高中數(shù)學校本課程

江陰一中校本課程(數(shù)學)

競賽講座一函數(shù)的性質(zhì)

第一講函數(shù)的單調(diào)性

學習目標

會判斷較復雜的函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，能利用函數(shù)的單調(diào)性解決最值問題及解不等式、解方程。

二.知識要點

單調(diào)性的定義，復合函數(shù)的單調(diào)性，抽象函數(shù)的單調(diào)性

三.例題講解

f(3a-l)x+4<7(X<1)_

例1.已知/(x)=4,,是(一8,+8)上的減函數(shù)，那么”的取值范圍是

log“X(X>1)

(A)(0,1)(B)(0,1)

?(D)[i1)

【答案】C

【解析】由題意知/(x)=log“x(x>1)在(1,+?)上為減函數(shù)，所以0<。<1①，

/(x)=(3a-l)x+4?(x<l)在(一8,1)上為減函數(shù)，所以3“一1<0②，且當x=l時,

(3a—1)x1—4aNlog”1③，由①②③得答案為C.

例2已知函數(shù)=石，判斷該函數(shù)在區(qū)間[0,+8)上的單調(diào)性，并說明理由.

【講解】用定義判斷。_____

設04xy<x2,f(xi)-f(x2)=ylxl+\--^-y]x2+1+7^7

J/+1+J82+1

二5r2)(.+1+a+1一不忑)

,J.]+]+Jx2+]>J*2+JX]>0,.?-//<-7=7^

又：X1<刀2,(X]-%2)(/1/_1—]_7=)>0

7%,+1+VX2+1VX2+VXI

該函數(shù)在區(qū)間[o,+8)上的單調(diào)遞增。

例3.已知/(x)=—f+2%+8,g(x)=/(2—x2)>求g(x)的單調(diào)增區(qū)間.

【講解】很明顯這是一個復合函數(shù)的單調(diào)性問題，所以應“分層剝離”為兩個函數(shù)

t=~x2+2①、=/(/)=-〃+2/+8②

對于②八/)=一?—+9,可知當，e(-oo,l)時是增函數(shù)，當te(l,+oo)時是減函數(shù)。

對于①由片一f+2>l得—,當xe(—1,0)時是增函數(shù)，當xe(0,1)時是減函數(shù)。

由片一—+2<1得X〉1或X<-1,當XW(-8,-1)時是增函數(shù)，當X€(1,+8)時是減函數(shù)。

由復合函數(shù)的單調(diào)性可知，/(X)的單調(diào)遞增區(qū)間是(-8,-1)和(0,1)。

例4.已知函數(shù)y=x+q有如下性質(zhì)：如果常數(shù)a>0,那么該函數(shù)在僅,、石]上是減函數(shù)，在

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[?,+8)上是增函數(shù)。

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(1)如果函數(shù)丁=%+三(X〉0)在(0,4]上是減函數(shù)，在[4,+oo)上是增函數(shù)，求b的值。

(2)設常數(shù)ce[l,4],求函數(shù)/(x)=x+：(14x42)的最大值和最小值；

⑶當〃是正整數(shù)時，研究函數(shù)8⑴川+子匕川的單調(diào)性，并說明理由。

【講解】：⑴由已知得萬=4,...b=4.

(2)VcG[l,4],.'.^￡[1,2],

于是，當*=八時，函數(shù)f(x尸x+2取得最小值2。.

X

c-2

f(l)-f(2)=--,

2

當1WCW2時，函數(shù)f(x)的最大值是f(2)=2+-；

2

當2WcW4時，函數(shù)f(x)的最大值是f(D=l+c.

(3)設0<X|<X2,g(X2)-g(Xi)=X；+三_X；—5=(%2-xf)(l--^7).

X|X2

2

當y[c<X|<X2時,g(X2)>g(X)函數(shù)g(X)在[妮,+00)上是增函數(shù)：

2

當0<X1<X2<^C時,g(x2)>g(xt),函數(shù)g(x)在(0,Vc]上是減函數(shù).

當n是奇數(shù)時,g(x)是奇函數(shù)，

函數(shù)g(x)在(-8,—上是增函數(shù)，在[―20￡,0)上是減函數(shù).

當n是偶數(shù)時,g(x)是偶函數(shù)，

函數(shù)g(x)在(-8,—20￡)上是減函數(shù)，在[-20￡,0]上是增函數(shù).

“(X-1)3+1997(%-1)=-1

例5設x,y6R,且滿足。)7，求Ky.

(y_l)3+1997(、-1)=1

【講解】設<。=』+1997/,先證.9)在(-8,+oo)上遞增。事實上，若。幼，則

,/(/>)y(t/)=Z)3-t73+1991(b-a)=(b-a)(b2+ba+a2+1997)>0,所以/(/)遞增。

由題設7(x-l)=-l=/(l-y),所以x-l=l少，所以xty=2.

例6.已知函數(shù)y=/(x)的定義域為R,且對任意都有/(x,+x2)=/(%,)+/。2),當x〉0

時，/(x)<0,/(1)=?,試判斷在區(qū)間[—3,3]上/(x)是否有最大值或最小值，若有，求出其最大值

或最小值，若沒有，說明理由.

【講解】：設演,》26R且X1<%,則工2-芯>0,所以/(%-不)<0.

?，?f(x2)-/(x1)=/[(x2-x1)+x1]-/a)=f(x2-xl)+/(%1)-/(%1)

=/(々-須)<0.A/(x2)</(%])

所以/(x)在R上為減函數(shù),在[-3,3]上,乂11ax=/(—3),髭=/(3).

2

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因為/(3)=/(2+1)=〃2)+/⑴=3/(1)=3。，令須==0,則八0)=0，

令苞=x,X2=—x,則/(0)=/(x)+/(—x),所以/(—x)=—/(x)，所以/(x)為

奇函數(shù)，所以在區(qū)間［-3,3］上，為ax=/(—3)=-r(3)=—3ajmm=〃3)=3a.

例7已知函數(shù)/(x)的定義域為［0,1］,且同時滿足：(1)/(1)=3(2)/(x)N0恒成立(3)若

X］>0,x2>0,x,+x2<l,則有f(x}+x2)>/(^)+/(%2).

求函數(shù)/(x)的最大值和最小值.

【講解】：設04X］<馬41,0<&-XI41,由(2)知/(%—xj20.

貝IJfg)-/(x,)=./［(x2-x1)+x1］-/(X,)>f(x2-xy)+f(x,)-/(x.)

=f(x2-Xi)>0,即〃/)"(再)，所以/(X)在［0,1］為增函數(shù).

故函數(shù)/(X)在［0,1］的最大值和最小值分別為/⑴和/(0).

在(3)中令再=%=0,得/(0)22/(0),二/(0)40,根據(jù)(2)知/(0)20

/(0)=0,所以函數(shù)/(x)的最大值和最小值分別為3和0.

四.課后練習

1.填空：(1)函數(shù)了=白一4|x|—1的遞增區(qū)間是

(2)函數(shù)y=log“(-x2+4x—3)遞減區(qū)間是一一.

2.奇函數(shù)/(x)在定義域(-1,1)內(nèi)是減函數(shù)，又人1刀)/1-/)<0,求。的取值范圍。

3.解方程：ln(Jx?+1+x)+ln(V4x2+1+2x)+3x=0

4.設/(x)是定義在R上的函數(shù)并滿足下列兩個條件：

①對任意玉,々^［。，1］都有/(%+%)=/(x,)/(x2)；②/(1)="〉0且akl.

(1)求/(；)；⑵求證：當時，〃x)在［0,1］上是增函數(shù)?

5.已知/(X)是定義在［—1,1］上的奇函數(shù)，且/⑴=1,當初,〃e［—1,1］,加+〃*0時，有

/(一)+/(〃))0

機+〃

(1)證明/(x)在［—1,1］是增函數(shù)；(2)解不等式/(x+3</'(」一)

2x-1

第二講函數(shù)的奇偶性與對稱性

學習目標

利用函數(shù)的奇偶性及圖像的對稱性等性質(zhì)解決與函數(shù)有關(guān)的問題時，巧妙利用數(shù)形結(jié)合，使得問題得

到簡化，從而達到解決問題的目的.

二.知識要點

1.奇偶性的定義。

2.奇、偶函數(shù)的定義域必是關(guān)于數(shù)軸原點對稱的區(qū)域。

3.奇函數(shù)的圖像關(guān)于原點對稱，偶函數(shù)的圖像關(guān)于夕軸對稱。

4.對稱性的幾個結(jié)論：若函數(shù)y=/(x)對定義域內(nèi)的?切x有：

(1)/(-x)=/(%),則函數(shù)圖像關(guān)于y軸對稱。

⑵/(-X)=-/(%),則函數(shù)圖像關(guān)于原點對稱。

(3)/(X+a)=f(a-x)sg/(x)=f(2a-x)(a為常數(shù))，函數(shù)圖像關(guān)于x=a時稱。

⑷歹=/(x)與y=/(-x)關(guān)于y軸對稱；y=/(x)與y=-/(x)關(guān)于x軸對稱；

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N=/(X)與歹=-/(—X)關(guān)于原點對稱；y=/(x)與x=/3)關(guān)于y=x對稱。

三.例題講解

例1.函數(shù)/(x)=1—x的圖像關(guān)于()

X

A.y軸對稱B.直線y=-x對稱

C.坐標原點對稱D.直線y=x對稱

【答案】C

【解析】/(x)='-x是奇函數(shù)，所以圖象關(guān)于原點對稱。考查函數(shù)奇偶性的性質(zhì)。

X

例2.函數(shù)/(x)=x3+sinx+l(xeR),若/(。)=2,則/(一0的值為()

A.3B.OC.-lD,-2

【答案】B

【解析】/(x)-l=d+sinx為奇函數(shù)，又/(0=2/(0-1=1

故=即/(_a)=0

例3./(x)是奇函數(shù)，x>0時，/(x)=x,(4—3x),那么x<0時〃x)=.

【答案】x-(4+3%)

【解析】設xVO,則-x>0,."(-x)=—x-(4+3x),又?./(X)是奇函數(shù)??./(-X)=-/(X)

f(x)=-x,(4+3x),f(x)=x.(4+3x)

x+3

例4.設/(x)是連續(xù)的偶函數(shù),且當x>0時/(%)是單調(diào)函數(shù),則滿足/(%)=/(土，)的所有x之和

x+4

為()

A.-3B.3C.-8D.8

【答案】C

【解析】：本小題主要考查函數(shù)的奇偶性性質(zhì)的運用。依題當滿足/(》)=/'(上三。時，即x=q■時,

x+4x+4

得￥+3x—3=0,此時陽+吃=—3.又/(%)是連續(xù)的偶函數(shù)，

Y+3X*+3

/./(-x)=/(X),；.另一種情形是/(—x)=/(——),即一x=——，得/+5x+3=0,...

x+4x+4

x+3

七+七=一5.滿足/(%)=/(上上)的所有x之和為一3+(-5)=-8.

x+4

例5.若定義在R上的函數(shù)/(x)滿足：對任意芯/2eR，有/(%1+%2)=/(%,)+/(%)+1，則下列說

法一定正確的是()

(A)/(x)為奇函數(shù)(B)/(X)為偶函數(shù)

(0/(x)+l為奇函數(shù)(D)/(x)+l為偶函數(shù)

【答案】C

【解析】令x=0,得/(0)=2/(0)+1,/(0)=-1,

所以/(x-x)=/(x)+/(—x)+l=—l,/(x)+/(-x)+l+l=O,

即/(x)+l=—"(—x)+l],所以/(x)+l為奇函數(shù)，選C

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例6函數(shù)y=/(x)對任意實數(shù)x,總有

(1)/(?-%)=/(/>+%),這里a,人是常數(shù)，問函數(shù)的圖像有什么性質(zhì)，證明你的結(jié)論；

(2)/(a—x)=—/(b+x),這里a,b是常數(shù)，問函數(shù)的圖像有什么性質(zhì)，證明你的結(jié)論.

【解(1)】設x)=/'(Z>+x)則點尸(a—x,y),Q(b+x,y)都在函數(shù)y=/(x)的圖像上.

..(a-x)+(b+x)_a+b

,且P、。兩點縱坐標相等,

尸。垂直直線》=與，且被其平分，p、Q兩點關(guān)于直線》=與對稱，

而尸、。又是曲線y=/(%)上的動點,

函數(shù)V=f(x)的圖像關(guān)于直線x=皇對稱?

問題:當a=0,b=0函數(shù)f(x)具有什么性質(zhì)？特別地，若/(a+x)=/(?-%),函數(shù)/(x)的圖象關(guān)于直

線X—Q對稱；

【解(2)】設)片/(。一x尸一/(6+x)則點H(a—x,y),S(b+x,~y)都在函數(shù)y=/(x)的圖像上.

力+X+Q-X_a+b

工線段HS的中點是定點〃(----,0).

^±Z2

I2=0

即R、S兩點關(guān)于定點M對稱，而R、S是曲線y=/(x)上的動點.

/.函數(shù)y=/(x)的圖像關(guān)于點M(三,0)對稱.

特別地，若/(a+x)=-/(a-x),則函數(shù)/G)的圖象關(guān)于點(a,0)中心對稱.

例7.已知函數(shù)/'(x)的定義域為R,則下列命題中：

①若/(x—2)是偶函數(shù)，則函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x=2對稱；

②若/'(x+2)=—/(x—2),則函數(shù)/(x)的圖象關(guān)于原點對稱；

③函數(shù)y=/(2+x)與函數(shù)y=f(2—x)的圖象關(guān)于直線x=2對稱；

④函數(shù)y=/(x-2)與函數(shù)y=/(2-x)的圖象關(guān)于直線x=2對稱.

其中正確的命題序號是.

【答案】④

【解析】①中歹=/(x)的圖像可由歹=/(x—2)的圖像向左平移2個單位得到，；.則函數(shù)/(x)的圖

象關(guān)于直線x=-2對稱；②中條件可得函數(shù)/(x)的周期為8；③中函數(shù)y=/(2+x)的圖像可由y=f(x)

的圖像向左平移2個單位得到，函數(shù)尸/(2—x)的圖象可由函數(shù)歹=/(-x)向右平移2個單位得到，

而y=/(x)與y=/(—x)的圖像關(guān)于y軸對稱，.?.函數(shù)尸〃2+x)與函數(shù)y=/(2—x)的圖象仍關(guān)于

夕軸對稱；④與③同理。

例8.設函數(shù)/(》)=k+1|+卜一同的圖象關(guān)于直線x=l對稱，則。的值為()

A.3B.2C.1D.-1

【答案】A

【解析I卜+1|、卜一同在數(shù)軸上表示點x到點一1、4的距離，他們的和/(x)=|x+l|+|x—司關(guān)于

x=l對稱，因此點—1、。關(guān)于x=l對稱，所以。=3

(直接去絕對值化成分段函數(shù)求解比較麻煩，如取特殊值解也可以)

例9.已知函數(shù)f(x)的定義域為{x|xGR且x#l},f(A+1)為奇函數(shù)，當x<\時，f(x)=

2/—x+1,則當x>l時，/(x)的遞減區(qū)間是()

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5577

A.[-，+8)B.(1,-]C.[-,+8)D.(1,-]

4444

【答案】C

【解析】V/(x+1)為奇函數(shù)，.?.其圖像關(guān)于原點對稱，函數(shù)y=/(x)的圖像可由y=/(x+l)的圖

像向右平移1個單位得到，；.夕=<5)的圖像關(guān)于點(1,0)對稱。先畫出當x<\時，/(x)=2/

—x+1的圖像，根據(jù)對稱性畫出當x>l時的圖像，得到/(X)的遞減區(qū)間是C

例10.設Rx)是R上的奇函數(shù)，且義x+3)=-/(x),

3

當OWxW]時，/(x)=x,則42003)=()

A.-lB.OC.lD.2003

【答案】A

【解析】法一：：/(x+3)=-/(x),.g+6)=—於+3)=-(->(X))=危)

??..危)是周期為6的周期函數(shù)，.\/(2003尸大-1)又???Rx)是R上的奇函數(shù)

3

.-./(-1)=-XI)???當OWxW]時，危尸x.?.川)=1/(2003)=-1

法二：?</(x+3)=-/(x),.\/(x+6)=-/(x+3尸-(-/(x))=./(%)

是周期為6的周期函數(shù)，.；A2003戶負T)

：f(x)是R上的奇函數(shù)，.\/(-x)=一/)又..7(x+3)=—/(x).\Ax+3)=X-x)

?.../)的圖像關(guān)于尸；3對稱，：當0?X忘23時，-)=x，可根據(jù)對稱性畫出在區(qū)間[0,3]上的

圖像，再根據(jù)奇函數(shù)圖像關(guān)于原點對稱，畫出在區(qū)間[-3,0]上的圖像由圖可知f(2003)=f(T)=T

注：有時畫圖比較直觀，能更快找到答案。

四.課后練習

1.設/(x)是R上的任意函數(shù)，則下列敘述正確的是()

(A)/(x)/(-x)是奇函數(shù)(B)是奇函數(shù)

(C)/(x)-/(—X)是偶函數(shù)(D)/(x)+/(—x)是偶函數(shù)

2.已知函數(shù)/(%)對任意實數(shù)。，6都有/(。)+/3)=2-/(@/>八@/)，且

/,(O)W0,則“X)是()

(A)奇函數(shù)非偶函數(shù)

(B)偶函數(shù)非奇函數(shù)

(C)是奇函數(shù)也是偶函數(shù)

(D)既非奇函數(shù)也非偶函數(shù)

3.函數(shù)y=/(x)的圖像與函數(shù)ga)=log2X(x>0)的圖像關(guān)于原點對稱，則麻:)的表達式為

(4股)=表(1>0)(S^)=log2(-x)(x<0)

(Q/(x)=—log2x(x>0)(￡))/(x)=llog2(—x)(x<0)

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4..定義在實數(shù)集上的函數(shù)心)，對一切實數(shù)x都有於+l)=/(2r)成立，若/(x)=0僅有101個不同的

實數(shù)根，那么所有實數(shù)根的和為()

5函數(shù)y=/(x)在(-8,0］上是減函數(shù)，而函數(shù)y=/(x+l)是偶函數(shù).設a=/(log,4),b=f{3)

2

c=/(兀).那么a,b,c的大小關(guān)系是.

6.(2005年?福建)/(%)是定義在R上的以3為周期的奇函數(shù)，且/(2)=0,則方程

/(%)=0在區(qū)間(0,6)內(nèi)解的個數(shù)的最小值是()

A.2B.3C.4D.5

第三講函數(shù)的周期性

學習目標

能求周期函數(shù)的周期，能利用函數(shù)的周期性及圖像的對稱性等性質(zhì)解決與函數(shù)有關(guān)的問題提高學生的

綜合能力，培養(yǎng)學生良好的思維品質(zhì)。

二.知識要點

1.周期后的施義：如果函數(shù)產(chǎn)危)對于定義域內(nèi)任意的x,存在一個不等于。的常數(shù)T,使得加+乃

=佝恒成立，則稱函數(shù)/2是周期函數(shù)，7是它的一個周期.

一般情況下，如果7是函數(shù)f(x)的周期，則AT僅GN力也是燈)的周期

2.周期性的幾個結(jié)論

①若/(Ka)=fCx+h)(aWb),則/(x)是周期函數(shù)，IaI是它的一個周期；

②若/(戶。)=—/(X)(677^0),則/(x)是周期函數(shù)，2a是它的一個周期；

③若=—1—(a#0且/(x)W0),則/(x)是周期函數(shù)2〃是它的一個周期.

/(X)

三.例題講解

例1已知函數(shù)/(X),對任意實數(shù)X,有下面四個關(guān)系式成立：

(1)/(x)=-/a+q)(a為非零常數(shù))；

(2)/(x)=/(a-x)(a為非零常數(shù));

(3)/(a—x)=/3-x)(a力為常數(shù)且O2+62W0)

(4)f(a-x)-f(h-x)(a,b為常數(shù)且〃2+b2W0)

其中使/(x)是周期函數(shù)的關(guān)系式是.

【答案】(1),(3),(4)

【解析】考查(1),/(x)=-/(x+a)說明“兩個自變數(shù)相差a,則函數(shù)值互為相反數(shù)”，于是相差2〃時，

函數(shù)值相等：

/(x)=~f(x+a)=f(x+2a)

等式(1)使/(x)是周期函數(shù)，且2a是周期；

考查(2),〃^^(。一幻表明函數(shù)八胎的圖像關(guān)于直線x=：對稱，這不一定能使其為周期函數(shù)；

考查(3),/Q-x尸表明自變數(shù)相差a—6時，函數(shù)值相等，即/(x)=/(a-6+x)

二等式(3)使/(x)是周期函數(shù)，且。一6是周期.

考查(4),/(〃一外=-/■(/>—x)表明自變數(shù)相差”一方時，函數(shù)值互為相反數(shù)，于是相差2(a-b)時，

函數(shù)值相等.故(4)同(I),能使/(x)為周期函數(shù)，且2(a-b)是周期.

綜上所述，應填(1),(3),(4).

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例2/(x)是R上的以2為周期的周期函數(shù)，又是奇函數(shù)，且xd(O,l)時，則

/(x)=log2-^—/(x)在(1,2)±

i-x

(A)是增函數(shù)，且/(x)>0(B)是減函數(shù)，且/(x)>0

(C)是增函數(shù)，且/(x)<0(D)是減函數(shù)，且/(x)<0

【答案】C

【講解】認識/(x)在(1,2)上的性質(zhì)，可以把/(x)在(1,2)上的解析式求出來，或者由“X)的

性質(zhì)去推斷：

,//(x)的周期是2./(x)在(1,2)和(-1,0)的性質(zhì)一致，

???/(X)是奇函數(shù)，/(x)在(-1,0)和(0,1)上的增減性相同，但符號相反.

因此，函數(shù)/(x)在(0,1)上與(1,2)上的增減性相同，而符號相反.

【解法1]0<x<1=>0<1-x<1

1,,1

n；—>1log-->0

1-x21-x

在(0,1)上，1-X是減函數(shù)，=>一]一是增函數(shù)nlog2」一是增函數(shù)，

1—X1—X

于是，/(X)在(1，2)上是增函數(shù)，且/(x)<0.

故選(C).

【解法2】設x￡(l,2)則一14-2<0且/(x)=/(x-2),

,/-l<x-2<0,0<2-x<l

于是‘“27)=1。氏匚3=噫小

,/f(x)是奇函數(shù)，；.[(2—x)=—/(x—2),

/(x)=-log—=log(x-1)

2x-12

可見，/(x)在(1,2)上是增函數(shù)，且/(x)〈0

故選(C).

例3.已知函數(shù)f(x)對任意實數(shù)x,都有出x+m)=f(x-m),求證:2m是輪)的一個周期.

【證明】：因為f(x+m)=f(x—m)

令x—m=t,貝ijx+m=t+2m于是f(t+2m)=f(t)對于tGR恒成立，

所以f(x)是以2m為周期的周期函數(shù).

例4.已知函數(shù)f(x)對任意實數(shù)x,都有Rx+m)=1一/(刈

1+/W

求證:2m是f(x)的一個周期.1-f(x)

【證明】：由已知f(x+2m)=f[(x+m)+m]]_/(工+/)1一[+/(萬=￡00

1+/(X+加)]+-

所以f(x)是以2m為周期的周期函數(shù).1+/。)

例5.已知函數(shù)f(x)對任意實數(shù)x,都有f(a+x)=f(a—x)且f(b+x)=f(b—x),

求證:2|a—b|是f(x)的一個周期.(aWb)

【證明】：不妨設a>b

于是f(x+2(a—b))=f(a+(x+a—2b))=f(a—(x+a—2b))=f(2b—x)

=fi(b—(x—b))=Rb+(x—b))=f(x)

???2(a-b)是f(x)的一個周期

當a<b時同理可得

所以，2|a—b|是f(x)的周期

8

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例6.已知函數(shù)f(x)的定義域為N,且對任意正整數(shù)x,都有＜x)=/(x-l)+/(x+l)

若＜0)=2004,求人2004)

【解工因為j(x)=/(x—l)+7(x+l)所以./(x+l)=Ax)+；(x+2)

兩式相加得0=加-l)+/(x+2)即：/+3)=-/(X)

加+6)=73)

/(x)是以6為周期的周期函數(shù)

72004=6X334/2004)=/0)=2004

例7/(x)是R上的奇函數(shù)，且對任何實數(shù)x,總有/(x+2)=—/'(X),且xw[0,1]時,

f(x)=x,則/㈤在R上的解析式為.

[解]：/(x+2)=-fix-),：./(x+4)=—/(x+2)=/(x),

/(x)是周期函數(shù)，4是周期.

f(-x)=-f(x).：.f(x+2)=f(-x),

二/(X)的圖像關(guān)于X=1對稱，

由上述這些性質(zhì)，及xw[0,1]時,y=x,

得知/(x)的圖像如下：其中斜率為1的線段過點(4根，0),

其中斜率為一1的線段過點(4加+2,0).

故解析式為

\x—Am,xe[4m-1,4〃？+l](/weZ)

f(x)-〈

-(x-4m-2),xe[Am+1,4w+3],(weZ)

例8.已知對于任意a,b￡R,有f(a+b)+f(a-b)=2f(a)f(b),且f(x)/0

⑴求證:f(x)是偶函數(shù)；

⑵若存在正整數(shù)m使得f(m)=0,求滿足f(x+T)=f(x)的一個T值(TWO)

⑴【證明]：令a=b=O得,40)=180)=0舍去)

又令a=0,得f(b)=f(-b),即f(x)=f(—x)

所以，f(x)為偶函數(shù)

(2)【解】:令a=x+m,b=m得f(x+2m)+]x)=2f(x+m)f(m)=0

所以f(x+2m)=—f(x)

于是f(x+4m)=f[(x+2m)+2m]=—f(x+2m)=fi-x)

即T=4m(周期函數(shù))

例9設/(x)的定義域為R,其圖像關(guān)于直線x=2和x=0對稱，且xe[4,6]時，

f(x)=2x+l,那么在區(qū)間[—2,0]上，/T(x)的解析式為

(A)y=log2(x—4)(B)y=4—k?g2(x—1)

(C)y=4+log2(x—1)(D)y=-log2(x—1)

【答案】B

【分析】如何用好x=2,x=0是圖像對稱軸這個條件，并把兩者綜合而得新的性質(zhì)？

這就要想到：y=/(x)圖像關(guān)于x=a對稱oxeR時有f(x)=f(2a-x)

【解】：尸共外的圖像關(guān)于x=0對稱，二/(x)=/(—x),

,/y=/(x)的圖像關(guān)于x=2對稱，/(—x)=/(4+x).

于是有/(x)=/(4+x)，/(x)是周期為4的函數(shù)，

當一2WxW0時，0W—xW2且一x+4e[4,6]

,/y=/(x)的圖像關(guān)于x=0對稱，，/(x)=/(-x).

,/周期為4,/(-X)=/(-X+4)=2^4+1

即在[-2,0]上，尸/(X)=2*4+I

2-V+4=7-1/.-x+4=log2(y-l)

/.x=4-log2(y-l)；.[-2,0]上，/_|(x)=4-log2(x-l)

四.課后練習

1.已知函數(shù)f(x)對任意實數(shù)X,都有f(x+m)=—f(x),求證:2m是f(x)的--個周期.

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2.已知函數(shù)f(x)對任意實數(shù)x,都有f(x+m)=--~~'(X)

求證:4m是f(x)的一個周期..

1+/W

1

3.函數(shù)/(x)對于任意實數(shù)x滿足條件/(x+2)=若/⑴=—5,則/(〃5))=

/(x)

4.設定義在&上的函數(shù)“X)滿足/(x>/(x+2)=13,若/(1)=2,W/(99)=()

132

(A)13(B)2(C)—(D)—

213

+

5.例11.數(shù)列｛?。校琣】=a,a2=b,且an+2=%+i—an(n^N)

①求aIOO；②求Sioo.

6..設?/U)是?個從實數(shù)集R到R的一個映射，對于任意的實數(shù)占都有|/(x)W1,并且

1311

/(X)+/(X+—)=f(x+-)4-f(x4--),求證於)是周期函數(shù).

4267

競賽講座二三角函數(shù)

第四講三角函數(shù)的性質(zhì)

一、知識要點

三角運算的基本含義是應用同角公式、誘導公式、加法定理(和、差、倍、半角公式等的統(tǒng)稱)，對

三角式作各種有目的的變形(主要指恒等變形)，有時表現(xiàn)為計算求值、有時表現(xiàn)為推理證明。由于三

角公式很多，并且存在著聯(lián)系，因此一定要注意選擇公式的目的性與簡單性。

二、例題選講

1.三角函數(shù)性質(zhì)的應用

例1設xG(0,兀)，試比較cos(si〃x)與si〃(cosx)的大小。

【解】若xe乃)，貝［IcosxWl且cosx>-l,所以cosxe(-',0,

所以si〃(cosx)W0,又0<s油W1,所以cos(si〃x)>0,

所以cos(si〃x)>si〃(cosx).

若xw|0,——，則因為sinx+cosx=V2(sinxcos—+sin—cosx)=V2sin(x+工)WV2<—,

I2」4442

b1、I八萬乃

所以OvszTzrv—cosxv一,

22

JI

所以cos(sinx)>cos(--cosx)=sin(cosx).

綜上,當工￡(0㈤時，總有cos(sinx)<sin(cosx).

注：本例用到了三角函數(shù)的單調(diào)性和有界性及輔助角公式，值得注意的是角的討論。

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2.三角最值問題

例2已知函數(shù)產(chǎn)S/RX+TG；,求函數(shù)的最大值與最小值。

【解法一】令sinx=V^cos。,Jl+cos2s=V^sin9g404:4

則有尸及cos6+V^sin6=2sin(6+^).

TT37C7C

因為一40V二萬，所以一4。+—4)，

4424

TT

所以0Wsin(6+—)Wl,

4

3兀

所以當6=—4，即x=2%兀(AeZ)時，加加=0,

42

JIji

當夕=一，即x=2kjt+—(k￡Z)時，、麗=2.

42

(解法二】因為y=sinx^71+cos2x<^2(sin2x+l+cos2x)=2(因為(a+b)?=g2(/+*)),

H.|SZA7X|1V1+cos2x,所以0Ws%x+JlH^cos^xW2,

所以當Jl+COS?s=sifvc,即x=2攵兀+](左￡Z)時,必曲=2,

當Jl+COS2s=-sinx,即x=2kjt-](%￡Z)時,將加=0。

例3若4,B,。為△Z3C三個內(nèi)角，試求sE4+si〃H+s%C的最大值。

A—R彳+R

【解】因為sinA+sinB=2sin-----cos-----<2sin-----,①

222

C+-C--C+-

sMC+sM—=2sin-----cos-----<2sin----,②

3222

TC71TC

C+A+B+C+-A+B-C——

又因為sin-+sin-----=2sin------------cos------------<2sin—,③

22443

J[兀

由①，②，③得sE4+s加8+s加C+s訪一W4s%一,

33

所以s山A+sinB+s油CW3sin-=----

32

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,7C.3-\/3

當A=B=C=一時，(sinA+sinB+sinC)皿a=---

32

注：三角函數(shù)的有界性、|s%x|〈l、Ico^Wl、和差化積與積化和差公式、均值不等式、柯西不等式、

函數(shù)的單調(diào)性等是解三角最值的常用手段。

3.換元法的使用

1,生sinxcosx

例4求y=-------------的值域。

1+sinx+cosx

【解】?t=sinx+cosx=42sinx4-cosx=72sin(x+—).

224

TT

因為一1<sin(x+—)<1,

所以一行《f4Ji

又因為1+2sinxcosx,

x2-1

t2—1t—

所以sinxcosx=-----,所以y=------二——

21+/2

,-V2-1V2-1

所以--------<y<------.

22

/-I

因為加-1,所以；一H—1,所以k-1.

'萬+1A(

所以函數(shù)值域為ye—造",一1)1|［一1,"」.

注：換元法的關(guān)鍵是保持換元前后變量取值范圍的一致性。

4.圖象變換：尸si〃x(xGR)與尸/si〃(tWx+e)(4,0),。>0).

由產(chǎn)sinx的圖象向左平移0個單位，然后保持橫坐標不變，縱坐標變?yōu)樵瓉淼?倍，然后再保持縱坐

標不變，橫坐標變?yōu)樵瓉淼?，得到嚴4s鞏。x+0)的圖象；也可以由尸si辦的圖象先保持橫坐標不

①

變，縱坐標變?yōu)樵瓉淼?倍，再保持縱坐標不變，橫坐標變?yōu)樵瓉淼纳?，最后向左平移Z個單位，得

CD(D

到y(tǒng)=Asi〃(69x+0)的圖象。

子,o］對稱，且在區(qū)

例5已知人工尸s%(0x+°)(8>0,0W夕二元)是R上的偶函數(shù)，其圖象關(guān)于點四

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TT

I'HJ0,-上是單調(diào)函數(shù)，求夕和啰的值。

【解】由小)是偶函數(shù)，所以所以sin(CD+(p尸s加(-G)x+(p),所以cos夕sinx=0,對任意xeR

成立。

7T

又0W°W兀，解得夕=萬，

因為外)圖象關(guān)于M(網(wǎng),0〕對稱，所以/(3%—x)+f(-7v+x)=0a

I4J44

取尸0,得/(［%)=(),所以s加［^啰+］)=0.

347t2

所以彳。=A%+5(%ez),即。=§(2A+l)(“eZ).

JTJI

又。>0,取Q0時，此時危尸5加(友+萬)在［0,上是減函數(shù)；

JTJT

取A=1時，69=2,此時/(x)=sW2%+,)在［0,彳］上是減函數(shù)；

107C7C

取k=2時,69>—,此時J(x)=sin(。x+彳)在［0,—］上不是單調(diào)函數(shù)，

2

綜上，(D——或2.

3

5.三角公式的應用

例6已知△4BC的三個內(nèi)角4B,C成等差數(shù)列，且」一+—1—=—二反，試求85土￡的

cosAcosCcos52

值。

【解】因為力=120°-C,所以cos---=cos(600-C),

1111cos(l20°-C)+cosC

田J+=7+=7

cosAcosCcos(l20°-C)cosCcosCcos(l20°-C)

2cos60°cos(60°-C)_2cos(60°-。)_后

；［cos120°+cos(l20°-2C)］cos(l20°-2C)——

lA—CA-Cr-

所以4啦cos2-+2cos--3V2=0o

22

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:A-C痣-A-C3五

解得COS-----=——或COS------=------o

2228

▽A—Crr..A—Cy/2

Xcos----->0,所以cos-----=——o

222

三、課外練習

1「.sin(a+2/?)。1,—