云南省臨滄市臨翔區(qū)元江民族中學(xué)2023-2024學(xué)年高三第二次診斷性檢測(cè)數(shù)學(xué)試卷含解析

云南省臨滄市臨翔區(qū)元江民族中學(xué)2023-2024學(xué)年高三第二次診斷性檢測(cè)數(shù)學(xué)試卷考生請(qǐng)注意：1．答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫(xiě)在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫(xiě)在試卷指定的括號(hào)內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫(xiě)在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知，則（）A． B． C． D．2．已知，，，則（）A． B．C． D．3．設(shè)（是虛數(shù)單位），則（）A． B．1 C．2 D．4．臺(tái)球是一項(xiàng)國(guó)際上廣泛流行的高雅室內(nèi)體育運(yùn)動(dòng)，也叫桌球（中國(guó)粵港澳地區(qū)的叫法）、撞球（中國(guó)地區(qū)的叫法）控制撞球點(diǎn)、球的旋轉(zhuǎn)等控制母球走位是擊球的一項(xiàng)重要技術(shù)，一次臺(tái)球技術(shù)表演節(jié)目中，在臺(tái)球桌上，畫(huà)出如圖正方形ABCD，在點(diǎn)E，F(xiàn)處各放一個(gè)目標(biāo)球，表演者先將母球放在點(diǎn)A處，通過(guò)擊打母球，使其依次撞擊點(diǎn)E，F(xiàn)處的目標(biāo)球，最后停在點(diǎn)C處，若AE=50cm．EF=40cm．FC=30cm，∠AEF=∠CFE=60°，則該正方形的邊長(zhǎng)為（）A．50cm B．40cm C．50cm D．20cm5．某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的體積為A． B． C．2 D．6．一小商販準(zhǔn)備用元錢(qián)在一批發(fā)市場(chǎng)購(gòu)買(mǎi)甲、乙兩種小商品，甲每件進(jìn)價(jià)元，乙每件進(jìn)價(jià)元，甲商品每賣(mài)出去件可賺元，乙商品每賣(mài)出去件可賺元.該商販若想獲取最大收益，則購(gòu)買(mǎi)甲、乙兩種商品的件數(shù)應(yīng)分別為（）A．甲件，乙件 B．甲件，乙件 C．甲件，乙件 D．甲件，乙件7．如圖，平面四邊形中，，，，為等邊三角形，現(xiàn)將沿翻折，使點(diǎn)移動(dòng)至點(diǎn)，且，則三棱錐的外接球的表面積為（）A． B． C． D．8．已知滿足，則（）A． B． C． D．9．已知函數(shù)，若方程恰有兩個(gè)不同實(shí)根，則正數(shù)m的取值范圍為（）A． B．C． D．10．已知雙曲線與雙曲線沒(méi)有公共點(diǎn)，則雙曲線的離心率的取值范圍是()A． B． C． D．11．某幾何體的三視圖如圖所示，其俯視圖是由一個(gè)半圓與其直徑組成的圖形，則此幾何體的體積是（）A． B． C． D．12．函數(shù)的大致圖象是（）A． B．C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．某種圓柱形的如罐的容積為個(gè)立方單位，當(dāng)它的底面半徑和高的比值為_(kāi)_____.時(shí)，可使得所用材料最省.14．設(shè)為定義在上的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，（為常數(shù)），若，則實(shí)數(shù)的值為_(kāi)_____.15．已知向量滿足，且，則_________．16．若奇函數(shù)滿足，為R上的單調(diào)函數(shù)，對(duì)任意實(shí)數(shù)都有，當(dāng)時(shí)，，則________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）如圖，已知，分別是正方形邊，的中點(diǎn)，與交于點(diǎn)，，都垂直于平面，且，，是線段上一動(dòng)點(diǎn).（1）當(dāng)平面，求的值；（2）當(dāng)是中點(diǎn)時(shí)，求四面體的體積.18．（12分）設(shè)的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知.（1）求；（2）若為銳角三角形，求的取值范圍.19．（12分）已知函數(shù).（1）若曲線存在與軸垂直的切線，求的取值范圍.（2）當(dāng)時(shí)，證明：.20．（12分）如圖，四棱錐中，底面，，點(diǎn)在線段上，且.（1）求證：平面；（2）若，，，，求二面角的正弦值.21．（12分）已知離心率為的橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn).(1)求橢圓的方程；(2)薦橢圓的右焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓分別交于，若直線、、的斜率成等差數(shù)列，請(qǐng)問(wèn)的面積是否為定值？若是，求出此定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.22．（10分）在開(kāi)展學(xué)習(xí)強(qiáng)國(guó)的活動(dòng)中，某校高三數(shù)學(xué)教師成立了黨員和非黨員兩個(gè)學(xué)習(xí)組，其中黨員學(xué)習(xí)組有4名男教師、1名女教師，非黨員學(xué)習(xí)組有2名男教師、2名女教師，高三數(shù)學(xué)組計(jì)劃從兩個(gè)學(xué)習(xí)組中隨機(jī)各選2名教師參加學(xué)校的挑戰(zhàn)答題比賽.（1）求選出的4名選手中恰好有一名女教師的選派方法數(shù)；（2）記X為選出的4名選手中女教師的人數(shù)，求X的概率分布和數(shù)學(xué)期望.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】

根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，即當(dāng)?shù)讛?shù)大于1時(shí)單調(diào)遞增，當(dāng)?shù)讛?shù)大于零小于1時(shí)單調(diào)遞減，對(duì)選項(xiàng)逐一驗(yàn)證即可得到正確答案.【詳解】因?yàn)?，所以，所以是減函數(shù)，又因?yàn)椋?，，所以，，所以A,B兩項(xiàng)均錯(cuò)；又，所以，所以C錯(cuò)；對(duì)于D，，所以，故選D.【點(diǎn)睛】這個(gè)題目考查的是應(yīng)用不等式的性質(zhì)和指對(duì)函數(shù)的單調(diào)性比較大小，兩個(gè)式子比較大小的常用方法有：做差和0比，作商和1比，或者直接利用不等式的性質(zhì)得到大小關(guān)系，有時(shí)可以代入一些特殊的數(shù)據(jù)得到具體值，進(jìn)而得到大小關(guān)系.2、C【解析】

利用二倍角公式,和同角三角函數(shù)的商數(shù)關(guān)系式,化簡(jiǎn)可得,即可求得結(jié)果.【詳解】，所以，即.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查三角恒等變換中二倍角公式的應(yīng)用和弦化切化簡(jiǎn)三角函數(shù),難度較易.3、A【解析】

先利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運(yùn)算法則求出，即可根據(jù)復(fù)數(shù)的模計(jì)算公式求出．【詳解】∵，∴．故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運(yùn)算法則的應(yīng)用，以及復(fù)數(shù)的模計(jì)算公式的應(yīng)用，屬于容易題．4、D【解析】

過(guò)點(diǎn)做正方形邊的垂線，如圖，設(shè)，利用直線三角形中的邊角關(guān)系，將用表示出來(lái)，根據(jù)，列方程求出，進(jìn)而可得正方形的邊長(zhǎng).【詳解】過(guò)點(diǎn)做正方形邊的垂線，如圖，設(shè)，則，，則，因?yàn)?，則，整理化簡(jiǎn)得，又，得，.即該正方形的邊長(zhǎng)為.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查直角三角形中的邊角關(guān)系，關(guān)鍵是要構(gòu)造直角三角形，是中檔題.5、A【解析】由給定的三視圖可知，該幾何體表示一個(gè)底面為一個(gè)直角三角形，且兩直角邊分別為和，所以底面面積為高為的三棱錐，所以三棱錐的體積為，故選A．6、D【解析】

由題意列出約束條件和目標(biāo)函數(shù)，數(shù)形結(jié)合即可解決.【詳解】設(shè)購(gòu)買(mǎi)甲、乙兩種商品的件數(shù)應(yīng)分別，利潤(rùn)為元，由題意，畫(huà)出可行域如圖所示，顯然當(dāng)經(jīng)過(guò)時(shí)，最大.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查線性目標(biāo)函數(shù)的線性規(guī)劃問(wèn)題，解決此類問(wèn)題要注意判斷，是否是整數(shù)，是否是非負(fù)數(shù)，并準(zhǔn)確的畫(huà)出可行域，本題是一道基礎(chǔ)題.7、A【解析】

將三棱錐補(bǔ)形為如圖所示的三棱柱，則它們的外接球相同，由此易知外接球球心應(yīng)在棱柱上下底面三角形的外心連線上，在中，計(jì)算半徑即可.【詳解】由，，可知平面．將三棱錐補(bǔ)形為如圖所示的三棱柱，則它們的外接球相同．由此易知外接球球心應(yīng)在棱柱上下底面三角形的外心連線上，記的外心為，由為等邊三角形，可得．又，故在中，，此即為外接球半徑，從而外接球表面積為．故選：A【點(diǎn)睛】本題考查了三棱錐外接球的表面積，考查了學(xué)生空間想象，邏輯推理，綜合分析，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于較難題.8、A【解析】

利用兩角和與差的余弦公式展開(kāi)計(jì)算可得結(jié)果.【詳解】，.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查三角求值，涉及兩角和與差的余弦公式的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.9、D【解析】

當(dāng)時(shí)，函數(shù)周期為，畫(huà)出函數(shù)圖像，如圖所示，方程兩個(gè)不同實(shí)根，即函數(shù)和有圖像兩個(gè)交點(diǎn)，計(jì)算，，根據(jù)圖像得到答案.【詳解】當(dāng)時(shí)，，故函數(shù)周期為，畫(huà)出函數(shù)圖像，如圖所示：方程，即，即函數(shù)和有兩個(gè)交點(diǎn).，，故，，，，.根據(jù)圖像知：.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題，確定函數(shù)周期畫(huà)出函數(shù)圖像是解題的關(guān)鍵.10、C【解析】

先求得的漸近線方程，根據(jù)沒(méi)有公共點(diǎn)，判斷出漸近線斜率的取值范圍，由此求得離心率的取值范圍.【詳解】雙曲線的漸近線方程為，由于雙曲線與雙曲線沒(méi)有公共點(diǎn)，所以雙曲線的漸近線的斜率，所以雙曲線的離心率.故選：C【點(diǎn)睛】本小題主要考查雙曲線的漸近線，考查雙曲線離心率的取值范圍的求法，屬于基礎(chǔ)題.11、C【解析】由三視圖可知，該幾何體是下部是半徑為2，高為1的圓柱的一半，上部為底面半徑為2，高為2的圓錐的一半，所以，半圓柱的體積為，上部半圓錐的體積為，所以該幾何體的體積為，故應(yīng)選．12、A【解析】

用排除B，C；用排除；可得正確答案.【詳解】解：當(dāng)時(shí)，，，所以，故可排除B，C；當(dāng)時(shí)，，故可排除D．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)圖象，屬基礎(chǔ)題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

設(shè)圓柱的高為，底面半徑為，根據(jù)容積為個(gè)立方單位可得，再列出該圓柱的表面積，利用導(dǎo)數(shù)求出最值，從而進(jìn)一步得到圓柱的底面半徑和高的比值．【詳解】設(shè)圓柱的高為，底面半徑為.∵該圓柱形的如罐的容積為個(gè)立方單位∴，即.∴該圓柱形的表面積為.令，則.令，得；令，得.∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.∴當(dāng)時(shí)，取得最小值，即材料最省，此時(shí).故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是寫(xiě)出表面積的表示式，再利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，屬中檔題．14、1【解析】

根據(jù)為定義在上的偶函數(shù)，得，再根據(jù)當(dāng)時(shí)，（為常數(shù)）求解.【詳解】因?yàn)闉槎x在上的偶函數(shù)，所以，又因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以，所以實(shí)數(shù)的值為1.故答案為：1【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)奇偶性的應(yīng)用，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題.15、【解析】

由數(shù)量積的運(yùn)算律求得，再由數(shù)量積的定義可得結(jié)論．【詳解】由題意，∴，即，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查求向量的夾角，掌握數(shù)量積的定義與運(yùn)算律是解題關(guān)鍵．16、【解析】

根據(jù)可得,函數(shù)是以為周期的函數(shù)，令，可求，從而可得，代入解析式即可求解.【詳解】令，則，由，則，所以，解得，所以，由時(shí)，，所以時(shí)，；由，所以，所以函數(shù)是以為周期的函數(shù)，，又函數(shù)為奇函數(shù)，所以.故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了換元法求函數(shù)解析式、函數(shù)的奇偶性、周期性的應(yīng)用，屬于中檔題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）.（2）【解析】

（1）利用線面垂直的性質(zhì)得出，進(jìn)而得出，利用相似三角形的性質(zhì)，得出，從而得出的值；（2）利用線面垂直的判定定理得出平面，進(jìn)而得出四面體的體積，計(jì)算出，，即可得出四面體的體積.【詳解】（1）因?yàn)槠矫?，平面，所以又因?yàn)?，都垂直于平面，所以又，分別是正方形邊，的中點(diǎn)，且，所以.（2）因?yàn)?，分別是正方形邊，的中點(diǎn)，所以又因?yàn)椋即怪庇谄矫?，平面，所以因?yàn)槠矫?，所以平面所以，四面體的體積，所以.【點(diǎn)睛】本題主要考查了線面垂直的性質(zhì)定理的應(yīng)用，以及求棱錐的體積，屬于中檔題.18、（1）（2）【解析】

（1）利用正弦定理化簡(jiǎn)已知條件，由此求得的值，進(jìn)而求得的大小.（2）利用正弦定理和兩角差的正弦公式，求得的表達(dá)式，進(jìn)而求得的取值范圍.【詳解】（1）由題設(shè)知，，即，所以，即，又所以.（2）由題設(shè)知，，即，又為銳角三角形，所以，即所以，即，所以的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本小題主要考查利用正弦定理解三角形，考查利用角的范圍，求邊的比值的取值范圍，屬于中檔題.19、（1）（2）證明見(jiàn)解析【解析】

（1）在上有解，，設(shè)，求導(dǎo)根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得到最值，得到答案.（2）證明，只需證，記，求導(dǎo)得到函數(shù)的單調(diào)性，得到函數(shù)的最小值，得到證明.【詳解】（1）由題可得，在上有解，則，令，，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減.所以是的最大值點(diǎn)，所以.（2）由，所以，要證明，只需證，即證.記在上單調(diào)遞增，且，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增.所以是的最小值點(diǎn)，，則，故.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的切線問(wèn)題，證明不等式，意在考查學(xué)生的綜合應(yīng)用能力和轉(zhuǎn)化能力.20、（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】

（1）要證明平面，只需證明，，即可求得答案；（2）先根據(jù)已知證明四邊形為矩形，以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立坐標(biāo)系，求得平面的法向量為，平面的法向量，設(shè)二面角的平面角為，，即可求得答案.【詳解】（1）平面，平面，.，，.又，平面.（2）由（1）可知.在中，，..又，，四邊形為矩形.以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立坐標(biāo)系，如圖：則：，，，，：，設(shè)平面的法向量為，即，令，則，由題平面，即平面的法向量為由二面角的平面角為銳角，設(shè)二面角的平面角為即二面角的正弦值為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查了求證線面垂直和向量法求二面角，解題關(guān)鍵是掌握線面垂直判斷定理和向量法求二面角的方法，考查了分析能力和計(jì)算能力，屬于中檔題.21、(1)；(2)是，【解析】

(1)根據(jù)及可得，再將點(diǎn)代入橢圓的方程與聯(lián)立解出，即可求出橢圓的方程；(2)可設(shè)所在直線的方程為，，，，將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，用根與系數(shù)的關(guān)系求出，然后將直線、、的斜率、、分別用表示，利用可求出，從而可確定點(diǎn)恒在一條直線上，結(jié)合圖形即可求出的面積．【詳解】(1)因?yàn)闄E圓的離心率為，所以，即，又，所以，①因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以，②由①②解得，所以橢圓C的方程為．(1)可知，，可設(shè)所在直線的方程為，由，得，設(shè)，，，則，，設(shè)直線、、的斜率分別為、、，因?yàn)槿c(diǎn)共線，所以，即，所以，又，因?yàn)橹本€、、的斜率成等差數(shù)列，所以，即，化簡(jiǎn)得，即點(diǎn)恒在一條直線上，又因?yàn)橹本€方