2023-2024學(xué)年湖南省臨澧一中高三一診考試數(shù)學(xué)試卷含解析_第1頁(yè)
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2023-2024學(xué)年湖南省臨澧一中高三一診考試數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng)1.考生要認(rèn)真填寫(xiě)考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2.試題所有答案必須填涂或書(shū)寫(xiě)在答題卡上,在試卷上作答無(wú)效。第一部分必須用2B鉛筆作答;第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3.考試結(jié)束后,考生須將試卷和答題卡放在桌面上,待監(jiān)考員收回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.設(shè)i是虛數(shù)單位,若復(fù)數(shù)是純虛數(shù),則a的值為()A. B.3 C.1 D.2.下邊程序框圖的算法源于我國(guó)古代的中國(guó)剩余定理.把運(yùn)算“正整數(shù)除以正整數(shù)所得的余數(shù)是”記為“”,例如.執(zhí)行該程序框圖,則輸出的等于()A.16 B.17 C.18 D.193.如圖是國(guó)家統(tǒng)計(jì)局于2020年1月9日發(fā)布的2018年12月到2019年12月全國(guó)居民消費(fèi)價(jià)格的漲跌幅情況折線圖.(注:同比是指本期與同期作對(duì)比;環(huán)比是指本期與上期作對(duì)比.如:2019年2月與2018年2月相比較稱同比,2019年2月與2019年1月相比較稱環(huán)比)根據(jù)該折線圖,下列結(jié)論錯(cuò)誤的是()A.2019年12月份,全國(guó)居民消費(fèi)價(jià)格環(huán)比持平B.2018年12月至2019年12月全國(guó)居民消費(fèi)價(jià)格環(huán)比均上漲C.2018年12月至2019年12月全國(guó)居民消費(fèi)價(jià)格同比均上漲D.2018年11月的全國(guó)居民消費(fèi)價(jià)格高于2017年12月的全國(guó)居民消費(fèi)價(jià)格4.以下兩個(gè)圖表是2019年初的4個(gè)月我國(guó)四大城市的居民消費(fèi)價(jià)格指數(shù)(上一年同月)變化圖表,則以下說(shuō)法錯(cuò)誤的是()(注:圖表一每個(gè)城市的條形圖從左到右依次是1、2、3、4月份;圖表二每個(gè)月份的條形圖從左到右四個(gè)城市依次是北京、天津、上海、重慶)A.3月份四個(gè)城市之間的居民消費(fèi)價(jià)格指數(shù)與其它月份相比增長(zhǎng)幅度較為平均B.4月份僅有三個(gè)城市居民消費(fèi)價(jià)格指數(shù)超過(guò)102C.四個(gè)月的數(shù)據(jù)顯示北京市的居民消費(fèi)價(jià)格指數(shù)增長(zhǎng)幅度波動(dòng)較小D.僅有天津市從年初開(kāi)始居民消費(fèi)價(jià)格指數(shù)的增長(zhǎng)呈上升趨勢(shì)5.已知等差數(shù)列中,則()A.10 B.16 C.20 D.246.一個(gè)袋中放有大小、形狀均相同的小球,其中紅球1個(gè)、黑球2個(gè),現(xiàn)隨機(jī)等可能取出小球,當(dāng)有放回依次取出兩個(gè)小球時(shí),記取出的紅球數(shù)為;當(dāng)無(wú)放回依次取出兩個(gè)小球時(shí),記取出的紅球數(shù)為,則()A., B.,C., D.,7.造紙術(shù)、印刷術(shù)、指南針、火藥被稱為中國(guó)古代四大發(fā)明,此說(shuō)法最早由英國(guó)漢學(xué)家艾約瑟提出并為后來(lái)許多中國(guó)的歷史學(xué)家所繼承,普遍認(rèn)為這四種發(fā)明對(duì)中國(guó)古代的政治,經(jīng)濟(jì),文化的發(fā)展產(chǎn)生了巨大的推動(dòng)作用.某小學(xué)三年級(jí)共有學(xué)生500名,隨機(jī)抽查100名學(xué)生并提問(wèn)中國(guó)古代四大發(fā)明,能說(shuō)出兩種發(fā)明的有45人,能說(shuō)出3種及其以上發(fā)明的有32人,據(jù)此估計(jì)該校三級(jí)的500名學(xué)生中,對(duì)四大發(fā)明只能說(shuō)出一種或一種也說(shuō)不出的有()A.69人 B.84人 C.108人 D.115人8.已知雙曲線的一條漸近線與直線垂直,則雙曲線的離心率等于()A. B. C. D.9.若,滿足約束條件,則的取值范圍為()A. B. C. D.10.已知,則,不可能滿足的關(guān)系是()A. B. C. D.11.已知中,,則()A.1 B. C. D.12.設(shè)平面與平面相交于直線,直線在平面內(nèi),直線在平面內(nèi),且則“”是“”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.即不充分不必要條件二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.若,則=______,=______.14.在直角坐標(biāo)系中,已知點(diǎn)和點(diǎn),若點(diǎn)在的平分線上,且,則向量的坐標(biāo)為_(kāi)__________.15.過(guò)動(dòng)點(diǎn)作圓:的切線,其中為切點(diǎn),若(為坐標(biāo)原點(diǎn)),則的最小值是__________.16.的三個(gè)內(nèi)角A,B,C所對(duì)應(yīng)的邊分別為a,b,c,已知,則________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)已知(1)若,且函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,求實(shí)數(shù)a的范圍;(2)若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn),且存在滿足,令函數(shù),試判斷零點(diǎn)的個(gè)數(shù)并證明.18.(12分)已知公差不為零的等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為,,是與的等比中項(xiàng).(1)求;(2)設(shè)數(shù)列滿足,,求數(shù)列的通項(xiàng)公式.19.(12分)已知函數(shù),且.(1)求的解析式;(2)已知,若對(duì)任意的,總存在,使得成立,求的取值范圍.20.(12分)為了拓展城市的旅游業(yè),實(shí)現(xiàn)不同市區(qū)間的物資交流,政府決定在市與市之間建一條直達(dá)公路,中間設(shè)有至少8個(gè)的偶數(shù)個(gè)十字路口,記為,現(xiàn)規(guī)劃在每個(gè)路口處種植一顆楊樹(shù)或者木棉樹(shù),且種植每種樹(shù)木的概率均為.(1)現(xiàn)征求兩市居民的種植意見(jiàn),看看哪一種植物更受歡迎,得到的數(shù)據(jù)如下所示:A市居民B市居民喜歡楊樹(shù)300200喜歡木棉樹(shù)250250是否有的把握認(rèn)為喜歡樹(shù)木的種類與居民所在的城市具有相關(guān)性;(2)若從所有的路口中隨機(jī)抽取4個(gè)路口,恰有個(gè)路口種植楊樹(shù),求的分布列以及數(shù)學(xué)期望;(3)在所有的路口種植完成后,選取3個(gè)種植同一種樹(shù)的路口,記總的選取方法數(shù)為,求證:.附:0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.82821.(12分)如圖,在中,已知,,,為線段的中點(diǎn),是由繞直線旋轉(zhuǎn)而成,記二面角的大小為.(1)當(dāng)平面平面時(shí),求的值;(2)當(dāng)時(shí),求二面角的余弦值.22.(10分)如圖,正方形是某城市的一個(gè)區(qū)域的示意圖,陰影部分為街道,各相鄰的兩紅綠燈之間的距離相等,處為紅綠燈路口,紅綠燈統(tǒng)一設(shè)置如下:先直行綠燈30秒,再左轉(zhuǎn)綠燈30秒,然后是紅燈1分鐘,右轉(zhuǎn)不受紅綠燈影響,這樣獨(dú)立的循環(huán)運(yùn)行.小明上學(xué)需沿街道從處騎行到處(不考慮處的紅綠燈),出發(fā)時(shí)的兩條路線()等可能選擇,且總是走最近路線.(1)請(qǐng)問(wèn)小明上學(xué)的路線有多少種不同可能?(2)在保證通過(guò)紅綠燈路口用時(shí)最短的前提下,小明優(yōu)先直行,求小明騎行途中恰好經(jīng)過(guò)處,且全程不等紅綠燈的概率;(3)請(qǐng)你根據(jù)每條可能的路線中等紅綠燈的次數(shù)的均值,為小明設(shè)計(jì)一條最佳的上學(xué)路線,且應(yīng)盡量避開(kāi)哪條路線?

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】

整理復(fù)數(shù)為的形式,由復(fù)數(shù)為純虛數(shù)可知實(shí)部為0,虛部不為0,即可求解.【詳解】由題,,因?yàn)榧兲摂?shù),所以,則,故選:D【點(diǎn)睛】本題考查已知復(fù)數(shù)的類型求參數(shù)范圍,考查復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算.2、B【解析】

由已知中的程序框圖可知,該程序的功能是利用循環(huán)結(jié)構(gòu)計(jì)算并輸出變量的值,模擬程序的運(yùn)行過(guò)程,代入四個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行驗(yàn)證即可.【詳解】解:由程序框圖可知,輸出的數(shù)應(yīng)為被3除余2,被5除余2的且大于10的最小整數(shù).若輸出,則不符合題意,排除;若輸出,則,符合題意.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查了程序框圖.當(dāng)循環(huán)的次數(shù)不多,或有規(guī)律時(shí),常采用循環(huán)模擬或代入選項(xiàng)驗(yàn)證的方法進(jìn)行解答.3、D【解析】

先對(duì)圖表數(shù)據(jù)的分析處理,再結(jié)簡(jiǎn)單的合情推理一一檢驗(yàn)即可【詳解】由折線圖易知A、C正確;2019年3月份及6月份的全國(guó)居民消費(fèi)價(jià)格環(huán)比是負(fù)的,所以B錯(cuò)誤;設(shè)2018年12月份,2018年11月份,2017年12月份的全國(guó)居民消費(fèi)價(jià)格分別為,由題意可知,,,則有,所以D正確.故選:D【點(diǎn)睛】此題考查了對(duì)圖表數(shù)據(jù)的分析處理能力及進(jìn)行簡(jiǎn)單的合情推理,屬于中檔題.4、D【解析】

采用逐一驗(yàn)證法,根據(jù)圖表,可得結(jié)果.【詳解】A正確,從圖表二可知,3月份四個(gè)城市的居民消費(fèi)價(jià)格指數(shù)相差不大B正確,從圖表二可知,4月份只有北京市居民消費(fèi)價(jià)格指數(shù)低于102C正確,從圖表一中可知,只有北京市4個(gè)月的居民消費(fèi)價(jià)格指數(shù)相差不大D錯(cuò)誤,從圖表一可知上海市也是從年初開(kāi)始居民消費(fèi)價(jià)格指數(shù)的增長(zhǎng)呈上升趨勢(shì)故選:D【點(diǎn)睛】本題考查圖表的認(rèn)識(shí),審清題意,細(xì)心觀察,屬基礎(chǔ)題.5、C【解析】

根據(jù)等差數(shù)列性質(zhì)得到,再計(jì)算得到答案.【詳解】已知等差數(shù)列中,故答案選C【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列的性質(zhì),是數(shù)列的常考題型.6、B【解析】

分別求出兩個(gè)隨機(jī)變量的分布列后求出它們的期望和方差可得它們的大小關(guān)系.【詳解】可能的取值為;可能的取值為,,,,故,.,,故,,故,.故選B.【點(diǎn)睛】離散型隨機(jī)變量的分布列的計(jì)算,應(yīng)先確定隨機(jī)變量所有可能的取值,再利用排列組合知識(shí)求出隨機(jī)變量每一種取值情況的概率,然后利用公式計(jì)算期望和方差,注意在取球模型中摸出的球有放回與無(wú)放回的區(qū)別.7、D【解析】

先求得名學(xué)生中,只能說(shuō)出一種或一種也說(shuō)不出的人數(shù),由此利用比例,求得名學(xué)生中對(duì)四大發(fā)明只能說(shuō)出一種或一種也說(shuō)不出的人數(shù).【詳解】在這100名學(xué)生中,只能說(shuō)出一種或一種也說(shuō)不出的有人,設(shè)對(duì)四大發(fā)明只能說(shuō)出一種或一種也說(shuō)不出的有人,則,解得人.故選:D【點(diǎn)睛】本小題主要考查利用樣本估計(jì)總體,屬于基礎(chǔ)題.8、B【解析】由于直線的斜率k,所以一條漸近線的斜率為,即,所以,選B.9、B【解析】

根據(jù)約束條件作出可行域,找到使直線的截距取最值得點(diǎn),相應(yīng)坐標(biāo)代入即可求得取值范圍.【詳解】畫(huà)出可行域,如圖所示:由圖可知,當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí),取得最小值-5;經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí),取得最大值5,故.故選:B【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)線性規(guī)劃求范圍,屬于基礎(chǔ)題.10、C【解析】

根據(jù)即可得出,,根據(jù),,即可判斷出結(jié)果.【詳解】∵;∴,;∴,,故正確;,故C錯(cuò)誤;∵,故D正確故C.【點(diǎn)睛】本題主要考查指數(shù)式和對(duì)數(shù)式的互化,對(duì)數(shù)的運(yùn)算,以及基本不等式:和不等式的應(yīng)用,屬于中檔題11、C【解析】

以為基底,將用基底表示,根據(jù)向量數(shù)量積的運(yùn)算律,即可求解.【詳解】,,.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查向量的線性運(yùn)算以及向量的基本定理,考查向量數(shù)量積運(yùn)算,屬于中檔題.12、A【解析】

試題分析:α⊥β,b⊥m又直線a在平面α內(nèi),所以a⊥b,但直線不一定相交,所以“α⊥β”是“a⊥b”的充分不必要條件,故選A.考點(diǎn):充分條件、必要條件.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、10【解析】

①根據(jù)換底公式計(jì)算即可得解;②根據(jù)同底對(duì)數(shù)加法法則,結(jié)合①的結(jié)果即可求解.【詳解】①由題:,則;②由①可得:.故答案為:①1,②0【點(diǎn)睛】此題考查對(duì)數(shù)的基本運(yùn)算,涉及換底公式和同底對(duì)數(shù)加法運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題目.14、【解析】

點(diǎn)在的平分線可知與向量共線,利用線性運(yùn)算求解即可.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)在的平線上,所以存在使,而,可解得,所以,故答案為:【點(diǎn)睛】本題主要考查了向量的線性運(yùn)算,利用向量的坐標(biāo)求向量的模,屬于中檔題.15、【解析】解答:由圓的方程可得圓心C的坐標(biāo)為(2,2),半徑等于1.由M(a,b),則|MN|2=(a?2)2+(b?2)2?12=a2+b2?4a?4b+7,|MO|2=a2+b2.由|MN|=|MO|,得a2+b2?4a?4b+7=a2+b2.整理得:4a+4b?7=0.∴a,b滿足的關(guān)系為:4a+4b?7=0.求|MN|的最小值,就是求|MO|的最小值.在直線4a+4b?7=0上取一點(diǎn)到原點(diǎn)距離最小,由“垂線段最短”得,直線OM垂直直線4a+4b?7=0,由點(diǎn)到直線的距離公式得:MN的最小值為:.16、【解析】

利用正弦定理邊化角可得,從而可得,進(jìn)而求解.【詳解】由,由正弦定理可得,即,整理可得,又因?yàn)椋?,因?yàn)椋?,故答案為:【點(diǎn)睛】本題主要考查了正弦定理解三角形、兩角和的正弦公式,屬于基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1)(2)函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)和【解析】試題分析:(1)求導(dǎo)后根據(jù)函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增,導(dǎo)函數(shù)大于或等于0(2)先判斷為一個(gè)零點(diǎn),然后再求導(dǎo),根據(jù),化簡(jiǎn)求得另一個(gè)零點(diǎn)。解析:(1)當(dāng)時(shí),,因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增,所以當(dāng)時(shí),恒成立.[來(lái)源:Z&X&X&K]函數(shù)的對(duì)稱軸為.①,即時(shí),,即,解之得,解集為空集;②,即時(shí),即,解之得,所以③,即時(shí),即,解之得,所以綜上所述,當(dāng)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增.(2)∵有兩個(gè)極值點(diǎn),∴是方程的兩個(gè)根,且函數(shù)在區(qū)間和上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.∵∴函數(shù)也是在區(qū)間和上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減∵,∴是函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn).由題意知:∵,∴,∴∴,∴又=∵是方程的兩個(gè)根,∴,,∴∵函數(shù)圖像連續(xù),且在區(qū)間上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增∴當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),∴函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)和.18、(1);(2).【解析】

(1)根據(jù)題意,建立首項(xiàng)和公差的方程組,通過(guò)基本量即可寫(xiě)出前項(xiàng)和;(2)由(1)中所求,結(jié)合累加法求得.【詳解】(1)由題意可得即又因?yàn)?,所以,所?(2)由條件及(1)可得.由已知得,所以.又滿足上式,所以【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和的基本量的求解,涉及利用累加法求通項(xiàng)公式,屬綜合基礎(chǔ)題.19、(1);(2)【解析】

(1)由,可求出的值,進(jìn)而可求得的解析式;(2)分別求得和的值域,再結(jié)合兩個(gè)函數(shù)的值域間的關(guān)系可求出的取值范圍.【詳解】(1)因?yàn)?所以,解得,故.(2)因?yàn)?所以,所以,則,圖象的對(duì)稱軸是.因?yàn)?所以,則,解得,故的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)的恒等變換,考查了二次函數(shù)及三角函數(shù)值域的求法,考查了學(xué)生的計(jì)算求解能力,屬于中檔題.20、(1)沒(méi)有(2)分布列見(jiàn)解析,(3)證明見(jiàn)解析【解析】

(1)根據(jù)公式計(jì)算卡方值,再對(duì)應(yīng)卡值表判斷..(2)根據(jù)題意,隨機(jī)變量的可能取值為0,1,2,3,4,分別求得概率,寫(xiě)出分布列,根據(jù)期望公式求值.(3)因?yàn)橹辽?個(gè)的偶數(shù)個(gè)十字路口,所以,即.要證,即證,根據(jù)組合數(shù)公式,即證;易知有.成立.設(shè)個(gè)路口中有個(gè)路口種植楊樹(shù),下面分類討論①當(dāng)時(shí),由論證.②當(dāng)時(shí),由論證.③當(dāng)時(shí),,設(shè),再論證當(dāng)時(shí),取得最小值即可.【詳解】(1)本次實(shí)驗(yàn)中,,故沒(méi)有99.9%的把握認(rèn)為喜歡樹(shù)木的種類與居民所在的城市具有相關(guān)性.(2)依題意,的可能取值為0,1,2,3,4,故,,01234故.(3)∵,∴.要證,即證;首先證明:對(duì)任意,有.證明:因?yàn)?,所?設(shè)個(gè)路口中有個(gè)路口種植楊樹(shù),①當(dāng)時(shí),,因?yàn)?,所以,于?②當(dāng)時(shí),,同上可得③當(dāng)時(shí),,設(shè),當(dāng)時(shí),,顯然,當(dāng)即時(shí),,當(dāng)即時(shí),,即;,因此,即.綜上,,即.【點(diǎn)睛】本題考查獨(dú)立性檢驗(yàn)、離散型隨機(jī)變量的分布列以及期望、

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