第07講 一元二次方程的解法-配方法（解析版）

第07講一元二次方程的解法-配方法2.2【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1．了解配方法的概念，會(huì)用配方法解一元二次方程；2．掌握運(yùn)用配方法解一元二次方程的基本步驟；3．通過(guò)用配方法將一元二次方程變形的過(guò)程，進(jìn)一步體會(huì)轉(zhuǎn)化的思想方法，并增強(qiáng)數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)和能力.【基礎(chǔ)知識(shí)】一．配方法解一元二次方程：(1)配方法解一元二次方程：將一元二次方程配成的形式，再利用直接開(kāi)平方法求解，這種解一元二次方程的方法叫配方法.(2)配方法解一元二次方程的理論依據(jù)是公式：.(3)用配方法解一元二次方程的一般步驟：①把原方程化為的形式；②將常數(shù)項(xiàng)移到方程的右邊；方程兩邊同時(shí)除以二次項(xiàng)的系數(shù)，將二次項(xiàng)系數(shù)化為1；③方程兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方；④再把方程左邊配成一個(gè)完全平方式，右邊化為一個(gè)常數(shù)；⑤若方程右邊是非負(fù)數(shù)，則兩邊直接開(kāi)平方，求出方程的解；若右邊是一個(gè)負(fù)數(shù)，則判定此方程無(wú)實(shí)數(shù)解.要點(diǎn)：（1）配方法解一元二次方程的口訣：一除二移三配四開(kāi)方；（2）配方法關(guān)鍵的一步是“配方”，即在方程兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方.（3）配方法的理論依據(jù)是完全平方公式．二、配方法的應(yīng)用1．用于比較大?。涸诒容^大小中的應(yīng)用，通過(guò)作差法最后拆項(xiàng)或添項(xiàng)、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而比較出大小.2．用于求待定字母的值：配方法在求值中的應(yīng)用，將原等式右邊變?yōu)?，左邊配成完全平方式后，再運(yùn)用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出待定字母的取值．3．用于求最值：“配方法”在求最大（?。┲禃r(shí)的應(yīng)用，將原式化成一個(gè)完全平方式后可求出最值．4．用于證明：“配方法”在代數(shù)證明中有著廣泛的應(yīng)用，我們學(xué)習(xí)二次函數(shù)后還會(huì)知道“配方法”在二次函數(shù)中也有著廣泛的應(yīng)用．【考點(diǎn)剖析】考點(diǎn)1：配方法解一元二次方程例1．用配方法解一元二次方程，此方程可化為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】將常數(shù)項(xiàng)移到方程的右邊，兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方配成完全平方式后可得答案．【解析】解：，，則，即，故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查解一元二次方程的能力，解題的關(guān)鍵是熟練掌握解一元二次方程的幾種常用方法：直接開(kāi)平方法、因式分解法、公式法、配方法，結(jié)合方程的特點(diǎn)選擇合適、簡(jiǎn)便的方法．例2．用配方法解一元二次方程時(shí)，將它化為的形式，則的值為（

）A． B． C．2 D．【答案】B【分析】將常數(shù)項(xiàng)移到方程的右邊，兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方配成完全平方式后，繼而得出答案．【解析】解：∵，∴，，則，即，∴，，∴．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了解一元二次方程，能夠正確配方是解此題的關(guān)鍵．例3．用配方法解下列方程時(shí)，配方有錯(cuò)誤的是（

）A．化為 B．化為C．化為 D．化為【答案】B【分析】根據(jù)配方的步驟計(jì)算即可解題．【解析】故B錯(cuò)誤．且ACD選項(xiàng)均正確，故選：B【點(diǎn)睛】考查了用配方法解一元二次方程，配方步驟：第一步平方項(xiàng)系數(shù)化1；第二步移項(xiàng)，把常數(shù)項(xiàng)移到右邊；第三步配方，左右兩邊加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方；第四步左邊寫(xiě)成完全平方式；第五步，直接開(kāi)方即可．例4．關(guān)于y的方程，用___________法解，得__，__．【答案】

配方

102

【分析】利用配方法解一元二次方程即可得．【解析】，，，，，，故答案為：配方，102，．【點(diǎn)睛】本題考查了利用配方法解一元二次方程即可得，熟練掌握配方法是解題關(guān)鍵．例5．用配方法解方程ax2+bx+c＝0（a≠0），四個(gè)學(xué)生在變形時(shí)得到四種不同結(jié)果，其中配方正確的是（）A．B．C．D．【答案】C【分析】根據(jù)配方法的步驟：先把二次項(xiàng)系數(shù)化為1，然后把常數(shù)項(xiàng)移到右邊，兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)的一半的平方，即可得到答案．【解析】解：∵，∴，∴，∴，故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了配方法，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握配方法．例6．用配方法解方程，正確的是（

）A． B．C．，原方程無(wú)實(shí)數(shù)解 D．，原方程無(wú)實(shí)數(shù)解【答案】D【分析】方程常數(shù)項(xiàng)移到右邊，兩邊加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方，變形后開(kāi)方即可求出解．【解析】方程移項(xiàng)得：x2-x=-1，配方得：x2-x+=-，即（x-）2=-，則原方程無(wú)實(shí)數(shù)解，故選D．【點(diǎn)睛】此題考查了解一元二次方程-配方法，熟練掌握完全平方公式是解本題的關(guān)鍵．例7．用配方法解下列方程：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)．【答案】(1)(2)(3)(4)(5)(6)【分析】利用配方法求解即可．（1）解：3x2?5x=2移項(xiàng)得：x2-x=，配方得：x2-x+=+，合并得：（x-）2=，解得：x1=+=2，x2=-=-；（2）解：x2+8x=9配方得：x2+8x+16=9+16，合并得：（x+4）2=25，解得x1=1，x2=-9；（3）解：x2+12x?15=0移項(xiàng)得：x2+12x+36=15+36，配方得：（x+6）2=51解得x1=-6＋，x2=-6-（4）解：x2?x?4=0去分母得：，移項(xiàng)得：，配方得：x2-4x+4=16+4，合并得：（x-2）2=20，解得：x1=2＋2，x2=2－2；（5）解：2x2+12x+10=0系數(shù)化為1得：，移項(xiàng)得：，配方得：x2+6x+9=-5+9，合并得：（x+3）2=4，解得：x1=-1，x2=--5；（6）解：x2+px+q=0，移項(xiàng)得：，配方得：x2+px+=-q+，合并得：(x+)2=，解得x=．【點(diǎn)睛】本題主要考查了配方法解一元二次方程，熟知配方法是解題的關(guān)鍵．考點(diǎn)2：配方法的應(yīng)用1-三角形問(wèn)題例8．的三邊分別為、、，若，，按邊分類(lèi)，則是______三角形【答案】等腰【分析】將，代入中得到關(guān)系式，利用完全平方公式變形后，根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出a與c的值，進(jìn)而求出b的值，即可確定出三角形形狀．【解析】解：∵∴，∴，∴，即，整理得：，∵，，∴，即；，即，∴，則△ABC為等腰三角形．故答案是：等腰．【點(diǎn)睛】此題考查了配方法的應(yīng)用，非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，以及等腰三角形的判定，熟練掌握完全平方公式是解本題的關(guān)鍵．例9．如果一個(gè)三角形的三邊均滿足方程，則此三角形的面積是______【答案】【解析】解方程：，得，∴.∵一個(gè)三角形的三邊均滿足方程，∴此三角形是以5為邊長(zhǎng)的等邊三角形，∴三角形的面積=°=.故答案是：.例10．已知三角形的三條邊為，且滿足，則這個(gè)三角形的最大邊的取值范圍是（

）A．c＞8 B．5＜c＜8 C．8＜c＜13 D．5＜c＜13【答案】C【分析】先利用配方法對(duì)含a的式子和含有b的式子配方，再根據(jù)偶次方的非負(fù)性可得出a和b的值，然后根據(jù)三角形的三邊關(guān)系可得答案．【解析】解：∵a2-10a+b2-16b+89=0，∴（a2-10a+25）+（b2-16b+64）=0，∴（a-5）2+（b-8）2=0，∵（a-5）2≥0，（b-8）2≥0，∴a-5=0，b-8=0，∴a=5，b=8．∵三角形的三條邊為a，b，c，∴b-a＜c＜b+a，∴3＜c＜13．又∵這個(gè)三角形的最大邊為c，∴8＜c＜13．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了配方法在三角形的三邊關(guān)系中的應(yīng)用，熟練掌握配方法、偶次方的非負(fù)性及三角形的三邊關(guān)系是解題的關(guān)鍵．考點(diǎn)3：配方法的應(yīng)用2-比較整式大小與求值問(wèn)題例11．若M=2-12x+15，N=-8x+11，則M與N的大小關(guān)系為（）A．M≥N B．M＞N C．M≤N D．M＜N【答案】A【解析】∵M(jìn)=2-12x+15，N=-8x+11，∴M-N=.∵，∴M-N0，∴MN.故選A.點(diǎn)睛：比較兩個(gè)含有同一字母的代數(shù)式的大小關(guān)系時(shí)，當(dāng)無(wú)法直接比較兩者的大小關(guān)系時(shí)，可以通過(guò)求出兩者的“差”，再看“差”的值是“正數(shù)”、“負(fù)數(shù)”或“0”來(lái)比較兩者的大小.例12．已知下面三個(gè)關(guān)于的一元二次方程，，恰好有一個(gè)相同的實(shí)數(shù)根，則的值為（）A．0 B．1 C．3 D．不確定【答案】A【分析】把x=a代入3個(gè)方程得出a?a2+ba+c=0，ba2+ca+a=0，ca2+a?a+b=0，3個(gè)方程相加即可得出（a+b+c）（a2+a+1）=0，即可求出答案．【解析】把x=a代入ax2+bx+c=0，bx2+cx+a=0，cx2+ax+b=0得：a?a2+ba+c=0，ba2+ca+a=0，ca2+a?a+b=0，相加得：（a+b+c）a2+（b+c+a）a+（a+b+c）=0，∴（a+b+c）（a2+a+1）=0．∵a2+a+1=（a+）2+＞0，∴a+b+c=0．故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的解，使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值叫方程的解．例13．已知實(shí)數(shù)，，滿足，，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由變形得，代入中得到，再進(jìn)行配方，根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)即可得到答案．【解析】故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了配方法的應(yīng)用，涉及非負(fù)數(shù)的性質(zhì)、偶次方，熟練運(yùn)用上述知識(shí)是解題的關(guān)鍵．考點(diǎn)4：配方法的應(yīng)用3-最值問(wèn)題例14．若為任意實(shí)數(shù)時(shí)，二次三項(xiàng)式的值都不小于0，則常數(shù)滿足的條件是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】把二次三項(xiàng)式進(jìn)行配方即可解決．【解析】配方得：∵，且對(duì)為任意實(shí)數(shù)，∴∴故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了配方法的應(yīng)用，對(duì)于二次項(xiàng)系數(shù)為1的二次三項(xiàng)式，加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方，再減去這個(gè)數(shù)即可配成完全平方式．例15．無(wú)論x、y取任何實(shí)數(shù)，多項(xiàng)式x2+y2－2x－4y+16的值總是_______數(shù)．【答案】正【解析】x2+y2－2x－4y+16=（x2－2x+1）+（y2－4y+4）－1－4+16=（x－1）2+（y－2）2+11，由于（x－1）2≥0，（y－2）2≥0，故（x－1）2+（y－2）2+11≥11，所以x2+y2－2x－4y+16的值總是正數(shù).故答案為正.點(diǎn)睛：要證明一個(gè)式子的值總是正數(shù)，可以用配方法將式子寫(xiě)成多個(gè)非負(fù)數(shù)之和與一個(gè)正數(shù)的和的形式即可證明.例16．不論x，y為什么數(shù)，代數(shù)式4x2+3y2+8x﹣12y+7的值（）A．總大于7 B．總不小于9C．總不小于﹣9 D．為任意有理數(shù)【答案】C【分析】先將原式配方，然后根據(jù)偶次方的非負(fù)性質(zhì)，判斷出代數(shù)式的值總不小于?9即可．【解析】解：4x2+3y2+8x﹣12y+7＝4x2＋8x＋4＋3y2?12y＋3＝4（x2＋2x＋1）＋3（y2?4y＋1）＝4（x＋1）2＋3（y2?4y＋4?4＋1）＝4（x＋1）2＋3（y?2）2?9，∵（x＋1）2≥0，（y?2）2≥0，∴4x2+3y2+8x﹣12y+7≥?9．即不論x、y為什么實(shí)數(shù)，代數(shù)式4x2+3y2+8x﹣12y+7的值總不小于?9．故選：C．【點(diǎn)睛】此題主要考查了配方法的應(yīng)用，以及偶次方的非負(fù)性質(zhì)的應(yīng)用，要熟練掌握．解決本題的關(guān)鍵是掌握配方法．例17．若，則x2+y2+z2可取得的最小值為（）A．3 B． C． D．6【答案】B【分析】設(shè)，把x，y，z用k的代數(shù)式表示，則x2+y2+z2轉(zhuǎn)化為關(guān)于k的二次三項(xiàng)式，運(yùn)用配方法求其最小值．【解析】設(shè)，則，，，∴x2+y2+z2=14k2+10k+6，．故最小值為：．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了完全平方公式，配方法的應(yīng)用，關(guān)鍵是把x2+y2+z2轉(zhuǎn)化為關(guān)于k的二次三項(xiàng)式，運(yùn)用配方法求其最小值．例18．關(guān)于代數(shù)式，有以下幾種說(shuō)法，①當(dāng)時(shí)，則的值為-4.②若值為2，則.③若，則存在最小值且最小值為0.在上述說(shuō)法中正確的是（）A．① B．①② C．①③ D．①②③【答案】C【分析】①將代入計(jì)算驗(yàn)證即可；②根據(jù)題意=2，解得a的值即可作出判斷；③若a＞-2，則a+2＞0，則對(duì)配方，利用偶次方的非負(fù)性可得答案．【解析】解：①當(dāng)時(shí)，．故①正確；②若值為2，則，∴a2+2a+1=2a+4，∴a2=3，∴．故②錯(cuò)誤；③若a＞-2，則a+2＞0，∴===≥0．∴若a＞-2，則存在最小值且最小值為0．故③正確．綜上，正確的有①③．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了分式的加減法、分式的值的計(jì)算及最值問(wèn)題等知識(shí)點(diǎn)，熟練運(yùn)用相關(guān)公式及運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．考點(diǎn)5：配方法的應(yīng)用4-配方法在二次根式與分式中的應(yīng)用例19．我國(guó)南宋時(shí)期數(shù)學(xué)家秦九韶曾提出利用三角形的三邊求面積的公式，此公式與古希臘幾何學(xué)家海倫提出的公式如出一轍，即三角形的三邊長(zhǎng)分別為，，，記，則其面積．這個(gè)公式也被稱為海倫—秦九韶公式．若，，則此三角形面積的最大值是_________．【答案】【分析】根據(jù)公式算出a+b的值，代入公式，根據(jù)完全平方公式的變形即可求出解．【解析】解：∵，p=3，c=2，∴，∴a+b=4，∴a=4?b，∴∴當(dāng)b=2時(shí)，S有最大值為．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式與完全平方公式的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，表示出相應(yīng)的三角形的面積．例20．已知（x，y均為實(shí)數(shù)），則y的最大值是______．【答案】【分析】將根據(jù)題意，，原式兩邊同時(shí)平方，可得，故，進(jìn)而即可求得最大值.【解析】解：，，，．，．的最大值為．故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的求值問(wèn)題，配方法的應(yīng)用，解本題的關(guān)鍵是通過(guò)y2為媒介求得y的取值范圍從而找出最大最小值.例21．已知，則____________【答案】20【分析】根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)列出方程求出a、b、c的值，代入所求代數(shù)式計(jì)算即可．【解析】將等式整理配方,∴則=0，=0，=0∵a-1≥0，b-2≥0，c-3≥0，∴∴a=2，b=6，c=12，∴a+b+c=20.故填：20.【點(diǎn)睛】此題主要考查配方法的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟知完全平方公式的變形應(yīng)用.例22．已知，無(wú)論取任何實(shí)數(shù)，這個(gè)式子都有意義，則c的取值范圍_______.【答案】c＜?1【分析】將原式分母配方后，根據(jù)完全平方式的值為非負(fù)數(shù)，只需?c?1大于0，求出不等式的解集即可得到c的范圍．【解析】原式分母為：x2＋2x?c＝x2＋2x＋1?c?1＝（x＋1）2?c?1，∵（x＋1）2≥0，無(wú)論x取任何實(shí)數(shù)，這個(gè)式子都有意義，∴?c?1＞0，解得：c＜?1．故填：c＜?1【點(diǎn)睛】此題考查了配方法的應(yīng)用，以及分式有意義的條件，靈活運(yùn)用配方法是解本題的關(guān)鍵．例23．（1）設(shè)，求的值．（2）已知代數(shù)式，先用配方法說(shuō)明：不論x取何值，這個(gè)代數(shù)式的值總是正數(shù)；再求出當(dāng)x取何值時(shí)，這個(gè)代數(shù)式的值最小，最小值是多少？【答案】（1）的值為；（2）說(shuō)明見(jiàn)解析，當(dāng)時(shí)，代數(shù)式有最小值．【分析】（1）根據(jù)a＞b＞0可知，，再根據(jù)完全平方式把被開(kāi)方數(shù)展開(kāi)，把a(bǔ)2+b2=3ab代入進(jìn)行計(jì)算即可；（2）首先將原式變形為（x-）2+，根據(jù)非負(fù)數(shù)的意義就可以得出代數(shù)式的值總是整數(shù)，設(shè)代數(shù)式的值為M，就有M=x2-5x+7，根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)就可以求出最值．【解析】（1）∵a＞b＞0，a2+b2=3ab，∴原式===；（2）解：由題意，得，∵，∴，∴，∴這個(gè)代數(shù)式的值總是正數(shù)．設(shè)代數(shù)式的值為M，則有M=，∴M=，∴當(dāng)時(shí)，這個(gè)代數(shù)式的值最小為．【點(diǎn)睛】本題考查了完全平方公式的應(yīng)用，求代數(shù)式的值，代數(shù)式中配方法的運(yùn)用，關(guān)鍵是運(yùn)用完全平方公式，式子的轉(zhuǎn)化．考點(diǎn)6：配方法的應(yīng)用5-創(chuàng)新與閱讀材料題例24．選取二次三項(xiàng)式中的兩項(xiàng)，配成完全平方式的過(guò)程叫作配方．例如①選取二次項(xiàng)和一次項(xiàng)配方：；②選取二次項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng)配方：或；③選取一次項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng)配方：．根據(jù)上述材料解決下面問(wèn)題：（1）寫(xiě)出的兩種不同形式的配方．（2）已知，求的值．（3）已知a、b、c為三條線段，且滿足，試判斷a、b、c能否圍成三角形，并說(shuō)明理由．【答案】（1）詳見(jiàn)解析；（2）1；（3）不能?chē)扇切危碛稍斠?jiàn)解析．【分析】（1）根據(jù)配方的概念，分別對(duì)一次項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng)進(jìn)行配方；（2）根據(jù)求出x、y的值，代入求解即可；（3）將原式進(jìn)行轉(zhuǎn)換，得出a、b、c之間的等量關(guān)系，從而進(jìn)行判斷．【解析】（1）或．（2），．，．．（3）不能，理由如下：原式變形：．．即．，，．．a(chǎn)、b、c三條線段不能?chē)扇切危军c(diǎn)睛】本題考查了整式的運(yùn)算，根據(jù)題意理解新概念并掌握整式的運(yùn)算，求解出未知數(shù)或者他們之間的等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．例25．若實(shí)數(shù)x，y，z滿足x＜y＜z時(shí)，則稱x，y，z為正序排列．已知x=﹣m2+2m﹣1，y=﹣m2+2m，若當(dāng)m時(shí)，x，y，z必為正序排列，則z可以是()A．m B．﹣2m+4 C．m2 D．1【答案】A【分析】用每一個(gè)選項(xiàng)減去y=-m2+2m，通過(guò)配方判定它們的差的符號(hào)，從而正確確定選項(xiàng)．【解析】A．∵m(﹣m2+2m)=m2﹣m(m)2，∴當(dāng)m時(shí)，(m)2＞0，∴當(dāng)m時(shí)，x，y，z必為正序排列；B．∵﹣2m+4﹣(﹣m2+2m)=m2﹣4m+4=(m﹣2)2，∴當(dāng)m=2時(shí)，(m﹣2)2=0，∴當(dāng)m時(shí)，x，y，z不一定為正序排列；C．m2﹣(﹣m2+2m)=2m2﹣2m=2m(m﹣1)，∴當(dāng)m≤1時(shí)，2m(m﹣1)＜0，∴當(dāng)m時(shí)，x，y，z不一定為正序排列；D．1﹣(﹣m2+2m)=m2﹣2m+1=(m﹣1)2，∴當(dāng)m=1時(shí)，(m﹣1)2=0，∴當(dāng)m時(shí)，x，y，z不一定為正序排列．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了配方法的應(yīng)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力．【真題演練】一、單選題1．（2022·山東東營(yíng)·統(tǒng)考中考真題）一元二次方程的解是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用配方法解方程即可．【解析】解：∵，∴，∴，∴，∴，解得，故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解題的關(guān)鍵．2．（2022·山東聊城·統(tǒng)考中考真題）用配方法解一元二次方程時(shí)，將它化為的形式，則的值為（

）A． B． C．2 D．【答案】B【分析】將常數(shù)項(xiàng)移到方程的右邊，兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方配成完全平方式后，繼而得出答案．【解析】解：∵，∴，，則，即，∴，，∴．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了解一元二次方程，能夠正確配方是解此題的關(guān)鍵．3．（2018·山東泰安·統(tǒng)考中考真題）一元二次方程根的情況是（

）A．無(wú)實(shí)數(shù)根 B．有一個(gè)正根，一個(gè)負(fù)根C．有兩個(gè)正根，且都小于3 D．有兩個(gè)正根，且有一根大于3【答案】D【解析】分析：直接整理原方程，進(jìn)而解方程得出x的值．詳解：（x+1）（x﹣3）=2x﹣5

整理得：x2﹣2x﹣3=2x﹣5，則x2﹣4x+2=0，（x﹣2）2=2，解得：x1=2+＞3，x2=2﹣，故有兩個(gè)正根，且有一根大于3．

故選D．點(diǎn)睛：本題主要考查了一元二次方程的解法，正確解方程是解題的關(guān)鍵．二、填空題4．（2013·廣東佛山·中考真題）方程的解是_______．【答案】【分析】用配方法解一元二次方程，配方法的一般步驟：（1）把常數(shù)項(xiàng)移到等號(hào)的右邊；（2）把二次項(xiàng)的系數(shù)化為1；（3）等式兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方：【解析】由，移項(xiàng)得：，配方得：，兩邊直接開(kāi)平方得：，則．故填：5．（2011·廣西崇左·中考真題）若為正實(shí)數(shù)，且，則=_______．【答案】【分析】由m-=3，得m2-3m-1=0，即(m-，因?yàn)閙為正實(shí)數(shù)，可得出m的值，代入m2-，解答出即可；【解析】解：由m-=3得，得m2-3m-1=0，即(m-，∴m1=，因?yàn)閙為正實(shí)數(shù)，∴m=；故答案為：3．三、解答題6．（2019·黑龍江齊齊哈爾·統(tǒng)考中考真題）解方程：【答案】，【分析】方程兩邊都加上，配成完全平方式，再兩邊開(kāi)方即可得．【解析】解：，，即，則，，即，．【點(diǎn)睛】本題主要考查一元二次方程的解法，必須熟練的計(jì)算,這是中考的必考題.7．（2013·四川自貢·中考真題）用配方法解關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=0．【答案】詳見(jiàn)解析【分析】應(yīng)用配方法解一元二次方程，要把左邊配成完全平方式，右邊化為常數(shù)．【解析】解：∵關(guān)于x的方程ax2+bx+c=0是一元二次方程，∴a≠0．∴由原方程，得，等式的兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方，得，即，開(kāi)方，得，即，移項(xiàng)，得，∴原方程的解為（其中b2﹣4ac≥0）．【點(diǎn)睛】配方法解一元二次方程．8．（2017·山東濱州·中考真題）根據(jù)要求，解答下列問(wèn)題．（1）根據(jù)要求，解答下列問(wèn)題．①方程x2－2x＋1＝0的解為_(kāi)_______________________；②方程x2－3x＋2＝0的解為_(kāi)_______________________；③方程x2－4x＋3＝0的解為_(kāi)_______________________；…………（2）根據(jù)以上方程特征及其解的特征，請(qǐng)猜想：①方程x2－9x＋8＝0的解為_(kāi)_______________________；②關(guān)于x的方程________________________的解為x1＝1，x2＝n．（3）請(qǐng)用配方法解方程x2－9x＋8＝0，以驗(yàn)證猜想結(jié)論的正確性．【答案】（1）①；②；③．（2）①，②；（3）．【分析】（1）觀察這些方程可得，方程的共同特征為二次項(xiàng)系數(shù)均為1，一次性系數(shù)分別為－2、－3、－4，常數(shù)項(xiàng)分別為1，2，3．解的特征：一個(gè)解為1，另一個(gè)解分別是1、2、3、4、…，由此寫(xiě)出答案即可；（2）根據(jù)（1）的方法直接寫(xiě)出答案即可；（3）用配方法解方程即可.【解析】（1）①；②；③．（2）①；②．（3）x2－9x＋＝－8＋(x－)2＝∴x－＝±．∴．【點(diǎn)睛】本題考查解一元二次方程.根據(jù)系數(shù)和解的特征找出規(guī)律是解題的關(guān)鍵.【過(guò)關(guān)檢測(cè)】一、單選題1．一元二次方程x2﹣6x+2＝0經(jīng)過(guò)配方后可變形為（）A．（x+3）2＝4 B．（x+3）2＝7 C．（x﹣3）2＝4 D．（x﹣3）2＝7【答案】D【分析】利用配方法的步驟配方即可解答．【解析】解：移項(xiàng)，得：x2﹣6x＝﹣2，配方，得：x2﹣6x+9＝﹣2+9，即（x﹣3）2＝7，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查配方法解一元二次方程，熟練掌握配方法的步驟是解答的關(guān)鍵．2．一元二次方程化為的形式，正確的是（

）A． B． C． D．以上都不對(duì)【答案】A【分析】先把常數(shù)項(xiàng)1移到等號(hào)的右邊，再把二次項(xiàng)系數(shù)化為1，最后在等式的兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方，然后配方即可．【解析】解：∵2x2-3x+1=0，∴2x2-3x=-1，，，，∴一元二次方程2x2-3x+1=0化為（x+a）2=b的形式是：，故選：A．【點(diǎn)睛】此題考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步驟：（1）把常數(shù)項(xiàng)移到等號(hào)的右邊；（2）把二次項(xiàng)的系數(shù)化為1；（3）等式兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方．選擇用配方法解一元二次方程時(shí)，最好使方程的二次項(xiàng)的系數(shù)為1，一次項(xiàng)的系數(shù)是2的倍數(shù)．3．在解方程時(shí)，對(duì)方程進(jìn)行配方，對(duì)于兩人的做法，說(shuō)法正確的是（

）小思：小博A．兩人都正確 B．小思正確，小博不正確 C．小思不正確，小博正確 D．兩人都不正確【答案】A【分析】利用配方法把含未知數(shù)的項(xiàng)寫(xiě)成完全平方式，然后利用直接開(kāi)平方法解方程．【解析】由圖知，小思和小博除了第一步x2的系數(shù)化1不一致，其他都一樣．兩人的做法都正確，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了解一元二次方程-配方法：將一元二次方程配成（x+m）2=n的形式，再利用直接開(kāi)平方法求解，這種解一元二次方程的方法叫配方法．4．用配方法解下列方程時(shí)，配方有錯(cuò)誤的是（

）A．化為 B．化為C．化為 D．化為【答案】B【分析】根據(jù)配方的步驟計(jì)算即可解題．【解析】故B錯(cuò)誤．且ACD選項(xiàng)均正確，故選：B【點(diǎn)睛】考查了用配方法解一元二次方程，配方步驟：第一步平方項(xiàng)系數(shù)化1；第二步移項(xiàng)，把常數(shù)項(xiàng)移到右邊；第三步配方，左右兩邊加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方；第四步左邊寫(xiě)成完全平方式；第五步，直接開(kāi)方即可．5．用配方法解方程，正確的是（

）A． B．C．，原方程無(wú)實(shí)數(shù)解 D．，原方程無(wú)實(shí)數(shù)解【答案】D【分析】方程常數(shù)項(xiàng)移到右邊，兩邊加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方，變形后開(kāi)方即可求出解．【解析】方程移項(xiàng)得：x2-x=-1，配方得：x2-x+=-，即（x-）2=-，則原方程無(wú)實(shí)數(shù)解，故選D．【點(diǎn)睛】此題考查了解一元二次方程-配方法，熟練掌握完全平方公式是解本題的關(guān)鍵．6．閱讀下列材料:如果,那么,則,由此可知:,.根據(jù)以上材料計(jì)算的根為

A．, B．,C．, D．,【答案】A【分析】把的左邊整理為平方差公式的形式，然后進(jìn)行因式分解并解答．【解析】x-3=±5x1=8,x2=-2故選A【點(diǎn)睛】本題考查用配方法解一元二次方程．關(guān)鍵是要熟練掌握配方法的一般步驟.7．若M=2-12x+15，N=-8x+11，則M與N的大小關(guān)系為（）A．M≥N B．M＞N C．M≤N D．M＜N【答案】A【解析】∵M(jìn)=2-12x+15，N=-8x+11，∴M-N=.∵，∴M-N0，∴MN.故選A.點(diǎn)睛：比較兩個(gè)含有同一字母的代數(shù)式的大小關(guān)系時(shí)，當(dāng)無(wú)法直接比較兩者的大小關(guān)系時(shí)，可以通過(guò)求出兩者的“差”，再看“差”的值是“正數(shù)”、“負(fù)數(shù)”或“0”來(lái)比較兩者的大小.8．已知下面三個(gè)關(guān)于的一元二次方程，，恰好有一個(gè)相同的實(shí)數(shù)根，則的值為（）A．0 B．1 C．3 D．不確定【答案】A【分析】把x=a代入3個(gè)方程得出a?a2+ba+c=0，ba2+ca+a=0，ca2+a?a+b=0，3個(gè)方程相加即可得出（a+b+c）（a2+a+1）=0，即可求出答案．【解析】把x=a代入ax2+bx+c=0，bx2+cx+a=0，cx2+ax+b=0得：a?a2+ba+c=0，ba2+ca+a=0，ca2+a?a+b=0，相加得：（a+b+c）a2+（b+c+a）a+（a+b+c）=0，∴（a+b+c）（a2+a+1）=0．∵a2+a+1=（a+）2+＞0，∴a+b+c=0．故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的解，使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值叫方程的解．9．《代數(shù)學(xué)》中記載，形如的方程，求正數(shù)解的幾何方法是：“如圖1，先構(gòu)造一個(gè)面積為的正方形，再以正方形的邊長(zhǎng)為一邊向外構(gòu)造四個(gè)面積為的矩形，得到大正方形的面積為，則該方程的正數(shù)解為．”小聰按此方法解關(guān)于的方程時(shí)，構(gòu)造出如圖2所示的圖形，已知陰影部分的面積為36，則該方程的正數(shù)解為（

）A．6 B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)已知的數(shù)學(xué)模型，同理可得空白小正方形的邊長(zhǎng)為，先計(jì)算出大正方形的面積=陰影部分的面積+4個(gè)小正方形的面積，可得大正方形的邊長(zhǎng)，從而得結(jié)論．【解析】x2+6x+m=0，x2+6x=-m，∵陰影部分的面積為36，∴x2+6x=36，4x=6，x=，同理：先構(gòu)造一個(gè)面積為x2的正方形，再以正方形的邊長(zhǎng)為一邊向外構(gòu)造四個(gè)面積為x的矩形，得到大正方形的面積為36+（）2×4=36+9=45，則該方程的正數(shù)解為．故選：B．【點(diǎn)睛】此題考查了解一元二次方程的幾何解法，用到的知識(shí)點(diǎn)是長(zhǎng)方形、正方形的面積公式，解題關(guān)鍵是要讀懂題目的意思，根據(jù)題目給出的條件，找出合適的等量關(guān)系，列出方程．10．已知實(shí)數(shù)滿足，，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由m2-m+c=0，可得m2-m=-c，代入n=4m2-4m+c2-，得到n=c2-2c-，再配方后，根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)可求n的取值范圍．【解析】∵m2-m+c=0，∴m2-m=-c，∵m2-m=（m-）2-≥-，∴-c≥-，∴c≤，∵n=4m2-4m+c2-=4（m2-m）+c2-=4×（-c）+c2-=c2-2c-=（c-1）2-，∵（c-1）2≥，∴n≥-1．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了配方法的應(yīng)用，非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是通過(guò)配方確定c的取值范圍并根據(jù)題意得到n=c2-2c-．二、填空題11．下列是小明同學(xué)用配方法解方程：的過(guò)程：解：，…第1步，…第2步，…第3步，則…第4步∴．最開(kāi)始出現(xiàn)錯(cuò)誤的是第_____步．【答案】2【分析】將常數(shù)項(xiàng)移到方程的右邊，再把二次項(xiàng)系數(shù)化為1，繼而兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方配成完全平方式后，再開(kāi)方即可得．【解析】解：，…第1步，，…第2步，，……第3步，，則……第4步，∴．所以原解答過(guò)程從第2步開(kāi)始出現(xiàn)錯(cuò)誤，故答案為：2．【點(diǎn)睛】本題考查解一元二次方程－配方法，解題的關(guān)鍵是掌握配方法解一元二次方程．12．用配方法解方程時(shí)，方程的兩邊同時(shí)加上一個(gè)實(shí)數(shù)_____________，使得方程左邊配成一個(gè)完全平方式．【答案】16【分析】根據(jù)一元二次方程的配方法可直接進(jìn)行求解．【解析】解：用配方法解方程時(shí)，方程的兩邊同時(shí)加上一個(gè)實(shí)數(shù)16，使得方程左邊配成一個(gè)完全平方式，即為；故答案為：16．【點(diǎn)睛】本題主要考查一元二次方程的配方法，熟練掌握配方法是解題的關(guān)鍵．13．若一元二次方程配方后為，則______．【答案】12【分析】將配方后的方程化為一般形式，即可得出a=4，b=3，代入代數(shù)式求解即可．【解析】解：∵一元二次方程?ax+b=0配方后為，∴將整理為，∴a=4，b=3，∴ab=12，故答案為：12．【點(diǎn)睛】題目主要考查一元二次方程的配方法及求代數(shù)式的值，將配方后的方程展開(kāi)是解題關(guān)鍵．14．已知等腰三角形的面積S與底邊x有如下關(guān)系：S＝﹣5x2+10x+14，將這個(gè)解析式配方，得S=_______________，則x＝______時(shí)，S有最大值，最大值是____________．【答案】

1

19【分析】先配方，再根據(jù)平方的性質(zhì)解答．【解析】解：配方得：S＝﹣5x2+10x+14＝﹣5（x﹣1）2+19，∴當(dāng)x＝1時(shí)，S最大＝19，故答案為：﹣5（x﹣1）2+19，1，19．【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程的應(yīng)用，熟練掌握配方法的步驟和平方的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．15．若一元二次方程的x2﹣2x﹣3599=0兩根為a，b，且a＞b，則2a﹣b的值為_(kāi)____．【答案】181【解析】x2﹣2x=3599，x2﹣2x+1=3600（x﹣1）2=3600，x﹣1=±60，所以a=61，b=﹣59，所以2a﹣b=2×61﹣（﹣59）=181．故答案為181．16．我國(guó)南宋時(shí)期數(shù)學(xué)家秦九韶曾提出利用三角形的三邊求面積的公式，此公式與古希臘幾何學(xué)家海倫提出的公式如出一轍，即三角形的三邊長(zhǎng)分別為，，，記，則其面積．這個(gè)公式也被稱為海倫—秦九韶公式．若，，則此三角形面積的最大值是_________．【答案】【分析】根據(jù)公式算出a+b的值，代入公式，根據(jù)完全平方公式的變形即可求出解．【解析】解：∵，p=3，c=2，∴，∴a+b=4，∴a=4?b，∴∴當(dāng)b=2時(shí)，S有最大值為．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式與完全平方公式的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，表示出相應(yīng)的三角形的面積．17．無(wú)論x、y取任何實(shí)數(shù)，多項(xiàng)式x2+y2－2x－4y+16的值總是_______數(shù)．【答案】正【解析】x2+y2－2x－4y+16=（x2－2x+1）+（y2－4y+4）－1－4+16=（x－1）2+（y－2）2+11，由于（x－1）2≥0，（y－2）2≥0，故（x－1）2+（y－2）2+11≥11，所以x2+y2－2x－4y+16的值總是正數(shù).故答案為正.點(diǎn)睛：要證明一個(gè)式子的值總是正數(shù)，可以用配方法將式子寫(xiě)成多個(gè)非負(fù)數(shù)之和與一個(gè)正數(shù)的和的形式即可證明.18．閱讀并回答問(wèn)題：小亮是一位刻苦學(xué)習(xí)的同學(xué)．一天他在解方程x=-1時(shí)，突發(fā)奇想：x=-1在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)無(wú)解，如果存在一個(gè)數(shù)i，使i2=-1，那么當(dāng)x2=-1時(shí)，有x=±i，從而x=±i是方程x2=-1的兩個(gè)根．據(jù)此可知：方程x2-4x+5=0的兩根為_(kāi)_．(根用i表示)【答案】，【分析】方程利用配方法，結(jié)合閱讀材料中的方法求出解即可．【解析】解：方程整理，得x2-4x＝－5，配方得x2－4x＋4＝－1，即(x-2)2＝－1，開(kāi)方，得x-2＝±i，解得，，故答案為：，．【點(diǎn)睛】題考查了解一元二次方程-直接開(kāi)平方法，以及配方法，熟練掌握各種解法是解本題的關(guān)鍵．三、解答題19．用配方法解下列方程：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)．【答案】(1)(2)(3)(4)(5)(6)【分析】利用配方法求解即可．（1）解：3x2?5x=2移項(xiàng)得：x2-x=，配方得：x2-x+=+，合并得：（x-）2=，解得：x1=+=2，x2=-=-；（2）解：x2+8x=9配方得：x2+8x+16=9+16，合并得：（x+4）2=25，解得x1=1，x2=-9；（3）解：x2+12x?15=0移項(xiàng)得：x2+12x+36=15+36，配方得：（x+6）2=51解得x1=-6＋，x2=-6-（4）解：x2?x?4=0去分母得：，移項(xiàng)得：，配方得：x2-4x+4=16+4，合并得：（x-2）2=20，解得：x1=2＋2，x2=2－2；（5）解：2x2+12x+10=0系數(shù)化為1得：，移項(xiàng)得：，配方得：x2+6x+9=-5+9，合并得：（x+3）2=4，解得：x1=-1，x2=--5；（6）解：x2+px+q=0，移項(xiàng)得：，配方得：x2+px+=-q+，合并得：(x+)2=，解得x=．【點(diǎn)睛】本題主要考查了配方法解一元二次方程，熟知配方法是解題的關(guān)鍵．20．解下列方程：（1）；（2）；（3）（4）；（5）；（6）．【答案】（1）；（2），；（3）；（4）；（5）原方程無(wú)實(shí)數(shù)解；（6）【分析】（1）直接利用開(kāi)平方的方法解方程即可；（2）直接利用配方法求解即可；（3）直接利用開(kāi)平方的方法解方程即可；（4）直接利用配方法求解即可；（5）先配方，然后可以得到，由此可以判斷方程無(wú)解；（6）先去括號(hào)，合并同類(lèi)項(xiàng)，然后用配方法解方程即可．【解析】解：（1）由方程可得，，∴，∴，；（2）移項(xiàng)得，配方得，∴，解得，∴，；（3）直接開(kāi)平方得，即或，解得，；（4）移項(xiàng)得，二次項(xiàng)的系數(shù)化為1得，，，，解得；（5）由原方程，得，等號(hào)的兩邊同時(shí)乘2，得，方程兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方，得，配方得．∵無(wú)論x取何值，恒大于等于零，∴原方程無(wú)實(shí)數(shù)解；（6），，，，解得，∴，．【點(diǎn)睛】本題主要考查了解一元二次方程，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握解一元二次方程的方法．21．閱讀：代數(shù)式x2+2x+3可以轉(zhuǎn)化為（x+m）2+k的形式（其中m，k為常數(shù)），如：x2+2x+3＝x2+2x+1﹣1+3＝（x2+2x+1）﹣1+3＝（x+1）2+2（1）仿照此法將代數(shù)式x2+6x+15化為（x+m）2+k的形式；（2）若代數(shù)式x2﹣6x+a可化為（x﹣b）2