第09講 解二元一次方程組（原卷版）

第09講解二元一次方程組2.3【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.理解消元的思想；2.會(huì)用代入法解二元一次方程組.3.掌握加減消元法解二元一次方程組的方法；4.能熟練、正確、靈活掌握代入法和加減法解二元一次方程組；5．會(huì)對一些特殊的方程組進(jìn)行特殊的求解．【基礎(chǔ)知識(shí)】一、消元法1.消元思想：二元一次方程組中有兩個(gè)未知數(shù)，如果消去其中一個(gè)未知數(shù)，那么就把二元一次方程組轉(zhuǎn)化為我們熟悉的一元一次方程，我們就可以先求出一個(gè)未知數(shù)，然后再求出另一個(gè)未知數(shù).這種將未知數(shù)由多化少、逐一解決的思想，叫做消元思想.2.消元的基本思路：未知數(shù)由多變少.3.消元的基本方法：把二元一次方程組轉(zhuǎn)化為一元一次方程.二、代入消元法通過“代入”消去一個(gè)未知數(shù)，將方程組轉(zhuǎn)化為一元一次方程，這種解法叫做代入消元法，簡稱代入法．要點(diǎn)：(1)代入消元法的關(guān)鍵是先把系數(shù)較簡單的方程變形為用含一個(gè)未知數(shù)的式子表示另一個(gè)未知數(shù)的形式，再代入另一個(gè)方程中達(dá)到消元的目的．(2)代入消元法的技巧是：①當(dāng)方程組中含有一個(gè)未知數(shù)表示另一個(gè)未知數(shù)的代數(shù)式時(shí)，可以直接利用代入法求解；②若方程組中有未知數(shù)的系數(shù)為1(或-1)的方程．則選擇系數(shù)為1(或-1)的方程進(jìn)行變形比較簡便；若方程組中所有方程里的未知數(shù)的系數(shù)都不是1或-1，選系數(shù)的絕對值較小的方程變形比較簡便．三、加減消元法解二元一次方程組兩個(gè)二元一次方程中同一未知數(shù)的系數(shù)相反或相等時(shí)，將兩個(gè)方程的兩邊分別相加或相減，就能消去這個(gè)未知數(shù)，得到一個(gè)一元一次方程，這種方法叫做加減消元法，簡稱加減法．要點(diǎn)：用加減消元法解二元一次方程組的一般步驟：(1)方程組的兩個(gè)方程中，如果同一個(gè)未知數(shù)的系數(shù)既不互為相反數(shù)，又不相等，那么就用適當(dāng)?shù)臄?shù)乘方程的兩邊，使同一個(gè)未知數(shù)的系數(shù)互為相反數(shù)或相等；(2)把兩個(gè)方程的兩邊分別相加或相減，消去一個(gè)未知數(shù)，得到一個(gè)一元一次方程；(3)解這個(gè)一元一次方程，求得一個(gè)未知數(shù)的值；（4)將這個(gè)求得的未知數(shù)的值代入原方程組中的任意一個(gè)方程中，求出另一個(gè)未知數(shù)的值，并把求得的兩個(gè)未知數(shù)的值用“大括號(hào)”聯(lián)立起來，就是方程組的解．四、選擇適當(dāng)?shù)姆椒ń舛淮畏匠探M解二元一次方程組的基本思想（一般思路）是消元，消元的方法有兩種：代入消元和加減消元，通過適當(dāng)練習(xí)做到巧妙選擇，快速消元．【考點(diǎn)剖析】例1．用代入消元法解方程組，將①代入②可得（

）A． B． C． D．例2．用代入法解方程組較為簡便的方法是（

）A．先把①變形 B．先把②變形C．可先把①變形，也可先把②變形 D．把①、②同時(shí)變形例3．用加減法解方程組時(shí)，由①×2－②得(

)A．3x＝17 B．17x＝17 C．3x＝－1 D．17x＝－1例4．解以下兩個(gè)方程組①；②較為簡便的方法是（

）A．①用加減法、②用代入法 B．①用代入法、②用加減法C．都用代入法 D．都用加減法例5．已知方程組，下列消元過程不正確的是（

）A．代入法消去a，由②得代入①B．代入法消去b，由①得代入②C．加減法消去a，D．加減法消去b，例6．已知關(guān)于的二元一次方程組和有相同的解，則的值是（

）A．13 B．9 C． D．例7．已知方程組中的，互為相反數(shù)，則的值為（

）A． B． C． D．例8．解方程組時(shí)，正確的解是，由于看錯(cuò)了系數(shù)得到解是，則的值是A．5 B．6 C．7 D．無法確定例9．我們知道二元一次方程組的解是．現(xiàn)給出另一個(gè)二元一次方程組，它的解是（）A． B． C． D．例10．已知方程組的解是，則的解是（

）A． B． C． D．例11．若關(guān)于x，y的二元一次方程組的解為，則方程組的解為（

）A． B． C． D．例12．已知關(guān)于x，y的方程組，以下結(jié)論其中不成立是（

）．A．不論k取什么實(shí)數(shù)，的值始終不變B．存在實(shí)數(shù)k，使得C．當(dāng)時(shí)，D．當(dāng)，方程組的解也是方程的解例13．如果是方程組的解，那么=__________．例14．已知二元一次方程2x+3y＝12，用含y的代數(shù)式表示x為_____________，這個(gè)方程的正整數(shù)解為___________．例15．解方程組適合用_______消元法，解方程組適合用_______消元法．例16．已知是關(guān)于x，y的方程組，則無論a取何值，x，y恒有關(guān)系式是____________________．例17．關(guān)于x，y的方程（m﹣1）x+4y＝2和3x+（n+3）y＝1，下列說法正確的有_____．（寫出所有正確的序號(hào)）①當(dāng)m＝1，n＝﹣3時(shí)，由這兩個(gè)方程組成的二元一次方程組無解；②當(dāng)m＝1且n≠﹣3時(shí)，由這兩個(gè)方程組成的二元一次方程組有解；③當(dāng)m＝7，n＝﹣1時(shí)，由這兩個(gè)方程組成的二元一次方程組有無數(shù)個(gè)解；④當(dāng)m＝7且n≠﹣1時(shí)，由這兩個(gè)方程組成的二元一次方程組有且只有一個(gè)解．例18．若關(guān)于，的二元一次方程組的解滿足，則的值為________．例19．已知關(guān)于，的二元一次方程組的解為那么關(guān)于、的二元一次方程組的解為______．【真題演練】一、單選題1．（2022·湖南株洲·統(tǒng)考中考真題）對于二元一次方程組，將①式代入②式，消去可以得到（

）A． B．C． D．2．（2021·遼寧錦州·統(tǒng)考中考真題）二元一次方程組的解是（

）A． B． C． D．3．（2021·湖南益陽·統(tǒng)考中考真題）解方程組時(shí)，若將①-②可得（

）A． B． C． D．4．（2020·浙江嘉興·統(tǒng)考中考真題）用加減消元法解二元一次方程組時(shí)，下列方法中無法消元的是（）A．①×2﹣② B．②×（﹣3）﹣① C．①×（﹣2）+② D．①﹣②×35．（2020·黑龍江牡丹江·統(tǒng)考中考真題）若是二元一次方程組的解，則x＋2y的算術(shù)平方根為（

）A．3 B．3，－3 C． D．，－二、填空題6．（2022·山東濰坊·中考真題）方程組的解為___________．7．（2022·廣西賀州·統(tǒng)考中考真題）若實(shí)數(shù)m，n滿足，則__________．8．（2013·湖北咸寧·中考真題）已知是二元一次方程組的解，則m+3n的立方根為_____．三、解答題9．（2022·山東淄博·統(tǒng)考中考真題）解方程組：10．（2005·江蘇蘇州·中考真題）解方程組：．11．（2018·浙江舟山·中考真題）用消元法解方程組時(shí)，兩位同學(xué)的解法如下：（1）反思：上述兩個(gè)解題過程中有無計(jì)算錯(cuò)誤？若有誤，請?jiān)阱e(cuò)誤處打“×”.（2）請選擇一種你喜歡的方法，完成解答.12．（2018·浙江嘉興·統(tǒng)考中考真題）用消元法解方程組時(shí)，兩位同學(xué)的解法如下：解法一：

解法二：由②，得，③

由①-②，得．

把①代入③，得．（1）反思：上述兩個(gè)解題過程中有無計(jì)算錯(cuò)誤?若有誤，請?jiān)阱e(cuò)誤處打“”．（2）請選擇一種你喜歡的方法,完成解答．13．（2015·廣東珠海·中考真題）閱讀材料：善于思考的小軍在解方程組時(shí)，采用了一種“整體代換”的解法：解：將方程②變形：4x+10y+y="5"即2（2x+5y）+y=5③把方程①代入③得：2×3+y=5，∴y=﹣1把y=﹣1代入①得x=4，∴方程組的解為．請你解決以下問題：（1）模仿小軍的“整體代換”法解方程組（2）已知x，y滿足方程組．（i）求的值；（ii）求的值．【過關(guān)檢測】一、單選題1．觀察下列一元二次方程組、最適合用加減消元法解的是（）A． B． C． D．2．用加減消元法解二元一次方程組時(shí)，下列做法正確的是（）A．要消去x，可以將B．要消去x，可以將C．要消去y，可以將D．要消去y，可以將3．已知x，y滿足方程組則無論m取何值，x，y恒有的關(guān)系式是（

）A． B． C． D．4．用代入消元法解方程組將②代入①，正確的是（

）A． B． C． D．5．如果|x+y-1|和2（2x+y-3）2互為相反數(shù)，那么x,y的值為（

）A． B． C． D．6．已知是關(guān)于x，y的二元一次方程組的解，則a+7b的值為（

）A．15 B．7 C．2 D．17．若關(guān)于x，y的二元一次方程組的解也是二元一次方程組x-3y=8的解，則k等于（

）A．1 B．2 C．-1 D．-28．若關(guān)于x，y的二元一次方程組的解是，則關(guān)于m，n的二元一次方程組的解是（）A． B． C． D．9．已知關(guān)于x，y的方程組，以下結(jié)論：①當(dāng)k=0時(shí)，方程組的解也是方程的解；②存在實(shí)數(shù)k，使得x+y=0；③不論k取什么實(shí)數(shù)，x+3y的值始終不變；④若3x+2y=6則k=1．其中正確的是（

）A．①②③ B．①②④ C．①③ D．①②10．若關(guān)于，的方程組，解為．則關(guān)于，的方程組的解是（

）A． B． C． D．二、填空題11．已知關(guān)于x，y的方程是二元一次方程，則的值為_____．12．若m，n滿足方程組，則的值為____________．13．已知，滿足方程組，則的值為______．14．已知關(guān)于x，y的二元一次方程組，則x+y的值是__________．15．已知x、y滿足方程組，則的值為____．16．若關(guān)于，的二元一次方程組的解也是二元一次方程的解，則___________．17．三個(gè)同學(xué)對問題“若方程組，的解是求方程組的解”提出各自的想法．甲說：“這個(gè)題目好像條件不夠，不能求解”；乙說：“它們的系數(shù)有一定的規(guī)律，可以試試”；丙說：“能不能把第二個(gè)方程組的兩個(gè)方程通過換元替換的方法來解決”．參考他們的討論，你認(rèn)為這個(gè)題目的解應(yīng)該是________________．18．若關(guān)于x、y的方程組其中a、b、m為常數(shù)）的解為，則方程組的解為______．三、解答題19．解方程組：(1)

（用代入消元法）(2)（用加減消元法）20．解方程組：(1)；(2)．21．解方程組：（1）（2）（3）（4）（5）22．在解方程組時(shí)，由于粗心，甲看錯(cuò)了方程組中的a，而得解為，乙看錯(cuò)了方程組中的b，而得解為，根據(jù)上面的信息解答：(1)甲把a(bǔ)看成了什么數(shù)，乙把b看成了什么數(shù)？(2)求出正確的a，b的值；(3)求出原方程組的正確解，并代入代數(shù)式求值．23．已知關(guān)于的方程組．（1）當(dāng)時(shí)，求方程組的解；（2）證明：無論取什么數(shù)，的值始終不變．24．（1）已知關(guān)于x、y的方程組的解是，求a、b的值；（2）已知關(guān)于x、y的方程組的解是，請你運(yùn)用學(xué)過的方法求方程組中m、n的值．25．【閱讀材料】解二元一次方程組：思路分析：解這個(gè)方程組直接用加減法或代入法運(yùn)算都比較復(fù)雜，但觀察方程組的未知數(shù)的系數(shù)，可以看出，若先把兩個(gè)方程相加可得到：33x＋33y＝264，化簡得x＋y＝8，所以x＝8－y

③