保留π）.

6．（2023·湖南婁底·統(tǒng)考一模）如圖，在等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=2，以點C為圓心畫弧與斜邊AB相切于點D，交AC于點E，交BC于點F，則圖中陰影部分的面積是

7．（2023·山東濟南·統(tǒng)考中考真題）如圖，正五邊形ABCDE的邊長為2，以A為圓心，以AB為半徑作弧BE，則陰影部分的面積為（結果保留π）．

題型02構造和差法8．（2023·四川瀘州·統(tǒng)考模擬預測）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，⊙O為Rt△ABC的內(nèi)切圓，則圖中陰影部分的面積為(結果保留A．3π4 B．6?3π4 C．5?9．（2022·湖北恩施·統(tǒng)考模擬預測）如圖，在平行四邊形ABCD中，AD=2，AB=4，∠A=30°，以點A為圓心，AD的長為半徑畫弧交AB于點E，連接CE，則陰影部分的面積是（

）

A．3?13π B．3π?110．（2023·安徽·模擬預測）如圖，⊙O的半徑為2，AB=23，則陰影部分的面積是．（結果保留π11．（2023上·安徽六安·九年級?？计谀┤鐖D，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，AC=2．點D為BC邊的中點，以點D為圓心，CB長為直徑畫半圓，交AB于點E，則圖中陰影部分的面積為12．（2022·廣東江門·鶴山市沙坪中學?？寄M預測）如圖，在半徑為5，圓心角等于45°的扇形AOB內(nèi)部作一個正方形CDEF，使點C在OA上，點D、E在OB上，點F在AB上，則陰影部分的面積為．

13．（2022·福建·一模）如圖，在平行四邊形紙板ABCD中，點E，F(xiàn)，O分別為AB，

14．（2023·廣東梅州·?？级＃┤鐖D，在平面直角坐標系中，已知⊙D經(jīng)過原點O，與x軸、y軸分別交于A、B兩點，點B坐標為0,23，OC與⊙D交于點C，∠OCA=30°，則圓中陰影部分的面積為

15．（2023·河南周口·淮陽第一高級中學校考模擬預測）如圖，扇形AMB的圓心角∠AMB=60°，將扇形AMB沿射線MB平移得到扇形CND，已知線段CN經(jīng)過AB的中點E，若AM=23，則陰影部分的周長為

16．（2024·西藏拉薩·統(tǒng)考一模）如圖，等腰△ABC的頂點A，C在⊙O上，BC邊經(jīng)過圓心0且與⊙O交于D點，∠B=30°.(1)求證：AB是⊙O的切線；(2)若AB=6，求陰影部分的面積17．（2023·山西長治·統(tǒng)考模擬預測）如圖，在△ABC中，CA=CB，AB=4，點D是AB的中點，分別以點A、B、C為圓心，AD的長為半徑畫弧，交線段AC、BC于點E、F、G、H，若點E、F是線段AC的三等分點時，圖中陰影部分的面積為（

）

A．82?2π B．162?4π18．（2022·湖北武漢·?？寄M預測）已知AB是⊙O的直徑，DA、DE、BC是⊙O的三條切線，切點分別為A、E、B，連接OE．

(1)如圖1，求證：OE(2)如圖2，AD=1，題型03割補法類型一全等法19．（2022上·安徽阜陽·九年級校考期末）AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，∠C=30°，CD=43A．π B．2π C．83π20．（2023·山西晉城·模擬預測）如圖，在矩形ABCD中，AB=1，以點A為圓心，矩形的長AD為半徑畫弧，交BC于點E，交AB的延長線于點F，若AE恰好平分∠BAD，則陰影部分的面積為（

）

A．1 B．π?2?12 C．221．（2023·內(nèi)蒙古·統(tǒng)考中考真題）如圖，正方形ABCD的邊長為2，對角線AC,BD相交于點O，以點B為圓心，對角線BD的長為半徑畫弧，交BC的延長線于點E，則圖中陰影部分的面積為．

22．（2022·青?！そy(tǒng)考中考真題）如圖，矩形ABCD的對角線相交于點O，過點O的直線交AD，BC于點E，F(xiàn)，若AB=3，BC=4，則圖中陰影部分的面積為．23．（2022上·江西南昌·九年級統(tǒng)考期末）如圖，半徑為10的扇形OAB中，∠AOB=90°，C為弧AB上一點，CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分別為D，E．若∠CDE=40°，則圖中陰影部分的面積為（

）A．403π B．1109π C．類型二等面積法24．（2023·遼寧錦州·統(tǒng)考二模）如圖，在△ABC中，AB=AC，以AC為直徑的⊙O與AB，BC分別交于點D，E，連接AE，DE，若∠BED=45°，AB=2，則陰影部分的面積為（）A．π4 B．π3 C．2π25．（2023·山西大同·校聯(lián)考模擬預測）閱讀與思考下面是小明的數(shù)學學習筆記，請仔細閱讀并完成相應的任務：通過構造全等三角形來解決圖形與幾何中的問題在圖形與幾何的學習中常常會遇到一些問題無法直接解答，需要作輔助線構造全等三角形才能得到解決，比如下面的題目中出現(xiàn)了角平分線和垂線段，我們可以通過延長垂線段與三角形的一邊相交，構造全等三角形，再運用全等三角形的性質(zhì)解決此問題．例：如圖1，D是△ABC內(nèi)的點，且AD平分∠BAC，CD⊥AD，連接BD．若△ABC的面積是10，求圖中陰影部分的面積．

該問題的解答過程如下：解：如圖2，延長CD交AB于點E．

∵AD平分∠BAC，∴∠DAB=∠DAC．∵AD⊥CD，∴∠ADC=∠ADE=90°．在△ADE和△ADC中，∠DAB=∠DAC∴△ADE≌△ADCASA∴S△ADE=S任務：(1)上述解答過程中的“依據(jù)*”是指；(2)請將上述解答過程的剩余部分補充完整；(3)如圖3，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，AD平分∠BAC交BC于點D，CE⊥AD交AD的延長線于點E，連接BE．若BE=5，請直接寫出AD的長．

26．（2023上·遼寧撫順·九年級統(tǒng)考期末）如圖，C，D是以AB為直徑的半圓上的兩點，連接BC，CD，AC，BD，類型三平移法、旋轉法27．（2023·山西大同·校聯(lián)考模擬預測）如圖，正六邊形ABCDEF內(nèi)接于半徑為8cm的⊙O中，連接CE，AC，AE，沿直線CE折疊，使得點D與點O重合，則圖中陰影部分的面積為（

A．323cm2 B．83cm228．（2023·浙江·模擬預測）如圖，△ABC是直角邊長為2的等腰直角三角形，直角邊AB是半圓O1的直徑，半圓O2過C點且與半圓

A．7?π9 B．5?π9 C．7929．（2018·山西·統(tǒng)考中考真題）如圖，正方形ABCD內(nèi)接于⊙O，⊙O的半徑為2，以點A為圓心，以AC長為半徑畫弧交AB的延長線于點E，交AD的延長線于點F，則圖中陰影部分的面積為（）A．4π﹣4 B．4π﹣8 C．8π﹣4 D．8π﹣8類型四對稱法30．（2017上·山東東營·九年級校聯(lián)考期末）如圖，以AB為直徑，點O為圓心的半圓經(jīng)過點C，若AC=BC=2，則圖中陰影部分的面積是31．（2023·廣西北?！そy(tǒng)考三模）如圖，在平行四邊形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，EF過點O，交AD于點F，交BC于點E．若AB=3，AC=4，AD=5，則圖中陰影部分的面積是（）

A．1.5 B．3 C．6 D．432．（2023·河北保定·統(tǒng)考一模）如圖，在正方形ABCD中，AC和BD交于點O，過點O的直線EF交AB于點E(E不與A，B重合），交CD于點F．以點O為圓心，OC為半徑的圓交直線EF于點M，N．若AB=1，則圖中陰影部分的面積為（）

A．π8?18 B．π8?33．（2022·山東菏澤·統(tǒng)考二模）如圖，等邊三角形ABC內(nèi)接于⊙O，半徑OA=3，則圖中陰影部分的面積是，（結果保留π）34．（2023·江蘇南通·統(tǒng)考二模）如圖，在⊙O中，弦AB垂直于半徑OC，垂足為D，點E在OC的延長線上，且∠EAC=∠CAB．(1)求證：直線AE是⊙O的切線；(2)若OE=6,sin題型04容斥原理35．（2022上·重慶·九年級重慶巴蜀中學?？计谀┤鐖D，在Rt△ABC中，∠C=90°，分別以AB、BC、AC邊為直徑作半圓，圖中陰影部分在數(shù)學史上稱為“希波克拉底月牙”．當AB=8，BC=4時，則陰影部分的面積為36．（2021·廣東江門·?？既＃┤鐖D，AB是半圓O的直徑，以O為圓心，OC長為半徑的半圓交AB于C，D兩點，弦AF切小半圓于點E．已知AB=4，∠BAF=30°，則圖中陰影部分的面積是（）

A．32+π3 B．33+37．（2023·廣東肇慶·統(tǒng)考三模）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AC=2，以點C為圓心，CA長為半徑畫弧，交BC于點D，交AB于點E，則圖中陰影部分的面積是．(結果保留π38．（2022·河南·統(tǒng)考中考真題）如圖，將扇形AOB沿OB方向平移，使點O移到OB的中點O'處，得到扇形A'O'B'．若∠39．（2023·河南信陽·?？既＃┤鐖D，在扇形OAB中，∠AOB=150°，將扇形OAB繞點A順時針旋轉得到扇形O'AB'，點O的對應點O'恰好落在AB

40．（2023·山西忻州·統(tǒng)考模擬預測）如圖，將直徑為4的半圓形分別沿CD，EF折疊使得直徑兩端點A，B的對應點都與圓心O重合，則圖中陰影部分的面積為（

）

A．23?23π B．2341．（2023·江蘇泰州·?？既＃┰赗t△ABC中，∠ABC=90°，以△ABC的三邊為直徑在BC同側作半圓，得兩個月牙（圖中陰影），過點A作BC的平行線，分別和以AB、BC為直徑的半圓交于D、E兩點，若AD=4，

42．（2022·山西長治·統(tǒng)考一模）已知：如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AC=12，BC=6，以AB為直徑的圓與以BC為直徑的圓交AC

43．（2023·吉林長春·吉林省第二實驗學校?？级＃┤鐖D，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=60°，AC=4，以A為圓心，AC長為半徑畫弧，交AB于點E，以B為圓心，BC長為半徑畫弧，交AB于點D．則圖中陰影部分的面積為重難點突破陰影部分面積求解問題解析目錄原創(chuàng)精品資源學科網(wǎng)獨家享有版權，侵權必究！1/14TOC\o"1-3"\n\h\z\u方法一直接公式法方法二和差法題型01直接和差法題型02構造和差法題型03割補法類型一全等法類型二等面積法類型三平移法、旋轉法類型四對稱法題型04容斥原理2/20【基礎】設⊙OQUOTE的半徑為R，n°QUOTE圓心角所對弧長為l，n為弧所對的圓心角的度數(shù)，則扇形弧長公式l=nπR180（扇形面積公式S扇形=nπR2圓錐側面積公式S圓錐側=πrl（其中l(wèi)是圓錐的母線長，r是圓錐的底面半徑）圓錐全面積公式S圓錐全=πrl+πr2（圓錐的表面積=扇形面積+底面圓面積）圓錐的高h，圓錐的底面半徑rr【方法技巧】1）利用弧長公式計算弧長時，應先確定弧所對的圓心角的度和半徑，再利用公式求得結果．在弧長公式l=nπR2）在利用扇形面積公式求面積時，關鍵是明確扇形所在圓的半徑、扇形的圓心角的度數(shù)或扇形的弧長，然后直接代入公式S扇形=nπR2360或S3）扇形面積公式S扇形=14）根據(jù)扇形面積公式和弧長公式，已知S扇形，l，n，R中的任意兩個量，都可以求出另外兩個量．5）在解決有關圓錐及其側面展開圖的計算題時，常借助圓錐底面圓的周長等于側面展開圖扇形的弧長，即2πr=nπR1806）求弧長或扇形的面積問題常結合圓錐考查，解這類問題只要抓住圓錐側面展開即為扇形，而這個扇形的弧長等于原圓錐底面的周長，扇形的半徑等于原圓錐的母線長．注意不要混淆圓錐的底面半徑和圓錐展開后的扇形半徑兩個概念．【陰影部分面積求解問題簡介】求陰影部分面積時，最基本的思想就是轉化思想，即把所求的不規(guī)則的圖形的面積轉化為規(guī)則圖形的面積．常用的方法有：1）直接用公式求解．圖形公式S陰影=S扇形ABCS陰影=S△ABCS陰影=S四邊形ABCD=ab2）和差法：所求面積的圖形是一個不規(guī)則圖形，可將其轉化變成多個規(guī)則圖形面積的和或差，進行求解．①直接和差法.（陰影部分是幾個常見圖形組合而成，即S陰影=S常見圖形±S常見圖形）圖形面積計算方法圖形面積計算方法S陰影=S△ACB?S扇形ABDS陰影=S扇形AOB?S△AOBS陰影=S△AOB?S扇形CODS陰影=S扇形BAD?S半圓ABS陰影=S半圓AB?S△AOBS陰影=S扇形之和=nπR2S陰影=S扇形EAF?S△ADE②構造和差法（所求陰影部分面積需要添加輔助線構造扇形、三角形或特殊四邊形,然后進行相加減。）圖形公式S陰影=S扇形AOC+S△BOCS陰影=S△ODC-S扇形DOES陰影=S扇形AOB-S△AOBS陰影=S扇形BOE+S△OCE-S扇形COD3）割補法：直接求面積較復雜或無法計算時，可通過旋轉、平移、割補等方法，對圖形進行轉化，為利用公式法或和差法創(chuàng)造條件，從而求解．①全等法圖形公式S陰影=S△AOBS陰影=S扇形BOCS陰影=S矩形ACDFS陰影=S正方形PCQE②等面積法圖形公式S陰影=S扇形COD③平移法圖形公式S陰影=S正方形BCFES陰影=S矩形ABHG④旋轉法圖形公式S陰影=S扇形AOES陰影=S扇形BODS陰影=S扇形ABE-S扇形MBN⑤對稱法圖形公式S陰影=S△ACDS陰影=S扇形CDES陰影=S△OBC=14S正方形AS陰影=S扇形ACB-S△ACD4)容斥原理當陰影部分是由幾個圖形疊加形成時,1）需先找出疊加前的幾個圖形;2）然后理清圖形之間的重疊關系.圖形（舉例）公式S陰影=S扇形BAB′+S半圓AB′?S半圓ABS陰影=S半圓AC+S半圓BC?S△ACBS陰影=S扇形AEC+S扇形BCD?S△ACB方法一直接公式法1．（2022·湖北武漢·?？既＃┤鐖D，AB是半圓的直徑，點C在直徑上，以C為圓心、CA為半徑向內(nèi)作直角扇形，再以D為圓心、DC為半徑向內(nèi)作直角扇形，使點E剛好落到半圓上，若AB=10，則陰影部分的面積為（

）

A．16π B．12π C．8π D．4π【答案】C【分析】過點E作EF⊥AB于點F，連接AE，BE，首先證明△AEF～△EBF，設AC=x，則AF=2x，BF=10?2x，EF=x，利用相似三角形的性質(zhì)列方程即可求出x的值，再利用扇形面積公式計算即可．【詳解】解：如圖，過點E作EF⊥AB于點F，連接AE，BE，

∵AB是半圓的直徑，∴∠AEB=90°，即∠EAB+∠EBA=90°，∵EF⊥AB，∴∠AFE=∠EFB=90°，∴∠EAB+∠AEF=90°，∴∠EBA=∠AEF，∴△AEF～△EBF，∴AFEF=EF設AC=x，∵EF⊥AB，且由作圖可知陰影部分是兩個半徑相等的半圓，∴四邊形DCFE是正方形，∴CD=DE=EF=CF=AC=x，∴AF=2x，∴BF=10?2x，∴x2∴x1=0（舍去），∴S陰影故選：C．【點睛】本題考查了相似三角形和扇形的面積，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)以及扇形的面積公式是解題的關鍵．2．（2023·四川成都·?？既＃┤鐖D，在矩形ABCD中，AB=1，BC=2，以B為圓心，BC的長為半徑畫弧，交AD于點E．若將一骰子（看成一個點）投到矩形ABCD中，則骰子落在陰影部分的概率為．【答案】1【分析】本題考查了幾何概率，先根據(jù)銳角三角函數(shù)求出∠AEB=30°，再根據(jù)扇形面積公式求出陰影部分的面積，最后根據(jù)幾何概率的求法解答即可．【詳解】解：∵以B為圓心，BC的長為半徑畫弧，交AD于點E，∴BE=BC=2，在矩形ABCD中，∠A=∠ABC=90°，AB=1，BC=2，∴sin∠AEB=∴∠AEB=30°，∴∠EBA=60°，∴∠EBC=30°，∴陰影部分的面積：S=30°∵矩形的面積為2，∴將一骰子（看成一個點）投到矩形ABCD中，則骰子落在陰影部分的概率為13故答案為：163．（2023·吉林長春·吉林大學附屬中學校考模擬預測）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，BC=6，點D是BC的中點，將AD繞點A按逆時針方向旋轉90°得AD'

【答案】9π【分析】先根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出AD的長，再由扇形的面積公式即可得出結論．【詳解】解：∵在Rt△ABC中，∠BAC=90°，BC=6，點D是BC∴AD=1∴S扇形故答案為：9π4【點睛】本題考查的是扇形面積的計算，熟記扇形的面積公式是解答此題的關鍵．方法二和差法題型01直接和差法4．（2019上·河北石家莊·九年級統(tǒng)考期中）已知點C在以AB為直徑的半圓上，連接AC、BC，AB=10，BC:AC=3:4

【答案】25【分析】要求陰影部分的面積即是半圓的面積減去直角三角形的面積，根據(jù)AB=10，BC:AC=3:4，可以求得AC，BC的長，再根據(jù)半圓的面積公式和直角三角形的面積公式進行計算．【詳解】解：∵AB為直徑，∴∠ACB=90°，∵BC:AC=3:4，設BC=3a,AC=4a(a>0)，AC2+B解得：a=2，BC=6,AC=8，∴S故答案為：252【點睛】本題考查了扇形的面積的計算，勾股定理，正確的識別圖形是解題的關鍵．5．（2023·青海·統(tǒng)考中考真題）如圖，正方形ABCD的邊長是4，分別以點A，B，C，D為圓心，2為半徑作圓，則圖中陰影部分的面積是（結果保留π）.

【答案】16?4π/?4π+16【分析】分析出陰影面積=正方形面積?圓的面積，再利用相應的面積公式計算即可．【詳解】解：由圖得，陰影面積=正方形面積?4個扇形面積，即陰影面積=正方形面積?圓的面積，∴S故答案為：16?4π．【點睛】本題考查了扇形面積的求法，正方形面積及圓的面積的求法是解題關鍵．6．（2023·湖南婁底·統(tǒng)考一模）如圖，在等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=2，以點C為圓心畫弧與斜邊AB相切于點D，交AC于點E，交BC于點F，則圖中陰影部分的面積是

【答案】1?【分析】連接CD，利用等腰直角三角形的性質(zhì)求得扇形的半徑，再利用圖中陰影部分的面積=S【詳解】解：連接CD，如圖，

∵以點C為圓心畫弧與斜邊AB相切于點D，∴CD⊥AB，∵△ACB為等腰直角三角形，∴CD=AD=BD=1∵AB=2∴CD=1，∴陰影部分的面積=S=1=1=1?π故答案為：1?π【點睛】本題主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)、圓的切線的性質(zhì)定理、扇形、三角形的面積等知識點，連接經(jīng)過切點的半徑是解決此類問題常添加的輔助線．7．（2023·山東濟南·統(tǒng)考中考真題）如圖，正五邊形ABCDE的邊長為2，以A為圓心，以AB為半徑作弧BE，則陰影部分的面積為（結果保留π）．

【答案】6π【分析】根據(jù)正多邊形內(nèi)角和公式求出正五邊形的內(nèi)角和，再求出∠A的度數(shù)，利用扇形面積公式計算即可．【詳解】解：正五邊形的內(nèi)角和=5?2∴∠A=540°∴S故答案為：6π5【點睛】本題考查了扇形面積和正多邊形內(nèi)角和的計算，熟練掌握扇形面積公式和正多邊形內(nèi)角和公式是解答本題的關鍵．題型02構造和差法8．（2023·四川瀘州·統(tǒng)考模擬預測）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，⊙O為Rt△ABC的內(nèi)切圓，則圖中陰影部分的面積為(結果保留A．3π4 B．6?3π4 C．5?【答案】C【分析】本題考查了三角形內(nèi)切圓的性質(zhì)；勾股定理求得AB=5，進而根據(jù)等面積法求得，三角形的內(nèi)切半徑，根據(jù)S陰影【詳解】解：Rt△ABC中，AC=4，BC=3∴AB=32+4∴S△ABC=1∴內(nèi)切圓半徑r=2S∴S圓設⊙O與AC切于點D，與BC切于點E，連接OD、OE，則四邊形ODCE為正方形，∴S陰影故選：C．9．（2022·湖北恩施·統(tǒng)考模擬預測）如圖，在平行四邊形ABCD中，AD=2，AB=4，∠A=30°，以點A為圓心，AD的長為半徑畫弧交AB于點E，連接CE，則陰影部分的面積是（

）

A．3?13π B．3π?1【答案】A【分析】利用平行四邊形的面積減去扇形面積和三角形面積即可求解．【詳解】解：過點D作DF⊥AB于F，

∵AD=2，∠A=30°，∴DF=1∵以點A為圓心，AD的長為半徑畫弧交AB于點E，∴AE=AD=2，又∵AB=4，∴BE=2，∴S陰影=AB?DF?=4×1?=3?π故選A．【點睛】本題考查含30°角的直角三角形的性質(zhì)，平行四邊形和三角形的面積公式，扇形的面積公式，不規(guī)則圖形面積的求法，掌握相關面積公式和定理是解題的關鍵．10．（2023·安徽·模擬預測）如圖，⊙O的半徑為2，AB=23，則陰影部分的面積是．（結果保留π【答案】4π【分析】過點O作OH⊥AB于點H，連接OB，求出OH的長和∠AOB的度數(shù)，根據(jù)S扇形【詳解】解：如圖所示，過點O作OH⊥AB于點H，連接OB，∴∠AHO=∠BHO=90°，AH=BH=12AB=∴sin∠AOH=AHAO=3∴∠AOH=60°，∴∠AOB=2∠AOH=120°，∴圖中陰影部分的面積為S扇形故答案為：43【點睛】此題考查了垂徑定理、扇形面積、解直角三角形、勾股定理、等腰三角形的判定和性質(zhì)等知識，求出OH的長和∠AOB的度數(shù)是解題的關鍵．11．（2023上·安徽六安·九年級校考期末）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，AC=2．點D為BC邊的中點，以點D為圓心，CB長為直徑畫半圓，交AB于點E，則圖中陰影部分的面積為【答案】π?【分析】本題考查了含30°角的直角三角形的特征、勾股定理、扇形的面積，根據(jù)含30°角的直角三角形的特征得AB=2AC=4，再利用勾股定理得BC=23，BD=CD=3，進而可得CE=3，BE=3【詳解】解：連接CE、ED，如圖：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，AC=2，點D為BC∴∠ABC=30°，AB=2AC=4，∴∠CDE=60°，∠BDE=180°?60°=120°，∴BC=42?∴CE=12BC=∴圖中陰影部分的面積=S故答案為：π?312．（2022·廣東江門·鶴山市沙坪中學?？寄M預測）如圖，在半徑為5，圓心角等于45°的扇形AOB內(nèi)部作一個正方形CDEF，使點C在OA上，點D、E在OB上，點F在AB上，則陰影部分的面積為．

【答案】5【分析】連接OF，由勾股定理可計算得正方形CDEF的邊長為1，則正方形CDEF的面積為1，等腰直角三角形COD的面積為12，扇形AOB的面積為18π?【詳解】解：連接OF，則OF=5∵∠AOB=45°,∴∠DCO=90°?∠COD=45°.∴∠COD=∠DCO.∴CD=OD.∴EF=ED=OD.Rt△OEFOE∴(2EF)2+E∴OD=CD=EF=1∴S陰影故答案為：5

【點睛】本題考查扇形面積的計算，勾股定理，正方形的性質(zhì)；構造直角三角形運用勾股定理是解題的關鍵．13．（2022·福建·一模）如圖，在平行四邊形紙板ABCD中，點E，F(xiàn)，O分別為AB，

【答案】3【分析】根據(jù)點E，F(xiàn)，O分別為AB，CD，BD的中點，得到【詳解】解：如圖，連接OE，∵四邊形ABCD為平行四邊形，點E，F(xiàn)，∴點E，∴S△EOD=∴S∴S∴飛鏢落在陰影部分的概率為38故答案為：38【點睛】本題考查了幾何概率，平行四邊形的性質(zhì)，用到的知識點為：概率=相應的面積與總面積之比，根據(jù)題意計算出S陰影14．（2023·廣東梅州·?？级＃┤鐖D，在平面直角坐標系中，已知⊙D經(jīng)過原點O，與x軸、y軸分別交于A、B兩點，點B坐標為0,23，OC與⊙D交于點C，∠OCA=30°，則圓中陰影部分的面積為

【答案】2π?23/【分析】連接AB，從圖中明確S陰影【詳解】解：連接AB，

∵∠AOB=90°，∴AB是直徑，根據(jù)同弧對的圓周角相等得：∠OBA=∠OCA=30°，∵點B坐標為0,23∴OB=23∴

OA=OBtan∠ABO=OBtan即圓的半徑為2，∴S陰影故答案為：2π?23【點睛】本題考查了同弧對的圓周角相等；90°的圓周角對的弦是直徑；銳角三角函數(shù)的概念；圓、直角三角形的面積分式，解題的關鍵是熟練運用所學的知識進行解題．15．（2023·河南周口·淮陽第一高級中學?？寄M預測）如圖，扇形AMB的圓心角∠AMB=60°，將扇形AMB沿射線MB平移得到扇形CND，已知線段CN經(jīng)過AB的中點E，若AM=23，則陰影部分的周長為

【答案】2【分析】連接ME，根據(jù)E為AB的中點，扇形AMB的圓心角∠AMB=60°，得出∠EMB=∠AME=12∠AMB=30°，求出lBE=【詳解】解：連接ME，如圖所示：

∵E為AB?的中點，扇形AMB的圓心角∠AMB=60°∴∠EMB=∠AME=1∵AM=23∴EM=BM=23∴l(xiāng)BE根據(jù)平移可知，AM∥CN，∴∠AME=∠MEN，∴∠BME=∠MEN，∴EN=MN，∴陰影部分的周長為：NE+NB+=MB+=23故答案為：23【點睛】本題主要考查了平移的性質(zhì)，弧長公式，等腰三角形的判定和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，掌握平移的性質(zhì)是解題的關鍵．16．（2024·西藏拉薩·統(tǒng)考一模）如圖，等腰△ABC的頂點A，C在⊙O上，BC邊經(jīng)過圓心0且與⊙O交于D點，∠B=30°.(1)求證：AB是⊙O的切線；(2)若AB=6，求陰影部分的面積【答案】(1)見解析；(2)6【分析】（1）連接OA，由AB=AC，∠B=30°，可得∠CAB=120°，由OC=OA，可得∠OAB=90°，即可求證；（2）在RtΔOAB中，利用勾股定理可求得OA=23，再根據(jù)S【詳解】（1）證明：連接OA，∵AB=AC，∴∠C=∠B=30°，∠CAB=120°，∵OC=OA，∴∠OAC=∠C=30°，∴∠OAB=90°，∵OA是⊙O的半徑，∴AB是圓O的切線．（2）解：∵∠B=30°，∠OAB=90°，∴OB=2OA∵AB=6，∴OA∴OA=2∴S陰【點睛】此題主要考查切線的判定定理、直角三角形的性質(zhì)、勾股定理、扇形的面積公式，熟練掌握切線的判定定理是解題的關鍵.17．（2023·山西長治·統(tǒng)考模擬預測）如圖，在△ABC中，CA=CB，AB=4，點D是AB的中點，分別以點A、B、C為圓心，AD的長為半徑畫弧，交線段AC、BC于點E、F、G、H，若點E、F是線段AC的三等分點時，圖中陰影部分的面積為（

）

A．82?2π B．162?4π【答案】A【分析】連接CD，由等腰三角形的性質(zhì)可得CD⊥AB，AD=BD=2，由題意可得AC=BC=3AD=6，由勾股定理可得CD=42，再由S【詳解】解：如圖，連接CD，

，∵CA=CB，AB=4，點D是AB的中點，∴CD⊥AB，AD=BD=2，∵分別以點A、B、C為圓心，AD的長為半徑畫弧，交線段AC、BC于點E、F、G、H，點E、F是線段AC的三等分點，∴AC=BC=3AD=6，∴CD=A∴=1==8=82故選：A．【點睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理、扇形面積的計算，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理、扇形的面積公式是解題的關鍵．18．（2022·湖北武漢·校考模擬預測）已知AB是⊙O的直徑，DA、DE、BC是⊙O的三條切線，切點分別為A、E、B，連接OE．

(1)如圖1，求證：OE(2)如圖2，AD=1，【答案】(1)見解析(2)3【分析】（1）連接OD，OC，根據(jù)切線的性質(zhì)可得AB⊥BC，AB⊥AD，OE⊥CD，由OA=OE可得DO垂直平分∠ADE，則∠ADO=∠CDO，同理可得∠BCO=∠ECO，可得出∠ODE+∠OCE=90°，根據(jù)同角的余角相等可得∠EOD=∠ECO，證明△ODE∽△COE，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得出結論；（2）連接OC，過點D作DF⊥BC于點F，則四邊形ABFD是矩形，可得CF=2，利用勾股定理求出DF，可得半徑是3，OC=23，可求出∠BOE=120°，根據(jù)S【詳解】（1）證明：如圖，連接OD，OC，

，∵DA、DE、BC是⊙O的三條切線，切點分別為A、E、B，∴AB⊥BC，AB⊥AD，OE⊥CD，∴AD∥BC，∠OED=∠CEO=90°，∵OA=OE，∴DO平分∠ADE，∴∠ADO=∠CDO=1同理可得：∠BCO=∠ECO=1∵AD∥BC，∴∠ADE+∠BCE=180°，∴∠ODE+∠OCE=90°，∵∠ODE+∠EOD=90°，∴∠EOD=∠ECO，∴△ODE∽△COE，∴OE∴OE（2）解：如圖，連接OC，過點D作DF⊥BC于點F，

，則四邊形ABFD是矩形，∴AD=BF，DF=AB，∵DA、DE、BC是⊙O的三條切線，切點分別為A、E、B，AD=1，BC=3，∴DE=AD=BF=1，CE=BC=3，∴CF=BC?BF=2，CD=CE+DE=4，∴DF=C∴AB=DF=23∴⊙O的半徑是3，∴OC=O∴OC=2OB，∴∠OCB=30°，∴∠BCE=2∠OCB=60°，∴∠BOE=360°?∠OBC?∠OEC?∠BCE=120°，∴S【點睛】本題考查了切線的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，扇形的面積公式，相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)及切線的性質(zhì)是解題的關鍵．題型03割補法類型一全等法19．（2022上·安徽阜陽·九年級?？计谀〢B是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，∠C=30°，CD=43A．π B．2π C．83π【答案】C【分析】先求出∠EOD，再根據(jù)含30°直角三角形的性質(zhì)得CE，及AC=2AE，然后根據(jù)勾股定理求出AE，進而得出AC，同理求出OE，OD，最后根據(jù)【詳解】解：∵∠C=∴∠EOD=∵AB⊥CD，AB過圓心O，CD=4∴∠AEC=∠DEO=∴∠EDO=在Rt△ACE中，∠C∴AC=根據(jù)勾股定理，得(2AE)2解得AE=∴AC=2AE=4，同理OE=2，∴S△AEC∴S陰影故選：C．【點睛】本題主要考查了直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，圓周角定理，扇形的面積等，將求不規(guī)則圖形面積轉化為求規(guī)則圖形的面積是解題的關鍵．20．（2023·山西晉城·模擬預測）如圖，在矩形ABCD中，AB=1，以點A為圓心，矩形的長AD為半徑畫弧，交BC于點E，交AB的延長線于點F，若AE恰好平分∠BAD，則陰影部分的面積為（

）

A．1 B．π?2?12 C．2【答案】D【分析】由矩形的性質(zhì)結合角平分線的定義可求出∠BAE=∠EAD=12∠BAD=45°，AB=BE=1，AE=2，再根據(jù)扇形的面積公式，矩形的面積公式和三角形面積公式計算出【詳解】解：∵四邊形ABCD為矩形，∴∠BAD=∠ABC=90°．∵AE恰好平分∠BAD，∴∠BAE=∠EAD=1∴AB=BE=1，∴AE=A∴S扇形AEF=∴S陰影由題意可知AD=AE=2∴S矩形ABCD=AB?AD=1×∴S陰影∴陰影部分的面積為S陰影故選D．【點睛】本題考查矩形的性質(zhì)，角平分線的定義，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，扇形的面積計算等知識．利用數(shù)形結合的思想是解題關鍵．21．（2023·內(nèi)蒙古·統(tǒng)考中考真題）如圖，正方形ABCD的邊長為2，對角線AC,BD相交于點O，以點B為圓心，對角線BD的長為半徑畫弧，交BC的延長線于點E，則圖中陰影部分的面積為．

【答案】π【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)得出陰影部分的面積為扇形BED的面積，然后由勾股定理得出BD=22【詳解】解：正方形ABCD，∴AO=CO,BO=DO,AD=CD，∠DBE=45°∴△AOD≌△COB(SSS∵正方形ABCD的邊長為2，∴BD=∴陰影部分的面積為扇形BED的面積，即45×π×(2故答案為：π．【點睛】題目主要考查正方形的性質(zhì)及扇形的面積公式，理解題意，將陰影部分面積進行轉化是解題關鍵．22．（2022·青?！そy(tǒng)考中考真題）如圖，矩形ABCD的對角線相交于點O，過點O的直線交AD，BC于點E，F(xiàn)，若AB=3，BC=4，則圖中陰影部分的面積為．【答案】6【分析】結合矩形的性質(zhì)證明△AOE≌△COF，可得△AOE與△COF的面積相等，從而將陰影部分的面積轉化為△BDC的面積進行求解即可．【詳解】解：∵四邊形ABCD是矩形，AB=3，∴OA=OC，AB=CD=3，AD∥∴∠AEO=∠CFO，又∵∠AOE=∠COF，在△AOE和△COF中，∠AEO=∠CFOOA=OC∴△AOE≌△COFASA∴S△AOE∴S陰影∴S△BCD故答案為：6．【點睛】本題考查矩形的性質(zhì)、全等三家形的判定與性質(zhì)，根據(jù)證明三角形全等，將陰影部分的面積轉化為矩形面積的一半是解題的關鍵．23．（2022上·江西南昌·九年級統(tǒng)考期末）如圖，半徑為10的扇形OAB中，∠AOB=90°，C為弧AB上一點，CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分別為D，E．若∠CDE=40°，則圖中陰影部分的面積為（

）A．403π B．1109π C．【答案】C【分析】連接OC，易證得四邊形CDOE是矩形，則△DOE≌△CEO，得到∠COB＝∠DEO＝40°，圖中陰影部分的面積＝扇形OBC的面積，利用扇形的面積公式即可求得．【詳解】解：如圖，連接OC，∵∠AOB＝90°，CD⊥OA，CE⊥OB，∴四邊形CDOE是矩形，∴OD＝CE，DE＝OC，CD∥OE，∵∠CDE＝40°，∴∠DEO＝∠CDE＝40°，在△DOE和△CEO中，OD＝∴△DOE≌△CEO（SSS），∴∠COB＝∠DEO＝40°，∴圖中陰影部分的面積＝扇形OBC的面積，∵S扇形OBC＝40π×102360∴圖中陰影部分的面積為1009故選：C．【點睛】本題考查了扇形面積的計算，矩形的判定與性質(zhì)，利用扇形OBC的面積等于陰影的面積是解題的關鍵．類型二等面積法24．（2023·遼寧錦州·統(tǒng)考二模）如圖，在△ABC中，AB=AC，以AC為直徑的⊙O與AB，BC分別交于點D，E，連接AE，DE，若∠BED=45°，AB=2，則陰影部分的面積為（）A．π4 B．π3 C．2π【答案】A【分析】連接OE，OD，證明S△AOD=S△AED，可得【詳解】解：連接OE，OD，∵AC為⊙O的直徑，∴∠AEC=90°，∵AB=AC，∴BE=CE，即點E是BC的中點，∵點O是AC的中點，∴OE是△ABC的中位線，∴OE∥∴S△AOD∴S陰影∵∠AEC=90°，∴∠AEB=90°，∵∠BED=45°，∴∠AED=45°，∴∠AOD=90°，∴S扇形∴S陰影故選：A．【點睛】本題考查的是等腰三角形的性質(zhì)，圓周角定理的應用，扇形面積的計算，熟練的證明S陰影25．（2023·山西大同·校聯(lián)考模擬預測）閱讀與思考下面是小明的數(shù)學學習筆記，請仔細閱讀并完成相應的任務：通過構造全等三角形來解決圖形與幾何中的問題在圖形與幾何的學習中常常會遇到一些問題無法直接解答，需要作輔助線構造全等三角形才能得到解決，比如下面的題目中出現(xiàn)了角平分線和垂線段，我們可以通過延長垂線段與三角形的一邊相交，構造全等三角形，再運用全等三角形的性質(zhì)解決此問題．例：如圖1，D是△ABC內(nèi)的點，且AD平分∠BAC，CD⊥AD，連接BD．若△ABC的面積是10，求圖中陰影部分的面積．

該問題的解答過程如下：解：如圖2，延長CD交AB于點E．

∵AD平分∠BAC，∴∠DAB=∠DAC．∵AD⊥CD，∴∠ADC=∠ADE=90°．在△ADE和△ADC中，∠DAB=∠DAC∴△ADE≌△ADCASA∴S△ADE=S任務：(1)上述解答過程中的“依據(jù)*”是指；(2)請將上述解答過程的剩余部分補充完整；(3)如圖3，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，AD平分∠BAC交BC于點D，CE⊥AD交AD的延長線于點E，連接BE．若BE=5，請直接寫出AD的長．

【答案】(1)全等三角形面積相等(2)見解析(3)10【分析】（1）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，即可得出答案；（2）先判斷△ADE≌△ADCASA得出S△ADE=S△ADC（3）延長CE，AB相交于點Q，先判斷出△AEQ≌△AECASA，得出EQ=EC，繼而得出CQ=2BE=10【詳解】（1）由題意可知，依據(jù)是全等三角形面積相等，故答案為：全等三角形面積相等．（2）解：如圖2，延長CD交AB于點E．

∵AD平分∠BAC，∴∠DAB=∠DAC．∵AD⊥CD，∴∠ADC=∠ADE=90°．在△ADE和△ADC中，∠DAB=∠DACAD=AD∴△ADE≌△ADCASA∴S△ADE=S∴S∴===5∴S（3）解：如圖：

延長CE，AB相交于點∵AD平分∠BAC交BC于點，∴∠BAD=∠CAD，∵CE⊥AD，∴∠AEQ=∠AEC=90°，∵AE=AE，∴△AEQ≌△AECASA∴EQ=EC，∵∠CBQ=90°，∴CQ=2BE=10，∵∠ABC=∠AEC，∴∠BAD=∠BCQ，∵AB=CB，∠ABD=∠CBQ，∴△ABD≌△CBQASA∴AD=CQ=10．【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，作出輔助線構造出全等三角形是解本題的關鍵．26．（2023上·遼寧撫順·九年級統(tǒng)考期末）如圖，C，D是以AB為直徑的半圓上的兩點，連接BC，CD，AC，BD，【答案】9【分析】連接OD，OC，OC交BD于點E，過點O作OF⊥CD于點F，由圓周角定理可得∠AOD=2∠ACD=60°，再由OD=OC=OB以及三角形內(nèi)角和定理可得∠OBD=∠ODB=12180°?∠DOB=30°，△COD為等邊三角形，從而得到【詳解】解：連接OD，OC，OC交BD于點E，過點O作OF⊥CD于點F，則：

∵AB為直徑，∴∠ACB=90°，∵∠ACD=30°，∴OD=OC=OB=1∵BC=CD，AB為半圓，∴∠DOC=∠COB=1∵OD=OC=OB，∴∠OBD=∠ODB=12180°?∠DOB∴OE⊥BD，∴OE=1∴BD=2BE=63，CE=OC?OE=6?3=3∴S故答案為：93【點睛】本題主要考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、圓周角定理、勾股定理，熟練掌握等邊三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、圓周角定理是解題的關鍵．類型三平移法、旋轉法27．（2023·山西大同·校聯(lián)考模擬預測）如圖，正六邊形ABCDEF內(nèi)接于半徑為8cm的⊙O中，連接CE，AC，AE，沿直線CE折疊，使得點D與點O重合，則圖中陰影部分的面積為（

A．323cm2 B．83cm2【答案】A【分析】根據(jù)正六邊形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)以及圓的對稱性可得出OM=MD=12OC=4cm，再根據(jù)直角三角形的邊角關系求出CM，進而求出【詳解】解：如圖，連接OD，交CE于點M，則OD⊥CE，

由折疊可知OM=MD=1∠COM=360°在Rt△COMCM=3∴CE=2CM=83由題意可知，△ACE是等邊三角形，陰影部分面積等于S四邊形連接OA，點O為△ACE的內(nèi)心，到三邊的距離相等，S△OAC∴=2×=323故選：A．【點睛】本題考查正多邊形和圓，翻折的性質(zhì)以及直角三角形的邊角關系，掌握正六邊形和圓的性質(zhì)以及直角三角形的邊角關系是正確解答的前提．28．（2023·浙江·模擬預測）如圖，△ABC是直角邊長為2的等腰直角三角形，直角邊AB是半圓O1的直徑，半圓O2過C點且與半圓

A．7?π9 B．5?π9 C．79【答案】D【分析】利用等弦所對的弧相等，先把陰影部分變化成一個直角梯形，然后再利用等腰直角三角形求小圓的半徑，從而求陰影部分的面積．【詳解】解：連接O1O2，設O

∵O1∴2+x2解得：x=設⊙O1交BC于D，⊙O2交∴CE=PE=∴故選：D．【點睛】本題考查了勾股定理，以及三角形的面積的計算，正確理解陰影部分的面積等于梯形PEDA的面積是關鍵．29．（2018·山西·統(tǒng)考中考真題）如圖，正方形ABCD內(nèi)接于⊙O，⊙O的半徑為2，以點A為圓心，以AC長為半徑畫弧交AB的延長線于點E，交AD的延長線于點F，則圖中陰影部分的面積為（）A．4π﹣4 B．4π﹣8 C．8π﹣4 D．8π﹣8【答案】A【分析】利用對稱性可知：陰影部分的面積=扇形AEF的面積-△ABD的面積.【詳解】利用對稱性可知：陰影部分的面積=扇形AEF的面積-△ABD的面積=90×π×4故選：A．【點睛】本題考查扇形的面積公式、正方形的性質(zhì)等知識，解題的關鍵是學會用轉化的思想思考問題．類似四對稱法30．（2017上·山東東營·九年級校聯(lián)考期末）如圖，以AB為直徑，點O為圓心的半圓經(jīng)過點C，若AC=BC=2，則圖中陰影部分的面積是【答案】π【分析】本題考查了扇形面積的計算．求陰影面積常用的方法：①直接用公式法；②和差法；③割補法．求陰影面積的主要思路是將不規(guī)則圖形面積轉化為規(guī)則圖形的面積．先利用圓周角定理的推論得到∠ACB=90°，則可判斷△ACB為等腰直角三角形，接著判斷△AOC和△BOC都是等腰直角三角形，于是得到S△AOC【詳解】解：∵AB為直徑，∴∠ACB=90°，∵AC=BC=2∴△ACB為等腰直角三角形，∴OC⊥AB，∴△AOC和△BOC都是等腰直角三角形，∴S△AOC=∴S故答案為π431．（2023·廣西北?！そy(tǒng)考三模）如圖，在平行四邊形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，EF過點O，交AD于點F，交BC于點E．若AB=3，AC=4，AD=5，則圖中陰影部分的面積是（）

A．1.5 B．3 C．6 D．4【答案】C【分析】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，勾股定理的逆定理，利用三角形全等，把陰影面積轉化為△ABC的面積計算即可．【詳解】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴BC=AD，AD∥BC，OA=OC，∠EOA=∠FOC，∠EAO=∠FCO，在△AOE和△OFC中，∵∠EOA=∠FOC∠EAO=∠FCO∴△AOE≌△OFCAAS∴S△AOE在△AOB和△DOC中，∵OA=OC∠AOB=∠COD∴△AOB≌△CODSAS∴S△AOB∵AB=3，AC=4，AD=5，A∴△ABC是直角三角形，且∠BAC=90°，∴S陰影故選：C．32．（2023·河北保定·統(tǒng)考一模）如圖，在正方形ABCD中，AC和BD交于點O，過點O的直線EF交AB于點E(E不與A，B重合），交CD于點F．以點O為圓心，OC為半徑的圓交直線EF于點M，N．若AB=1，則圖中陰影部分的面積為（）

A．π8?18 B．π8?【答案】B【分析】圖中陰影部分的面積等于扇形DOC的面積減去△DOC的面積．【詳解】解：以OD為半徑作弧DN，

∵四邊形ABCD是正方形，∴OB=OD=OC，∠DOC=90°，∵∠EOB=∠FOD，∴S∴S故選：B．【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，扇形的面積，解題的關鍵是求出陰影部分的面積等于扇形DOC的面積減去△DOC的面積．33．（2022·山東菏澤·統(tǒng)考二模）如圖，等邊三角形ABC內(nèi)接于⊙O，半徑OA=3，則圖中陰影部分的面積是，（結果保留π）【答案】3π【分析】本題主要考查三角形的外接圓與外心，扇形面積的計算，等邊三角形的性質(zhì)，掌握扇形面積公式是解題的關鍵．根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得SΔCOB=SΔ【詳解】解：∵△ABC為等邊三角形，∴SΔCOB∵⊙O的半徑為3，∴S故答案為：3π．34．（2023·江蘇南通·統(tǒng)考二模）如圖，在⊙O中，弦AB垂直于半徑OC，垂足為D，點E在OC的延長線上，且∠EAC=∠CAB．(1)求證：直線AE是⊙O的切線；(2)若OE=6,sin【答案】(1)見解析(2)S【分析】（1）連接OA．根據(jù)半徑相等可得∠OAC=∠OCA，根據(jù)∠OCA+∠CAB=90°，∠EAC=∠CAB，等量代換可得∠OAC+∠EAC=90°，即可得證；（2）連接OB，根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值得出∠E=30°,OA=12OE=3，進而可得△OAC【詳解】（1）解：如圖，連接OA．∵OA=OC．∴∠OAC=∠OCA∵OC⊥AB，∴∠ADC=90°∴∠OCA+∠CAB=90°．又∵∠EAC=∠CAB,∠OAC=∠OCA．∴∠OAC+∠EAC=90°，∴∠OAE=90°．∴AE⊥OA又∵OA是⊙O的半徑，∴直線AE是⊙O的切線．（2）如圖，連接OB．∵在Rt△OAE中，sin∠E=OA∴∠E=30°,OA=∴∠AOC=60°．又∵OA=OC∴△OAC是等邊三角形．又∵弦AB垂直于半徑OC．∴OD=DC,AD=BD,∴S∴S【點睛】本題考查了切線的判定，垂徑定理，求扇形面積，解直角三角形，等邊三角形的判定和性質(zhì)等知識，熟練掌握切線的性質(zhì)與判定，垂徑定理是解題的關鍵．題型04容斥原理35．（2022上·重慶·九年級重慶巴蜀中學?？计谀┤鐖D，在Rt△ABC中，∠C=90°，分別以AB、BC、AC邊為直徑作半圓，圖中陰影部分在數(shù)學史上稱為“希波克拉底月牙”．當AB=8，BC=4時，則陰影部分的面積為【答案】8【分析】根據(jù)陰影部分面積等于以AC,BC為直徑的2個半圓的面積加上S△ABC減去AB為半徑的半圓面積即S【詳解】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°∴A∵AB=8，BC=4∴AC=∴S====83故答案為：8【點睛】本題考查了勾股定理，求扇形面積，直徑所對的圓周角是直角，掌握圓周角定理是解題的關鍵．36．（2021·廣東江門·?？既＃┤鐖D，AB是半圓O的直徑，以O為圓心，OC長為半徑的半圓交AB于C，D兩點，弦AF切小半圓于點E．已知AB=4，∠BAF=30°，則圖中陰影部分的面積是（）

A．32+π3 B．33+【答案】A【分析】連接OE、OF，如圖，根據(jù)切線的性質(zhì)得到OE⊥AF，再利用勾股定理計算出EF=3，計算出∠FOE=60°，∠BOF=60°，則∠DOE=120°，然后根據(jù)扇形的面積公式，利用圖中陰影部分的面積=【詳解】連接OE、OF，如圖，

∵弦AF切小半圓于點E，∴OE⊥AF，∵AB=4，∠BAF=30°，∴OA=OB=OF=2，OE=1，在Rt△OEF中，EF=∵∠BAF=30°，∴∠OFE=30°，∴∠FOE=