奧數(shù)講義-第5講四邊形-二四制教師版

。姜典學(xué)習(xí)改變命運(yùn)2。。9寒假

0

一、平行四邊形

1.定義：_______________________________________

2.性質(zhì)：①邊②角③對(duì)角線

3.判定：①___________的四邊形是平行四邊形②________________的四邊形是平行四邊形

③____________的四邊形是平行四邊形④_______________的四邊形是平行四邊形

⑤____________的四邊形是平行四邊形

二、矩形

1.定義：_______________________________________

2.性質(zhì)：①角②對(duì)角線

3.判定：①的平行四邊形是矩形②的平行四邊形是矩形

③的四邊形是矩形

三、菱形

1.定義：_______________________________________

2.性質(zhì)：①邊②對(duì)角線③菱形面積==—

3.判定：①的平行四邊形是菱形②的平行四邊形是菱形

③的四邊形是菱形

四、正方形

1,定義：四邊四個(gè)角都是的四邊形是正方形

2.性質(zhì)：①邊②角③對(duì)角線

3.判定：①的四邊形是正方形

②的矩形是正方形③的菱形是正方形

④的四邊形是正方形

五、梯形

56|初二第五拼Z0H\

1.定義：的四邊形是梯形

2.直角梯形是梯形

3.等腰梯形是的梯形，其性質(zhì)有：

①邊②角③對(duì)角線

等腰梯形的判定：①的梯形是等腰梯形

②的梯形是等腰梯形③的梯形是等腰梯形

4.梯形的中位線定理：的梯形是等腰梯形

5.梯形常見(jiàn)的輔助線作法：

中考要求：

平行四邊形：掌握平行四邊形的概念、判定和性質(zhì)，會(huì)用平行四邊形的性質(zhì)和判定解決有關(guān)問(wèn)題

矩形：掌握矩形的概念、判定和性質(zhì)，會(huì)用矩形的性質(zhì)和判定解決有關(guān)問(wèn)題

菱形：掌握菱形的概念、判定和性質(zhì)，會(huì)用菱形的性質(zhì)和判定解決有關(guān)問(wèn)題

正方形：掌握正方形的概念、判定和性質(zhì)，會(huì)用正方形的性質(zhì)和判定解決有關(guān)問(wèn)題

梯形：掌握梯形的概念，會(huì)計(jì)算梯形的周長(zhǎng)及面積；會(huì)用等腰梯形的性質(zhì)和判定解決有關(guān)問(wèn)題

一圖勵(lì)殞羽I

1.（2008黑龍江）如圖，矩形A8CD中AB=3cm,AD=6cm,點(diǎn)E為AB邊上的任意一點(diǎn)，四邊形

EFG8也是矩形，且EF=2BE,則=cm2.

【解析】9

2.（2008湖北鄂州）如圖，正方體的棱長(zhǎng)為2,。為邊4。的中點(diǎn)，則以O(shè),48三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角

形面積為.

【解析】76

3.（2008齊齊哈爾）如圖，菱形的邊長(zhǎng)為1,ZB,=60°；作于點(diǎn)2，以為一

邊，做第二個(gè)菱形A&G2,使/生=60；作A"I.B2G于點(diǎn)2，以AD,為一邊做第三個(gè)菱形

AB^D3，使NB3=60；依此類推，這樣做的第n個(gè)菱形AB?CnD?的邊ADn的長(zhǎng)是.

【解析】（立〕

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4.（2008湖北荊門(mén)）如圖，菱形ABCD的兩條對(duì)角線分別長(zhǎng)6和8,點(diǎn)P是對(duì)角線AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),

點(diǎn)〃、N分別是邊45、8c的中點(diǎn)，則PM+PN的最小值是.

【解析】5

題4圖

5.（2008重慶）如圖，在正方形紙片ABC。中，對(duì)角線AC、比＞交于點(diǎn)。，

折疊正方形紙片A8CD,使"＞落在3。上，點(diǎn)A恰好與3。上的點(diǎn)F

重合.展開(kāi)后，折痕DE分別交4?、AC于點(diǎn)￡、G.連接GF.下

列結(jié)論：①NAG。=112.5。；②tanNAED=2；③$9=5^；④四

邊形4EFG是菱形；⑤8E=0G.其中正確結(jié)論的序號(hào)

是,

【解析】1,4,5

6.（2008河南）如圖，已知：在四邊形ABFC中，NACB=90。，8c的垂直平分線所交BC于點(diǎn)。,

交于點(diǎn)E,S.CF=AE.

（1）試探究，四邊形8EC尸是什么特殊的四邊形；

⑵當(dāng)NA的大小滿足什么條件時(shí)，四邊形8EC尸是正方形?請(qǐng)回答并證明你的結(jié)論.

【解析】（1）四邊形BEC廣是菱形.

證明：E尸垂直平分BC,

:.BF=FC,BE=EC,；.N1=N2...2分

?；NACB=90°

Nl+N4=90°,N3+N2=90。，/.Z3=Z4

EC=AE..............3分

BE=AE..............4分

,,,CF=AE

:.BE=EC=CF=BF.....5分

四邊形BECF是爰形.....6分

(2)當(dāng)44=45。時(shí)，菱形BESF是正方形-7分

證明：VZA=45°,ZACB=90°

Z1=45°...................8分

NEBF=2NA=90°

菱形BECF是正方形...........9分

弱題需償?

一、平行四邊形

【例1】（2007湖北荊門(mén)）將兩塊全等的含30。角的三角尺如圖1擺放在一起，設(shè)較短直角邊為1.

58|初二第五拼Z0Hi

(1)四邊形ABC。是平行四邊形嗎？說(shuō)出你的結(jié)論和理由：.

⑵如圖2,將R38CD沿射線3D方向平移到RIA用GA的位置，四邊形A8GA是平行四邊形

嗎？說(shuō)出你的結(jié)論和理由：.

⑶在RtABCD沿射線8。方向平移的過(guò)程中，當(dāng)點(diǎn)8的移動(dòng)距離為時(shí)，四邊形ABGR為

矩形，其理由是;當(dāng)點(diǎn)B的移動(dòng)距離為時(shí)，

四邊形為菱形，其理由是.(圖3、圖4用于探究)

【解析】⑴是，此時(shí)AO〃BC,AD=BC,一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形.......2分

⑵是，在平移過(guò)程中，始終保持A8〃GA，一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形...4分

⑶~,此時(shí)NA8G=90。，有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形................7分

百，此時(shí)點(diǎn)。與點(diǎn)鳥(niǎo)重合，AC,±BDt,對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形.

【例2】(2007江西省)實(shí)驗(yàn)與探究

(1)在圖1,2,3中，給出平行四邊形A8CD的頂點(diǎn)A,B,"的坐標(biāo)(如圖所示)，寫(xiě)出圖1,2,

3中的頂點(diǎn)C的坐標(biāo)，它們分別是(5,2),

⑵在圖4中，給出平行四邊形ABCZ)的頂點(diǎn)A,B,。的坐標(biāo)(如圖所示)，求出頂點(diǎn)C的坐標(biāo)

(C點(diǎn)坐標(biāo)用含“，b,c,d,e,/的代數(shù)式表示);

歸納與發(fā)現(xiàn)

⑶通過(guò)對(duì)圖1,2,3,4的觀察和頂點(diǎn)C的坐標(biāo)的探究，你會(huì)發(fā)現(xiàn)：無(wú)論平行四邊形ABCQ處

于直角坐標(biāo)系中哪個(gè)位置，當(dāng)其頂點(diǎn)坐標(biāo)為A(“，b),B(c,d),C(m,〃),D(e,/)(如圖4)

時(shí)，則四個(gè)頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)a,c,m,e之間的等量關(guān)系為；縱坐標(biāo)。，d,n,f

之間的等量關(guān)系為(不必證明)；

運(yùn)用與推廣

(4)在同一直角坐標(biāo)系中有拋物線y=V—(5c—3)x—c和三個(gè)點(diǎn)G、gc,；c),

HQc,0)(其中c>0).問(wèn)當(dāng)c為何值時(shí)，該拋物線上存在點(diǎn)P,使得以G,S,”，/，為頂

點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？并求出所有符合條件的P點(diǎn)坐標(biāo).

【解析】⑴(e+c,d),{c+e-a,d)...................................2分

(2)分別過(guò)點(diǎn)A,B,C,。作x軸的垂線，垂足分別為4，g，G，R，分別過(guò)A,。作

于E,DFLCq于點(diǎn)、F.

在平行四邊形ABCO中，CD=BA9義?：BB、〃CC\,

：./EBA+Z.ABC+Z.BCF=NABC+Z.BCF+/FCD=180°.

，/EBA=NFCD.

又ZBEA=ZCFD=90°,

AABEA^ACFD................................4分

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AF=DF=a-c,BE=CF=d-h.

設(shè)C(x,y).由e-x=a-c,x=e+c—a.

由y-/=d-i>,^y=f+d-b.C(e+c-a,f+d-b).??5分

(此問(wèn)解法多種，可參照評(píng)分)

(3)m=c+e—a,n=d+f-b.或m+a=c+e,n+b=d+f.??7分

(4)若GS為平行四邊形的對(duì)角線，由⑶可得4(-2c,7c).要使6在拋物線上，

貝')有7c=4c之-(5c-3)x(-2c)-c,即，-c=0.

q=0(舍去)，c2=1.此時(shí)［(-2,7)...............................8分

若SH為平行四邊形的對(duì)角線，

由⑶可得￡(3c,2c),同理可得c=l,此時(shí)乙(3,2).

若GH為平行四邊形的對(duì)角線，

由⑶可得(c,-2c),同理可得c=l,此時(shí)g(l,-2).

綜上所述，當(dāng)c=l時(shí)，拋物線上存在點(diǎn)P,使得以G,S,H,P為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形.

符合條件的點(diǎn)有片(-2,7),.(3,2),6(1,一2)...................10分

二、矩形

【例3】(2008福建莆田)已知矩形ABCD和點(diǎn)P,當(dāng)點(diǎn)P在BC上任一位置(如圖1所示)時(shí)，易證得結(jié)

論：PA2+PC2=PB2+PD2,請(qǐng)你探究：當(dāng)點(diǎn)P分別在圖2、圖3中的位置時(shí)，PA2,PB\PC2

和PD2又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)你寫(xiě)出對(duì)上述兩種情況的探究結(jié)論，并利用圖2證明你的結(jié)論.

答：對(duì)圖2的探究結(jié)論為.

對(duì)圖3的探究結(jié)論為.

證明：如圖2

【解析】結(jié)論均是(圖2為2分，圖3為1分)

如圖2過(guò)點(diǎn)P作MN_LAD于點(diǎn)A7,交5c于點(diǎn)N,

AD//BC,MN1AD,：.MN±BC

在RtAAMP中，P/^=PM2+M^

在RtABPN中，PB2=PN2+BN2

在RtADMP中,PD2=DM2+PM2

在RtXCNP中，PC2=PN2+NC2

所以PA2+PC2=PM2+M^+PN2+NC2

PB2+PD2=PM2+DM2+BN2+PN2

?：MNLAD,MNA.NC,DCLBC,：.四邊形MNCD是矩形

,MD=NC,同理A例=BN,

/.PM2+MA'+PN2+NC2=PM2+DM2+BN2+PN2

即PA2+PC2=PB2+PD2

【例4】(2008江蘇泰州)如圖，在矩形中，AB=2,AD=y/3.

601初二第五拼二W制MBH

.p

DB

（1）在邊C。上找一點(diǎn)E,使平分乙4EC,并加以說(shuō)明；（3分）

⑵若P為8c邊上一點(diǎn)，且8尸=2CP,連接EP并延長(zhǎng)交43的延長(zhǎng)線于

①求證：點(diǎn)8平分線段AF;（3分）

②AE4E露否由APEB繞P渡按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)而得到？若能，加以證明，并求出旋轉(zhuǎn)度數(shù);

若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由.（4分）

【解析】⑴當(dāng)E為CO中點(diǎn)時(shí)，EB平分NAEC.......................................1分

由ZD=90°,DE=\,AD=0）,推得DEA=60°,同理，ZCEB=60°,從而

NAEB=NCEB=60°,

即￡6平分NAEC...............................................3分

rp1

(2)?VCE//BF,BE=ICE...............................5分

BFBP2

AB=ICE,；.點(diǎn)B平分線段AF..............................................6分

②能......................................................7分

證明：VCP=-V3,CE=\,ZC=90°,AEP=-y/3.「

33A攵C

在RtAAOE,AE=7(73)2+I2=2,:.AE=BF,

又：尸8=2百，APB=PEDBF

3

ZAEP=ZBP?=90°,；."AS絲\PFB...................................9分

AE4E可以A/7話按照順時(shí)針?lè)较蚶@P點(diǎn)旋轉(zhuǎn)而得到.

旋轉(zhuǎn)度數(shù)為120。A星.......................................10分

【例5】（2008山東煙臺(tái)）如圖，菱形48。的邊長(zhǎng)為2,BD=2,E、/分別是邊A。，CD上的兩個(gè)動(dòng)

點(diǎn)，且滿足AE+CF=2.

(1)求證：\BDE\BCF；

⑵判斷M防的形狀，并說(shuō)明理由；

(3)設(shè)的面積為S,求S的取值范圍.

【解析】⑴；菱形A3。的邊長(zhǎng)為2,%)=2,

AABD和XBCD都為正三能形.

NBDE=NBCF=60°,BD=BC.

VAE+DE=AD=2,而AE+CF=2,DE=CF.

\BDE絲kBCF.

(2)MEF為正三角形.

理由：'：XBDE妾XBCF,

：.4BDE=NCBF,BE=BF.

"：NDBC=NDBF+NCBF=60°,

ZDBF+NDBE=60°.即2EBF=60°.

，AfiE尸為正三角形.

(3)設(shè)BE=BF=EF=x,

則S=--x-x-sin600=——x1.

24

當(dāng)8EJLAO時(shí)，xJM,=2xsin60°=>/3,

.C舊(ha

S最小=-yx(j3)=—.

當(dāng)BE與A3重合時(shí)，與大=2,

；.S最大邛x2'6

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【例6】（2008北京澗題：如圖1,在菱形48CD和菱形8EFG中，點(diǎn)A,B,E在同一條直線上，P是線

段￡>尸的中點(diǎn)，連結(jié)PG,PC.若NABC=NBEF=6O。，探究PG與

PC的位置關(guān)系及型的值.0y-7\C

小聰同學(xué)的思路是：延長(zhǎng)GP交DC于點(diǎn)”，構(gòu)造全等三角形，經(jīng)過(guò)

推理使問(wèn)題得到解決.

請(qǐng)你參考小聰同學(xué)的思路，探究并解決下列問(wèn)題：

（1）寫(xiě)出上面問(wèn)題中線段PG與PC的位置關(guān)系及空的值；

PC

⑵將圖1中的菱形BEFG繞點(diǎn)8順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使菱形8EFG的對(duì)角0

線B廠恰好與菱形A8C。的邊4?在同一條直線上，原問(wèn)題中的

其他條件不變（如圖2）.你在⑴中得到的兩個(gè)結(jié)論是否發(fā)生變

化？寫(xiě)出你的猜想并加以證明.

⑶若圖1中乙ABC=ZBEF=2a（0。<a<90°）,將菱形BEFG繞點(diǎn)B

順時(shí)針旋轉(zhuǎn)任意角度，原問(wèn)題中的其他條件不變，請(qǐng)你直接寫(xiě)出

?的值（用含a的式子表示）.

【解析】⑴線段PG與PC的位置關(guān)系是PG_LPC;

（2）猜想：（1）中的結(jié)論沒(méi)有發(fā)生變化.

證明：如圖，延長(zhǎng)GP交AZ）于點(diǎn)”，連結(jié)CH,CG.

,：P是線段OF的中點(diǎn)，

,FP=DP.

由題意可知A￡>〃尸G.

Z.GFP=NHDP.

又NGPF=ZHPD,

二XGFP也\HDP,GP=HP,GF=HD.

?.?四邊形A8CD是菱形，

，CD=CB,NHDC=ZABC=60°.

由NABC=Z.BEF=60。，且菱形BEFG的對(duì)角線BF恰好與菱形ABCD的邊A3在同一條直線

上，

可得NGBC=60。.

NHDC=NGBC.

?.?四邊形BEFG是爰形,

：.GF=GB,：.HD=GB.

AHDC經(jīng)AGBC,二CH=CG,ZDCH=ZBCG.

：.ZDCH+NHCB=ZBCG+ZHCB=120°.

即NHCG=120°.

CH=CG,PH=PG,

PG1PC,Z.GCP=4HCP=60°.

(3)----=tan(90°-a).

PC

【點(diǎn)評(píng)】本題是一道探究性的幾何綜合題，本題的題干是以閱讀材料的形式呈現(xiàn)，從而降低了題目的難度,

62|初二第五拼Z0HI

本題應(yīng)該是在05年大連中考?jí)狠S題的基礎(chǔ)上改進(jìn)而來(lái)的.

本題考點(diǎn)：菱形的性質(zhì)、全等三角形、三角函數(shù)

【變式】（2005大連）如圖1,操作：把正方形CGE尸的對(duì)角線CE放在正方形A8C。的邊BC的延長(zhǎng)線上

（CG>BC）,取線段AE的中點(diǎn)探究：線段MD、”9的關(guān)系，并加以證明.

說(shuō)明：（1）如果你經(jīng)歷反復(fù)探索，沒(méi)有找到解決問(wèn)題的方法，請(qǐng)你把探索過(guò)程中的某種思路寫(xiě)出來(lái)（要求至

少寫(xiě)3步）；

（2）在你經(jīng)歷說(shuō)明（1）的過(guò)程之后，可以從下列①、②、③中選取一個(gè)補(bǔ)充或更換已知條件，完成你

的證明.

注意：選?、偻瓿勺C明得10分；選取②完成證明得7分：選?、弁瓿勺C明得5分.

①。W的延長(zhǎng)線交CE于點(diǎn)N,且AQ=NE；

②將正方形CGEF繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45。（如圖2）,其他條件不變；

③在②的條件下且C尸=24）.

附加題：將正方形CGEF繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)任意角度后（如圖3）,其他條件不變.探究：線段用D、河廠的關(guān)

系，并加以證明.

【解析】關(guān)系是：MD=MF,MDIMF.

證法一：如圖4,延長(zhǎng)OW交CE于N,連結(jié)

FD、FN.

:正方形ABC。，AAD//BE,AD=DC

：.Z1=Z2.

又AM=EM,Z3=Z4,

二SADM妾\ENM

，AD=EN,MD=MN.

"：AD=DC,：.DC=NE.圖4

又；正方形CGEF,

：.ZFCE=NNEF=45°,FC=FE,NCFE=90°.

又正方形ABCD,；.ZBCD=90°.

NDCF=ZNEF=45°,

：.AFDC絲SFNE.

：.FD=FN,Z5=Z6

,/ZCFE=90°,；.ZDFN=90°.

義,：DM=MN,：.MD=MF,DMIMF.圖5

證法二：如圖5,連結(jié)AC、FD,延長(zhǎng)Q”交CE于N,連結(jié)

CM并延長(zhǎng)交FE于”.

?.?正方形ABC。，AAD//BE.二Z1=Z2.

VAM=EM,N3=N4,

，^ADM&AENM

：.MD=MN.

VAC和CE分別是正方形ABCD和CGEF的對(duì)角線,

A^ACB=ZEFC=45°,ZFCN=45°,

丐生典學(xué)習(xí)改變命運(yùn)2。。9寒假

???AC//EF.同理可證AACM色bEHM.

:.CM=MH.

正方形ABCD彳口正方形CGEF,

工/DCN=/CFH=90。，

：.MC=MD=MN=MF=MH.

，點(diǎn)。、C、N、廠在以點(diǎn)〃為圓心，MD為半徑的圓上，

4FDN=/DFM.

，/FDN=/FCN=45°,/FDN=/DFM=45°.

:?MD=MF,DMIMF.

思路一：正方形ABCD、CGEF,Z.AB=BC=CD=AD,

NB=/BCD=ACDA=/BAD=90°

CF=EF=EG=CG,NG=Z.GEF=/EFC=/FCG=90°,

/FCE=NFEC=45°

/./DCF=ZFEC.

思路二：延長(zhǎng)DM交CE于N.

?正方形ABCD、CGEF,AD//CE,：.ADAM=/NEM.

又/DMA=NNME,AM=EM,

:.\ADMg\ENM.

思路三：???正方形CGEF,，NFCE=NFEC=45°.

又??,正方形ABCD,ZDCF=180°-NDCB-4FCE=45°,

/DCF=/FEC=45。

選取條件①

證明：如圖4,???正方形ABC。J4)〃3E，AD=DCf

：.Z1=Z2

?.?AD=NE,Z3=Z4,

\ADM段\ENM.

???MD=MN.

又AD=DCf：.DC=NE.

又丁正方形CGEF,FC=FE,Z.FCE=NFEN=45°.

.??NFCD=4FEN=45°.

:.AFDCgbFNE.

FD=FN,Z5=Z6,/DFN=ACFE=90°.

C

:?MD=MF,MD上MF.

選取條件②圖6

證明：如圖6,延長(zhǎng)ZW交EE于N.

???正方形ABC。、CGEF,

:?CF=EF,AD=DC,ZCFE=90°,AD//FE

：.Z1=Z2

又?；MA=ME,Z3=Z4

/.\AMD9星MN

：.MD=MN,AD=EN.丁ADDC,：.DC=NE.

又FC=FE,：.FD=FN.

又?：4DFN=90。，：.FM1,MD,MF=MD.

選取條件③

證明：如圖6,延長(zhǎng)QW交EE于N.

64|初二第五講二四制

?.,正方形ABCD、CGEF,

:?CF=EF,AD=DC,ZCFE=90°,AD//FE

：.Z1=Z2

叉,：MA=ME,Z3=Z4

\AMDg\EMN

：.AD=EN,MD=MN,VCF=2AD,EF=2EN,

:?FD=FN.又,：4DFN=90。，：.FMVMD,MF=MD.

附加題：

證法一：如圖7,延長(zhǎng)DW到N,

使MN=MD,連結(jié)ED、FN、EN,

延長(zhǎng)EN與DC延長(zhǎng)線交于點(diǎn)//,尸0V

VMA=MEf4=Z2,MD=MN,\~\

/.\AMD\EMNCX石

???Z3=Z4,AD=NE.

又,:正方形ABCD、CGEF,G

:?CF=EF,AD=DC,ZADC=90°,圖7

ZCFE=ZADC=/FEG=ZFCG=90°.

???DC=NE.

<.*Z3=Z4,AD//EH.NH=ZADC=90°.

VZG=90°,Z5=Z6,Z7=Z8.

?/Z7+/DCF=N8+4FEN=90°

???ZDCF=/FEN.

?：FC=FE,：.\DCF經(jīng)A/VEF.

/.FD=FN,/DFC=NNFE.'/ZCFE=90°,/DFN=90°.

FMtMD,MF=MD.

證法二：如圖7,過(guò)點(diǎn)E作AD的平行線分別交QW、QC的延長(zhǎng)線于N、“，連結(jié)。/、FN.

AZADC=ZH,Z3=Z4.*.*AM=ME,Z1=Z2,

???\AMD絲bEMN

：.DM=NM,AD=EN.

???正方形ABC。、CGEF,

AAD=DC,FC=FE,ZADC=ZFCG=ACFE=90°,

；?NH=90。,N5=/NEF,DC=NE.

：.ZDCF+N7=N5+N7=90°

???ZDCF=Z5=ZNEF.

,:FC=FE,：.\DCF0\NEF.

FD=FN,Z.DFC=4NFE.*/ZCFE=90°,；?ZDFN=90°.

；?FM工MD,MF=MD.

【點(diǎn)評(píng)】本題是一道以正方形旋轉(zhuǎn)為背景的幾何探究型證明題，解決本題輔助線較多，證明比較復(fù)雜，重

點(diǎn)考核正方形，全等三角形等知識(shí)，對(duì)學(xué)生能力要求較高，但好在本題命題靈活，層次較差的學(xué)

生可以根據(jù)自己的能力替換題中的已知條件，降低難度，從而使不同層次的學(xué)生都能拿到一定的

分?jǐn)?shù).

考點(diǎn)：1.正方形的性質(zhì)；2.全等三角形；3.等腰直角三角形的性質(zhì).

三、正方形

【例7】（2008義烏）如圖1,四邊形ABC。是正方形，G是。。邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)G與C、。不重合）,

以CG為一邊在正方形ABCD外作正方形CEFG，連結(jié)BG,DE.我們探究下列圖中線段BG、

丐生典學(xué)習(xí)改變命運(yùn)2。。9寒假

線段DE的長(zhǎng)度關(guān)系及所在直線的位置關(guān)系：

（1）①猜想如圖1中線段8G、線段OE的長(zhǎng)度關(guān)系及所在直線的位置關(guān)系；

②將圖1中的正方形CEFG繞著點(diǎn)C按順時(shí)針（或逆時(shí)針）方向旋轉(zhuǎn)任意角度a,得到如圖2、

如圖3情形.請(qǐng)你通過(guò)觀察、測(cè)量等方法判斷①中得到的結(jié)論是否仍然成立，并選取圖2

證明你的判斷.

G

圖3

⑵將原題中正方形改為矩形（如圖4~6）,且=BC=b,CE=ka,CG=kb（a豐b,Z>0）,

第⑴題①中得到的結(jié)論哪些成立,哪些不成立？若成立,以圖5為例簡(jiǎn)要說(shuō)明理由.

圖4圖5E圖6

⑶在第⑵題圖5中，連結(jié)。G、BE,=b=2,k=-,求B或+OG?的值.

2

【解析】⑴①8G=DE,BGLDE

②BG=DE,8GJ.OE仍然成立

在圖⑵中證明如下

?..四邊形ABCD、四邊形ABCD都是正方形

BC=CD,CG=CE,NBC￡>=NECG=90°

ZBCG=ZDCE

：.\BCG段\DCE(SAS)

BG=DEZCBG=NCDE

又NBHC=NDHONCBG+NBHC=90°

NCDE+NDHO=90°；.ZDOH=90°

二BG1DE

(2)BG_LQE成立，8G=DE不成立

簡(jiǎn)要說(shuō)明如下

四邊形ABCD、四邊形CEFG都是矩形，

JLAB=a,BC=b,CG=kb,CE=ka(a±b,k>0)

=—=-,/BCD=NECG=90。

DCCEa

：.Z.BCG=ZDCE

：.ABCGSADCE

:.Z.CBG=ZCDE

又4BHC=ZDHONCBG+NBHC=90°

Z.CDE+ZDHO=90°ZDOH=90°

:.BG_LDE

66|初二第五講二四制

(3)VBG1DE：.BE2+DG2=OB2+OE2+OG2+OD2=BD2+GE2

又；a=3,b=2,k=一

2

/.BD2+GE2=22+32+12+(|)2/.BE2+DG2=^-

四、梯形

【例8】（2008廣東茂名）如圖，在等腰梯形A8C。中，已知AO〃BC,AB=DC,AD=2,BC=4,延長(zhǎng)

BC至!|E,使CE=4O.

⑴寫(xiě)出圖中所有與ADCE全等的三角形，并選擇其中一對(duì)

說(shuō)明全等的理由；（5分）

⑵探究當(dāng)?shù)妊菪蜛8CO的高OF是多少時(shí),對(duì)角線AC與BFCE

8?；ハ啻怪保空?qǐng)回答并說(shuō)明理由.（5分）

【解析】（1）\CDA^\DCE,ABAD&ADCE;................2分

①AOCA絲^DCE的理由是：

AD//BC,

：.NCDA=ZDCE........................................3分

又,：DA=CE,CD=DC,...............................4分

\CDAg\DCE................................................5分

或②ABAD絲△￡>(?￡：的理由是：

AD//BC,

：.ZCDA=NDCE............................................3分

又：四邊形488是等腰梯形，

二N8AO=ZCDA,

：.ABAD=2DCE...............................................4分

又；AB=CD,AD=CE,

XBAD里ADCE...........................................5分

⑵當(dāng)?shù)妊菪蜛8C。的高OF=3時(shí)，對(duì)角線AC與互相垂直..........6分

理由是：設(shè)AC與8。的交點(diǎn)為點(diǎn)G,二?四邊形ABCD是等腰梯形，

AC=DB.

又；AD=CE,AD//BC,

...四邊形ACEQ是平行四邊形，...........7分

，AC=DE,AC//DE.

:.DB=DE.........................................................8分

則BF=FE,

又：3E=8C+CE=BC+AO=4+2=6,

BF=FE=3.9分

丐生典學(xué)習(xí)改變命運(yùn)2。。9寒假

DF=3,

：.Z.BDF=/DBF=45°,ZEDF=Z.DEF=45°,

???/BDE=ZBDF+Z.EDF=90°,

又：AC//DE

：.Z.BGC=Z.BDE=90°,即AC_L8O.……10分

補(bǔ)充例題

【例9】如圖，等腰梯形4BC7)中，AB//CD,對(duì)角線AC、8。相交于點(diǎn)。，

ZACD=60°,點(diǎn)S、P、。分別是。。、OA、BC的中點(diǎn).

(1)求證：APQS是等邊三角形；

(2)若43=8,8=6,求邑儂的值.

(3)若邑儂：5.“=4：5,求C￡>：AB的值.

【解析】⑴連結(jié)CS、BP;便可證得PS=；AQ,PQ=；BC,SQ=；BC,

由AD=BC可得PS=PQ=SQ,；.\PQS為等邊三角形.

(2)VSB=^DO+OB=U,CS=3?,BC=^\12+27=2A/37,Sg=x/37,

.<一37不

>*\\PQS~~~，

(3)設(shè)C￡)=a,AB=b(a<b),

貝BC2=SC?+BC2=吟a?+(人+；a)2=

22

??S^PQS=y^-(<2+b+ab),

又SgoD,S&COD=b?a,

則氏0。=ab，?：S^QS.=4.5,

A5x^1(a2+b2+ab)=4x^-ab.整理得：5a2-\\ah+5b2=0a_ll±V2T

廠-io-

.a11-V21CDJ1-V2T

又,：a〈b,..一=------

b10AB10

羽廄回I

習(xí)題1.（2008河南）如圖，在矩形A3C￡＞中，E、尸分別是邊AD、BC的中點(diǎn),

點(diǎn)G、”在CC邊上，且G"=1OC.若45=10,BC=12,則圖中

2

陰影部分面積為.

【解析】35

習(xí)題2.（2008安徽蕪湖）從下列圖中選擇四個(gè)拼圖板，可拼成一個(gè)矩形，正確的選擇方案

為.（只填寫(xiě)拼圖板的代碼）

68|初二第五拼Z0Hi

⑤

【解析】①，②，③，④,

習(xí)題3.（2008山東泰安泗邊形A8CD的對(duì)角線AC,80的長(zhǎng)分別為他，〃，可以證明當(dāng)AC,8。時(shí)（如

圖1）,四邊形A8C7）的面積S=L〃”，那么當(dāng)AC,BO所夾的銳角為。時(shí)（如圖2）,四邊形4BC。

2

的面積S=.（用含，"，n,。的式子表示）

【解析】-mnsind

2

習(xí)題4.（2008湖北黃岡）如圖，以RtAABC的斜邊8c為一邊在AABC的同側(cè)作

正方形BCEF,設(shè)正方形的中心為。，連結(jié)A。，如果

AB=4,AO=6夜，那么AC的長(zhǎng)等于（）

A.12B.16C.4乖＞D.8亞

【解析】B

習(xí)題5.（2008江蘇無(wú)錫）如圖，四邊形ABCD中，AB//CD,AC平分NS4ZJ,CE〃4。交AB于E.

⑴求證：四邊形AECD是菱形；

⑵若點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，試判斷AABC的形狀，并說(shuō)明理由.

【解析】⑴：AB//CD,即AE〃CD,又：CE//AD,：.四邊形AECD是平行

四邊