第03講圓中的切線問題及圓系方程（高階拓展）（教師版）

第03講圓中的切線問題及圓系方程（高階拓展）（核心考點(diǎn)精講精練）1.4年真題考點(diǎn)分布4年考情考題示例考點(diǎn)分析關(guān)聯(lián)考點(diǎn)2023年新I卷，第6題,5分圓中切線問題給值求值型問題余弦定理解三角形2022年新I卷，第14題,5分圓的公切線方程判斷圓與圓的位置關(guān)系2021年新I卷，第11題,5分切線長(zhǎng)直線與圓的位置關(guān)系求距離的最值2.命題規(guī)律及備考策略【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的選考內(nèi)容，設(shè)題不定，難度中等，分值為5分【備考策略】1.熟練掌握?qǐng)A中切線問題的快速求解2.熟練掌握?qǐng)A系方程的快速求解【命題預(yù)測(cè)】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的拓展內(nèi)容，需要大家掌握二級(jí)結(jié)論來快速解題，需強(qiáng)化練習(xí)知識(shí)講解一、圓中切線問題已知圓方程為:,若已知切點(diǎn)在圓上,則切線只有一條,其方程是:已知圓方程為:,若已知切點(diǎn)在圓上,則該圓過點(diǎn)的切線方程為;已知圓方程為圓:.(1)過圓上的點(diǎn)的切線方程為.(2)過圓外一點(diǎn)作圓的兩條切線,則切點(diǎn)弦方程為.4.過圓外一點(diǎn)引圓(標(biāo)準(zhǔn)方程,一般方程)的切線長(zhǎng)度一般方程(標(biāo)準(zhǔn)方程)二、常見的圓系方程1、同心圓圓系(1)以為圓心的同心圓圓系方程:;(2)與圓同心圓的圓系方程為:;2、過線圓交點(diǎn)的圓系過直線與圓交點(diǎn)的圓系方程為:;3、過兩圓交點(diǎn)的圓系過兩圓交點(diǎn)的圓系方程為,此圓系不含)(1)特別地,當(dāng)時(shí),上述方程為一次方程,兩圓相交時(shí),表示公共弦方程;兩圓相切時(shí),表示公切線方程.(2)為了避免利用上述圓系方程時(shí)討論圓過,可等價(jià)轉(zhuǎn)化為過圓和兩圓公共弦所在直線交點(diǎn)的圓系方程:考點(diǎn)一、圓中切線問題1．（2023秋·浙江·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）過圓上點(diǎn)的切線方程為．【答案】【分析】由圓的切線性質(zhì)求出切線斜率，利用點(diǎn)斜式方程即可得.【詳解】由題知，，則切線斜率，所以切線方程為，整理為．故答案為：2．（2023·江蘇·高三專題練習(xí)）過點(diǎn)引圓切線，則切線長(zhǎng)是.【答案】3【分析】根據(jù)切線的垂直關(guān)系即可由勾股定理求解.【詳解】把圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程得：，得到圓心坐標(biāo)為，圓的半徑，，切線長(zhǎng)是，故答案為：33．（2023秋·安徽宣城·高三統(tǒng)考期末）過點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為A、B，則直線AB方程是.【答案】【分析】求出以為直徑的圓的方程,將兩圓的方程相減,即可求解.【詳解】圓的圓心為,半徑為2，以為直徑的圓的方程為,將兩圓的方程相減可得公共弦所在直線的方程.故答案為:.4．（2023春·湖北·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）過直線上一點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，，則的最小值為.【答案】/【分析】設(shè)，利用與圓的關(guān)系，得到，，進(jìn)而得到點(diǎn)均在以為直徑的圓上，進(jìn)而得到圓的方程，則直線為兩圓的公共弦，進(jìn)而可求出直線以及該直線所過的定點(diǎn)，即可求得的最小值【詳解】設(shè)，則有①，又由圓的圓心為，直線，是圓的兩條切線，為切點(diǎn)，則，，則點(diǎn)均在以為直徑的圓上，設(shè)的中點(diǎn)為，則圓的方程為，化簡(jiǎn)得；直線即為兩圓的公共弦，所以對(duì)于和，兩式相減可得直線的方程為，由①可得，，整理得，由得故直線過定點(diǎn)，因?yàn)?，說明在圓內(nèi)，當(dāng)時(shí)，此時(shí)最小，為故答案為：5．（2023秋·湖北·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）已知過點(diǎn)作圓的切線，則切線長(zhǎng)為.【答案】【分析】根據(jù)題意，利用圓的切線長(zhǎng)公式，即可求解.【詳解】由圓，可得圓心，半徑，設(shè)切點(diǎn)為，因?yàn)?，可得，所以切線長(zhǎng)為.故答案為：.6．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知圓：，為過的圓的切線，為上任一點(diǎn)，過作圓：的切線，則切線長(zhǎng)的最小值是.【答案】【分析】先求得的方程，再根據(jù)圓心到切線的距離，半徑和切線長(zhǎng)的勾股定理求最小值即可【詳解】由題，直線的斜率為，故直線的斜率為，故的方程為，即.又到的距離，故切線長(zhǎng)的最小值是故答案為：1．（2023秋·四川成都·高三成都外國(guó)語學(xué)校?？计谀┮阎本€是圓在點(diǎn)處的切線，則直線的方程為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)出切線方程，對(duì)斜率k是否存在進(jìn)行討論，利用圓心到直線的距離等于半徑即可求解.【詳解】當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線l：，此時(shí)，圓心到直線的距離為3<5,不合題意；當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，可設(shè)直線l：，因?yàn)橹本€與圓相切，所以圓心到直線的距離等于半徑，即，解得：，所以直線l：，即.故選：D【點(diǎn)睛】求圓的切線方程的思路通常有兩種:（1）幾何法:用圓心到直線的距離等于半徑；（2）代數(shù)法:直線方程與圓的方程聯(lián)立,利用Δ=0．2．（2023秋·河北張家口·高三統(tǒng)考期末）過點(diǎn)作圓的切線，則切線方程為（

）A． B．C． D．或【答案】C【分析】由題意可得點(diǎn)在圓上，根據(jù)切線的性質(zhì)求切線斜率，進(jìn)而求切線方程.【詳解】由題意可知：圓的圓心，半徑，∵，∴點(diǎn)在圓上，又∵，則切線的斜率，∴切線方程為，即.故選：C.3．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）過點(diǎn)作圓C：的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，則直線的方程為（）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意，可知圓的圓心為，半徑，由切線長(zhǎng)公式求出的長(zhǎng)，進(jìn)而可得以為圓心，為半徑為圓，則為兩圓的公共弦所在的直線，聯(lián)立兩個(gè)圓的方程，兩方程作差后計(jì)算可得答案．【詳解】根據(jù)題意，可知圓的圓心為，半徑，過點(diǎn)作圓的兩條切線，設(shè)切點(diǎn)分別為、，而，則，則以為圓心，為半徑為圓為，即圓，所以為兩圓的公共弦所在的直線，則有，作差變形可得：；即直線的方程為.故選：B.4．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知點(diǎn)在直線上，過點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，則圓心到直線的距離的最大值為（

）A． B． C．1 D．【答案】B【分析】根據(jù)題意，設(shè)為直線上的一點(diǎn)，由圓的切線的性質(zhì)得點(diǎn)在以為直徑的圓上，求出該圓的方程，與圓C的方程聯(lián)立可得直線的方程，將其變形分析可得直線恒過的定點(diǎn)，由點(diǎn)到直線的距離分析可得答案．【詳解】由題意可得的圓心到直線的距離為，即與圓相離；設(shè)為直線上的一點(diǎn)，則，過點(diǎn)P作圓的切線，切點(diǎn)分別為，則有，則點(diǎn)在以為直徑的圓上，以為直徑的圓的圓心為，半徑為，則其方程為，變形可得，聯(lián)立，可得：，又由，則有，變形可得，則有，可得，故直線恒過定點(diǎn)，設(shè)，由于，故點(diǎn)在內(nèi)，則時(shí)，C到直線的距離最大，其最大值為,故選∶B考點(diǎn)二、圓系方程1．（2023秋·河南南陽·高三南陽中學(xué)?？茧A段練習(xí)）經(jīng)過直線與圓的兩個(gè)交點(diǎn)，且面積最小的圓的方程是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】當(dāng)所求圓的直徑就是已知圓與直線相交的弦時(shí)，所求圓的面積最小.由已知圓可得圓心半徑，可得弦長(zhǎng)，再求出過圓心且垂直于已知直線的直線方程，解方程組可得圓心，可得圓的方程．【詳解】由題可知，當(dāng)所求圓的直徑就是已知圓與直線相交的弦時(shí)，所求圓的面積最小.圓配方可得，圓心坐標(biāo)為，半徑為2，弦心距，弦長(zhǎng)為，過圓的圓心和直線垂直的直線方程為，即．最小的圓的圓心為與直線的交點(diǎn)，解方程組可得，，所求面積最小的圓方程為：，故選：C．2．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）圓心在直線x﹣y﹣4＝0上，且經(jīng)過兩圓x2+y2﹣4x﹣3＝0，x2+y2﹣4y﹣3＝0的交點(diǎn)的圓的方程為（

）A．x2+y2﹣6x+2y﹣3＝0 B．x2+y2+6x+2y﹣3＝0C．x2+y2﹣6x﹣2y﹣3＝0 D．x2+y2+6x﹣2y﹣3＝0【答案】A【分析】求出兩個(gè)圓的交點(diǎn)，再求出中垂線方程，然后求出圓心坐標(biāo)，求出半徑，即可得到圓的方程．【詳解】由解得兩圓交點(diǎn)為與因?yàn)?，所以線段的垂直平分線斜率；MN中點(diǎn)P坐標(biāo)為（1，1）所以垂直平分線為y＝﹣x+2由解得x＝3，y＝﹣1，所以圓心O點(diǎn)坐標(biāo)為（3，﹣1）所以r所以所求圓的方程為（x﹣3）2+（y+1）2＝13即：x2+y2﹣6x+2y﹣3＝0故選：A3．（2023秋·河南焦作·高三?？茧A段練習(xí)）已知圓的方程，圓與圓是同心圓且過點(diǎn)，則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．【答案】【分析】求出圓心坐標(biāo)，再求出圓的半徑即可.【詳解】依題意，圓的圓心，則半徑，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故答案為：4．（2021秋·江蘇泰州·高三?？茧A段練習(xí)）求滿足下列條件的各圓的方程：（1）圓心為點(diǎn)，且經(jīng)過點(diǎn)．（2）經(jīng)過兩點(diǎn)，且圓心C在直線上．（3）圓心在直線上，且過圓與圓的交點(diǎn)．【答案】（1）；（2）；（3）【分析】（1）直接求出半徑即可得出方程；（2）求出直線的中垂線方程，與直線聯(lián)立可求得圓心坐標(biāo)，再求出半徑即可得出；（3）聯(lián)立兩圓方程，求出交點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)出圓心，即可建立關(guān)系求出.【詳解】（1）可得半徑為，所以所求圓的方程為；（2）直線的斜率為，中點(diǎn)為，則直線的中垂線方程為，即，聯(lián)立方程組可得，即圓心為，半徑，故所求圓的方程為；（3）聯(lián)立方程組解得或，即交點(diǎn)坐標(biāo)為，因?yàn)閳A心在直線上，則可設(shè)圓心為，則它到兩個(gè)交點(diǎn)的距離相等，即，解得，即圓心為，則半徑，故所求圓的方程為.5．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）（多選）已知圓和圓相交于兩點(diǎn)，下列說法正確的是（

）A．所有過點(diǎn)的圓系的方程可以記為（其中，）B．直線的方程為C．線段的長(zhǎng)為D．兩圓有兩條公切線與【答案】CD【分析】根據(jù)圓系方程的條件，可判定A錯(cuò)誤；利用兩圓相減，求得公共弦的方程，可判定B錯(cuò)誤；利用圓的弦長(zhǎng)公式，求得弦長(zhǎng)，可判定C正確；根據(jù)得到為兩圓的公切線，得到關(guān)于兩圓圓心所在直線對(duì)稱的直線得到另一條公切線，求得公切線的方程，可判定D正確.【詳解】對(duì)于A中，圓系方程（其中，）此時(shí)不含圓M，所以A錯(cuò)誤．對(duì)于B選項(xiàng)，聯(lián)立方程組，兩式相減得到直線AB的方程為，所以B錯(cuò)誤．對(duì)于C中，原點(diǎn)O到直線AB的距離為，根據(jù)勾股定理得，所以C正確．對(duì)于D中，由圓，可得，可得圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為，又由圓，可得圓心，半徑為，可得直線與兩圓相切，即為兩圓的公切線，則關(guān)于兩圓圓心所在直線對(duì)稱的直線即為另一條公切線，由和，可得兩圓心所在直線為，即，聯(lián)立方程組，解得，即交點(diǎn)坐標(biāo)為，在直線上任取一點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱點(diǎn)為，可得，解得，即對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為，所求的另一條切線過點(diǎn)，，可得其方程為，故所求切線方程為或，所以D正確.故選：CD.1．（2023·高三課時(shí)練習(xí)）求經(jīng)過兩圓與的交點(diǎn)，且圓心在直線上的圓的方程．【答案】【分析】先求兩圓交點(diǎn)坐標(biāo)，再求得圓心和半徑，從而求得所求圓的方程..【詳解】由解得或，設(shè).設(shè)所求圓的圓心為，由得，即，解得，所以圓心，半徑，所以所求圓的方程為.2．（2023·江蘇·高三專題練習(xí)）已知一個(gè)圓經(jīng)過直線與圓的兩個(gè)交點(diǎn)，并且有最小面積，則此圓的方程為.【答案】【分析】設(shè)出所求圓的方程為，找出此時(shí)圓心坐標(biāo)，當(dāng)圓心在直線上時(shí)，圓的半徑最小，可得此時(shí)面積最小，把表示出的圓心坐標(biāo)代入中，得到關(guān)于的方程，求出方程的解得到的值，進(jìn)而確定出所求圓的方程.【詳解】可設(shè)圓的方程為,即,此時(shí)圓心坐標(biāo)為,當(dāng)圓心在直線上時(shí)，圓的半徑最小，從而面積最小，,解得,則所求圓的方程為，故答案為.【點(diǎn)睛】本題主要考查圓的方程和性質(zhì)，屬于難題.求圓的方程常見思路與方法有:①直接設(shè)出動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)題意列出關(guān)于的方程即可；②根據(jù)幾何意義直接找到圓心坐標(biāo)和半徑，寫出方程；③待定系數(shù)法，可以根據(jù)題意設(shè)出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程或一般式方程，再根據(jù)所給條件求出參數(shù)即可.3．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）求經(jīng)過兩圓與的兩個(gè)交點(diǎn)且半徑最小的圓的方程.【答案】【分析】根據(jù)兩圓的方程求出兩圓相交弦所在的直線方程，結(jié)合待定系數(shù)法、圓的幾何性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】設(shè)圓和圓的兩個(gè)交點(diǎn)為，，則直線的方程為，即，設(shè)所求圓方程為.化簡(jiǎn)得：則半徑最小時(shí)，圓心在直線上.解得.故所求圓的方程為.【點(diǎn)睛】本題考查了過兩圓交點(diǎn)且半徑最小的圓的方程，考查了圓的幾何性質(zhì)，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.4．（2023·吉林長(zhǎng)春·高三?？茧A段練習(xí)）已知兩圓和．（1）求公共弦所在的直線方程；（2）求公共弦的長(zhǎng)度；（3）求經(jīng)過原點(diǎn)以及圓和圓交點(diǎn)的圓的方程．【答案】（1）；（2）；（3）．【分析】（1）由兩圓公共弦的直線方程為兩圓方程相減即可得；（2）法一：聯(lián)立公共弦所在直線方程與其中一圓的方程求得交點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)兩點(diǎn)距離公式即可求公共弦的長(zhǎng)度；法二：求其中一圓的圓心到公共弦的距離，它與圓的半徑、公共弦的一半的關(guān)系：即可求公共弦的長(zhǎng)度；（3）設(shè)圓的方程為，由它過原點(diǎn)以及圓和圓交點(diǎn)，將點(diǎn)坐標(biāo)代入求參數(shù)，即可得圓的方程.【詳解】（1）將兩圓方程相減，有公共弦所在直線方程為．（2）法一：由（1）有：，代入圓得，有，．∴或，交點(diǎn)坐標(biāo)為和．∴兩圓的公共弦長(zhǎng)為．法二：由（1）有兩圓相交弦所在直線為，且圓心，圓心到直線的距離，設(shè)公共弦長(zhǎng)為，由勾股定理，得，解得，所以公共弦長(zhǎng)．（3）設(shè)經(jīng)過原點(diǎn)以及圓和圓交點(diǎn)的圓的方程為，∴結(jié)合（1）（2），，得，∴，【點(diǎn)睛】本題考查了圓的位置關(guān)系，根據(jù)兩圓相交求公共弦所在直線方程及長(zhǎng)度，并求過原點(diǎn)、兩圓交點(diǎn)的圓的方程，屬于基礎(chǔ)題.【能力提升】1．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）圓在點(diǎn)處的切線方程為．【答案】【分析】計(jì)算，根據(jù)垂直關(guān)系得到斜率為，得到切線方程.【詳解】圓的圓心為，即，則，則切線斜率為，故切線方程為：，即.故答案為：2．（2023秋·吉林長(zhǎng)春·高三長(zhǎng)春市第二中學(xué)校考期末）過點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，則的直線方程為.【答案】【分析】根據(jù)題意以為圓心，為半徑作圓，兩圓方程作差即可得直線的方程.【詳解】圓的圓心，半徑，方程化為一般式方程為，則，以為圓心，為半徑作圓，其方程為，方程化為一般式方程為，∵，則是圓與圓的交點(diǎn)，兩圓方程作差可得：，∴直線的方程為.故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：根據(jù)兩圓相交進(jìn)行求解是解題的關(guān)鍵.3．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）過點(diǎn)作圓：的切線，則切線方程為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】首先將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)式，即可得到圓心坐標(biāo)與半徑，從而判斷點(diǎn)在圓上，再求出，即可得到切線的斜率，最后利用點(diǎn)斜式計(jì)算可得.【詳解】圓：，即，圓心為，半徑，又，所以點(diǎn)在圓上，且，所以切線的斜率，所以切線方程為，即.故選：C4．（2023·陜西咸陽·武功縣普集高級(jí)中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知圓為圓O上位于第一象限的一點(diǎn)，過點(diǎn)M作圓O的切線l．當(dāng)l的橫縱截距相等時(shí)，l的方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用過圓上點(diǎn)的切線的性質(zhì)可得，利用點(diǎn)表示出切線方程，結(jié)合l的橫縱截距相等，即得解【詳解】由題意，點(diǎn)在第一象限，故過點(diǎn)M的的切線l斜率存在；點(diǎn)在圓上，故，即故直線l的方程為：令令當(dāng)l的橫縱截距相等時(shí)，又解得：即，即故選：A5．（2023秋·安徽·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知圓在點(diǎn)處的切線上一點(diǎn)在第一象限內(nèi)，則的最小值為（

）A． B．5 C． D．9【答案】C【分析】利用圓的切線方程及基本不等即可求解．【詳解】易知圓在點(diǎn)處的切線的方程為，所以，，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)，等號(hào)成立．所以的最小值為.故選：C.6．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知直線與圓，過直線上的任意一點(diǎn)向圓引切線，設(shè)切點(diǎn)為，若線段長(zhǎng)度的最小值為，則實(shí)數(shù)的值是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)，則，可得，而的最小值是圓心到直線的距離，然后列方程可求出實(shí)數(shù)m的值.【詳解】圓，設(shè)，則，則，，則，所以圓心到直線的距離是，，得，．故選：A．7．（2022秋·全國(guó)·高二專題練習(xí)）經(jīng)過直線與圓的兩個(gè)交點(diǎn)，且面積最小的圓的方程是．【答案】【分析】由題意可知面積最小的圓是以交點(diǎn)所在線段為直徑的圓，求圓心和半徑.【詳解】∵圓的方程可化為．∴圓心坐標(biāo)為，半徑為，∴圓心到直線的距離為．設(shè)直線和圓的交點(diǎn)為，．則．∴過點(diǎn)，的最小圓半徑為．聯(lián)立得，故，則圓心的橫坐標(biāo)為：，縱坐標(biāo)為，∴最小圓的圓心為，∴最小圓的方程為，即．故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查直線與圓相交的綜合問題，意在考查圓的幾何問題和坐標(biāo)系法解決幾何問題的綜合問題，屬于中檔題型.8．（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）經(jīng)過直線與圓的交點(diǎn)，且過點(diǎn)的圓的方程為.【答案】【分析】根據(jù)題意設(shè)出過直線和圓的交點(diǎn)的圓系方程，代入已知點(diǎn)坐標(biāo)，可求出的值，即可確定所求圓的方程.【詳解】設(shè)過已知直線和圓的交點(diǎn)的圓系方程為：∵所求圓過點(diǎn)∴解得所以圓的方程為，化簡(jiǎn)得.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查求解圓的方程，設(shè)出過已知直線和圓的交點(diǎn)的圓系方程是解本題的關(guān)鍵.9．（上海寶山·高二?？计谥校?）求以為圓心，且與直線相切的圓的方程．（2）經(jīng)過直線與圓的兩個(gè)交點(diǎn)，且面積最小的圓的方程．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由點(diǎn)到直線的距離公式求出圓心到直線的距離，可得半徑，即可求得圓的方程；（2）依題意可知，弦長(zhǎng)為直徑的圓的面積最小，聯(lián)立直線與圓的方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系求得圓心坐標(biāo)，由弦長(zhǎng)公式求出圓的半徑，則圓的方程可求．【詳解】解：（1）∵到直線的距離，∴以為圓心，且與直線相切的圓的方程為；（2）設(shè)直線與圓的兩個(gè)交點(diǎn)為，由得，，，設(shè)中點(diǎn)為，則，，即中點(diǎn)為．∴．∴最小圓的方程為．【點(diǎn)睛】本題考查直線與圓的位置關(guān)系，考查求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．求出圓心坐標(biāo)和圓的半徑得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是求圓方程的基本方法．10．（2023·江蘇·高三專題練習(xí)）求經(jīng)過直線與圓的交點(diǎn)，且經(jīng)過點(diǎn)的圓的方程．【答案】【分析】法一：聯(lián)立直線與圓的方程求交點(diǎn)，根據(jù)三點(diǎn)在圓上，應(yīng)用待定系數(shù)法求圓的方程；法二：設(shè)所求圓的方程為，由點(diǎn)在圓上求得，即可得方程.【詳解】法一：解方程組，得或，∴直線與圓交于點(diǎn)．設(shè)所求圓的方程為()，將A，B，P的坐標(biāo)代入，得，解得，滿足，故所求圓的方程為．法二：設(shè)所求圓的方程為，又在圓上，則，解得，故所求圓的方程為，即．【真題感知】一、單選題1．（全國(guó)·高考真題）過原點(diǎn)的直線與圓相切，若切點(diǎn)在第三象限，則該直線的方程是A． B． C． D．【答案】C【分析】由直線與圓相切可知圓心到直線距離等于半徑，構(gòu)造方程解出斜率；再根據(jù)切點(diǎn)在第三象限求得結(jié)果.【詳解】易知切線的斜率存在，設(shè)切線方程為圓的方程可化為：，圓心為，半徑，解得：又切點(diǎn)在第三象限

本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查圓的切線方程的求解，關(guān)鍵是明確直線與圓相切時(shí)，圓心到直線距離等于半徑.2．（全國(guó)·高考真題）圓過點(diǎn)的切線方程是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】先求圓心與切點(diǎn)連線的斜率，再利用切線與連線垂直求得切線的斜率結(jié)合點(diǎn)斜式即可求方程.【詳解】由題意知，圓：，圓心在圓上，，所以切線的斜率為，所以在點(diǎn)處的切線方程為，即.故選：D.3．（山東·高考真題）過點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，則直線的方程為A． B．C． D．【答案】A【詳解】畫圖可知直線的斜率為負(fù)，其中一個(gè)切點(diǎn)為，代入A,D只有A滿足.【考點(diǎn)定位】本題考查直線和圓的位置關(guān)系，通過研究過切點(diǎn)的直線方程，考查快速反映能力，是對(duì)三維目標(biāo)之一的情感態(tài)度價(jià)值觀的有力考查．4．（江蘇·高考真題）下列方程是圓的切線方程的是A． B． C． D．【答案】C【詳解】試題分析：已知圓的圓心為，半徑為1，圓心只有到直線的距離為1，即此直線與圓相切．故選C．考點(diǎn)：直線與圓的位置關(guān)系．5．（全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知⊙M：，直線：，為上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作⊙M的切線，切點(diǎn)為，當(dāng)最小時(shí)，直線的方程為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由題意可判斷直線與圓相離，根據(jù)圓的知識(shí)可知，四點(diǎn)共圓，且，根據(jù)可知，當(dāng)直線時(shí)，最小，求出以為直徑的圓的方程，根據(jù)圓系的知識(shí)即可