高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第四章 平面向量 分層限時(shí)跟蹤練24-人教版高三數(shù)學(xué)試題

分層限時(shí)跟蹤練(二十四)(限時(shí)40分鐘)eq\f([基礎(chǔ)練],扣教材練雙基)一、選擇題1．已知P，A，B，C是平面內(nèi)四點(diǎn)，且Peq\o(A,\s\up10(→))＋Peq\o(B,\s\up10(→))＋Peq\o(C,\s\up10(→))＝Aeq\o(C,\s\up10(→))，那么一定有()A．Peq\o(B,\s\up10(→))＝2eq\o(CP,\s\up10(→)) B．Ceq\o(P,\s\up10(→))＝2eq\o(PB,\s\up10(→))C．Aeq\o(P,\s\up10(→))＝2eq\o(PB,\s\up10(→)) D．Peq\o(B,\s\up10(→))＝2eq\o(AP,\s\up10(→))【解析】∵Peq\o(A,\s\up10(→))＋Peq\o(B,\s\up10(→))＋Peq\o(C,\s\up10(→))＝Aeq\o(C,\s\up10(→))，∴Peq\o(A,\s\up10(→))＋Peq\o(B,\s\up10(→))＝Aeq\o(C,\s\up10(→))－Peq\o(C,\s\up10(→))＝Aeq\o(C,\s\up10(→))＋Ceq\o(P,\s\up10(→))＝Aeq\o(P,\s\up10(→))，∴Peq\o(B,\s\up10(→))＝2eq\o(AP,\s\up10(→))，故選D.【答案】D2．在△ABC中，Aeq\o(D,\s\up10(→))＝2eq\o(DC,\s\up10(→))，Beq\o(A,\s\up10(→))＝a，Beq\o(D,\s\up10(→))＝b，Beq\o(C,\s\up10(→))＝c，則下列等式成立的是()A．c＝2b－a B．c＝2a－bC．c＝eq\f(3a,2)－eq\f(b,2) D．c＝eq\f(3b,2)－eq\f(a,2)【解析】因?yàn)樵凇鰽BC中，Beq\o(C,\s\up10(→))＝Beq\o(D,\s\up10(→))＋Deq\o(C,\s\up10(→))＝Beq\o(D,\s\up10(→))＋eq\f(1,2)Aeq\o(D,\s\up10(→))＝Beq\o(D,\s\up10(→))＋eq\f(1,2)(Beq\o(D,\s\up10(→))－Beq\o(A,\s\up10(→)))＝eq\f(3,2)Beq\o(D,\s\up10(→))－eq\f(1,2)Beq\o(A,\s\up10(→))，所以c＝eq\f(3,2)b－eq\f(1,2)a.【答案】D3．設(shè)a，b都是非零向量，下列四個(gè)條件中，使eq\f(a,|a|)＝eq\f(b,|b|)成立的充分條件是()A．|a|＝|b|且a∥b B．a(chǎn)＝－bC．a(chǎn)∥b D．a(chǎn)＝2b【解析】∵eq\f(a,|a|)表示與a同向的單位向量，eq\f(b,|b|)表示與b同向的單位向量，∴a與b必須方向相同才能滿足eq\f(a,|a|)＝eq\f(b,|b|).故選D.【答案】D4．(2015·資陽(yáng)模擬)已知向量Aeq\o(B,\s\up10(→))＝a＋3b，Beq\o(C,\s\up10(→))＝5a＋3b，Ceq\o(D,\s\up10(→))＝－3a＋3b，則()A．A，B，C三點(diǎn)共線 B．A，B，D三點(diǎn)共線C．A，C，D三點(diǎn)共線 D．B，C，D三點(diǎn)共線【解析】∵Beq\o(D,\s\up10(→))＝Beq\o(C,\s\up10(→))＋Ceq\o(D,\s\up10(→))＝2a＋6b＝2(a＋3b)＝2Aeq\o(B,\s\up10(→))，∴A，B，D三點(diǎn)共線．【答案】B5．(2014·福建高考)設(shè)M為平行四邊形ABCD對(duì)角線的交點(diǎn)，O為平行四邊形ABCD所在平面內(nèi)任意一點(diǎn)，則eq\o(OA,\s\up10(→))＋eq\o(OB,\s\up10(→))＋eq\o(OC,\s\up10(→))＋eq\o(OD,\s\up10(→))等于()A.eq\o(OM,\s\up10(→)) B．2eq\o(OM,\s\up10(→))C．3eq\o(OM,\s\up10(→)) D．4eq\o(OM,\s\up10(→))【解析】因?yàn)辄c(diǎn)M為平行四邊形ABCD對(duì)角線的交點(diǎn)，所以點(diǎn)M是AC和BD的中點(diǎn)，由平行四邊形法則知eq\o(OA,\s\up10(→))＋eq\o(OC,\s\up10(→))＝2eq\o(OM,\s\up10(→))，eq\o(OB,\s\up10(→))＋eq\o(OD,\s\up10(→))＝2eq\o(OM,\s\up10(→))，故eq\o(OA,\s\up10(→))＋eq\o(OC,\s\up10(→))＋eq\o(OB,\s\up10(→))＋eq\o(OD,\s\up10(→))＝4eq\o(OM,\s\up10(→)).【答案】D二、填空題6．在?ABCD中，Aeq\o(B,\s\up10(→))＝a，Aeq\o(D,\s\up10(→))＝b，Aeq\o(N,\s\up10(→))＝3Neq\o(C,\s\up10(→))，M為BC的中點(diǎn)，則Meq\o(N,\s\up10(→))＝(用a，b表示)．【解析】Meq\o(N,\s\up10(→))＝Meq\o(C,\s\up10(→))＋Ceq\o(N,\s\up10(→))＝eq\f(1,2)Aeq\o(D,\s\up10(→))－eq\f(1,4)Aeq\o(C,\s\up10(→))＝eq\f(1,2)b－eq\f(1,4)(a＋b)＝－eq\f(1,4)a＋eq\f(1,4)b.【答案】－eq\f(1,4)a＋eq\f(1,4)b7．(2015·鄭州模擬)已知△ABC和點(diǎn)M滿足Meq\o(A,\s\up10(→))＋Meq\o(B,\s\up10(→))＋Meq\o(C,\s\up10(→))＝0，若存在實(shí)數(shù)m使得Aeq\o(B,\s\up10(→))＋Aeq\o(C,\s\up10(→))＝meq\o(AM,\s\up10(→))成立，則m＝.【解析】由Meq\o(A,\s\up10(→))＋Meq\o(B,\s\up10(→))＋Meq\o(C,\s\up10(→))＝0，易得M是△ABC的重心，且重心M分中線AE的比為AM∶ME＝2∶1，∴Aeq\o(B,\s\up10(→))＋Aeq\o(C,\s\up10(→))＝2Aeq\o(E,\s\up10(→))＝m·Aeq\o(M,\s\up10(→))＝eq\f(2m,3)·Aeq\o(E,\s\up10(→))，∴eq\f(2m,3)＝2，∴m＝3.【答案】38．已知D，E，F(xiàn)分別為△ABC的邊BC，CA，AB的中點(diǎn)，且Beq\o(C,\s\up10(→))＝a，Ceq\o(A,\s\up10(→))＝b，給出下列命題：①Aeq\o(D,\s\up10(→))＝eq\f(1,2)a－b；②Beq\o(E,\s\up10(→))＝a＋eq\f(1,2)b；③Ceq\o(F,\s\up10(→))＝－eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b；④Aeq\o(D,\s\up10(→))＋Beq\o(E,\s\up10(→))＋Ceq\o(F,\s\up10(→))＝0.其中正確命題的序號(hào)為．【解析】Beq\o(C,\s\up10(→))＝a，Ceq\o(A,\s\up10(→))＝b，Aeq\o(D,\s\up10(→))＝eq\f(1,2)Ceq\o(B,\s\up10(→))＋Aeq\o(C,\s\up10(→))＝－eq\f(1,2)a－b，Beq\o(E,\s\up10(→))＝Beq\o(C,\s\up10(→))＋eq\f(1,2)Ceq\o(A,\s\up10(→))＝a＋eq\f(1,2)b，Ceq\o(F,\s\up10(→))＝eq\f(1,2)(Ceq\o(B,\s\up10(→))＋Ceq\o(A,\s\up10(→)))＝eq\f(1,2)(－a＋b)＝－eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b.∴Aeq\o(D,\s\up10(→))＋Beq\o(E,\s\up10(→))＋Ceq\o(F,\s\up10(→))＝－b－eq\f(1,2)a＋a＋eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)b－eq\f(1,2)a＝0.∴正確命題為②③④.【答案】②③④三、解答題9．在△ABC中，D，E分別為BC，AC邊上的中點(diǎn)，G為BE上一點(diǎn)，且GB＝2GE，設(shè)Aeq\o(B,\s\up10(→))＝a，Aeq\o(C,\s\up10(→))＝b，試用a，b表示Aeq\o(D,\s\up10(→))，Aeq\o(G,\s\up10(→)).【解】Aeq\o(D,\s\up10(→))＝eq\f(1,2)(Aeq\o(B,\s\up10(→))＋Aeq\o(C,\s\up10(→)))＝eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b.Aeq\o(G,\s\up10(→))＝Aeq\o(B,\s\up10(→))＋Beq\o(G,\s\up10(→))＝Aeq\o(B,\s\up10(→))＋eq\f(2,3)Beq\o(E,\s\up10(→))＝Aeq\o(B,\s\up10(→))＋eq\f(1,3)(Beq\o(A,\s\up10(→))＋Beq\o(C,\s\up10(→)))＝eq\f(2,3)Aeq\o(B,\s\up10(→))＋eq\f(1,3)(Aeq\o(C,\s\up10(→))－Aeq\o(B,\s\up10(→)))＝eq\f(1,3)Aeq\o(B,\s\up10(→))＋eq\f(1,3)Aeq\o(C,\s\up10(→))＝eq\f(1,3)a＋eq\f(1,3)b.10．已知向量a＝2e1－3e2，b＝2e1＋3e2，其中e1，e2不共線，向量c＝2e1－9e2.問(wèn)是否存在這樣的實(shí)數(shù)λ，μ，使向量d＝λa＋μb與c共線？【解】∵d＝λ(2e1－3e2)＋μ(2e1＋3e2)＝(2λ＋2μ)e1＋(－3λ＋3μ)e2，要使d與c共線，則應(yīng)有實(shí)數(shù)k，使d＝kc，即(2λ＋2μ)e1＋(－3λ＋3μ)e2＝2ke1－9ke2，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2λ＋2μ＝2k，,－3λ＋3μ＝－9k，))得λ＝－2μ.故存在這樣的實(shí)數(shù)λ，μ，只要λ＝－2μ，就能使d與c共線．eq\f([能力練],掃盲區(qū)提素能)1．下列命題正確的是()A．向量a，b共線的充要條件是有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使b＝λaB．在△ABC中，Aeq\o(B,\s\up10(→))＋Beq\o(C,\s\up10(→))＋Ceq\o(A,\s\up10(→))＝0C．不等式||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|中兩個(gè)等號(hào)不可能同時(shí)成立D．向量a，b不共線，則向量a＋b與向量a－b必不共線【解析】A不正確，當(dāng)a＝b＝0時(shí)，有無(wú)數(shù)個(gè)實(shí)數(shù)λ滿足b＝λa.B不正確，在△ABC中，Aeq\o(B,\s\up10(→))＋Beq\o(C,\s\up10(→))＋Ceq\o(A,\s\up10(→))＝0.C不正確，當(dāng)b＝0時(shí)，不等式||a|－|b||≤|a|＋|b|≤|a|＋|b|顯然成立．D正確，∵向量a與b不共線，∴a，b，a＋b與a－b均不為零向量．若a＋b與a－b平行，則存在實(shí)數(shù)λ，使a＋b＝λ(a－b)，即(λ－1)a＝(1＋λ)b，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ－1＝0，,1＋λ＝0，))λ無(wú)解，故假設(shè)不成立，即a＋b與a－b不平行，故選D.【答案】D2．(2015·大連雙基測(cè)試)設(shè)O在△ABC的內(nèi)部，且有Oeq\o(A,\s\up10(→))＋2Oeq\o(B,\s\up10(→))＋3Oeq\o(C,\s\up10(→))＝0，則△ABC的面積和△AOC的面積之比為()A．3B.eq\f(5,3)C．2D.eq\f(3,2)【解析】設(shè)AC，BC的中點(diǎn)分別為M，N，則已知條件可化為(Oeq\o(A,\s\up10(→))＋Oeq\o(C,\s\up10(→)))＋2(Oeq\o(B,\s\up10(→))＋Oeq\o(C,\s\up10(→)))＝0，即Oeq\o(M,\s\up10(→))＋2Oeq\o(N,\s\up10(→))＝0，所以O(shè)eq\o(M,\s\up10(→))＝－2Oeq\o(N,\s\up10(→))，說(shuō)明M，O，N共線，即O為中位線MN上的靠近N的三等分點(diǎn)，SAOC＝eq\f(2,3)SANC＝eq\f(2,3)·eq\f(1,2)SABC＝eq\f(1,3)SABC，所以eq\f(SABC,SAOC)＝3.【答案】A3．(2015·晉中模擬)如圖4-1-4所示，在△ABC中，點(diǎn)O是BC的中點(diǎn)．過(guò)點(diǎn)O的直線分別交直線AB，AC于不同的兩點(diǎn)M，N，若Aeq\o(B,\s\up10(→))＝meq\o(AM,\s\up10(→))，Aeq\o(C,\s\up10(→))＝neq\o(AN,\s\up10(→))，則m＋n的值為．圖4-1-4【解析】∵O是BC的中點(diǎn)，∴Aeq\o(O,\s\up10(→))＝eq\f(1,2)(Aeq\o(B,\s\up10(→))＋Aeq\o(C,\s\up10(→)))．又∵Aeq\o(B,\s\up10(→))＝meq\o(AM,\s\up10(→))，Aeq\o(C,\s\up10(→))＝neq\o(AN,\s\up10(→))，∴Aeq\o(O,\s\up10(→))＝eq\f(m,2)Aeq\o(M,\s\up10(→))＋eq\f(n,2)Aeq\o(N,\s\up10(→)).∵M(jìn)，O，N三點(diǎn)共線，∴eq\f(m,2)＋eq\f(n,2)＝1.則m＋n＝2.【答案】24．(2015·天津模擬)設(shè)D，E分別是△ABC的邊AB，BC上的點(diǎn)，AD＝eq\f(1,2)AB，BE＝eq\f(2,3)BC.若Deq\o(E,\s\up10(→))＝λ1Aeq\o(B,\s\up10(→))＋λ2Aeq\o(C,\s\up10(→))(λ1，λ2為實(shí)數(shù))，則λ1＋λ2的值為．【解析】如圖，Deq\o(E,\s\up10(→))＝Deq\o(B,\s\up10(→))＋Beq\o(E,\s\up10(→))＝eq\f(1,2)Aeq\o(B,\s\up10(→))＋eq\f(2,3)Beq\o(C,\s\up10(→))＝eq\f(1,2)Aeq\o(B,\s\up10(→))＋eq\f(2,3)(Aeq\o(C,\s\up10(→))－Aeq\o(B,\s\up10(→)))＝－eq\f(1,6)Aeq\o(B,\s\up10(→))＋eq\f(2,3)Aeq\o(C,\s\up10(→))，則λ1＝－eq\f(1,6)，λ2＝eq\f(2,3)，λ1＋λ2＝eq\f(1,2).【答案】eq\f(1,2)5．如圖4-1-5所示，在△ABC中，Aeq\o(N,\s\up10(→))＝eq\f(1,3)Neq\o(C,\s\up10(→))，P是BN上的一點(diǎn)，若Aeq\o(P,\s\up10(→))＝meq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\f(2,11)Aeq\o(C,\s\up10(→))，求實(shí)數(shù)m的值．圖4-1-5【解】如題圖所示，Aeq\o(P,\s\up10(→))＝Aeq\o(B,\s\up10(→))＋Beq\o(P,\s\up10(→))，∵P為BN上一點(diǎn)，則Beq\o(P,\s\up10(→))＝keq\o(BN,\s\up10(→))，∴Aeq\o(P,\s\up10(→))＝Aeq\o(B,\s\up10(→))＋keq\o(BN,\s\up10(→))＝Aeq\o(B,\s\up10(→))＋k(Aeq\o(N,\s\up10(→))－Aeq\o(B,\s\up10(→)))，又Aeq\o(N,\s\up10(→))＝eq\f(1,3)Neq\o(C,\s\up10(→))，即Aeq\o(N,\s\up10(→))＝eq\f(1,4)Aeq\o(C,\s\up10(→))，因此Aeq\o(P,\s\up10(→))＝(1－k)Aeq\o(B,\s\up10(→))＋eq\f(k,4)Aeq\o(C,\s\up10(→))，所以1－k＝m，且eq\f(k,4)＝eq\f(2,11)，解得k＝eq\f(8,11)，則m＝1－k＝eq