高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第四章 平面向量 分層限時(shí)跟蹤練25-人教版高三數(shù)學(xué)試題

分層限時(shí)跟蹤練(二十五)(限時(shí)40分鐘)eq\f([基礎(chǔ)練],扣教材練雙基)一、選擇題1．(2015·寧夏模擬)如圖4-2-2，設(shè)O是平行四邊形ABCD兩對(duì)角線的交點(diǎn)，圖4-2-2給出下列向量組：①Aeq\o(D,\s\up10(→))與Aeq\o(B,\s\up10(→))；②Deq\o(A,\s\up10(→))與Beq\o(C,\s\up10(→))；③Ceq\o(A,\s\up10(→))與Deq\o(C,\s\up10(→))；④Oeq\o(D,\s\up10(→))與Oeq\o(B,\s\up10(→)).其中可作為該平面內(nèi)其他向量的基底的是()A．①②B．①③C．①④D．③④【解析】Aeq\o(D,\s\up10(→))與Aeq\o(B,\s\up10(→))不共線，Ceq\o(A,\s\up10(→))與Deq\o(C,\s\up10(→))不共線，而Deq\o(A,\s\up10(→))與Beq\o(C,\s\up10(→))共線，Oeq\o(D,\s\up10(→))與Oeq\o(B,\s\up10(→))共線，由平面向量基底的概念知①③可作為該平面內(nèi)其他向量的基底．【答案】B2．(2015·撫順六校聯(lián)考)已知向量a＝(1,1)，b＝(2，x)．若a＋b與4b－2a平行，則實(shí)數(shù)xA．－2 B．0C．1 D．2【解析】由已知得a＋b＝(3，x＋1)，4b－2a＝(6,4x－2)，因?yàn)閍＋b與4b－2a平行，則有3(4x－2)＝6(x＋1)，解得x＝2.【答案】D圖4-2-33．(2015·龍巖模擬)如圖4-2-3，A，B分別是射線OM，ON上的兩點(diǎn)，給出下列向量：①Oeq\o(A,\s\up10(→))＋2Oeq\o(B,\s\up10(→))；②eq\f(1,2)Oeq\o(A,\s\up10(→))＋eq\f(1,3)Oeq\o(B,\s\up10(→))；③eq\f(3,4)Oeq\o(A,\s\up10(→))＋eq\f(1,3)Oeq\o(B,\s\up10(→))；④eq\f(3,4)Oeq\o(A,\s\up10(→))＋eq\f(1,5)Oeq\o(B,\s\up10(→))；⑤eq\f(3,4)Oeq\o(A,\s\up10(→))－eq\f(1,5)Oeq\o(B,\s\up10(→)).若這些向量均以O(shè)為起點(diǎn)，則終點(diǎn)落在陰影區(qū)域內(nèi)(包括邊界)的有()A．①② B．②④C．①③ D．③⑤【解析】在ON上取C使OC＝2OB，以O(shè)A，OC為鄰邊作?OCDA，Oeq\o(D,\s\up10(→))＝Oeq\o(A,\s\up10(→))＋2Oeq\o(B,\s\up10(→))，其終點(diǎn)不在陰影區(qū)域內(nèi)，排除選項(xiàng)A，C；取OA的中點(diǎn)E，作EF綊eq\f(1,3)OB，由于EF＜eq\f(1,2)OB，所以eq\f(1,2)Oeq\o(A,\s\up10(→))＋eq\f(1,3)Oeq\o(B,\s\up10(→))的終點(diǎn)在陰影區(qū)域內(nèi)，排除選項(xiàng)D，故選B.【答案】B4．若平面向量b與向量a＝(1，－2)的夾角是180°，且|b|＝3eq\r(5)，則b等于()A．(－3,6) B．(3，－6)C．(6，－3) D．(－6,3)【解析】法一：設(shè)b＝(x，y)，由已知條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\r(x2＋y2)＝3\r(5)，,\f(x－2y,\r(5)·\r(x2＋y2))＝－1，))整理得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋y2＝45，,x－2y＝－15，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－3，,y＝6，))∴b＝(－3,6)．法二：設(shè)b＝(x，y)，由已知條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\r(x2＋y2)＝3\r(5)，,y＋2x＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－3，,y＝6))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝－6))(舍去)，∴b＝(－3,6)．法三：∵|a|＝eq\r(5)，∴eq\f(1,|a|)a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(5))，－\f(2,\r(5))))，則b＝－3eq\r(5)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,|a|)a))＝(－3,6)．【答案】A5．在△ABC中，點(diǎn)D在線段BC的延長線上，且Beq\o(C,\s\up10(→))＝3Ceq\o(D,\s\up10(→))，點(diǎn)O在線段CD上(與點(diǎn)C，D不重合)，若Aeq\o(O,\s\up10(→))＝xeq\o(AB,\s\up10(→))＋(1－x)Aeq\o(C,\s\up10(→))，則x的取值范圍是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,3)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，0))D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，0))【解析】依題意，設(shè)Beq\o(O,\s\up10(→))＝λeq\o(BC,\s\up10(→))，其中1＜λ＜eq\f(4,3)，則有Aeq\o(O,\s\up10(→))＝Aeq\o(B,\s\up10(→))＋Beq\o(O,\s\up10(→))＝Aeq\o(B,\s\up10(→))＋λeq\o(BC,\s\up10(→))＝Aeq\o(B,\s\up10(→))＋λ(Aeq\o(C,\s\up10(→))－Aeq\o(B,\s\up10(→)))＝(1－λ)Aeq\o(B,\s\up10(→))＋λeq\o(AC,\s\up10(→)).又Aeq\o(O,\s\up10(→))＝xeq\o(AB,\s\up10(→))＋(1－x)Aeq\o(C,\s\up10(→))，且Aeq\o(B,\s\up10(→))，Aeq\o(C,\s\up10(→))不共線，于是有x＝1－λ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，0))，即x的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，0)).【答案】D二、填空題6．若三點(diǎn)A(1，－5)，B(a，－2)，C(－2，－1)共線，則實(shí)數(shù)a的值為．【解析】Aeq\o(B,\s\up10(→))＝(a－1,3)，Aeq\o(C,\s\up10(→))＝(－3,4)，據(jù)題意AB∥AC，∴4(a－1)＝3×(－3)，即4a＝－5，∴a＝－eq\f(5,4).【答案】－eq\f(5,4)7．(2016·冀州模擬)已知向量a＝(1,3)，b＝(m,2m－3)．平面內(nèi)任意向量c都可以唯一地表示為c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是【解析】由題意可知{a，b}為平面向量的一組基底，故a，b不共線．所以2m－3≠3m，所以m≠－3.【答案】{m|m≠－3}8．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若p＝(a＋c，b)，q＝(b－a，c－a)，且p∥q，則角C＝.【解析】因?yàn)閜∥q，則(a＋c)(c－a)－b(b－a)＝0，所以a2＋b2－c2＝ab，eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq\f(1,2)，結(jié)合余弦定理知，cosC＝eq\f(1,2)，又0°＜C＜180°，∴C＝60°.【答案】60°三、解答題9．如圖4-2-4，以向量Oeq\o(A,\s\up10(→))＝a，Oeq\o(B,\s\up10(→))＝b為鄰邊作?OADB，Beq\o(M,\s\up10(→))＝eq\f(1,3)Beq\o(C,\s\up10(→))，Ceq\o(N,\s\up10(→))＝eq\f(1,3)Ceq\o(D,\s\up10(→))，用a，b表示Oeq\o(M,\s\up10(→))，Oeq\o(N,\s\up10(→))，Meq\o(N,\s\up10(→)).圖4-2-4【解】∵Beq\o(A,\s\up10(→))＝Oeq\o(A,\s\up10(→))－Oeq\o(B,\s\up10(→))＝a－b，Beq\o(M,\s\up10(→))＝eq\f(1,6)Beq\o(A,\s\up10(→))＝eq\f(1,6)a－eq\f(1,6)b，∴Oeq\o(M,\s\up10(→))＝Oeq\o(B,\s\up10(→))＋Beq\o(M,\s\up10(→))＝eq\f(1,6)a＋eq\f(5,6)b.∵Oeq\o(D,\s\up10(→))＝a＋b，∴Oeq\o(N,\s\up10(→))＝Oeq\o(C,\s\up10(→))＋eq\f(1,3)Ceq\o(D,\s\up10(→))＝eq\f(1,2)Oeq\o(D,\s\up10(→))＋eq\f(1,6)Oeq\o(D,\s\up10(→))＝eq\f(2,3)Oeq\o(D,\s\up10(→))＝eq\f(2,3)a＋eq\f(2,3)b，∴Meq\o(N,\s\up10(→))＝Oeq\o(N,\s\up10(→))－Oeq\o(M,\s\up10(→))＝eq\f(2,3)a＋eq\f(2,3)b－eq\f(1,6)a－eq\f(5,6)b＝eq\f(1,2)a－eq\f(1,6)b.綜上，Oeq\o(M,\s\up10(→))＝eq\f(1,6)a＋eq\f(5,6)b，Oeq\o(N,\s\up10(→))＝eq\f(2,3)a＋eq\f(2,3)b，Meq\o(N,\s\up10(→))＝eq\f(1,2)a－eq\f(1,6)b.10．(2015·鄭州模擬)已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．設(shè)Aeq\o(B,\s\up10(→))＝a，Beq\o(C,\s\up10(→))＝b，Ceq\o(A,\s\up10(→))＝c，且Ceq\o(M,\s\up10(→))＝3c，Ceq\o(N,\s\up10(→))＝－2b.(1)求3a＋b－3c(2)求滿足a＝mb＋nc的實(shí)數(shù)m、n的值；(3)求M，N的坐標(biāo)及向量Meq\o(N,\s\up10(→))的坐標(biāo)．【解】由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1,8)．(1)3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8)＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)．(2)∵mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－6m＋n＝5，,－3m＋8n＝－5，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝－1，,n＝－1.))(3)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，∵Ceq\o(M,\s\up10(→))＝Oeq\o(M,\s\up10(→))－Oeq\o(C,\s\up10(→))＝3c，∴Oeq\o(M,\s\up10(→))＝3c＋Oeq\o(C,\s\up10(→))＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)，∴M(0,20)．又∵Ceq\o(N,\s\up10(→))＝Oeq\o(N,\s\up10(→))－Oeq\o(C,\s\up10(→))＝－2b，∴Oeq\o(N,\s\up10(→))＝－2b＋Oeq\o(C,\s\up10(→))＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2)，∴N(9,2)，∴Meq\o(N,\s\up10(→))＝(9，－18)．eq\f([能力練],掃盲區(qū)提素能)1．設(shè)向量a＝(1，－3)，b＝(－2,4)，若表示向量4a,3b－2a，c的有向線段首尾相接能構(gòu)成三角形，則向量c為()A．(1，－1)B．(－1,1)C．(－4,6)D．(4，－6)【解析】4a＝(4，－12)，3b－2a＝(－8,18)，設(shè)向量c＝(x，y)，依題意得4a＋(3b－2a)＋c＝0，所以4－8＋x＝0，－12＋18＋y＝0，解得x＝4，y＝－6.【答案】D2．(2015·青島模擬)已知向量a＝(－1,2)，b＝(3，m)，m∈R，則“m＝－6”是“a∥(a＋b)”的()A．充要條件B．充分不必要條件C．必要不充分條件D．既不充分也不必要條件【解析】由已知，得a＋b＝(2,2＋m)．若m＝－6，則a＋b＝(2，－4)，a∥(a＋b)成立；若a∥(a＋b)，則eq\f(2,－1)＝eq\f(m＋2,2)，解得m＝－6，所以“m＝－6”是“a∥(a＋b)”的充要條件，故選A.【答案】A3．已知向量Oeq\o(A,\s\up10(→))＝(3，－4)，Oeq\o(B,\s\up10(→))＝(6，－3)，Oeq\o(C,\s\up10(→))＝(5－m，－3－m)，若點(diǎn)A，B，C能構(gòu)成三角形，則實(shí)數(shù)m滿足的條件是．【解析】因?yàn)镺eq\o(A,\s\up10(→))＝(3，－4)，Oeq\o(B,\s\up10(→))＝(6，－3)，Oeq\o(C,\s\up10(→))＝(5－m，－3－m)，所以Aeq\o(B,\s\up10(→))＝(3,1)，Beq\o(C,\s\up10(→))＝(－m－1，－m)．由于點(diǎn)A，B，C能構(gòu)成三角形，所以Aeq\o(B,\s\up10(→))與Beq\o(C,\s\up10(→))不共線，而當(dāng)Aeq\o(B,\s\up10(→))與Beq\o(C,\s\up10(→))共線時(shí)，有eq\f(3,－m－1)＝eq\f(1,－m)，解得m＝eq\f(1,2)，故當(dāng)點(diǎn)A，B，C能構(gòu)成三角形時(shí)實(shí)數(shù)m滿足的條件是m≠eq\f(1,2).【答案】eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(m\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(m≠\f(1,2)))))4．(2015·成都二診)在如圖4-2-5所示的方格紙中，向量a，b，c的起點(diǎn)和終點(diǎn)均在格點(diǎn)(小正方形頂點(diǎn))上，若c與xa＋yb(x，y為非零實(shí)數(shù))共線，則eq\f(x,y)的值為．圖4-2-5【解析】設(shè)e1，e2為水平方向(向左)與豎直方向(向上)的單位向量，則向量c＝e1－2e2，a＝2e1＋e2，b＝－2e1－2e2，由c與xa＋yb共線，得c＝λeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3a＋\f(5,2)b))，則eq\f(x,y)的值為eq\f(6,5).【答案】eq\f(6,5)5．(2016·萊蕪模擬)如圖4-2-6，已知△OCB中，點(diǎn)C是以A為中心的點(diǎn)B的對(duì)稱點(diǎn)，D是將Oeq\o(B,\s\up10(→))分為2∶1兩部分的一個(gè)內(nèi)分點(diǎn)，DC和OA交于點(diǎn)E，設(shè)Oeq\o(A,\s\up10(→))＝a，Oeq\o(B,\s\up10(→))＝b.圖4-2-6(1)用a和b表示向量Oeq\o(C,\s\up10(→))，Deq\o(C,\s\up10(→))；(2)若Oeq\o(E,\s\up10(→))＝λeq\o(OA,\s\up10(→))，求實(shí)數(shù)λ的值．【解】(1)由題意知，A是BC的中點(diǎn)，且Oeq\o(D,\s\up10(→))＝eq\f(2,3)Oeq\o(B,\s\up10(→)).由平行四邊形法則，得Oeq\o(B,\s\up10(→))＋Oeq\o(C,\s\up10(→))＝2eq\o(OA,\s\up10(→)).∴Oeq\o(C,\s\up10(→))＝2eq\o(OA,\s\up10(→))－Oeq\o(B,\s\up10(→))＝2a－b，Deq\o(C,\s\up10(→))＝Oeq\o(C,\s\up10(→))－Oeq\o(D,\s\up10(→))＝(2a－b)－eq\f(2,3)b＝2a－eq\f(5,3)b.(2)如題圖，Eeq\o(C,\s\up10(→))∥Deq\o(C,\s\up10(→)).又∵Eeq\o(C,\s\up10(→))＝Oeq\o(C,\s\up10(→))－Oeq\o(E,\s\up10(→))＝(2a－b)－λa＝(2－λ)a－b，Deq\o(C,\s\up10(→))＝2a－eq\f(5,3)b，∴eq\f(2－λ,2)＝eq\f(－1,－\f(5,3))，∴λ＝eq\f(4,5).6．如圖4-2-7，G是△OAB的重心，P，Q分別是邊OA，OB上的動(dòng)點(diǎn)，且P，G，Q三點(diǎn)共線．圖4-2-7(1)設(shè)Peq\o(G,\s\up10(→))＝λeq\o(PQ,\s\up10(→))，將Oeq\o(G,\s\up10(→))用λ，Oeq\o(P,\s\up10(→))，Oeq\o(Q,\s\up10(→))表示；(2)設(shè)Oeq\o(P,\s\up10(→))＝xeq\o(OA,\s\up10(→))，Oeq\o(Q