著名機(jī)構(gòu)八年級(jí)數(shù)學(xué)秋季班講義第15講：舉例證明（二）

幾何證明(二)

內(nèi)容分析

命題與證明是八年級(jí)數(shù)學(xué)上學(xué)期第十九章第一節(jié)內(nèi)容，主要對(duì)演繹證明和命

題、公理、定理的概念及舉例證明進(jìn)行講解，重點(diǎn)是真假命題的判定，難點(diǎn)是改

寫出已知命題和舉例證明.通過(guò)這節(jié)課的學(xué)習(xí)一方面為我們后面學(xué)習(xí)垂直平分線

和角平分線等幾何內(nèi)容提供依據(jù)，另一方面也為后面學(xué)習(xí)直角三角形性質(zhì)奠定基

礎(chǔ).

知識(shí)結(jié)構(gòu)

模塊一：證明垂直

知識(shí)精講

1、證明垂直：

證明兩直線垂直的一般方法為：

(1)通過(guò)夾角是90°；

(2)垂直的傳遞性：

(3)等腰三角形底邊上三線合一.

例題解析

【例1】以下依據(jù)不能得到兩直線垂直的是（）.

A.夾角是90度；

B.鄰補(bǔ)角的角平分線互相垂直；

C.等腰三角形底邊上的中線垂直于底邊；

D.同旁內(nèi)角的角平分線互相垂直.

【難度】★

【答案】D

【解析】D正確答案為平行線同旁內(nèi)角的角平分線互相垂直

【總結(jié)】主要考查證明垂直的方法.

【例2】如圖，AB=AC,。是8c上一點(diǎn)，當(dāng)或時(shí)，ADLBC.

【難度】★

【答案】BD=DC；ZBAD=ZCAD.

【解析】等腰三角形的底邊上的高線、頂角的角平分線

和底邊上的中線三線合一.

【總結(jié)】考察等腰三角形的三線合一的性質(zhì).

【例3】如例2圖，在△ABC中，AD1BC,。是中點(diǎn)，則下列結(jié)論不正確的

是（）.

A.SABD=\ACD；

B.NB=NC；

C.AL）是N8AC的平分線；

D.AABC是等邊三角形.

【難度】★

【答案】D

【解析】由5.AS可知兩個(gè)三角形全等，則可得A、B、C正確.

【總結(jié)】考察三角形全等的判定.

【例4】如圖，在△ABC中，NABC=45°,在高A。上截取O”=DC,聯(lián)結(jié)BH并延長(zhǎng)交

AC于點(diǎn)E,求證：

(1)BH=AC；

(2)BHLAC.

【難度】★★

【答案】略.

【解析】(1)VZABC=45°,ADVBC,：.AD=BD.

VAD=BD,ABDH=ZADC,DH=DC,

：./\BDH^/\ADC,：.BH=AC,ZHBD=ZDAC.

(2)VZDAC+ZC=90°,Z.ZHBD+ZC=90°,

NBEC=180P-(NHBD+ZC)=9(T,

J.BHVAC.

【總結(jié)】考察全等三角形的判定及其性質(zhì)，注意等腰直角三角形的性質(zhì)的運(yùn)用.

【例5】如圖，點(diǎn)。、E、F在BC上，NB=NC,N1=N2,BD=EC,F是。E的中點(diǎn).

求證：AF1BC.

【難度】★★

【答案】見(jiàn)解析.

【解析】VZB=ZC,Z1=Z2,BD=EC,

：.△A8DZ"CE（AAS）,

AD=AE.

是￡>E的中點(diǎn),

：.AF1BC.

【總結(jié)】考察三角形全等的判定以及等腰三角形的三線合一.

【例6】如圖，己知△ABC中，AB^AC,BD、C尸分別是AC、AB邊上的高，BD與CF交

于點(diǎn)0,延長(zhǎng)A0交BC于點(diǎn)E,求證：AEVEC.

【難度】★★

【答案】見(jiàn)解析

【解析】；AB=AC,NBAD=NCAF,ZADB=ZAFC=90Q

：./\ACF^/\ABD

：.ZABO=ZACO

"：AB^AC,：.NABC=NACB

ZOBC=NOCB,；.OB=OC

VAB=AC,ZABO=ZACO,0B=0C

：./\ABO^/\ACO

：.NBAE=NCAE

'：AB=AC,

：.AE±EC.

【總結(jié)】考察三角形全等的判定和性質(zhì)以及等腰三角形的三線合一.

【例7】如圖，己知△48。、"CE都是等腰直角三角形,ND4B=NE4C=90。，判斷BE和

CQ的位置及長(zhǎng)度關(guān)系，并證明.

【難度】★★★

【答案】BE=CD,BE1DC；證明過(guò)程見(jiàn)解析.

【解析】：N￡)A8=/EAC=90。，

ADAB+ABAC=AEAC+ABAC,

即ZDAC=ZBAE

"：AB=AD,ZDAC=ZBAE,AE=AC

：.XBAEQXDAC

：.BE=CD,NADC=NABE

'：ZADC+ZCDA+ZDBA=90°,

NA8E+NCDA+ADBA=90°,B|JBEA.DC.

【總結(jié)】考察全等三角形的判定.兩個(gè)等腰直角三角形共直角頂點(diǎn)則可產(chǎn)生全等三角形.

【例8】如圖，三角形ABC中，AC=BC,NAC8=90°,A。是8c邊的中線，CE1.AD,

BF1BC,CF與A以8尸分別相交于點(diǎn)E、F,聯(lián)結(jié)。E,求證：Z1=Z2.

【難度】★★★C

【答案】見(jiàn)解析.

【解析】；NBCF+NACF=9()°,ZACF+ZCAD=90°/\\

/\1(*

2BCF=NCAD

；NBCF=NCAD,AC=BC,ZACD=ZCBF

△CAO名△BCF,；.Z1=ZF,CD=BF4

:CD=BD,：.BD=BF

'：AC=BC,ZACB=90°,NC8A=45°

,?ZCBF=90°,NFBE=45°

DB=BF,NDBE=NFBE,BE=BE,：.N2=ZF

:Z1=ZF,Z1=Z2

【總結(jié)】考察全等三角形判定以及等腰直角三角形的性質(zhì).

模塊二：證明邊、角關(guān)系

知識(shí)精講

證明邊角關(guān)系的常用方法：

（1）利用等腰三角形的性質(zhì)；

（2）利用三角形全等的性質(zhì)得出邊或者角的關(guān)系，得出要求解的邊角關(guān)系;

（3）利用兩次全等得出結(jié)論.

例題解析

【例9】具備下列條件的兩個(gè)三角形中，一定全等的是（）.

A.有一邊對(duì)應(yīng)相等的等腰三角形；

B.有兩邊對(duì)應(yīng)相等的等腰三角形；

C.有一邊相等的等邊三角形；

D.有兩邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形.

【難度】★

【答案】C

【解析】A、B、D不確定是否是對(duì)應(yīng)邊.

【總結(jié)】考察全等三角形的判定方法.

【例10］如圖，AiABC絲△ADE,若/BAE=120°,ABAD=40°，則NB+/C=.

【難度］★―

【答案］100°/

【解析】：若/R4E=120°,ZBAD=40°,///

AZD-4E=120°-40o=80°.//

,/AABC^/\ADE,：.NBAC=ZDAE=80°BZ________］c

：.ZB+ZC=180P-ZBAC=180P-80°=100p.［/

【總結(jié)】考察全等三角形的性質(zhì)及三角形的內(nèi)角和.0

【例11]如圖，P是N8AC平分線AO上的一點(diǎn)，PELAB于點(diǎn)E,PFJLAC于點(diǎn)F,下列

結(jié)論中不正確的是（）.

A.PE=PF-,

B.AE=AF；

C.△APEg/XAP尸;

D.AP=PE+PF.

【難度】★★

【答案】D

（解析]由A.A.S可知：4EP94AFP,

則可知A、B、C正確.則可知。不正確.

【總結(jié)】考察全等三角形的判定.

【例12]己知，如圖，E是等腰△A8C的腰AC上任意一點(diǎn)，DELBC,垂足為。，延長(zhǎng)

DE交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.

求證：為等腰三角形.

【難度】★★

【答案】見(jiàn)解析

【解析】:△ABC是等腰三角形，

：DELBC,：.NF+NB=90°,

：.ZF=ZDEC,又,/NDEC=

：.ZF=ZAEF,

：.AE=AF,即△4EF為等腰三角形.

【總結(jié)】考察角度之間關(guān)系的轉(zhuǎn)換以及等腰三角形的性質(zhì)和判定.

【例13]已知，如圖E是四邊形ABCQ的邊AO上的一點(diǎn)，且aABC和aCQE都是等邊

三角形，求證：BE=AD.

【難度】★★

【答案】見(jiàn)解析.

【解析】?/NACB=ZECD=60°,

：.ZACB+ZACE=NECD+ZACE,即ZBCE

VAC=BC,NBCE=NACD,EC=CD

△ACD四△8C￡（S.AS）,：.BE=AD

【總結(jié)】考察三角形全等的判定以及等邊三角形的性質(zhì).

【例14】已知，如圖，在△ABC中，NDEF=NB=NC,點(diǎn)。、E、F分別在邊AB、BC、

4c上，5.BD=CE.A

求證：DE=EF.

【難度】★★

【答案】見(jiàn)解析.

［解析］,/NDEC=N8+NBDE,NDEC=NDEF+NFEC,

ZDEF=ZB,NBDE=NFEC

'：4BDE=NFEC,NB=NC,BD=CE

：.△BE。絲△CFE（AS.4）,DE=EF

【總結(jié)】本題主要考察三角形的外角性質(zhì)以及三角形全等的判定.

【例15]己知：如圖，點(diǎn)E在△ABC的邊4c上，且乙4EB=NABC.

（1）求證：ZABE=ZC;

(2)若NBAE的平分線A尸交B尸于點(diǎn)F,FD〃BC交AC于點(diǎn)D,設(shè)A8=5,AC=8,

求0c的長(zhǎng).

【難度】★★

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）3.

【解析】（1）VZBAC+ZABE+ZAEB=180°,

ZBAC+ZC+ZABC=180P,AAEB=AABC

：.NABE=NC.

（2）VFD//BC,：.ZC=ZADF

由（1）可得：NABE=NC,：.ZABE=ZADF

VZBAF=ZDAF,ZABE=ZADF,AF=AF

：./\ABFg△AMAAS）,AAD=AB=5,

：.DC=AC-AD=AC-AB=3.

【總結(jié)】考察三角形全等的判定和性質(zhì)的綜合運(yùn)用.

【例16]已知：如圖，△ABC是等邊三角形，點(diǎn)M是射線BC上任意一點(diǎn)，點(diǎn)N是射線CA

上任意一點(diǎn)，且BM=CN,直線BN與M4的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)Q,求N8QM的大小.

【難度】★★

【答案】60°.

【解析】?:BM=CN,ZABM=NBCN=60,AB=BC

：.^ABM絲△C8N(SAS)

，ZM=NN

：.NBQM=NN+ZNAQ=ZM+ZCAM=ZACB=60°.

【總結(jié)】考察三角形全等的判定和性質(zhì)以及三角形的外角的

性質(zhì)的綜合運(yùn)用.

【例17】在△ABC中，ZABC=ZCfBDJ_AC于￡),求證：ZA=2ZDBC.

【難度】★★

【答案】見(jiàn)解析.

【解析】過(guò)A作4E1_8C,垂足為￡

VZC+ZDBC=90°,ZC+ZEAC=90°,

：.4DBC=4EAC.VZABC=ZC,：.AB=AC

?/AE±BCf：.NA=2NE4C，NA=2ZDBC.

【總結(jié)】考察等腰三角形的性質(zhì)的運(yùn)用.

【例18]已知，如圖，在△ABC中，ZB=2ZC,AQ平分NBAC

求證：AB+BD=AC.

【難度】★★

【答案】見(jiàn)解析

【解析】在AC上截取一點(diǎn)E,使得AE=A8,聯(lián)結(jié)

VAB=AE9/BAD=/CAD,AD=AD

：.AABD^AAEDiS.A.S)

:?ZB=ZAED,BD=DE

9：ZB=2ZC,：.NAED=2ZC

?/ZAED=ZC+NEDC,:.ZC=乙EDC,:.ED=EC

?：BD=DE,：.BD=EC

VAC=AE+ECtAE=AB,ED=EC

：.AB+BD=AC.

【總結(jié)】考察截長(zhǎng)補(bǔ)短輔助線的添法以及三角形外角性質(zhì)和三角形全等的性質(zhì)的綜合運(yùn)用.

【例19］己知，在直角△4BC中，A8=4C,NB4C=90°，直線AE是經(jīng)過(guò)點(diǎn)4的任一直線，

BO_LAE于點(diǎn)。，CE_LAE于點(diǎn)E,若BDWCE,試問(wèn)：

A

(1)4。與CE的大小關(guān)系如何?并證明；/V

(2)DE、BD、CE的數(shù)量關(guān)系如何?并證明.V\

【難度］/

【答案］(1)相等，證明見(jiàn)解析；\

(2)DE=BD-CE,證明見(jiàn)解析.B------------------------------V~4c

【解析】(1)；N8AE+NEAC=90。，ZEAC+ZECA=90°

：.ZBAE=ZECA.,：ZBAE=ZECA,ZAEC=NADB,AB=AC

：./XADBdCEA(AAS),AD=CE.

(2)DE=BD-CE.

由(1)可得：BD=AE,VBD=AE,AD=CE,AE-AD=DE,

：.DE=BD-CE

【總結(jié)】考察全等三角形的判定和性質(zhì)的綜合運(yùn)用.

【例20］已知A、C、E在同一直線上，△ABC和△COE都是等邊三角形，M、N分別是

A。、8E的中點(diǎn)，求證：△CMN是等邊三角形.

【難度】★★★

【答案】見(jiàn)解析.

【解析】?/ZACB=ZECD=60°,

AACB+ZBCD=NECD+NBCD,

即ZBCE=ZACD.

VAC=BC,NBCE=NACD,EC=CD

:.AACD沿△BCE(S.AS),：.BE^AD,Z1=Z2

N分別是AO、BE的中點(diǎn)，BE=AD,：.AM=BN.

VAC=BC,N1=Z2,AM=BN,：./\ACM^ABOV(S.AS),

，CM=CN,Z3=Z4

*/Z3+NMCB=60°,；.Z4+NMCB=60°,即NMCN=60°

CM=CN,：./XCMN是等邊三角形.

【總結(jié)】考察三角形全等三角形判定和性質(zhì)以及等邊三角形的性質(zhì)與判定的綜合運(yùn)用.

【例21]如圖，在A4BC中，AB=AC,NBAC=108。，點(diǎn)。在4c上且BC=AB+C。.

求證：8。平分N45C.

【難度】★★★

【答案】見(jiàn)解析

［解析］在BC上截取一點(diǎn)E使得BE=AB,聯(lián)結(jié)ED、AE.

'：AB=AC,ZBAC=108°,7.ZABC=ZC=36°.

VBC=AB+CD,AB=BE,：.CD=EC,______________

BEC

-：ZC=36°,NCDE=NCED=72°

ZDEB=180°-ZBAC=108o,；.NBAC=ZDEB

"：AB=BE,：.ZBAE=ZBEA

：.ABAC-ZBAE=ZDEB-ZBAE,即NZME=/DE4，：.AD=DE.

VAB=BE,AD=DE,BD=BD,:.AABD//\EB隊(duì)S.S.S）.

：.NABD=ZCBD,即BD平分NABC.

【總結(jié)】考察截長(zhǎng)補(bǔ)短輔助線的做法以及三角形全等判定的綜合運(yùn)用.

【例22］如圖，已知A8=AC,ZA=100°,B。平分N4BC.求證：BC=BD+AD.

【難度】★★★

【答案】見(jiàn)解析

【解析】在BC上截取一點(diǎn)E使得BE=BD,

截取一點(diǎn)F使得BF=A8,聯(lián)結(jié)ED、DF.

VAB=AC,ZBAC=100°,，NABC=NC=40°,

BD平分ZABC,ZABD=NDBE=20°

BD=BE,NBED=NBDE=80°

:ZBED=NC+ZEDC,7.NEDC=40°,NEDC=NC,/.DE=EC

,:AB=BF,ZABD=ZDBF，BD=BD，：.^ABD^/\FBD（S.A.S）

：.ZBAC=ZBFD=\0VP,AD=DF,：.Z￡>FE=180p-100p=80°.

:ZB￡D=80°,ZDEF^ZBED,：-DE=DF

'：DE=EC,：.DF=EC

"：AD=DF,；.AD=CE

VBC=BE+CE,BD=BE,AD=CE

：.BC=BD+AD

【總結(jié)】本題綜合性較強(qiáng),主要考查截長(zhǎng)補(bǔ)短輔助線的添加以及等腰三角形性質(zhì)的綜合運(yùn)用.

【例23]己知：如圖，△ABC是等腰直角三角形，乙4cB=90°,△AOB是等邊三角形,

點(diǎn)C在△AO3的內(nèi)部，OELAC交直線AC于點(diǎn)E.

（1）求證：DE=CE；

（2）若點(diǎn)C在△AOB外部，OE=CE的關(guān)系是否成立?如不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；如

成立，請(qǐng)證明.

【難度】★★★

【答案】見(jiàn)解析.

【解析】（1）聯(lián)結(jié)。C并延長(zhǎng)交AB于F.

?；AD=DB,DC=DC,AC=CB

：.△ADgXBDC

：.ZADF^ZBDF

：.DFLAB

：.NFCB=45°

：.NDCE=18*NFCB-ZECB=45°

DEICE

：.NDCE=NEDC=45°

：.DE=CE

（2）證明方法同（1）一樣.

【總結(jié)】考察全等三角形的判定和性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)的綜合運(yùn)用.

模塊三：文字題的證明

⑥）知識(shí)精講

文字題的證明解決的步驟是：

（1）已知（條件）.不要漏寫、多寫，盡量多用幾何符號(hào)表示;

（2）求證（結(jié)論）.不能寫錯(cuò)，畫圖要精準(zhǔn)；

（3）證明.

例題解析

【例24】求證：三角形一邊的兩端到這邊的中線所在直線的距離相等.

【難度】★★

【答案】見(jiàn)解析.

【解析】如圖，己知△ABC中，。為8c的中點(diǎn)，過(guò)C作AO的垂線，垂足為尸，過(guò)8作

【例25】求證：等腰三角形的頂點(diǎn)到兩腰中線的距離相等.

【難度】★★

【答案】見(jiàn)解析.

【解析】如圖，己知△4BC中，AB=AC,。為AC的中點(diǎn)，E為AB的中點(diǎn)，過(guò)A作CE的

垂線，垂足為N,過(guò)A作BD的垂線，垂足為

求證：AM=AN

證明：VAB=AC,AD^AE,NBAC=NBAC

：./\ABD^/\ACE,，ZABD=ZACE

VAB=AC,ZANC=ZAMB,ZABD=ZACE

：./\ABMg/XACN,：.AM=AN

【總結(jié)】考察全等三角形的判定和性質(zhì)的綜合運(yùn)用.

【例26】求證：等腰三角形底邊上任一點(diǎn)到兩腰的距離和等于一腰上的高.

【難度】★★

【答案】見(jiàn)解析.

【解析】如圖，已知448C中，AB=AC,。為4c上一點(diǎn)，DFA.AC,CG±AB,

【例27】求證：有兩角及夾邊上的高對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等.

【難度】★★★

【答案】見(jiàn)解析

【解析】如圖，在AABC和△OEF中，ZB=ZE,ZA=ZD,CM是AB邊上的高，NF是

OE■邊上的高，且CM=NF.

求證：△ABC9XDEF.

證明：；NB=ZE,NCMB=NFNE=90,CM=NF

：.XBMgXENF,；.BM=EN

同理可證：XMAC9XDNF,：.AM=DN

；.BA=ED,VZB=ZE,ZA=ZD

ABAC@AEDF.

【總結(jié)】本題主要考察全等三角形的判定.

隨堂檢測(cè)

【習(xí)題1】如圖，在△48C中，NB=/C,下列結(jié)論正確的是（）.A

A.\ABD=\ACDB.AB=AC/

C.AD是△AC。的高D.ZVIBC是等邊三角形/

【難度】★/

【答案】B/

【解析】因?yàn)镹8=/C,所以AB=4C,由于不知點(diǎn)D是否為中點(diǎn)，/

因此其余選項(xiàng)都不對(duì).BL

【總結(jié)】考察等腰三角形的等角對(duì)等邊的性質(zhì)的運(yùn)用.

【習(xí)題2】如習(xí)題1圖所示AB=4C,O為8c上一點(diǎn)，若A￡>_LBC,則

ABAD=.

【難度】★

【答案】OC,ACAD

【解析】等腰三角形三線合一性質(zhì)可得答案.

【總結(jié)】考察等腰三角形三線合一性質(zhì).

【習(xí)題3】已知：如圖，B是CE的中點(diǎn)，AO=BC,AB=QC.OE交AB于點(diǎn)F,求證：AF=BF.

【難度】★★

【答案】見(jiàn)解析.

【解析】AB=DC,BD=BD

：.△ABDeACDB

：.NADB=ZCBD,AD//BC

ZA^ZABE

BE=BC,AD=BC,：.AD=BE

VZA=ZABE,AD=BE,ZAFD^ABFE

：./\AFD^/\BFE,：.AF=BF.

【總結(jié)】考察全等三角形的判定和性質(zhì)以及平行線的性質(zhì)與判定的綜合運(yùn)用.

【習(xí)題4】/XABC中，AB=AC,E在BC上，。在AE上（不與A重合），則下列說(shuō)法中正確

的有（）.

①若E為8C的中點(diǎn)，則有8O=C￡）;

②若BD=CD,則E為BC中點(diǎn)；

③若AE_LBC,則有B￡>=CQ；

④若BD=CD,則AE_L8C.

A.1B.2C.3D.4

【難度】★★

【答案】D

【解析】可由等腰三角形的三線合一及全等三角形的性質(zhì)得四個(gè)選項(xiàng)全對(duì).

【總結(jié)】本題主要考察等腰三角形的三線合一的性質(zhì).

【習(xí)題5】如圖，NACB=90°,AC=BC,。為AB上一點(diǎn)，AE_LCZ）于點(diǎn)E,交CD的延

長(zhǎng)線于點(diǎn)凡且CF=AE.求證：BFLDC.

【難度】★★

【答案】見(jiàn)解析.

【解析】VZBCF+AACE=90°,ZEAC+ZACE=90°,

：.NBCF=ZC4E.

'：AC=BC,NBCF=NCAE,CF=AE,

：.ABCF^AACE

NBFC=NAEC=90°,即BF±DC.

【總結(jié)】考察全等三角形的判定和性質(zhì)以及證明兩直線垂直的方法.

【習(xí)題6］如圖，在△ABC中，AO平分N8AC,DE〃AC,過(guò)點(diǎn)E作EF_LAQ于點(diǎn)O,交

8C的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,聯(lián)結(jié)AF,求證：AF=DF.

【難度】★★

【答案】見(jiàn)解析.

【解析】；A￡＞平分/BAC,DE〃AC,:?DE=AE

'：EF±AD,：.ZAEF^AFED

VZAEF^ZFED,DE^AE,FE=FE

：./\DEF^^AEF,：.AF=DF.

【總結(jié)】考察全等三角形的判定和性質(zhì)以及等腰三角形的三線合一.

【習(xí)題7】己知：如圖，ND=NE,DN=CN=EM=AM,求證：點(diǎn)B是AC的中點(diǎn).

【難度】★★

【答案】見(jiàn)解析.

【解析】?:ND=NE,ZDBE^ZEBD,DN=ME,

：.△DBN94EBM,；.NEMB=ZDNB,BN=

：.ZAMB=NCNB

VAM=CN,NAMB=ZCNB,BM=BN,

：.AB=BC,即點(diǎn)B是AC的中點(diǎn).

【總結(jié)】考察全等三角形的判定和性質(zhì)的綜合運(yùn)用.

【習(xí)題8】有兩邊和第三邊上的中線對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等.

【難度】★★

【答案】見(jiàn)解析.

【解析】如圖，在△ABC和△/)￡/中，AB=DE,AC=DF,M為BC的中點(diǎn)，N為EF

的中點(diǎn)，且AM=N￡>.

求證：/\ABC^/\DEF.

證明：分別延長(zhǎng)AM、DV到點(diǎn)P和點(diǎn)。，使=

QN=DN,連接CP、FQ.

為8c的中點(diǎn)，BM=CM.

"：PM^AM,NAMB=ZPMC,

，AMB=PMC.

：.AB=PC,ZBAM=ZP.

同理，可證：DENwQFN,

DE=QF,ZEDN=NQ.

；AB=DE,AM=ND：.PC=QF,AP=DQ.

又,：AC=DF,：.fAPC^DQF,：.ZPAC=ZQDF,NP=NQ.

：.ZBAM=NEDN,/.ABAC=ZEDF

VAB=DE,AC=DF,：./\ABC^/\DEF.

【總結(jié)】本題一方面考察中線倍長(zhǎng)輔助線的添加，另一方面考查全等三角形的判定和性質(zhì)的

綜合運(yùn)用.

【習(xí)題9】已知，如圖，在△ABC中，ADA.BC,AB+BD=CD,求證：ZB=2ZC.

【難度】★★

【答案】見(jiàn)解析.

【解析】在C。上截取一點(diǎn)E使得。七二。8,聯(lián)結(jié)

?；BD=DE,ZADB=ZADE,AD=DA

：./\ADB^/\ADE

：.AB=AE,ZB=ZAEB

'：AB+BD=CD,DE=DB,CE+ED=CD,

:.CE=AB,?:AB=AE,:.CE=AE

：.NC=NCAE.

ZAEB=ZC+/CAE=2ZC

'/ZB=ZA￡B,???/B=2ZC.

【總結(jié)】考察截長(zhǎng)補(bǔ)短的輔助線的添法以及三角形外角性質(zhì)的綜合運(yùn)用.

【習(xí)題10]如圖，已知AB=AC,3。平分NABC且8C=A8+CO,求證：ZA=108.

【難度】★★

【答案】見(jiàn)解析.

【解析】在8C上截取一點(diǎn)七使得聯(lián)結(jié)ED

?:AB=BE,ZABD=ZDBE,BD=BD

：.△ABD也△E3/XS.AS)

???ZA=ZBED

?；BC=AB+CD,AB=BE，

：.CD=EC

設(shè)NC=2x,ZCDE=ZCED=9O-x

NO￡B=1800-NCEO=90+x,ZBAC=ZDEB=90+x

VAB=ACf：.ZABC=Z.C=2x

NABC+ZBAC+ZC=18(f,

A2x+2x+90+x=18(F,貝ljx=18。

ZBAC=90°+18°=108°

【總結(jié)】考察截長(zhǎng)補(bǔ)短輔助線的添法以及三角形內(nèi)角和的綜合運(yùn)用.

【習(xí)題11]如圖，在△4BC中，己知AC=8C,NACB=90°，。是8c邊上一點(diǎn)，

BFVBC,CE與AS、8F分別相交于點(diǎn)E、F,聯(lián)結(jié)QE,且有/1=N2.

求證：力是BC的中點(diǎn).

【難度】★★★

【答案】見(jiàn)解析.

【解析】VZBCF+ZACF=90°,ZACF+ZCAD=90°,

：.NBCF=ACAD.

?：NBCF=ZCAD,AC=BC,ZACD=ZCBF=90,

：.ACAD^ABCF,

/.Z1=ZF.CD=BF

VZ1=Z2，AZ2=ZF

；AC=8C,ZACB=90°,ZCBA=45°

,/NCBF=90°,NFBE=45°

?/Z2=ZF,NDBE=NFBE,BE=BE,

；.△OBE絲△FBE,DB=BF

?：CD=BF,CD=BD,即。是8c的中點(diǎn).

【總結(jié)】本題綜合性較強(qiáng)，要多次利用全等證明線段相等.

【習(xí)題12]已知：如圖，AABC的高AO所在的直線與高BE所在的直線相交于點(diǎn)F

(1)如圖1,若△ABC為銳角三角形，且NABC=45。，過(guò)點(diǎn)尸作FG〃8C、交直線

48于點(diǎn)G,求證：FG+DC=AD；

(2)如圖2,若/ABC=135。，過(guò)點(diǎn)F作FG〃BC、交直線A8于點(diǎn)G,FG、DC.

4。之間的數(shù)量關(guān)系是,并證明.

【難度】★★★

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）AD+CD=FG；證明見(jiàn)解析.

［解析［（1）VZABC=45°,AD±BC

：.NABC=NBAD=45°,AD=BD

,:FG〃BC,：.ZGAF=ZAGF=45°,：.AF=GF

VZC+ZFB￡>=90°,ZC+ZC4D=90°,

ZFBD=ZCAD

,：ZFBD=ACAD,NFDB=ZCDA,AD=BD

：.△BFD94ACD：.CD=FD,

VAF=GF,CD=FD,AD=AF+DF,：.FG+DC^AD.

(2)AD^CD=FG.

VZABC=135°,ADIBC

：.ZABD=ABAD=45°,AD=BD

YFG〃BC,???NGA尸=NAG尸=45。，

???AF=GF

VZFA￡+ZDFB=90°,ZC+ZFAE=90°

：.ZC=NDFB

ZC=ZDFB,ZFDB=ZCDA,AD=BD

：./\BFD^/\ACD

：.CD=FD

VAF=GFfCD=FD,AD+DF=AF

：.AD+CD=FG.

【總結(jié)】考察全等三角形的性質(zhì)和判定以及等腰直角三角形性質(zhì)的綜合運(yùn)用.

課后作業(yè)

【作業(yè)1】以下命題的逆命題是真命題的是（）.

A.等邊三角形的三個(gè)角相等；

B.同角的補(bǔ)角相等；

C.在三角形中，鈍角作對(duì)的邊長(zhǎng)最長(zhǎng)；

D.同位角相等.

【難度】★

【答案】A

【解析】A的逆命題為：三個(gè)內(nèi)角相等的三角形為等邊三角形，為真命題；

B的逆命題為：兩個(gè)角的補(bǔ)角相等，則這兩個(gè)角為同一個(gè)角，為假命題;

C的逆命題為：在三角形中，邊長(zhǎng)最長(zhǎng)的邊所對(duì)的角為鈍角，為假命題;

D的逆命題為：兩個(gè)相等的角為同位角，為假命題.

【總結(jié)】考察逆命題的概念以及對(duì)真假命題的判定.

【作業(yè)2】已知：在△ABC中，8。是AC上的中線，BD=-AC.

2

求證：AABC是直角三角形.

【難度】★

【答案】見(jiàn)解析.

【解析】是AC上的中線，BD^-AC.：.AD=BD,BD=CD

2

，NA=NABD,ZC=NDBC.

NA+NABD+ZC+ZDBC=180P

NAB。+NO8c=90°,即NABC=90°

...△ABC是直角三角形.

【總結(jié)】本題主要考察三角形內(nèi)角和的運(yùn)用，另外這個(gè)命題也可以在作為判定一個(gè)三角形是

直角三角形的方法.

【作業(yè)3】已知：如圖，AC=BD,AB=CD.求證：OB=OC.

【難度】★★

【答案】見(jiàn)解析.

【解析】聯(lián)結(jié)4D.

"：AD=AD,AC^BD,AB=CD,：.

：.2B=NC,VZB=ZC,ZAOB=ZCOD,AB=

△ABO多△OCO,/.OB=OC.

【總結(jié)】考察三角形全等的判定和性質(zhì)的綜合運(yùn)用.

【作業(yè)4】等腰AABC中，AB=AC,取腰4c上一點(diǎn)E,取AB的反向延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)。,

使AE=A。，聯(lián)結(jié)QE交BC于F.

求證：DFLBC.

【難度】★★

【答案】見(jiàn)解析.

"：AB=AC,；.NB=NC,\'AE=AD,：.ZD=ZAED.

'：ZFEC=NAEO,ZD=Z.FEC,

?；NBFD=18&-ND-NB,NEFC=18(F—NC-NFEC,：.NBFD=ZEFC.

,/ZfiFD+Z￡FC=180°,/.NBFD=90°,即DF±BC.

【總結(jié)】考察等腰三角形的性質(zhì)的綜合運(yùn)用.

【作業(yè)5】己知，如圖，AE^AC,BE=BD,ZEAD^ZCAD.求證：NABC=2NC.

【難度】★★

【答案】見(jiàn)解析.

【解析】；AE=AC,AD=AD,ZEAD^ZCAD.

二△AED學(xué)△AC。，ZC=ZE

,:BE=BD,

：.ZE=ZBDE

：.NABC=NE+NBDE=2ZE

,/ZC=ZE,

NABC=2NC.

【總結(jié)】考察三角形的外角性質(zhì)和三角形全等的判定和性質(zhì)的綜合運(yùn)用.

【作業(yè)6】求證：等腰三角形底邊延長(zhǎng)線上的任意一點(diǎn)到兩腰的距離之差等于一腰上的高.

【難度】★★

【答案】見(jiàn)解析.

【解析】如圖，己知△48C中，AB=AC,。為8C延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，DE±AB,DFA.AC,

CG1AB,

求證：DE-DF=CG.

證明：聯(lián)結(jié)4。

,；SAABD=3.AB，DE，S^ACD=—?AC-DF,

S^ABC=^'ABCG

：.-ABDE--ACDF=-ABCG

222

VAB=AC,：.DE-DF=CG.

【總結(jié)】本題主要考察利用面積相等證明線段相等，這是一種

常見(jiàn)的證明方法，注意歸納總結(jié).

【作業(yè)7】如圖，在AABC中，AB=AC,NBAC=108。，點(diǎn)。在4c上且8。平分NABC.

求i正：BC=AB+CD.

【難度】★★

【答案】見(jiàn)解析.

［解析］在BC上截取一點(diǎn)E使得BE=AB,聯(lián)結(jié)ED、AE

"：AB=AC,ZBAC=108°,

，NA8C=NC=36°

,:AB=BE，ZABD=ZEBD，BD=BD

：./\ABD%△EBD(SAS),NDEB=ABAC=108°

:.Z.CED=72°,,/ZC=36°,ZCDE=NCED=72°.

CD=CE,?：BC=EB+CE,AB=BE,CD=CE

：.BC=AB+CD.

【總結(jié)】考察截長(zhǎng)補(bǔ)短輔助線的做法以及三角形內(nèi)角和和等腰三角形性質(zhì)的綜合運(yùn)用.

【作業(yè)8】已知：如圖，在△ABC中，AB=AC,AOJ_BC,點(diǎn)。在線段上，延長(zhǎng)C。交

AB于點(diǎn)Q,延長(zhǎng)8。交AC于點(diǎn)P,求證：OP=OQ.

【難度】★★

【答案】見(jiàn)解析.

[1vZODB=AODC,BD=CD,OD=OD

：./\OBD^/\OCD,：.ZOBD=ZOCD.

VAB=AC,：.ZABC=ZACB

：.ZABP=ZACQ

VZABP=ZACQ,ZQAC=ZPAB,AB=AC

：./XAPB^/XAQC,：.AQ=AP.

\'AB=AC,AD1.BC,

：.ZQAO=ZPAO

VAQ=AP,ZQAO=ZPAO,OA=OA

：./XAPO^/XAQO

OQ=OP.

【總結(jié)】考察全等三角形的判定和性質(zhì)的綜合運(yùn)用.

【作業(yè)9】如圖，CE、BD分別是△ABC的邊4B、AC上的高，點(diǎn)P在8。的延長(zhǎng)線上,

BP=AC,點(diǎn)。在CE上，CQ=AB.

求證：(1)AP=AQ；