導數(shù)極值教案

1．映射：注意:①第一個集合中的元素必須有象；②一對一或多對一.2．函數(shù)值域的求法(即求最大(小)值)：①利用函數(shù)單調(diào)性；②導數(shù)法③利用均值不等式3．函數(shù)的定義域求法:①偶次方根,被開方數(shù)②分式,分母③對數(shù),真數(shù),底數(shù)且④0次方,底數(shù)⑤實際問題根據(jù)題目求復合函數(shù)的定義域求法:①若f(x)的定義域為［a，b］,則復合函數(shù)f[g(x)]的定義域由不等式a≤g(x)≤b解出②若f[g(x)]的定義域為[a,b],求f(x)的定義域，相當于x∈[a,b]時，求g(x)的值域.4．分段函數(shù)：值域（最值）、單調(diào)性、圖象等問題，先分段解決，再綜合各段情況下結(jié)論。5．函數(shù)的奇偶性:⑴函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱是函數(shù)具有奇偶性的必要條件⑵是奇函數(shù)圖象關(guān)于原點對稱；是偶函數(shù)圖象關(guān)于y軸對稱.⑶奇函數(shù)在0處有定義，則⑷在關(guān)于原點對稱的單調(diào)區(qū)間內(nèi)：奇函數(shù)有相同的單調(diào)性，偶函數(shù)有相反的單調(diào)性6．函數(shù)的單調(diào)性:⑴單調(diào)性的定義：①在區(qū)間上是增函數(shù)當時有；②在區(qū)間上是減函數(shù)當時有；（記憶方法：同不等號為增，不同為減，即同增異減）⑵單調(diào)性的判定：=1\*GB3①定義法：一般要將式子化為幾個因式作積或作商的形式，以利于判斷符號(五步:設(shè)元,作差,變形,定號,單調(diào)性)；②導數(shù)法（三步:求導,解不等式單調(diào)性）7．函數(shù)的周期性：(1)周期性的定義：對定義域內(nèi)的任意，若有（其中為非零常數(shù)），則稱函數(shù)為周期函數(shù)，為它的一個周期。所有正周期中最小的稱為函數(shù)的最小正周期。如沒有特別說明，遇到的周期都指最小正周期。（2）三角函數(shù)的最小正周期：①；②；③；④；⑤(3)與周期有關(guān)的結(jié)論：或的周期為8．指數(shù)與指數(shù)函數(shù)(1)指數(shù)式有關(guān)公式:①；②（以上，且）.③④(2)指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù)：,在定義域內(nèi)是單調(diào)遞增函數(shù)；在定義域內(nèi)是單調(diào)遞減函數(shù)。注：以上兩種函數(shù)圖象都恒過點（0，1）9．對數(shù)與對數(shù)函數(shù)⑴對數(shù)：①；②；③；④.⑤對數(shù)的換底公式:.⑥對數(shù)恒等式:.(2)對數(shù)函數(shù)：②對數(shù)函數(shù)：,在定義域內(nèi)是單調(diào)遞增函數(shù)；在定義域內(nèi)是單調(diào)遞減函數(shù)；注：以上兩種函數(shù)圖象都恒過點（1，0）③反函數(shù)：與互為反函數(shù)?；榉春瘮?shù)的兩個函數(shù)的圖象關(guān)于對稱.10．二次函數(shù)：⑴解析式：①一般式：；②頂點式：，為頂點；③零點式：（a≠0）.(2)二次函數(shù)的圖象的對稱軸方程是，頂點坐標是。(3)二次函數(shù)問題解決需考慮的因素：①開口方向；②對稱軸；③判別式；④與坐標軸交點；⑤端點值；⑥兩根符號。11．函數(shù)圖象：⑴圖象作法：①描點法（特別注意三角函數(shù)的五點作圖）②圖象變換法③導數(shù)法⑵圖象變換：平移變換：ⅰ)，———左“+”右“－”；ⅱ)———上“+”下“－”；對稱變換：ⅰ)；ⅱ)；ⅲ)；ⅳ)；翻折變換：ⅰ)———（去左翻右）y軸右不動，右向左翻（在左側(cè)圖象去掉）；ⅱ)———（留上翻下）x軸上不動，下向上翻（||在下面無圖象）；12．函數(shù)零點的求法：⑴直接法（求的根）；⑵圖象法；⑶二分法.(4)零點定理：若y=f(x)在[a,b]上滿足f(a)·f(b)<0,則y=f(x)在（a,b)內(nèi)至少有一個零點。12．導數(shù)：⑴導數(shù)定義：f(x)在點x0處的導數(shù)記作⑵常見函數(shù)的導數(shù)公式:①；②；；；；；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧。⑶導數(shù)的四則運算法則：(4)導數(shù)的應用：①利用導數(shù)求切線：注意：ⅰ)所給點是切點嗎？ⅱ)所求的是“在”還是“過”該點的切線？②利用導數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性：=1\*romani）是增函數(shù)；=2\*romanii）為減函數(shù)；=3\*romaniii）為常數(shù)；③利用導數(shù)求極值：ⅰ）求導數(shù)；ⅱ）求方程的根；ⅲ）列表得極值。④利用導數(shù)求最大值與最小值：?。┣髽O值；ⅱ）求區(qū)間端點值（如果有）；ⅲ）比較得最值。三、導數(shù)與函數(shù)的題型

1、導數(shù)的運用求切線的斜率

1）、依據(jù)：導數(shù)的幾何意義：函數(shù)f(x)在點x處的導數(shù)的幾何意義是在曲線y=f(x)上點（x，f(x)）處的切線的斜率。相應地，切線方程為y-y0=(x-x0).

解題步驟：求f（x）在點p（x0，y0）處的切線方程為：

1、對f（x）進行求導得出f＇(x）；

2、將點p（x0，y0）的橫坐標x0代入f′（x）得到；

3、運用點斜式寫出切線方程y-y0=(x-x0).

2、函數(shù)的單調(diào)性與導數(shù)

1）求可導函數(shù)單調(diào)區(qū)間的一般步驟和方法

①確定函數(shù)f(x)的定義域;

②求f’(x)

，令f’(x)=0，求出它們在定義域內(nèi)的一切實根；

③把函數(shù)f’(x)=0各實數(shù)根按由小到大的順序在x軸上標出來，然后用零點分段的方法畫出f’(x)的圖像；

④判斷f’(x)的符號，

f’(x)>0，則f(x)在此區(qū)間為增函數(shù)；f’(x)<0，則f(x)在此區(qū)間為減函數(shù)。３、函數(shù)的極值與導數(shù)

（1）求函數(shù)f(x)極值的步驟

①確定函數(shù)f(x)的定義域；

②求導數(shù)f’(x);

③求方程f’(x)=0的根。

④檢查在方程的根的左右兩側(cè)的符號，確定極值點（最好通過畫圖法）。如果左正右負，那么f(x)在這個根處取得極大值；如果左負右正，那么f(x)在這個根處取得極小值；如果f’(x)在點x0的左右兩側(cè)符號不變，則f(x0)不是函數(shù)極值。

⑤根據(jù)f(x)的單調(diào)性畫出f(x)的圖像，取f（x）滿足條件的圖像，通過圖像找函數(shù)的最高點即為最大值，最低點即為極小值。

（2）可導函數(shù)極值存在的條件

①可導函數(shù)的極值點x0一定滿足f’(x0)=0,但當f’(x0)=0時，x0不一定是極值點。如f(x)=x3,f’(0)=0,但x=0不是極值點。

②可導函數(shù)y=f(x)在點x0處取得極值的充要條件是f’(x)=0，且在x0左側(cè)與右側(cè)f’(x0)的符號不同?！镜湫屠}】[例1]、若函數(shù)（），則函數(shù)在其定義域上是（）A．單調(diào)遞減的偶函數(shù)B．單調(diào)遞減的奇函數(shù)C．單調(diào)遞增的偶函數(shù)D．單調(diào)遞增的奇函數(shù)【答案】B[例2]、客車從甲地以60km/h的速度勻速行駛1小時到達乙地，在乙地停留了半小時，然后以80km/h的速度勻速行駛l小時到達丙地．下列描述客車從甲地出發(fā)，經(jīng)過乙地，最后到達丙地所經(jīng)過的路程s與時間t之間關(guān)系的圖象中，正確的是（）【答案】C[例3]、函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是．【答案】[例4]、設(shè)，若函數(shù)，，有大于零的極值點，則（）A、B、C、D、【答案】A[例5]、若函數(shù)是函數(shù)且的反函數(shù)，且，則（）A．B．C．D．【答案】A[例6]、函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（）A．B．（0，3）C．（1，4）D．【答案】D[例7]、函數(shù)的定義域是（）A．(2，)B．(1，)C．[1，)D．[2，)【答案】B[例8]、若函數(shù)與的定義域均為，則A．與均為偶函數(shù)B．為奇函數(shù)，為偶函數(shù)C．與均為奇函數(shù)D．為偶函數(shù)，為奇函數(shù)【答案】D[例9]、函數(shù)的定義域是（）A．B．C．D．【答案】C[例10]、設(shè)函數(shù)若，則．【答案】－9[例11]、下列函數(shù)為偶函數(shù)的是（）【答案】D[例12]、函數(shù)的定義域為．【答案】[例13]、函數(shù)的定義域是（）A．B．C．D．【答案】C[例14]、若曲線在點處的切線平行于軸，則．【答案】[例15]、下列函數(shù)為奇函數(shù)的是（）A．B．C．D．【答案】D[例16]、曲線在點處的切線方程為________．【答案】[例17]、已知是實數(shù)，函數(shù)．如果函數(shù)在區(qū)間上有零點，求的取值范圍．【答案】解法一：若，則有唯一零點為，故不符合要求；由，且.由當時，，當時，，在兩個區(qū)間上分別遞增；當時，，在兩個區(qū)間上分別遞減；由時，時，，時，．分析如圖．解法二：（1）若，，顯然在上沒有零點，所以；（2）令，得，當時，恰有一個零點在上；（3）當，即時，在上也有零點；（4）當在上有兩個零點時，則或，解得或．因此的取值范圍是或．[例18]、已知二次函數(shù)的導函數(shù)的圖像與直線平行，且在處取得極小值．設(shè)函數(shù)．（1）若曲線上的點到點的距離的最小值為，求的值；（2）如何取值時，函數(shù)存在零點，并求出零點．【答案】（1）設(shè)，則；又的圖像與直線平行，，，又在取極小值，，，，；，設(shè)，則，，；（2）由，得當時，方程有一解，函數(shù)有一零點；當時，方程有二解，若，，函數(shù)有兩個零點；若，，函數(shù)有兩個零點；當時，方程有一解，，函數(shù)有一零點．[例19]、已知函數(shù)對任意實數(shù)均有，其中常數(shù)為負數(shù)，且在區(qū)間上有表達式．（1）求，的值；（2）寫出在上的表達式，并討論函數(shù)在上的單調(diào)性；（3）求出在上的最小值與最大值，并求出相應的自變量的取值．【答案】解：（1）∵，且在區(qū)間[0，2]時，∴由得∴（2）若，則∴當時，，若，則，∴，∴若，則，∴，∴∵∴當時，∵，∴①當時，，由二次函數(shù)的圖象可知，為增函數(shù)；②當時，，由二次函數(shù)的圖象可知，當時，為增函數(shù)，當時，為減函數(shù)；③當時，，由二次函數(shù)的圖象可知，當時，為減函數(shù)；當時，為增函數(shù)；④當時，，由二次函數(shù)的圖象可知，為增函數(shù)．（3）由（2）可知，當時，最大值和最小值必在或處取得．（可畫圖分析）∵，，，∴當時，;當時，當時，.[例20]、設(shè)，討論函數(shù)的單調(diào)性．【答案】∵=，當=1時，當>0時，=>0，∴在（0，+∞）是增函數(shù)；當≠1時，設(shè)=（>0），當△≤0時，即≤<1時，>0，≥0，即≥0，∴在（0，+∞）是增函數(shù)；當△>0時，即0<<或>1，令=0得，=，=，當0<<時，>0，0<<，由>0得，0<<或>，由<0得，<<，∴的增區(qū)間為（0，），（，+∞），減區(qū)間為（，）；當>1時，<0，<0<，由>0得，0<<，由<0得，>，的增區(qū)間為(0，)，減區(qū)間為（，+∞），綜上所述：當0<<時，的增區(qū)間為（0，），（，+∞），減區(qū)間為（，）；當≤≤1時，的增區(qū)間為（0，+∞）；當>1時，的增區(qū)間為(0，)，減區(qū)間為（，+∞）．【模擬試題】一．選擇題1．設(shè)，若，則A. B. C. D.2．下列同時滿足條件①是奇函數(shù)；②在上是增函數(shù)；③在上最小值為0的函數(shù)是A.Ｂ.Ｃ.Ｄ.3．設(shè)點是曲線上的任意一點，點處的切線的傾斜角為，則角的取值范圍是A．B．C．D．4．已知f(x)=ax-2，(a>0且a≠1)，若f(4)·g(-4)<0，則y=f(x)，y=g(x)在同一坐標系內(nèi)的大致圖象是5．若，，則與的關(guān)系是A．B．C．D．6.已知定義域為R的函數(shù)為增函數(shù)，且函數(shù)為偶函數(shù)，則下列結(jié)論不成立的是 (A)(B) (C)(D)二．填空題7．設(shè)函數(shù)，其中，則導數(shù)的取值范圍是．8．已知函數(shù)，且關(guān)于的方程有且只有一個實根，則實數(shù)的范圍是．三．解答題9．已知函數(shù)，滿足（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若關(guān)于的方程在[0，2]恰有兩個不同的實根，求實數(shù)的取值范圍。10．已知函數(shù)在點（1，）處的切線方程為.（1）求函數(shù)的解析式；（2）若對于區(qū)間上任意兩個自變量的值，，都有≤，求實數(shù)的最小值。（3）如果點（≠2）可作曲線的三條切線，求實數(shù)的取值范圍。【參考答案】一．選擇題1．D；點撥：，解得：。2．B；點撥：D不是奇函數(shù)，淘汰；C中函數(shù)可化為顯然是減函數(shù)，不滿足②，淘汰；對于A中的函數(shù)當時，，顯然不滿足③，淘汰。3．D；點撥：點處的切線的斜率且存在，即且存在，結(jié)合正切函數(shù)的圖象可知：。4．B；點撥：是偶函數(shù)，故f(4)·g(4)<0，即兩個函數(shù)圖象上當時的函數(shù)值是異號的，淘汰C、D；當時，是增函數(shù)，這時在y軸右側(cè)也應該是增函數(shù)，淘汰A。選B。5．A；點撥：，，。6．C；點撥：由為偶函數(shù)可知其對稱軸是y軸可知：的對稱軸是。又在上為增函數(shù)，畫出草圖如右圖，易知A、B、D都正確，，故C不正確。選C。二．填空題7．；點撥：，，又，故的取值范圍是8．；點撥：數(shù)形結(jié)合。畫出函數(shù)的圖象，把關(guān)于的方程有且只有一個實根，等價轉(zhuǎn)化為函數(shù)和的圖象有且只有一個公共點易求。三．解答題9．解：（1），∵，∴． ∴，令（舍去）。當時，， ∴在上是增函數(shù)；當時，， ∴在上是減函數(shù)．（2）方程即為方程即為方程，設(shè)，當