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重慶江北區(qū)2023-2024學(xué)年高考壓軸卷數(shù)學(xué)試卷注意事項:1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號碼填寫清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2.答題時請按要求用筆。3.請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試卷上答題無效。4.作圖可先使用鉛筆畫出,確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5.保持卡面清潔,不要折暴、不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知與函數(shù)和都相切,則不等式組所確定的平面區(qū)域在內(nèi)的面積為()A. B. C. D.2.函數(shù)的圖象為C,以下結(jié)論中正確的是()①圖象C關(guān)于直線對稱;②圖象C關(guān)于點對稱;③由y=2sin2x的圖象向右平移個單位長度可以得到圖象C.A.① B.①② C.②③ D.①②③3.中國的國旗和國徽上都有五角星,正五角星與黃金分割有著密切的聯(lián)系,在如圖所示的正五角星中,以、、、、為頂點的多邊形為正五邊形,且,則()A. B. C. D.4.函數(shù)的圖象可能為()A. B.C. D.5.如圖,正方體的底面與正四面體的底面在同一平面上,且,若正方體的六個面所在的平面與直線相交的平面?zhèn)€數(shù)分別記為,則下列結(jié)論正確的是()A. B. C. D.6.函數(shù)f(x)=lnA. B. C. D.7.已知函數(shù),則下列結(jié)論錯誤的是()A.函數(shù)的最小正周期為πB.函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱C.函數(shù)在上單調(diào)遞增D.函數(shù)的圖象可由的圖象向左平移個單位長度得到8.△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為,已知,則為()A. B. C.或 D.或9.中國古代中的“禮、樂、射、御、書、數(shù)”合稱“六藝”.“禮”,主要指德育;“樂”,主要指美育;“射”和“御”,就是體育和勞動;“書”,指各種歷史文化知識;“數(shù)”,指數(shù)學(xué).某校國學(xué)社團開展“六藝”課程講座活動,每藝安排一節(jié),連排六節(jié),一天課程講座排課有如下要求:“數(shù)”必須排在第三節(jié),且“射”和“御”兩門課程相鄰排課,則“六藝”課程講座不同的排課順序共有()A.12種 B.24種 C.36種 D.48種10.上世紀(jì)末河南出土的以鶴的尺骨(翅骨)制成的“骨笛”(圖1),充分展示了我國古代高超的音律藝術(shù)及先進的數(shù)學(xué)水平,也印證了我國古代音律與歷法的密切聯(lián)系.圖2為骨笛測量“春(秋)分”,“夏(冬)至”的示意圖,圖3是某骨笛的部分測量數(shù)據(jù)(骨笛的彎曲忽略不計),夏至(或冬至)日光(當(dāng)日正午太陽光線)與春秋分日光(當(dāng)日正午太陽光線)的夾角等于黃赤交角.由歷法理論知,黃赤交角近1萬年持續(xù)減小,其正切值及對應(yīng)的年代如下表:黃赤交角正切值0.4390.4440.4500.4550.461年代公元元年公元前2000年公元前4000年公元前6000年公元前8000年根據(jù)以上信息,通過計算黃赤交角,可估計該骨笛的大致年代是()A.公元前2000年到公元元年 B.公元前4000年到公元前2000年C.公元前6000年到公元前4000年 D.早于公元前6000年11.如圖所示,網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1,粗線畫出的是某幾何體的三視圖,則該幾何體的體積是()A. B. C. D.812.設(shè)函數(shù)在定義城內(nèi)可導(dǎo),的圖象如圖所示,則導(dǎo)函數(shù)的圖象可能為()A. B.C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.某種牛肉干每袋的質(zhì)量服從正態(tài)分布,質(zhì)檢部門的檢測數(shù)據(jù)顯示:該正態(tài)分布為,.某旅游團游客共購買這種牛肉干100袋,估計其中質(zhì)量低于的袋數(shù)大約是_____袋.14.已知函數(shù),若方程的解為,(),則_______;_______.15.在等差數(shù)列()中,若,,則的值是______.16.的展開式中常數(shù)項是___________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)求函數(shù)的最大值.18.(12分)如圖,在四棱錐中,四邊形為正方形,平面,點是棱的中點,,.(1)若,證明:平面平面;(2)若三棱錐的體積為,求二面角的余弦值.19.(12分)在孟德爾遺傳理論中,稱遺傳性狀依賴的特定攜帶者為遺傳因子,遺傳因子總是成對出現(xiàn)例如,豌豆攜帶這樣一對遺傳因子:使之開紅花,使之開白花,兩個因子的相互組合可以構(gòu)成三種不同的遺傳性狀:為開紅花,和一樣不加區(qū)分為開粉色花,為開白色花.生物在繁衍后代的過程中,后代的每一對遺傳因子都包含一個父系的遺傳因子和一個母系的遺傳因子,而因為生殖細胞是由分裂過程產(chǎn)生的,每一個上一代的遺傳因子以的概率傳給下一代,而且各代的遺傳過程都是相互獨立的.可以把第代的遺傳設(shè)想為第次實驗的結(jié)果,每一次實驗就如同拋一枚均勻的硬幣,比如對具有性狀的父系來說,如果拋出正面就選擇因子,如果拋出反面就選擇因子,概率都是,對母系也一樣.父系?母系各自隨機選擇得到的遺傳因子再配對形成子代的遺傳性狀.假設(shè)三種遺傳性狀,(或),在父系和母系中以同樣的比例:出現(xiàn),則在隨機雜交實驗中,遺傳因子被選中的概率是,遺傳因子被選中的概率是.稱,分別為父系和母系中遺傳因子和的頻率,實際上是父系和母系中兩個遺傳因子的個數(shù)之比.基于以上常識回答以下問題:(1)如果植物的上一代父系?母系的遺傳性狀都是,后代遺傳性狀為,(或),的概率各是多少?(2)對某一植物,經(jīng)過實驗觀察發(fā)現(xiàn)遺傳性狀具有重大缺陷,可人工剔除,從而使得父系和母系中僅有遺傳性狀為和(或)的個體,在進行第一代雜交實驗時,假設(shè)遺傳因子被選中的概率為,被選中的概率為,.求雜交所得子代的三種遺傳性狀,(或),所占的比例.(3)繼續(xù)對(2)中的植物進行雜交實驗,每次雜交前都需要剔除性狀為的個體假設(shè)得到的第代總體中3種遺傳性狀,(或),所占比例分別為.設(shè)第代遺傳因子和的頻率分別為和,已知有以下公式.證明是等差數(shù)列.(4)求的通項公式,如果這種剔除某種遺傳性狀的隨機雜交實驗長期進行下去,會有什么現(xiàn)象發(fā)生?20.(12分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C的參數(shù)方程為(為參數(shù)).以原點O為極點,x軸的正半軸為極軸,且兩個坐標(biāo)系取相等的長度單位,建立極坐標(biāo)系.(1)設(shè)直線l的極坐標(biāo)方程為,若直線l與曲線C交于兩點A.B,求AB的長;(2)設(shè)M、N是曲線C上的兩點,若,求面積的最大值.21.(12分)已知直線的參數(shù)方程為為參數(shù)),以坐標(biāo)原點為極點,軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為.(1)求直線的普通方程和曲線的直角坐標(biāo)方程;(2)設(shè)點,直線與曲線交于兩點,求的值.22.(10分)在直角坐標(biāo)系中,橢圓的左、右焦點分別為,點在橢圓上且軸,直線交軸于點,,橢圓的離心率為.(1)求橢圓的方程;(2)過的直線交橢圓于兩點,且滿足,求的面積.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】
根據(jù)直線與和都相切,求得的值,由此畫出不等式組所表示的平面區(qū)域以及圓,由此求得正確選項.【詳解】.設(shè)直線與相切于點,斜率為,所以切線方程為,化簡得①.令,解得,,所以切線方程為,化簡得②.由①②對比系數(shù)得,化簡得③.構(gòu)造函數(shù),,所以在上遞減,在上遞增,所以在處取得極小值也即是最小值,而,所以有唯一解.也即方程③有唯一解.所以切線方程為.即.不等式組即,畫出其對應(yīng)的區(qū)域如下圖所示.圓可化為,圓心為.而方程組的解也是.畫出圖像如下圖所示,不等式組所確定的平面區(qū)域在內(nèi)的部分如下圖陰影部分所示.直線的斜率為,直線的斜率為.所以,所以,而圓的半徑為,所以陰影部分的面積是.故選:B【點睛】本小題主要考查根據(jù)公共切線求參數(shù),考查不等式組表示區(qū)域的畫法,考查圓的方程,考查兩條直線夾角的計算,考查扇形面積公式,考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法,考查分析思考與解決問題的能力,屬于難題.2、B【解析】
根據(jù)三角函數(shù)的對稱軸、對稱中心和圖象變換的知識,判斷出正確的結(jié)論.【詳解】因為,又,所以①正確.,所以②正確.將的圖象向右平移個單位長度,得,所以③錯誤.所以①②正確,③錯誤.故選:B【點睛】本小題主要考查三角函數(shù)的對稱軸、對稱中心,考查三角函數(shù)圖象變換,屬于基礎(chǔ)題.3、A【解析】
利用平面向量的概念、平面向量的加法、減法、數(shù)乘運算的幾何意義,便可解決問題.【詳解】解:.故選:A【點睛】本題以正五角星為載體,考查平面向量的概念及運算法則等基礎(chǔ)知識,考查運算求解能力,考查化歸與轉(zhuǎn)化思想,屬于基礎(chǔ)題.4、C【解析】
先根據(jù)是奇函數(shù),排除A,B,再取特殊值驗證求解.【詳解】因為,所以是奇函數(shù),故排除A,B,又,故選:C【點睛】本題主要考查函數(shù)的圖象,還考查了理解辨析的能力,屬于基礎(chǔ)題.5、A【解析】
根據(jù)題意,畫出幾何位置圖形,由圖形的位置關(guān)系分別求得的值,即可比較各選項.【詳解】如下圖所示,平面,從而平面,易知與正方體的其余四個面所在平面均相交,∴,∵平面,平面,且與正方體的其余四個面所在平面均相交,∴,∴結(jié)合四個選項可知,只有正確.故選:A.【點睛】本題考查了空間幾何體中直線與平面位置關(guān)系的判斷與綜合應(yīng)用,對空間想象能力要求較高,屬于中檔題.6、C【解析】因為fx=lnx2-4x+4x-23=7、D【解析】
由可判斷選項A;當(dāng)時,可判斷選項B;利用整體換元法可判斷選項C;可判斷選項D.【詳解】由題知,最小正周期,所以A正確;當(dāng)時,,所以B正確;當(dāng)時,,所以C正確;由的圖象向左平移個單位,得,所以D錯誤.故選:D.【點睛】本題考查余弦型函數(shù)的性質(zhì),涉及到周期性、對稱性、單調(diào)性以及圖象變換后的解析式等知識,是一道中檔題.8、D【解析】
由正弦定理可求得,再由角A的范圍可求得角A.【詳解】由正弦定理可知,所以,解得,又,且,所以或。故選:D.【點睛】本題主要考查正弦定理,注意角的范圍,是否有兩解的情況,屬于基礎(chǔ)題.9、C【解析】
根據(jù)“數(shù)”排在第三節(jié),則“射”和“御”兩門課程相鄰有3類排法,再考慮兩者的順序,有種,剩余的3門全排列,即可求解.【詳解】由題意,“數(shù)”排在第三節(jié),則“射”和“御”兩門課程相鄰時,可排在第1節(jié)和第2節(jié)或第4節(jié)和第5節(jié)或第5節(jié)和第6節(jié),有3種,再考慮兩者的順序,有種,剩余的3門全排列,安排在剩下的3個位置,有種,所以“六藝”課程講座不同的排課順序共有種不同的排法.故選:C.【點睛】本題主要考查了排列、組合的應(yīng)用,其中解答中認真審題,根據(jù)題設(shè)條件,先排列有限制條件的元素是解答的關(guān)鍵,著重考查了分析問題和解答問題的能力,屬于基礎(chǔ)題.10、D【解析】
先理解題意,然后根據(jù)題意建立平面幾何圖形,在利用三角函數(shù)的知識計算出冬至日光與春秋分日光的夾角,即黃赤交角,即可得到正確選項.【詳解】解:由題意,可設(shè)冬至日光與垂直線夾角為,春秋分日光與垂直線夾角為,則即為冬至日光與春秋分日光的夾角,即黃赤交角,將圖3近似畫出如下平面幾何圖形:則,,.,估計該骨笛的大致年代早于公元前6000年.故選:.【點睛】本題考查利用三角函數(shù)解決實際問題的能力,運用了兩角和與差的正切公式,考查了轉(zhuǎn)化思想,數(shù)學(xué)建模思想,以及數(shù)學(xué)運算能力,屬中檔題.11、A【解析】
由三視圖還原出原幾何體,得出幾何體的結(jié)構(gòu)特征,然后計算體積.【詳解】由三視圖知原幾何體是一個四棱錐,四棱錐底面是邊長為2的正方形,高為2,直觀圖如圖所示,.故選:A.【點睛】本題考查三視圖,考查棱錐的體積公式,掌握基本幾何體的三視圖是解題關(guān)鍵.12、D【解析】
根據(jù)的圖象可得的單調(diào)性,從而得到在相應(yīng)范圍上的符號和極值點,據(jù)此可判斷的圖象.【詳解】由的圖象可知,在上為增函數(shù),且在上存在正數(shù),使得在上為增函數(shù),在為減函數(shù),故在有兩個不同的零點,且在這兩個零點的附近,有變化,故排除A,B.由在上為增函數(shù)可得在上恒成立,故排除C.故選:D.【點睛】本題考查導(dǎo)函數(shù)圖象的識別,此類問題應(yīng)根據(jù)原函數(shù)的單調(diào)性來考慮導(dǎo)函數(shù)的符號與零點情況,本題屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、1【解析】
根據(jù)正態(tài)分布對稱性,求得質(zhì)量低于的袋數(shù)的估計值.【詳解】由于,所以,所以袋牛肉干中,質(zhì)量低于的袋數(shù)大約是袋.故答案為:【點睛】本小題主要考查正態(tài)分布對稱性的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.14、【解析】
求出在上的對稱軸,依據(jù)對稱性可得的值;由可得,依據(jù)可求出的值.【詳解】解:令,解得因為,所以關(guān)于對稱.則.由,則由可知,,又因為,所以,則,即故答案為:;.【點睛】本題考查了三角函數(shù)的對稱軸,考查了誘導(dǎo)公式,考查了同角三角函數(shù)的基本關(guān)系.本題的易錯點在于沒有正確判斷的取值范圍,導(dǎo)致求出.在求的對稱軸時,常用整體代入法,即令進行求解.15、-15【解析】
是等差數(shù)列,則有,可得的值,再由可得,計算即得.【詳解】數(shù)列是等差數(shù)列,,又,,,故.故答案為:【點睛】本題考查等差數(shù)列的性質(zhì),也可以由已知條件求出和公差,再計算.16、-160【解析】試題分析:常數(shù)項為.考點:二項展開式系數(shù)問題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、【解析】
試題分析:由柯西不等式得試題解析:因為,所以.等號當(dāng)且僅當(dāng),即時成立.所以的最大值為.考點:柯西不等式求最值18、(1)見解析(2)【解析】
(1)由已知可證得平面,則有,在中,由已知可得,即可證得平面,進而證得結(jié)論.(2)過作交于,由為的中點,結(jié)合已知有平面.則,可求得.建立坐標(biāo)系分別求得面的法向量,平面的一個法向量為,利用公式即可求得結(jié)果.【詳解】(1)證明:平面,平面,,又四邊形為正方形,.又、平面,且,平面..中,,為的中點,.又、平面,,平面.平面,平面平面.(2)解:過作交于,如圖為的中點,,.又平面,平面.,.所以,又、、兩兩互相垂直,以、、為坐標(biāo)軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.,,,設(shè)平面的法向量,則,即.令,則,..平面的一個法向量為.二面角的余弦值為.【點睛】本題考查面面垂直的證明方法,考查了空間線線、線面、面面位置關(guān)系,考查利用向量法求二面角的方法,難度一般.19、(1),(或),的概率分別是,,.(2)(3)答案見解析(4)答案見解析【解析】
(1)利用相互獨立事件的概率乘法公式即可求解.(2)利用相互獨立事件的概率乘法公式即可求解.(3)由(2)知,求出、,利用等差數(shù)列的定義即可證出.(4)利用等差數(shù)列的通項公式可得,從而可得,再由,利用式子的特征可得越來越小,進而得出結(jié)論.【詳解】(1)即與是父親和母親的性狀,每個因子被選擇的概率都是,故出現(xiàn)的概率是,或出現(xiàn)的概率是,出現(xiàn)的概率是所以:,(或),的概率分別是,,(2)(3)由(2)知于是∴是等差數(shù)列,公差為1(4)其中,(由(2)的結(jié)論得)所以于是,很明顯,越大,越小,所以這種實驗長期進行下去,越來越小,而是子代中所占的比例,也即性狀會漸漸消失.【點睛】本題主要考查了相互獨立事件的概率乘法公式、等差數(shù)列的定義、等差數(shù)列的通項公式,考查了學(xué)生的分析能力,屬于中檔題,20、(1);(2)1.【解析】
(1)利用參數(shù)方程、普通方程、極坐標(biāo)方程間的互化公式即可;(2),,由(1)通過計算得到,即最大值為1.【詳解】(1)將曲線C的參數(shù)方程化為普通方程為,即
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