高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第十一章 計數(shù)原理、概率、隨機變量及其分布列 課時達(dá)標(biāo)檢測（五十五）古典概型與幾何概型 理-人教版高三數(shù)學(xué)試題

課時達(dá)標(biāo)檢測（五十五）古典概型與幾何概型[小題對點練——點點落實]對點練(一)古典概型1．已知袋子中裝有大小相同的6個小球，其中有2個紅球、4個白球．現(xiàn)從中隨機摸出3個小球，則至少有2個白球的概率為()A.eq\f(3,4) B.eq\f(3,5)C.eq\f(4,5) D.eq\f(7,10)解析：選C所求問題有兩種情況：1紅2白或3白，則所求概率P＝eq\f(C\o\al(1,2)C\o\al(2,4)＋C\o\al(3,4),C\o\al(3,6))＝eq\f(4,5).2．(2018·陜西模擬)現(xiàn)有2名女教師和1名男教師參加說題比賽，共有2道備選題目，若每位選手從中有放回地隨機選出一道題進(jìn)行說課，其中恰有一男一女抽到同一道題的概率為()A.eq\f(1,3) B.eq\f(2,3)C.eq\f(1,2) D.eq\f(3,4)解析：選C記兩道題分別為A，B，所有抽取的情況為AAA，AAB，ABA，ABB，BAA，BAB，BBA，BBB(其中第1個，第2個分別表示兩個女教師抽取的題目，第3個表示男教師抽取的題目)，共有8種；其中滿足恰有一男一女抽到同一道題目的情況為ABA，ABB，BAA，BAB，共4種．故所求事件的概率為eq\f(1,2).故選C.3．在實驗室進(jìn)行的一項物理實驗中，要先后實施6個程序A，B，C，D，E，F(xiàn)，則程序A在第一或最后一步，且程序B和C相鄰的概率為()A.eq\f(1,5) B.eq\f(1,15)C.eq\f(4,15) D.eq\f(2,15)解析：選D程序A在第一或最后一步，且程序B和C相鄰的概率為P＝eq\f(A\o\al(1,2)A\o\al(2,2)A\o\al(4,4),A\o\al(6,6))＝eq\f(2,15).4．已知集合M＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(1，2，3，4))，N＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(a，b|a∈M，b∈M))，A是集合N中任意一點，O為坐標(biāo)原點，則直線OA與y＝x2＋1有交點的概率是()A.eq\f(1,2) B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,4) D.eq\f(1,8)解析：選C易知過點(0,0)與y＝x2＋1相切的直線為y＝2x(斜率小于0的無需考慮)，集合N中共有16個元素，其中使直線OA的斜率不小于2的有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,4)，共4個，故所求的概率為eq\f(4,16)＝eq\f(1,4).5．(2018·重慶適應(yīng)性測試)從2,3,4,5,6這5個數(shù)字中任取3個，則所取3個數(shù)之和為偶數(shù)的概率為________．解析：依題意，從2,3,4,5,6這5個數(shù)字中任取3個，共有10種不同的取法，其中所取3個數(shù)之和為偶數(shù)的取法共有1＋3＝4種(包含兩種情形：一種情形是所取的3個數(shù)均為偶數(shù)，有1種取法；另一種情形是所取的3個數(shù)中2個是奇數(shù)，另一個是偶數(shù)，有3種取法)，因此所求的概率為eq\f(4,10)＝eq\f(2,5).答案：eq\f(2,5)6．(2016·江蘇高考)將一顆質(zhì)地均勻的骰子(一種各個面上分別標(biāo)有1,2,3,4,5,6個點的正方體玩具)先后拋擲2次，則出現(xiàn)向上的點數(shù)之和小于10的概率是________．解析：將一顆質(zhì)地均勻的骰子先后拋擲2次，所有等可能的結(jié)果有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，…，(6,6)，共36種情況．設(shè)事件A＝“出現(xiàn)向上的點數(shù)之和小于10”，其對立事件eq\x\to(A)＝“出現(xiàn)向上的點數(shù)之和大于或等于10”，eq\x\to(A)包含的可能結(jié)果有(4,6)，(5,5)，(5,6)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，共6種情況．所以由古典概型的概率公式，得P(eq\x\to(A))＝eq\f(6,36)＝eq\f(1,6)，所以P(A)＝1－eq\f(1,6)＝eq\f(5,6).答案：eq\f(5,6)對點練(二)幾何概型1．(2018·武漢調(diào)研)在區(qū)間[0,1]上隨機取一個數(shù)x，則事件“l(fā)og0.5(4x－3)≥0”發(fā)生的概率為()A.eq\f(3,4) B.eq\f(2,3)C.eq\f(1,3) D.eq\f(1,4)解析：選D由log0.5(4x－3)≥0，得0＜4x－3≤1，解得eq\f(3,4)＜x≤1，所以所求概率P＝eq\f(1－\f(3,4),1－0)＝eq\f(1,4).2．設(shè)不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－2y＋2≥0，,x≤4，,y≥－2))表示的平面區(qū)域為D.在區(qū)域D內(nèi)隨機取一個點，則此點到直線y＋2＝0的距離大于2的概率是()A.eq\f(4,13) B.eq\f(5,13)C.eq\f(8,25) D.eq\f(9,25)解析：選D如圖，各點的坐標(biāo)為B(－2,0)，C(4,0)，D(－6，－2)，E(4，－2)，F(xiàn)(4，3)，所以DE＝10，EF＝5，BC＝6，CF＝3.不等式對應(yīng)的區(qū)域為三角形DEF，當(dāng)點在線段BC上時，此點到直線y＋2＝0的距離等于2，所以要使此點到直線y＋2＝0的距離大于2，則此點應(yīng)在三角形BCF中．根據(jù)幾何概型可知所求概率P＝eq\f(S△BCF,S△DEF)＝eq\f(\f(1,2)×6×3,\f(1,2)×10×5)＝eq\f(9,25)，故選D.3．已知正棱錐S-ABC的底面邊長為4，高為3，在正棱錐內(nèi)任取一點P，使得VP-ABC＜eq\f(1,2)VS-ABC的概率是()A.eq\f(3,4) B.eq\f(7,8)C.eq\f(1,2) D.eq\f(1,4)解析：選B由題意知，當(dāng)點P在三棱錐的中截面以下時，滿足VP-ABC＜eq\f(1,2)VS-ABC，故使得VP-ABC＜eq\f(1,2)VS-ABC的概率：P＝eq\f(大三棱錐的體積－小三棱錐的體積,大三棱錐的體積)＝1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))3＝eq\f(7,8).4.如圖，長方形的四個頂點為O(0,0)，A(4,0)，B(4,2)，C(0,2)，曲線y＝eq\r(x)經(jīng)過點B.小軍同學(xué)在學(xué)做電子線路板時有一電子元件隨機落入長方形OABC中，則該電子元件落在圖中陰影區(qū)域的概率是()A.eq\f(5,12) B.eq\f(1,2)C.eq\f(2,3) D.eq\f(3,4)解析：選C由題意可知S陰＝eq\i\in(0,4,)eq\r(x)dx＝eq\f(2,3)xeq\f(3,2)eq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1())eq\o\al(4,0)＝eq\f(16,3)，S長方形＝4×2＝8，則所求概率P＝eq\f(S陰,S長方形)＝eq\f(\f(16,3),8)＝eq\f(2,3).5．已知橢圓eq\f(x2,4)＋y2＝1的焦點為F1，F(xiàn)2，在長軸A1A2上任取一點M，過M作垂直于A1A2的直線交橢圓于點P，則使得PF1→·PF2→<0的概率為________．解析：設(shè)P(x，y)，則PF1→·PF2→<0即為(－eq\r(3)－x，－y)·(eq\r(3)－x，－y)<0，即為x2－3＋y2<0，即為x2－3＋1－eq\f(x2,4)<0，解得－eq\f(2\r(6),3)<x<eq\f(2\r(6),3)，故所求的概率為eq\f(\f(4\r(6),3),4)＝eq\f(\r(6),3).答案：eq\f(\r(6),3)6.如圖，正四棱錐S-ABCD的頂點都在球面上，球心O在平面ABCD上，在球O內(nèi)任取一點，則這點取自正四棱錐內(nèi)的概率為________．解析：設(shè)球的半徑為R，則所求的概率為P＝eq\f(V錐,V球)＝eq\f(\f(1,3)×\f(1,2)×2R×2R·R,\f(4,3)πR3)＝eq\f(1,2π).答案：eq\f(1,2π)對點練(三)概率與統(tǒng)計的綜合問題1．如圖是樣本容量為200的頻率分布直方圖．根據(jù)樣本的頻率分布直方圖估計數(shù)據(jù)落在[2,10)內(nèi)的概率約為________．解析：由題圖可得(0.02＋0.08)×4＝0.4.答案：0.42．如圖所示的莖葉圖記錄了甲、乙兩個學(xué)習(xí)小組各4名同學(xué)在某次考試中的數(shù)學(xué)成績，乙組記錄中有一個數(shù)字模糊，無法確認(rèn)，在圖中用m表示，假設(shè)數(shù)字具有隨機性，則乙組平均成績超過甲組平均成績的概率為________.解析：由eq\f(1,4)(87＋89＋91＋93)＝eq\f(1,4)(85＋90＋91＋90＋m)，得m＝4，即m＝4時，甲、乙兩個小組的平均成績相等．設(shè)“乙組平均成績超過甲組平均成績”為事件A，m的取值有0,1,2，…，9，共10種可能，其中，當(dāng)m＝5,6，…，9時，乙組平均成績超過甲組平均成績，故所求概率為eq\f(5,10)＝eq\f(1,2).答案：eq\f(1,2)3．某工廠為了對新研發(fā)的一種產(chǎn)品進(jìn)行合理定價，將該產(chǎn)品按事先擬定的價格進(jìn)行試銷，得到如下數(shù)據(jù)：單位x(元)88.28.48.68.89銷量y(件)908483807568由表中數(shù)據(jù)求得線性回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝－20x＋eq\o(a,\s\up6(^)).若在這些樣本點中任取一點，則它在回歸直線左下方的概率為________．解析：由表中數(shù)據(jù)求出樣本平均數(shù)eq\o(x,\s\up6(－))＝8.5，eq\o(y,\s\up6(－))＝80，代入線性回歸方程，得eq\o(a,\s\up6(^))＝250，所以線性回歸直線方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝－20x＋250.經(jīng)驗證，樣本點在回歸直線左下方的有(8.2,84)，(9,68)兩個，由古典概型的概率公式，得P＝eq\f(2,6)＝eq\f(1,3).答案：eq\f(1,3)[大題綜合練——遷移貫通]1.某兒童樂園在“六一”兒童節(jié)推出了一項趣味活動．參加活動的兒童需轉(zhuǎn)動如圖所示的轉(zhuǎn)盤兩次，每次轉(zhuǎn)動后，待轉(zhuǎn)盤停止轉(zhuǎn)動時，記錄指針?biāo)竻^(qū)域中的數(shù)．設(shè)兩次記錄的數(shù)分別為x，y.獎勵規(guī)則如下：①若xy≤3，則獎勵玩具一個；②若xy≥8，則獎勵水杯一個；③其余情況獎勵飲料一瓶．假設(shè)轉(zhuǎn)盤質(zhì)地均勻，四個區(qū)域劃分均勻．小亮準(zhǔn)備參加此項活動．(1)求小亮獲得玩具的概率；(2)請比較小亮獲得水杯與獲得飲料的概率的大小，并說明理由．解：用數(shù)對(x，y)表示兒童參加活動先后記錄的數(shù)，則基本事件空間Ω與點集S＝{(x，y)|x∈N，y∈N,1≤x≤4,1≤y≤4}一一對應(yīng)．因為S中元素的個數(shù)是4×4＝16，所以基本事件總數(shù)n＝16.(1)記“xy≤3”為事件A，則事件A包含的基本事件數(shù)共5個，即(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(3,1)．所以P(A)＝eq\f(5,16)，即小亮獲得玩具的概率為eq\f(5,16).(2)記“xy≥8”為事件B，“3＜xy＜8”為事件C.則事件B包含的基本事件數(shù)共6個，即(2,4)，(3,3)，(3,4)，(4,2)，(4,3)，(4,4)．所以P(B)＝eq\f(6,16)＝eq\f(3,8).事件C包含的基本事件數(shù)共5個，即(1,4)，(2,2)，(2,3)，(3,2)，(4,1)．所以P(C)＝eq\f(5,16).因為eq\f(3,8)＞eq\f(5,16)，所以小亮獲得水杯的概率大于獲得飲料的概率．2．如圖所示，從參加環(huán)保知識競賽的學(xué)生中抽出40名，將其成績(均為整數(shù))整理后畫出的頻率分布直方圖如下，觀察圖形，回答下列問題．(1)80～90這一組的頻數(shù)、頻率分別是多少？(2)估計這次環(huán)保知識競賽成績的平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)．(不要求寫過程)(3)從成績是80分以上(包括80分)的學(xué)生中選2人，求他們在同一分?jǐn)?shù)段的概率．解：(1)根據(jù)題意，50～60這一組的頻率為0.015×10＝0.15，60～70這一組的頻率為0.025×10＝0.25,70～80這一組的頻率為0.035×10＝0.35,90～100這一組的頻率為0.005×10＝0.05，則80～90這一組的頻率為eq\f(1,2)×[1－(0.15＋0.25＋0.35＋0.05)]＝0.1，其頻數(shù)為40×0.1＝4.(2)這次競賽成績的平均數(shù)為45×0.1＋55×0.15＋65×0.25＋75×0.35＋85×0.1＋95×0.05＝68.5；70～80這一組的頻率最大，人數(shù)最多，則眾數(shù)為75；70分左右兩側(cè)的頻率為0.5，則中位數(shù)為70.(3)記“選出的2人在同一分?jǐn)?shù)段”為事件E,80～90之間有40×0.1＝4人，設(shè)為a，b，c，d；90～100之間有40×0.05＝2人，設(shè)為A，B.從這6人中選出2人，有(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，A)，(a，B)，(b，c)，(b，d)，(b，A)，(b，B)，(c，d)，(c，A)，(c，B)，(d，A)，(d，B)，(A，B)，共15個基本事件，其中事件E包括(a，b)，(a，c)，(a，d)，(b，c)，(b，d)，(c，d)，(A，B)，共7個基本事件，則P(E)＝eq\f(