搶分通關(guān)01 函數(shù)選填壓軸題（含一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)等綜合問(wèn)題）-備戰(zhàn)2024年中考數(shù)學(xué)搶分秘籍（全國(guó)版）

第第頁(yè)搶分通關(guān)01函數(shù)選填壓軸題（含一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)等綜合問(wèn)題）目錄【中考預(yù)測(cè)】預(yù)測(cè)考向，總結(jié)?？键c(diǎn)及應(yīng)對(duì)的策略【誤區(qū)點(diǎn)撥】點(diǎn)撥常見(jiàn)的易錯(cuò)點(diǎn)【搶分通關(guān)】精選名校模擬題，講解通關(guān)策略（含新考法、新情境等）一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)在中考選擇題、填空題考場(chǎng)中是熱點(diǎn)內(nèi)容，更是全國(guó)中考的必考內(nèi)容。每年都有一些考生因?yàn)橹R(shí)殘缺、基礎(chǔ)不牢、技能不熟、答欠規(guī)范等原因?qū)е率Х?1．從考點(diǎn)頻率看，一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)圖象和性質(zhì)是高頻考點(diǎn)、必考點(diǎn)，所以必須提高對(duì)函數(shù)圖象和性質(zhì)理解和掌握的能力.2．從題型角度看，以選擇題、填空題最后一題為主，分值3分左右，著實(shí)不少！易錯(cuò)點(diǎn)一反比例函數(shù)求K值未考慮圖象所在的象限【例1】（2024·湖南長(zhǎng)沙·三模）如圖，點(diǎn)是反比例函數(shù)圖像上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，點(diǎn)在軸上．若的面積是3，則．【答案】【分析】本題考查反比例函數(shù)值的幾何意義，連接，根據(jù)平行線(xiàn)間的距離處處相等，得到，結(jié)合雙曲線(xiàn)過(guò)第二象限，求出值即可．【詳解】解：連接，∵，∴，∴，∵點(diǎn)是反比例函數(shù)圖像上的一點(diǎn)，∴，∴，∵雙曲線(xiàn)過(guò)第二象限，∴；故答案為：．【例2】（2024·安徽合肥·一模）如圖，已知反比例函數(shù)（）的圖象經(jīng)過(guò)斜邊的中點(diǎn)，且與直角邊相交于點(diǎn)．若的面積為9，則的值為．【答案】【分析】本題考查的是反比例函數(shù)圖象與性質(zhì)，設(shè)，則，，結(jié)合圖象經(jīng)過(guò)斜邊的中點(diǎn)，得到，根據(jù)點(diǎn)D，點(diǎn)C都在圖象上，得到，得到，繼而得到，結(jié)合的面積為9，得到，計(jì)算得，解答即可．【詳解】設(shè)，則，，∵圖象經(jīng)過(guò)斜邊的中點(diǎn)，∴，∵點(diǎn)D，點(diǎn)C都在圖象上，∴，∴，∴，∵的面積為9，∴，∴，∴．故答案為：．【例3】（2024·遼寧沈陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）如圖，的邊軸，的延長(zhǎng)線(xiàn)過(guò)原點(diǎn)，且，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，若的面積是2，則的值為．

【答案】3【分析】本題考查了反比例函數(shù)與幾何的綜合．延長(zhǎng)交軸于點(diǎn)，證明，求得相似比為，利用相似比求得的面積，利用等高的兩個(gè)三角形求得的面積，再利用比例系數(shù)的幾何意義求解即可．【詳解】解：延長(zhǎng)交軸于點(diǎn)，連接，

∵平行于軸，，∴軸，∴，∵，∴，∵的面積是2，∴的面積是，的面積是，∴，故答案為：3．由三角形的面積求反比例函數(shù)的由三角形的面積求反比例函數(shù)的K值時(shí)，要充分考慮到反比例函數(shù)所在的象限，再取值.易錯(cuò)點(diǎn)二一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)圖象共存問(wèn)題【例1】（2024·安徽合肥·一模）已知反比例函數(shù)的圖象與一次函數(shù)的圖象如圖所示，則函數(shù)的圖象大致為（

）A．B．C．D．【答案】A【分析】本題考查了一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，先根據(jù)一次函數(shù)、反比例函數(shù)的圖象得到的符號(hào)，進(jìn)而由判斷出拋物線(xiàn)與軸的交點(diǎn)位置、對(duì)稱(chēng)軸位置，又結(jié)合可知拋物線(xiàn)開(kāi)口向上，據(jù)此即可求解，掌握一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：由反比例函數(shù)的圖象可得，，由一次函數(shù)圖象與軸的交點(diǎn)在軸的正半軸上可得，，∵，∴二次函數(shù)與軸的交點(diǎn)在軸的正半軸上，∵拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸，∴拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸位于軸的左側(cè)，又∵，∴拋物線(xiàn)開(kāi)口向上，故選：．【例2】（2024·內(nèi)蒙古呼和浩特·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過(guò)的一次函數(shù)的圖象與經(jīng)過(guò)的一次函數(shù)的圖象相交于點(diǎn)C．若點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為3，則函數(shù)的大致圖象是（

）

A．

B．

C．

D．

【答案】C【分析】本題主要考查了函數(shù)圖象判別，求一次函數(shù)解析式，解題的關(guān)鍵是設(shè)點(diǎn)，一次函數(shù)的解析式為，一次函數(shù)的解析式為，求出，，然后再求出，最后進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：設(shè)點(diǎn)，一次函數(shù)的解析式為，一次函數(shù)的解析式為，把分別代入兩個(gè)函數(shù)解析式得：，，解得：，，∴，，∴，∵，∴的圖象為開(kāi)口向下，頂點(diǎn)為的拋物線(xiàn)，所以C選項(xiàng)符合題意．故選：C．【例3】（2024·安徽蕪湖·一模）已知反比例函數(shù)在第二象限內(nèi)的圖像與一次函數(shù)的圖像如圖所示，則函數(shù)的圖像可能為（

）A．B．C． D．【答案】B【分析】本題考查的是一次函數(shù)、反比例函數(shù)和二次函數(shù)的圖象，依據(jù)題意，由一次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)第一、二、三象限，且與y軸交于正半軸，則，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)第二、四象限，則，從而函數(shù)的圖象開(kāi)口向下，對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)，從而排除A、D，C，故可得解．【詳解】解：∵一次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)第一、二、三象限，且與y軸交于正半軸，則，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)第二、四象限，則，∴函數(shù)的圖象開(kāi)口向下，對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)．∴綜上，可得B正確．故選：B．由已知圖象確定相對(duì)應(yīng)的系數(shù)范圍，再分類(lèi)討論其他函數(shù)圖象的大致位置，需要對(duì)原函數(shù)各系數(shù)和圖象位置的正確理解和掌握,再根據(jù)范圍確定新函數(shù)圖象的大致范圍.由已知圖象確定相對(duì)應(yīng)的系數(shù)范圍，再分類(lèi)討論其他函數(shù)圖象的大致位置，需要對(duì)原函數(shù)各系數(shù)和圖象位置的正確理解和掌握,再根據(jù)范圍確定新函數(shù)圖象的大致范圍.易錯(cuò)點(diǎn)三根據(jù)二次函數(shù)的圖象討論各系數(shù)a,b,c有關(guān)式子正誤【例1】（2024·四川達(dá)州·模擬預(yù)測(cè)）二次函數(shù)的圖象如圖所示，其對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，下列結(jié)論：①；

②；③點(diǎn)和在拋物線(xiàn)上，當(dāng)時(shí)，；④不等式的解集是或；⑤一元二次方程的兩根分別為，．其中錯(cuò)誤的個(gè)數(shù)有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】B【分析】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，掌握二次函數(shù)與方程及不等式的關(guān)系．由拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)可判斷①，由拋物線(xiàn)與軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)可判斷②，由拋物線(xiàn)開(kāi)口方向，對(duì)稱(chēng)軸及拋物線(xiàn)與軸交點(diǎn)位置可判斷③，由拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)及拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性可判斷④，由根與系數(shù)關(guān)系可判斷⑤．【詳解】解：由圖可知，拋物線(xiàn)開(kāi)口向上，，拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)，，，故②正確；拋物線(xiàn)和軸交點(diǎn)在負(fù)半軸，，，①正確；當(dāng)時(shí)，兩點(diǎn)都在對(duì)稱(chēng)石側(cè)．圖象部分．隨增大而增大，，③正確；不等式，拋物線(xiàn)在軸上方時(shí)，取值范圍，而拋物線(xiàn)和軸交點(diǎn)為和，解集是或；④錯(cuò)誤．的兩個(gè)根，，∴，，，，的兩個(gè)根，，⑤錯(cuò)誤．故選：B．【例2】（2024·湖南永州·一模）如圖，拋物線(xiàn)的圖像與軸相交于、兩點(diǎn)，與軸相交于點(diǎn)，以下結(jié)論：①；②；③當(dāng)時(shí)，；④．正確的個(gè)數(shù)為（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】B【分析】本題考查二次函數(shù)的開(kāi)口，對(duì)稱(chēng)軸，與軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)，自變量取值范圍等知識(shí)．可借用數(shù)形結(jié)合的方法．【詳解】①：圖象與軸有兩個(gè)交點(diǎn)①正確；②：圖象開(kāi)口向上對(duì)稱(chēng)軸圖象與軸的交點(diǎn)在軸負(fù)半軸②正確；③：由圖象可知，當(dāng)時(shí)，③不正確；④：由圖象知，當(dāng)時(shí)，④正確．故選：B．【例3】（2024·陜西榆林·一模）在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)為常數(shù)，且的圖象如圖所示，其對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)，有以下結(jié)論：①；②；③；④，其中正確的個(gè)數(shù)為（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【分析】本題考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，解答關(guān)鍵是根據(jù)拋物線(xiàn)的位置確定待定字母的取值范圍．根據(jù)二次函數(shù)的圖象的位置，確定a、b、c的符號(hào)，通過(guò)對(duì)稱(chēng)軸，與x軸交點(diǎn)的位置確定各個(gè)選項(xiàng)的正確與錯(cuò)誤即可．【詳解】解：∵拋物線(xiàn)開(kāi)口向上，∴，∵對(duì)稱(chēng)軸在y軸的右側(cè)，∴a、b異號(hào)，∴，故①錯(cuò)誤，∵對(duì)稱(chēng)軸為對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)，，∴，∵拋物線(xiàn)與y軸交于正半軸，∴，∴，故②正確；∵拋物線(xiàn)與x軸交于兩點(diǎn)，∴有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，∴，∴，故③正確；∵，∴∵，，∴，∴，故④正確；所以正確的個(gè)數(shù)有3個(gè)，故答案為：C【例4】（2024·四川成都·模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)，部分圖象如圖所示，給出下面4個(gè)結(jié)論：①；②；③；④若點(diǎn)，在拋物線(xiàn)上，則．其中正確的結(jié)論有（

）

A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合的思想解決問(wèn)題是關(guān)鍵．根據(jù)二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系，即可判斷①結(jié)論；根據(jù)二次函數(shù)系數(shù)與圖象的關(guān)系，即可判斷②結(jié)論；由拋物線(xiàn)圖象可知，當(dāng)時(shí)，，即可判斷③結(jié)論；根據(jù)二次函數(shù)的增減性，即可判斷④結(jié)論．【詳解】解：由圖象可知，拋物線(xiàn)與軸有兩個(gè)交點(diǎn)，，，①結(jié)論正確；拋物線(xiàn)開(kāi)口向上，對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)，且與軸交點(diǎn)在負(fù)半軸，，，，，，，，，②結(jié)論錯(cuò)誤；由函數(shù)圖象可知，當(dāng)時(shí)，，，，，③結(jié)論正確；拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)，點(diǎn)離對(duì)稱(chēng)軸近，點(diǎn)離對(duì)稱(chēng)軸遠(yuǎn)，，④結(jié)論正確，正確的結(jié)論有3個(gè)，故選：C．由二次函數(shù)的圖象確定各系數(shù)由二次函數(shù)的圖象確定各系數(shù)a,b,c的取值，再分類(lèi)討論各個(gè)式子是否正確，其中還和方程與不等式有緊密的聯(lián)系.題型一反比例函數(shù)與特殊四邊形【例1】（2024·山西大同·一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形的兩邊分別在軸、軸的正半軸上，反比例函數(shù)的圖象與相交于點(diǎn)，與相交于點(diǎn)，若點(diǎn)的坐標(biāo)為的面積是，則的值為．

【答案】2【分析】本題主要考查了反比例函數(shù)的的值，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)為，點(diǎn)N的坐標(biāo)為，根據(jù)進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：四邊形是矩形，，，∵點(diǎn)的坐標(biāo)為∴，則點(diǎn)M的坐標(biāo)為，點(diǎn)N的坐標(biāo)為，∴解得，故答案為：2．反比例函數(shù)與特殊平行四邊形問(wèn)題，熟記反比例函數(shù)中反比例函數(shù)與特殊平行四邊形問(wèn)題，熟記反比例函數(shù)中K值的幾何意義和各特殊平行四邊形性質(zhì).1．（2024·安徽合肥·一模）如圖，菱形的頂點(diǎn)B在y軸的正半軸上，C在x軸的正半軸上，A，D在第一象限，軸，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)面積為2的菱形的中心E，交于點(diǎn)F．

（1）k的值為．（2）的值為．【答案】1【分析】本題考查反比例函數(shù)系數(shù)的幾何意義，反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，一次函數(shù)的性質(zhì)．（1）由菱形的性質(zhì)，得到的面積是，而矩形的面積是，即可得到的值；（2）設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為，分別求得點(diǎn)A，B的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求得直線(xiàn)的解析式，聯(lián)立求得點(diǎn)F的坐標(biāo)，然后利用平行線(xiàn)的性質(zhì)求得即可．【詳解】解：（1）四邊形是菱形，，，，的面積菱形的面積，∵，，四邊形是矩形，矩形的面積，的值是．故答案為：；（2）由（1）得反比例函數(shù)的解析式為，設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為，直線(xiàn)的解析式為，則設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為，設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為，∴，解得，∴直線(xiàn)的解析式為，聯(lián)立，解得（負(fù)值已舍），∴，故答案為：．2．（2024·安徽阜陽(yáng)·一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)的圖像分別與軸、軸交于，兩點(diǎn)．正方形的頂點(diǎn)，在第一象限，且頂點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖像上．（1）的面積為；（2）若正方形向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，頂點(diǎn)恰好落在反比例函數(shù)的圖像上，則．【答案】28【分析】（1）首先求得點(diǎn)的坐標(biāo)，可得，，然后根據(jù)三角形面積公式求解即可；（2）過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，交反比例函數(shù)圖像于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，證明，，進(jìn)而確定點(diǎn)的坐標(biāo)，然后求得的值，即可獲得答案．【詳解】解：（1）對(duì)于一次函數(shù)，令，則有，解得，即，令，則，即，∴，，∴；（2）如圖，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，交反比例函數(shù)圖像于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，∵四邊形為正方形，∴，，∴，∵軸，，∴，∴，在和中，，∴，∴，，∴，即，同理可得，∴，，∴，即，將點(diǎn)代入反比例函數(shù)，可得，解得，即該反比例函數(shù)解析式為，∵軸，∴點(diǎn)的縱坐標(biāo)為5，∴點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1，即，∵將正方形向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，頂點(diǎn)恰好落在反比例函數(shù)的圖像上，即此時(shí)點(diǎn)重合，∴點(diǎn)移動(dòng)了個(gè)單位長(zhǎng)度，即，∴．故答案為：（1）2；（2）8．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一次函數(shù)的應(yīng)用、反比例函數(shù)的應(yīng)用、正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)并正確作出輔助線(xiàn)是解題關(guān)鍵．題型二一次函數(shù)與反比例函數(shù)【例1】（2024·四川成都·一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)交于點(diǎn)A、點(diǎn)B，將直線(xiàn)向下平移b個(gè)單位后雙曲線(xiàn)交于點(diǎn)C、點(diǎn)D，M是第二象限內(nèi)一點(diǎn)，連接、，若以M為位似中心的與位似，位似比為，則b的值為．

【答案】9【分析】本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，反比例函數(shù)的性質(zhì)，勾股定理．由題意可得，設(shè)直線(xiàn)的解析式為，點(diǎn)，，根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式求得，整理得，進(jìn)而得到，由點(diǎn)恰好都落在反比例函數(shù)圖象上得到，即，由根和系數(shù)的關(guān)系得，求出的值，據(jù)此即可求解．【詳解】解：聯(lián)立，解得或，∴點(diǎn)，，∴，∵與位似，相似比為，∴，∴，

∵將直線(xiàn)向下平移b個(gè)單位，∴設(shè)直線(xiàn)的解析式為，點(diǎn)，，∴，整理得，，∴，∵點(diǎn)恰好都落在反比例函數(shù)圖象上，∴與反比例函數(shù)的交點(diǎn)方程為，即，由根與系數(shù)的關(guān)系得，，解得或(不合，舍去)，令，則，∴直線(xiàn)和與的交點(diǎn)分別為和，∴，故答案為：9．反比例函數(shù)與一次函數(shù)交點(diǎn)問(wèn)題，求交點(diǎn)再聯(lián)立方程組，再利用直線(xiàn)上加下減的平移原則.反比例函數(shù)與一次函數(shù)交點(diǎn)問(wèn)題，求交點(diǎn)再聯(lián)立方程組，再利用直線(xiàn)上加下減的平移原則.【例2】（2024·安徽池州·一模）如圖，已知直線(xiàn)與軸、軸分別交于點(diǎn)，．請(qǐng)解決下列問(wèn)題：（1）線(xiàn)段的長(zhǎng)為；（2）若菱形的邊軸，另一邊在直線(xiàn)上，且點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上，則．【答案】5【分析】本題考查了一次函數(shù)、反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，勾股定理，菱形的性質(zhì)，三角形全等的判定與性質(zhì)，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)并靈活運(yùn)用是解此題的關(guān)鍵．（1）分別求出直線(xiàn)與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，從而得出，，再由勾股定理計(jì)算即可得出答案；（2）延長(zhǎng)交軸于點(diǎn)，由菱形的性質(zhì)得出，證明，即可得出點(diǎn)的坐標(biāo)，代入反比例函數(shù)解析式即可得出答案．【詳解】解：（1）由題意，得當(dāng)時(shí)，，直線(xiàn)與軸交于點(diǎn)．當(dāng)時(shí)，，直線(xiàn)與軸交于點(diǎn)，，．在中，，故答案為：；（2）如圖，延長(zhǎng)交軸于點(diǎn)．，點(diǎn)是的中點(diǎn)，．四邊形是菱形，．軸，，，，，，，，．點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上，，故答案為：．1．（2024·新疆·一模）已知在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，直線(xiàn)與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A，B，與雙曲線(xiàn)相交于點(diǎn)C，D，且點(diǎn)D的坐標(biāo)為．如圖，當(dāng)點(diǎn)A落在x軸負(fù)半軸時(shí)，過(guò)點(diǎn)C作x軸的垂線(xiàn)垂足為E，過(guò)點(diǎn)D作y軸的垂線(xiàn)，垂足為F，連接．當(dāng)時(shí)，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為．【答案】【分析】先證明的面積和的面積相等；證明四邊形與四邊形都是平行四邊形，故可得出，，再由全等三角形的判定定理得出，故，設(shè)，，，可得，再證明，可算出，，進(jìn)一步可得答案．【詳解】解：如圖，連接，，，∵于相交于點(diǎn)C，D，且點(diǎn)D的坐標(biāo)為．∴，即反比例為，設(shè)，則，∵，而，∴；∵兩三角形同底，∴兩三角形的高相同，∴，∵，，∴四邊形與四邊形都是平行四邊形，，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵，設(shè)，，，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，，∴直線(xiàn)的解析式為，聯(lián)立反比例函數(shù)解析式和一次函數(shù)解析式可得

，解得：，，∴．故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)的綜合運(yùn)用，涉及待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，同底等高的三角形的面積、相似三角形的性質(zhì)，題目綜合性較強(qiáng)．題型三幾何圖形中動(dòng)點(diǎn)之函數(shù)問(wèn)題【例1】（2024·河南信陽(yáng)·一模）如圖1，已知的邊長(zhǎng)為，，于點(diǎn)E．現(xiàn)將沿方向以每秒1個(gè)單位的速度勻速運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)的與重疊部分的面積S與運(yùn)動(dòng)時(shí)間t的函數(shù)圖象如圖2，則當(dāng)t為9時(shí)，S的值是（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查的是動(dòng)點(diǎn)函數(shù)圖象問(wèn)題、平行四邊形的性質(zhì)、勾股定理及含30度角的性質(zhì)，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)，弄清楚不同時(shí)段，圖象和圖形的對(duì)應(yīng)關(guān)系，是解題的關(guān)鍵．根據(jù)題意得出，，結(jié)合函數(shù)圖象確定，當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間時(shí)，為二次函數(shù)，且在時(shí)達(dá)到最大值，對(duì)稱(chēng)軸為，二次函數(shù)與坐標(biāo)軸的另一個(gè)交點(diǎn)為，然后確定二次函數(shù)解析式，代入求解即可．【詳解】解：∵為，，于點(diǎn)E．∴，∴，由運(yùn)動(dòng)的與重疊部分的面積S與運(yùn)動(dòng)時(shí)間t的函數(shù)圖象得：當(dāng)運(yùn)動(dòng)到6時(shí)，重疊部分的面積一直不變，∴，∴，由函數(shù)圖象得：當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間時(shí)，為二次函數(shù)，且在時(shí)達(dá)到最大值，對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)，∴二次函數(shù)與坐標(biāo)軸的另一個(gè)交點(diǎn)為，設(shè)二次函數(shù)的解析式為，將點(diǎn)代入得：，∴，當(dāng)t為9時(shí)，．故選：C．幾何圖形中動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，要抓著關(guān)鍵的特殊位置，再求出特殊位置上的值.幾何圖形中動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，要抓著關(guān)鍵的特殊位置，再求出特殊位置上的值.【例2】（2024·河南濮陽(yáng)·一模）如圖1，在矩形中，為的中點(diǎn)，是線(xiàn)段上的一動(dòng)點(diǎn)．設(shè)，圖2是關(guān)于的函數(shù)圖象，其中是圖象上的最低點(diǎn)，則的值為（

）A．7 B．8 C． D．【答案】D【分析】由圖象右端點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，得出，從而求得，，，作點(diǎn)M關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)E，連接交于N，連接交于O，連接，得，根據(jù)兩點(diǎn)之間，線(xiàn)段最短，得到此時(shí)y最小，最小值為的長(zhǎng)度，通過(guò)證明，求出，，過(guò)點(diǎn)E作于F，利用勾股定理求出，，，從而求得的長(zhǎng)度，即可求解．【詳解】解：∵圖象右端點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，∴∵矩形中，∴，∴∵∴∴∴∵M(jìn)為的中點(diǎn)，∴作點(diǎn)M關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)E，連接交于N，連接交于O，連接，如圖，∴，，∴，根據(jù)兩點(diǎn)之間，線(xiàn)段最短，得此時(shí)y最小，∵點(diǎn)M關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)E，∴垂直平分，∵，，∴，∴，即，∴，∴，過(guò)點(diǎn)E作于F，由勾股定理，得，∵，∴，解得：，∴，，∴，∵是圖象上的最低點(diǎn)，∴a是y的最小值，∴，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查幾何動(dòng)點(diǎn)函數(shù)圖象問(wèn)題，矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握利用軸對(duì)稱(chēng)求最短距離問(wèn)題是解題的關(guān)鍵．1．（2024·河南周口·一模）如圖1，矩形中，點(diǎn)為的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿折線(xiàn)勻速運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，連接、，設(shè)為，為，且關(guān)于的函數(shù)圖象如圖2所示，則的最大值為（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題與函數(shù)圖象，矩形的性質(zhì)，勾股定理，利用數(shù)形結(jié)合的思想是解題關(guān)鍵．在函數(shù)圖象中找到當(dāng)時(shí)，，得出，進(jìn)而得到，再利用圖象的拐點(diǎn)得出，由圖象知到達(dá)時(shí)得最長(zhǎng)，由勾股定理即可求出其值．【詳解】解：由圖知，當(dāng)時(shí)，，即當(dāng)在點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，，，當(dāng)在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，慢慢增大，到點(diǎn)時(shí)，從圖中的拐點(diǎn)可知，此時(shí)，，當(dāng)在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，先減小再增大，直到到達(dá)點(diǎn)時(shí)，此時(shí)最長(zhǎng)，，故選：B．2．（2024·安徽合肥·一模）如圖，在中，，．與矩形的一邊都在直線(xiàn)上，其中、、，且點(diǎn)位于點(diǎn)處．將沿直線(xiàn)，向右平移，直到點(diǎn)與點(diǎn)重合為止．記點(diǎn)平移的距離為，與矩形重疊區(qū)域面積為，則關(guān)于的函數(shù)圖象大致為（

）A．B．C．D．【答案】D【分析】先根據(jù)經(jīng)過(guò)點(diǎn)和經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)計(jì)算出和，再分，和三種情況討論，畫(huà)出圖形，利用面積公式解答即可．【詳解】解：當(dāng)經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，如圖所示：為等腰直角三角形，，，，；當(dāng)經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，如圖所示：，，，；①當(dāng)時(shí)，如圖所示：此時(shí)，，，；②當(dāng)時(shí)，如圖所示：過(guò)作于，此時(shí)，，，，，，四邊形是矩形，，；③當(dāng)時(shí)，如圖所示：此時(shí)，，，，，，，，，，，，．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的函數(shù)圖象，等腰直角三角形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，解三角形等知識(shí)，關(guān)鍵是畫(huà)出圖形，利用數(shù)形結(jié)合和分類(lèi)討論的思想進(jìn)行運(yùn)算．3．（2024·河南平頂山·一模）如圖1，在中，．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿折線(xiàn)A→B→C勻速運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)C后停止．設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)路程為x，線(xiàn)段的長(zhǎng)度為y，圖2是y隨x變化的關(guān)系圖像，其中M為曲線(xiàn)的最低點(diǎn)，則的面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的函數(shù)圖象，勾股定理，垂線(xiàn)段最短．作，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，線(xiàn)段的長(zhǎng)度最短，此時(shí)，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，運(yùn)動(dòng)結(jié)束，此時(shí)，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)結(jié)合勾股定理求解即可．【詳解】解：作，垂足為，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，線(xiàn)段的長(zhǎng)度最短，此時(shí)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路程為，即，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，運(yùn)動(dòng)結(jié)束，線(xiàn)段的長(zhǎng)度就是的長(zhǎng)度，此時(shí)，∵，∴，∴，∴，∴，，∴，在中，，∴，∴，∴的面積為，故選：C．題型四二次函數(shù)與其他函數(shù)綜合問(wèn)題【例1】（2024·安徽宿州·一模）如圖，已知拋物線(xiàn)（是常數(shù)且）和線(xiàn)段，點(diǎn)和點(diǎn)的坐標(biāo)分別為．

（1）拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)；（2）當(dāng)時(shí)，將拋物線(xiàn)向上平移個(gè)單位長(zhǎng)度后與線(xiàn)段僅有一個(gè)交點(diǎn)，則的取值范圍是．【答案】2或【分析】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)及圖象的平移，利用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想作出圖形，根據(jù)圖形進(jìn)行求解是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．（1）由題意可知拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)，即可求解；（2）由題意可知，當(dāng)時(shí)，將拋物線(xiàn)向上平移個(gè)單位長(zhǎng)度后拋物線(xiàn)為，結(jié)合圖形，找到臨界點(diǎn)：當(dāng)拋物線(xiàn)頂點(diǎn)恰好平移到線(xiàn)段上，當(dāng)拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，求出對(duì)應(yīng)的值，結(jié)合圖形即可求解．【詳解】解：（1）∵，∴拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)，故答案為：2；（2）當(dāng)時(shí)，，將拋物線(xiàn)向上平移個(gè)單位長(zhǎng)度后拋物線(xiàn)為，

當(dāng)拋物線(xiàn)頂點(diǎn)恰好平移到線(xiàn)段上，此時(shí)，，可得；當(dāng)拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，此時(shí)，可得，此時(shí)關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)，在線(xiàn)段上，不符合題意；當(dāng)拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，此時(shí)，可得，此時(shí)關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)，不在線(xiàn)段上，符合題意；結(jié)合圖形可知，平移后的拋物線(xiàn)與線(xiàn)段僅有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，或；故答案為：或．二次函數(shù)中平移，左加右減，上加下減，再根據(jù)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)解答.二次函數(shù)中平移，左加右減，上加下減，再根據(jù)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)解答.1．（2024·安徽合肥·一模）我們定義：如果一個(gè)函數(shù)圖象上存在縱坐標(biāo)是橫坐標(biāo)6倍的點(diǎn)，則把該函數(shù)稱(chēng)為“行知函數(shù)”，該點(diǎn)稱(chēng)