專題2.2一元二次方程的解法：直接開平方法（重難點(diǎn)培優(yōu)）-【拔尖特訓(xùn)】2022-2023學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)尖子生培優(yōu)必刷題（解析版）【浙教版】

【拔尖特訓(xùn)】2022-2023學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)尖子生培優(yōu)必刷題【浙教版】專題2.2一元二次方程的解法：直接開平方法（重難點(diǎn)培優(yōu)）班級(jí)：___________________姓名：_________________得分：_______________注意事項(xiàng)：本試卷滿分120分，試題共23題，其中選擇10道、填空6道、解答7道．答卷前，考生務(wù)必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級(jí)等信息填寫在試卷規(guī)定的位置．一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）在每小題所給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．（2022秋?思明區(qū)校級(jí)月考）一元二次方程x2＝4的解是（）A．2 B．﹣2 C．±2 D．無解【分析】根據(jù)直接開平方法解一元二次方程即可求解．【解答】解：x2＝4，解得：x＝±2，故選：C．2．（2021秋?丹鳳縣期末）方程x2﹣4＝0的解為（）A．x＝2 B．x＝﹣2 C．x1＝0，x2＝2 D．x1＝2，x2＝﹣2【分析】利用直接開平方法求解即可．【解答】解：∵x2﹣4＝0，∴x2＝4，∴x1＝2，x2＝﹣2，故選：D．3．（2022秋?順平縣期中）一元二次方程x2+1＝0的根是（）A．x1＝x2＝1 B．x1＝x2＝﹣1 C．x1＝﹣1，x2＝1 D．無根【分析】根據(jù)根的判別式即可判定方程無實(shí)數(shù)根．【解答】解：x2+1＝0，∵a＝1，b＝0，c＝1，∴Δ＝b2﹣4ac＝02﹣4×1×1＝﹣4＜0，故一元二次方程x2+1＝0沒有實(shí)數(shù)根．故選：D．4．（2022秋?江都區(qū)期中）若x＝1是方程ax2﹣2＝1的解，則a的值為（）A．1 B．﹣1 C．﹣3 D．3【分析】將x＝1代入原方程即可計(jì)算出a的值．【解答】解：將x＝1代入ax2﹣2＝1得：a﹣2＝1，解得a＝3．故選：D．5．（2022秋?建華區(qū)校級(jí)期中）對(duì)于方程37（x﹣2）2＝42的兩根，下列判斷正確的是（）A．一根小于1，另一根大于3 B．一根小于﹣2，另一根大于2 C．兩根都小于0 D．兩根都大于2【分析】先變形得到（x﹣2）2=4237，再利用直接開平方法解方程得到x1＝2+4237，x2＝2-42【解答】解：37（x﹣2）2＝42，（x﹣2）2=42x﹣2＝±4237解得x1＝2+4237，x2＝2∵1＜4237∴x1＞3，x2＜1．故選：A．6．（2022秋?奉賢區(qū)校級(jí)期中）要使方程ax2+b＝0有實(shí)數(shù)根，則條件是（）A．a(chǎn)≠0，b＞0 B．a(chǎn)≠0，b＜0 C．a(chǎn)≠0，a，b異號(hào)或b＝0 D．a(chǎn)≠0，b≤0【分析】由于ax2+b＝0可以變?yōu)閍x2＝﹣b，若方程有解，那么a≠0，并且ab≤0，由此即可確定方程ax2+b＝0有實(shí)數(shù)根的條件．【解答】解：∵ax2+b＝0，∴ax2＝﹣b，若方程有解，∴a≠0，并且ab≤0，∴a≠0，a，b異號(hào)或b＝0．故選：C．7．（2021秋?防城港期末）如圖是一個(gè)簡(jiǎn)單的數(shù)值運(yùn)算程序，則輸入x的值為（）A．±2 B．±3 C．3或﹣1 D．2或﹣1【分析】利用運(yùn)算程序得到2（x﹣1）2＝8，利用直接開平方法解方程即可．【解答】解：根據(jù)題意2（x﹣1）2＝8，∴（x﹣1）2＝4，∴x﹣1＝±2，∴x1＝3，x2＝﹣1．故選：C．8．（2022秋?南召縣月考）關(guān)于一元二次方程2022（x﹣2）2＝2023的兩個(gè)根判斷正確的是（）A．一根小于1，另一根大于3 B．一根小于﹣2，另一根大于2 C．兩根都小于0 D．兩根都小于2【分析】先把方程變形為（x﹣2）2=20232022，再利用直接開平方法解方程得到x1＝2+20232022，x2＝2-【解答】解：2022（x﹣2）2＝2023，（x﹣2）2=2023x﹣2＝±20232022所以x1＝2+20232022，x2＝2∵20232022＞∴方程的一根小于1，另一根大于3．故選：A．9．（2022秋?路北區(qū)校級(jí)月考）關(guān)于x的方程（x﹣2）2＝1﹣m無實(shí)數(shù)根，那么m滿足的條件是（）A．m＞2 B．m＜2 C．m＞1 D．m＜1【分析】方程左邊是一個(gè)式的平方，根據(jù)平方的非負(fù)性，得關(guān)于m的不等式，求解不等式即可．【解答】解：當(dāng)1﹣m＜0時(shí)，方程無解．即m＞1．故選：C．10．（2022秋?儀征市期中）關(guān)于x的方程a（x+m）2+b＝0的解是x1＝﹣2，x2＝1（a，m，b均為常數(shù)，a≠0），則方程a（x﹣m+2）2+b＝0的解是（）A．x1＝0，x2＝﹣3 B．x1＝0，x2＝3 C．x1＝﹣4，x2＝﹣1 D．無法求解【分析】把方程a（x﹣m+2）2+b＝0變形為a[（﹣x﹣2）+m]2+b＝0，所以可以把方程a（x﹣m+2）2+b＝0看作關(guān)于（﹣x﹣2）的一元二次方程，根據(jù)題意得﹣x﹣2＝﹣2或﹣x﹣2＝1，然后解一次方程即可．【解答】解：把方程a（x﹣m+2）2+b＝0變形為a[（﹣x﹣2）+m]2+b＝0，則方程a（x﹣m+2）2+b＝0看作關(guān)于（﹣x﹣2）的一元二次方程，∵a（x+m）2+b＝0的解是x1＝﹣2，x2＝1，∴﹣x﹣2＝﹣2或﹣x﹣2＝1，解得x1＝0，x2＝﹣3，即方程a（x﹣m+2）2+b＝0的解是x1＝0，x2＝﹣3．故選：A．二、填空題（本大題共6小題，每小題4分，共24分）請(qǐng)把答案直接填寫在橫線上11．（2022秋?青浦區(qū)校級(jí)期中）解方程：（x﹣2）2﹣9＝0的根是x1＝5，x2＝﹣1．【分析】移項(xiàng)，開方，即可得出兩個(gè)一元一次方程，求出方程的解即可．【解答】解：移項(xiàng)得：（x﹣2）2＝9，開方得：x﹣2＝±3，解得：x1＝5，x2＝﹣1．故答案為：x1＝5，x2＝﹣1．12．（2022春?南湖區(qū)校級(jí)期中）若關(guān)于x的一元二次方程x2＝a的兩個(gè)根分別是2m﹣1與m﹣5，則a＝9．【分析】利用直接開平方法解方程x2＝a得到方程的兩根互為相反數(shù)，則2m﹣1+m﹣5＝0，則可計(jì)算出m＝3，再計(jì)算2m﹣1的平方即可．【解答】解：根據(jù)題意得2m﹣1+m﹣5＝0，解得m＝2，∴2m﹣1＝3，∴a＝32＝9．故答案為：9．13．（2022秋?江陰市校級(jí)月考）給出一種運(yùn)算：對(duì)于函數(shù)y＝xn，規(guī)定y′＝nxn﹣1．例如：若函數(shù)y＝x5，則有y′＝5x4．已知函數(shù)y＝x3，y′＝12，則x的值是±2．【分析】根據(jù)定義的新運(yùn)算可得3x2＝12，然后再利用解一元二次方程﹣直接開平方法，進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：∵y＝x3，y′＝12，∴3x2＝12，x2＝4，x＝±2，故答案為：±2．14．（2022秋?溧陽市期中）定義一種運(yùn)算“⊕”，其規(guī)則為a⊕b＝a2﹣b2+5，則方程x⊕3＝0的解為x1＝2，x2＝﹣2．【分析】先根據(jù)新定義得到x2﹣32+5＝0，再移項(xiàng)得x2＝4，然后利用直接開平方法求解．【解答】解：∵x⊕3＝0，∴x2﹣32+5＝0，∴x2＝4，所以x1＝2，x2＝﹣2．故答案為：x1＝2，x2＝﹣2．15．（2022秋?尤溪縣期中）對(duì)于解一元二次方程（x+3）2＝4，通過降次轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次方程，其中一個(gè)一元一次方程是x+3＝2，則另一個(gè)一元一次方程是x+3＝﹣2．【分析】利用解一元二次方程﹣直接開平方法，進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：（x+3）2＝4，∴x+3＝±2，∴x+3＝2或x+3＝﹣2，故答案為：x+3＝﹣2．16．（2022秋?梁溪區(qū)校級(jí)期中）已知關(guān)于x的方程a（x+m）2+p＝0（a、m、p為常數(shù)，a≠0）的解是x1＝1，x2＝﹣3，那么方程a（x+m+3）2+p＝0的解為x1＝﹣2，x2＝﹣6．【分析】把方程a（x+m+3）2+p＝0看作關(guān)于x+3的一元二次方程，則利用關(guān)于x的方程a（x+m）2+p＝0的解是x1＝1，x2＝﹣3，所以x+3＝1或x+3＝﹣3，然后解一次方程即可．【解答】解：把方程a（x+m+3）2+p＝0看作關(guān)于x+3的一元二次方程，∵關(guān)于x的方程a（x+m）2+p＝0（a、m、p為常數(shù)，a≠0）的解是x1＝1，x2＝﹣3，∴方程a（x+m+3）2+p＝0的解滿足x+3＝1或x+3＝﹣3，解得x1＝﹣2，x2＝﹣6，即方程a（x+m+3）2+p＝0的解為x1＝﹣2，x2＝﹣6．故答案為：x1＝﹣2，x2＝﹣6．三、解答題（本大題共7小題，共66分．解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17．解下列方程：（1）x2﹣1＝11；（2）16x2＝5；（3）0.2x2-35（4）9﹣（x﹣1）2＝0．【分析】根據(jù)直接開平方法解一元二次方程的步驟依次計(jì)算可得．【解答】解：（1）∵x2﹣1＝11，∴x2＝12，則x1＝23，x2＝﹣23；（2）∵16x2＝5，∴x2=5則x1=54，x2（3）∵0.2x2-35∴0.2x2=3則x2＝3，∴x1=3，x2=-（4）∵9﹣（x﹣1）2＝0，∴（x﹣1）2＝9，則x﹣1＝3或x﹣1＝﹣3，∴x1＝4，x2＝﹣2．18．用直接開方法解下列方程：（1）（x+5）（x-5）＝（2）4（2y﹣3）2＝9（y﹣1）2．【分析】（1）先將方程整理為x2＝13，再直接開平方即可得；（2）直接開平方可得2（2y﹣3）＝3（y﹣1）或2（2y﹣3）＝﹣3（y﹣1），再分別求解即可得．【解答】解：（1）∵（x+5）（x-5）＝∴x2﹣5＝8，則x2＝13，∴x＝±13，即x1=13，x2=-（2）∵4（2y﹣3）2＝9（y﹣1）2，∴2（2y﹣3）＝3（y﹣1）或2（2y﹣3）＝﹣3（y﹣1），解得：y1＝3，y219．用直接開平方法解方程：（1）（2x-2）2＝6（2）3（x﹣1）2﹣6＝0；（3）（x+3）（x﹣3）＝9；（4）（x+2）2＝（1+2）【分析】（1）利用直接開平方法求解可得；（2）利用直接開平方法求解可得；（3）先整理成x2＝18，再直接開平方可得；（4）利用直接開平方法求解可得．【解答】解：（1）∵（2x-2）2＝6∴2x-2＝±6解得x1=2（2）∵3（x﹣1）2﹣6＝0，∴3（x﹣1）2＝6，則（x﹣1）2＝2，∴x﹣1=±2∴x1=1+2（3）∵（x+3）（x﹣3）＝9，∴x2﹣9＝9，則x2＝18，∴x=±32，即x1＝32，x2＝﹣32（4）∵（x+2）2＝（1+2）∴x+2=1+2或x+解得x1＝1，x220．在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)定義一種新運(yùn)算“※”，其規(guī)則為a※b＝（a﹣1）2﹣b2．根據(jù)這個(gè)規(guī)則，求方程（x+3）※5＝0的解．【分析】根據(jù)新定義列出方程，利用直接開平方法解出方程．【解答】解：由題意得，方程（x+3）※5＝0，化為（x+3﹣1）2﹣52＝0，整理得，（x+2）2＝25，則x+2＝±5，解得，x1＝3，x2＝﹣7．21．用直接開平方法解一元二次方程4（2x﹣1）2﹣25（x+1）2＝0．解：移項(xiàng)，得4（2x﹣1）2＝25（x+1）2.①直接開平方，得2（2x﹣1）＝5（x+1）．②∴x＝﹣7．③上述解題過程有無錯(cuò)誤？若有，錯(cuò)在第②步，原因是直接開平方求的是平方根，而不是算術(shù)平方根，請(qǐng)寫出正確的解答過程．【分析】首先需要對(duì)4（2x﹣1）2﹣25（x+1）2＝0移項(xiàng)；通過移項(xiàng)可得4（2x﹣1）2＝25（x+1）2，對(duì)方程的兩邊直接開平方還可得到2（2x﹣1）＝±5（x+1）；再對(duì)方程2（2x﹣1）＝5（x+1）和方程2（2x﹣1）＝﹣5（x+1）分別求解，即可確定原方程的解，進(jìn)而找到過程中錯(cuò)誤之處．【解答】解：所給解題過程有錯(cuò)誤，錯(cuò)在第②步，原因是直接開平方求的是平方根，而不是算術(shù)平方根．正確的解答過程如下：移項(xiàng)，得4（2x﹣1）2＝25（x+1）2，直接開平方，得2（2x﹣1）＝±5（x+1），即2（2x﹣1）＝5（x+1）或2（2x﹣1）＝﹣5（x+1），所以x1＝﹣7，x2=-1故答案為：②，直接開平方求的是平方根，而不是算術(shù)平方根．22．（2022秋?社旗縣期中）填空：解方程：100（1﹣x）2＝81①你選用的解法是直接開平方法．②直接寫出該方程的解是x1＝0.1，x2＝1.9．③請(qǐng)你結(jié)合生活經(jīng)驗(yàn)，設(shè)計(jì)一個(gè)問題，使它能利用建立方程模型“100（1﹣x）2＝81”來解決．你設(shè)計(jì)的問題是：某種藥品的原價(jià)是100元，經(jīng)過兩次降價(jià)后的價(jià)格是81元，那么平均每次降價(jià)的百分率是多少？．【分析】①利用解一元二次方程﹣直接開平方法，即可解答；②利用解一元二次方程﹣直接開平方法，進(jìn)行計(jì)算即可解答；③根據(jù)生活經(jīng)驗(yàn)，設(shè)計(jì)一個(gè)問題，即可解答．【解答】解：①我選用的解法是直接開平方法，故答案為：直接開平方法；②100（1﹣x）2＝81，（1﹣x）2＝0.81，1﹣x＝±0.9，1﹣x＝0.9或1﹣x＝﹣0.9，x1＝0.1，x2＝1.9，故答案為：x1＝0.1，x2＝1.9；③我設(shè)計(jì)的問題是：某種藥品的原價(jià)是100元，經(jīng)過兩次降價(jià)后的價(jià)格是81元，那么平均每次降價(jià)的百分率是多少？故答案為：某種藥品的原價(jià)是