蘇科版九年級上月考數(shù)學(xué)試卷含解析

九年級（上）月考數(shù)學(xué)試卷（12月份）

一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分.在每小題給出的四個選

項中，只有一項是正確的，請把正確選項的字母代號填在下表中相應(yīng)的題號下）

1.下列各式中，y是x的二次函數(shù)的是（）

A.y=ax2+bx+cB.x2+y-2=0C.y2-ax=-2D.x2-y2+l=0

2.在同一坐標(biāo)系中，作y=2x2、y=-2x2、y=0.5x2的圖象，它們共同特點是（）

A.都是關(guān)于x軸對稱，拋物線開口向上

B.都是關(guān)于原點對稱，頂點都是原點

C.都是關(guān)于y軸對稱，拋物線開口向下

D.都是關(guān)于y軸對稱，頂點都是原點

3.拋物線y=x2-m為（）

A.0B.1C.-ID.±1

4.把二次函數(shù)y=x2-2x-1配方成頂點式為（）

A.y=（x-1）2B.y=（x+1）2-2C.y=（x+1）2+lD.y=（x-1）2-2

5.如圖所示，^ABC的頂點是正方形網(wǎng)格的格點，則sinA的值為（）

6.如圖，從熱氣球C處測得地面A、B兩點的俯角分別是30。、45°,如果此時

熱氣球C處的高度CD為100米，點A、D、B在同一直線上，則AB兩點的距離

A.200米B.200?米C.220?米D.100(V3+I)米

7.如圖，在RSABC中，ZC=90°,AB=6,cosB=-1,則BC的長為()

J

9.如圖，PA,PB切。。于A、B兩點，CD切€）0于點E,交PA,PB于C,D.若

O0的半徑為r,△PCD的周長等于3r,則tanNAPB的值是（)

V13V13

D3

3

已知拋物線（）（）與軸交于點與軸交于點則

10.y=ax+1x—axA,B,yC,

能使4ABC為等腰三角形的a的值有（）

A.2個B.3個C.4個D.5個

二、填空題：（本大題共8小題，每小題2分，共16分.不需寫出解答過程，請

將答案直接填寫在下面答題欄內(nèi)的相應(yīng)位置）

11.（2分）若銳角e滿足2sin;血=0,則。=°.

12.（2分）函數(shù)y=（m-l/m+1-2m=.

13.（2分）拋物線y=-x2-2x+3與x軸交點為.

14.（2分）拋物線y=x2-=.

15.（2分）拋物線y=x2+4x+3在x軸上截得的線段的長度是—.

16.（2分）如圖，在由邊長相同的小正方形組成的網(wǎng)格中，點A、B、C、D都

在這些小正方形的頂點上，AB、CD相交于點P,則cos/APD=

17.（2分）如圖，某公園入口處原有三級臺階，每級臺階高為18cm,深為30cm,

為方便殘疾人士，擬將臺階改為斜坡，設(shè)臺階的起點為A,斜坡的起始點為C,

現(xiàn)設(shè)計斜坡BC的坡度i=l：5,則AC的長度是—cm.

18.（2分）如圖，邊長為5的等邊三角形ABC中，M是高CH所在直線上的一

個動點，連接MB,將線段BM繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60。得到BN,連接HN.則在

點M運動過程中，線段HN長度的最小值是—.

三、解答題（本大題共有10小題，共84分.解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過

程或演算步驟）

19.(8分)解方程:

(1)x2-5x+6=0；

(2)x(x-6)=4.

20.（8分）求下列各式的值

(1)sin260o+cos60°tan45°；

cos30°

4-tan60

(2l+sin30

21.（6分）如圖，豎立在點B處的標(biāo)桿AB高2.4m,站立在點F處的觀察者從

點E處看到標(biāo)桿頂A、樹頂C在一條直線上，設(shè)BD=8m,FB=2m,EF=1.6m,求

樹昌jCD.

22.（6分）根據(jù)條件求函數(shù)的關(guān)系式

（1）已知二次函數(shù)y=x2+bx+c經(jīng)過（-2,5）和（2,-3）兩點，求該函數(shù)的

關(guān)系式；

（2）已知二次函數(shù)的圖象以A（-1,4）為頂點，且過點B（2,-5）,求該

函數(shù)的關(guān)系式.

23.（8分）如圖，小島A在港口P的南偏東45。方向，距離港口100海里處.甲

船從A出發(fā)，沿AP方向以10海里/小時的速度駛向港口，乙船從港口P出發(fā)，

沿北偏東30。方向，以20海里/小時的速度駛離港口.現(xiàn)兩船同時出發(fā)，出發(fā)后

幾小時乙船在甲船的正北方向？（結(jié)果精確到0.1小時）（參考數(shù)據(jù)^^1.41,

24.（10分）由于霧霾天氣對人們健康的影響，市場上的空氣凈化器成了熱銷

產(chǎn)品.某公司經(jīng)銷一種空氣凈化器，每臺凈化器的成本價為200元.經(jīng)過一段時

間的銷售發(fā)現(xiàn)，每月的銷售量y（臺）與銷售單價x（元）的關(guān)系為y=-2X+1000.

（1）該公司每月的利潤為w元，寫出利潤w與銷售單價x的函數(shù)關(guān)系式；

（2）若要使每月的利潤為40000元，銷售單價應(yīng)定為多少元？

（3）公司要求銷售單價不低于250元，也不高于400元，求該公司每月的最高

利潤和最低利潤分別為多少？

25.（8分）有一座拋物線形拱橋，正常水位時橋下水面寬度為20m,拱頂距離

水面4m.

（1）在如圖所示的直角坐標(biāo)系中，求出該拋物線的解析式；

（2）設(shè)正常水位時橋下的水深為2m,為保證過往船只順利航行，橋下水面的寬

度不得小于18m,求水深超過多少米時就會影響過往船只在橋下的順利航行.

R才正籬水位C

3

26.（10分）如圖，已知直線I的函數(shù)表達式為x+3,它與x軸、y軸的交點

分別為A、B兩點.

（1）求點A、點B的坐標(biāo)；

（2）設(shè)F是x軸上一動點，OP經(jīng)過點B且與x軸相切于點F設(shè)。P的圓心坐標(biāo)

為P（x,y）,求y與x的函數(shù)關(guān)系式；

（3）是否存在這樣的。P,既與x軸相切又與直線I相切于點B?若存在，求出

圓心P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

->

X

27.（10分）如圖1,在菱形ABCD中，AB=J^,tan/ABC=2,點E從點D出

發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿著射線DA的方向勻速運動，設(shè)運動時間為t

（秒），將線段CE繞點C順時針旋轉(zhuǎn)一個角a（a=NBCD）,得到對應(yīng)線段CF.

（1）求證：BE=DF；

（2）當(dāng)1=秒時，DF的長度有最小值，最小值等于；

(3)如圖2,連接BD、EF、BD交EC、EF于點P、Q,當(dāng)t為何值時，△EPQ是

直角三角形？

(4)如圖3,將線段CD繞點C順時針旋轉(zhuǎn)一個角a(a=NBCD),得到對應(yīng)線

段CG.在點E的運動過程中，當(dāng)它的對應(yīng)點F位于直線AD上方時，直接寫出點

F到直線AD的距離v關(guān)于時間t的函數(shù)表達式.

28.(10分)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，己知點。(0,0),A(5,0),B

(4,4).

(1)求過0、B、A三點的拋物線的解析式.

(2)在第一象限的拋物線上存在點M,使以。、A、B、M為頂點的四邊形面積

最大，求點M的坐標(biāo).

(3)作直線的值.

/'B

rX

-江蘇省無錫市東湖塘中學(xué)九年級（上）月考數(shù)學(xué)試卷（12

月份）

參考答案與試題解析

一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分.在每小題給出的四個選

項中，只有一項是正確的，請把正確選項的字母代號填在下表中相應(yīng)的題號下）

1.下列各式中，y是x的二次函數(shù)的是（）

A.y=ax2+bx+cB.x2+y-2=0C.y2-ax=-2D.x2-y2+l=0

【考點】二次函數(shù)的定義.

【分析】利用二次函數(shù)的定義：一般地，形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常數(shù)，a

W0）的函數(shù)，叫做二次函數(shù)解答.

【解答】解：A、y=ax2+bx+c,應(yīng)說明a#0,故此選項錯誤；

B、*2+丫-2=0可變?yōu)檠?-*2+2,是二次函數(shù)，故此選項正確；

C、y2-ax=-2不是二次函數(shù)，故此選項錯誤；

D、x2-y2+l=0不是二次函數(shù)，故此選項錯誤；

故選：B.

【點評】本題考查二次函數(shù)的定義，關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)定義.

2.在同一坐標(biāo)系中，作y=2x\y=-2x\y=0.5x2的圖象,它們共同特點是（）

A.都是關(guān)于x軸對稱，拋物線開口向上

B.都是關(guān)于原點對稱，頂點都是原點

C.都是關(guān)于y軸對稱，拋物線開口向下

D.都是關(guān)于y軸對稱，頂點都是原點

【考點】二次函數(shù)的性質(zhì).

【分析】根據(jù)拋物線y=ax2的特征進行判斷即可.

【解答】解：在二次函數(shù)y=ax2中，其圖象關(guān)于y軸對稱，頂點為原點，

Vy=2x2>y=-2x2>y=0.5x2都是y=ax?類型的二次函數(shù),

，y=2x2、y=-2x2、y=0.5x2的圖象關(guān)于y軸對稱，且頂點都是原點.

故選D.

【點評】本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)，掌握y=ax2的圖象關(guān)于y軸對稱，頂點

為原點是解題的關(guān)鍵.

3.拋物線y=x2-m為()

A.0B.1C.-1D.±1

【考點】二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征.

【分析】把原點坐標(biāo)代入拋物線y=x2-m2+l=O,

所以m=±1.

故選D.

【點評】此題考查了點與函數(shù)的關(guān)系，點在圖象上，將點代入函數(shù)解析式即可求

得.

4.把二次函數(shù)y=x2-2x-l配方成頂點式為()

A.y=(x-1)2B.y=(x+1)2-2C.y=(x+1)2+lD.y=(x-1)2-2

【考點】二次函數(shù)的三種形式.

【分析】利用配方法把一般式配成頂點式即可.

【解答】解:y=x2-2x+l-2

=(x-1)2-2.

故選D.

【點評】本題考查了二次函數(shù)的三種形式：一般式：y=ax2+bx+c(a,b,c是常

數(shù)，aWO),該形式的優(yōu)勢是能直接根據(jù)解析式知道拋物線與y軸的交點坐標(biāo)是

(0,c)；頂點式：y=a(x-h)2+k(a,h,k是常數(shù)，aWO),其中(h,k)

為頂點坐標(biāo)，該形式的優(yōu)勢是能直接根據(jù)解析式得到拋物線的頂點坐標(biāo)為(h,k)；

交點式：y=a(x-Xi)(x-x2)(a,b,c是常數(shù)，aWO),該形式的優(yōu)勢是能

直接根據(jù)解析式得到拋物線與x軸的兩個交點坐標(biāo)(X1，0),(X2,0).

5.如圖所示，^ABC的頂點是正方形網(wǎng)格的格點，則sinA的值為()

【考點】銳角三角函數(shù)的定義；勾股定理.

【分析】利用網(wǎng)格構(gòu)造直角三角形，根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義解答.

【解答】解：如圖：在B點正上方找一點D,使BD=BC,連接CD交AB于0,

根據(jù)網(wǎng)格的特點，CD_LAB,

在RtAAOC中，

的而理；

ACV12+32網(wǎng).

則皿器痛V-

【點評】本題考查了銳角三角函數(shù)的定義和勾股定理，作出輔助線CD并利用網(wǎng)

格構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵.

6.如圖，從熱氣球C處測得地面A、B兩點的俯角分別是30。、45°,如果此時

熱氣球C處的高度CD為100米，點A、D、B在同一直線上，則AB兩點的距離

是（）

A.200米B.20^3米c.22r米D.100^+1）米

【考點】解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題.

【分析】圖中兩個直角三角形中，都是知道已知角和對邊，根據(jù)正切函數(shù)求出鄰

邊后，相加求和即可.

【解答】解：由已知，得NA=30°,ZB=45",CD=100,

VCD±AB于點D.

4dCD

.,.在RQACD中，ZCDA=90°,tanA而，

CD100V3

.?.ADtanA返=100

T

在RtZ\BCD中，ZCDB=90°,ZB=45°

.\DB=CD=100米，

，AB=AD+DB=103虧+100=1004+1）米.

故選D.

【點評】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，解決本題的關(guān)鍵是利用CD為直角△

ABC斜邊上的高，將三角形分成兩個三角形，然后求解.分別在兩三角形中求出

AD與BD的長.

2

7.如圖，在RtAABC中，ZC=90°,AB=6,cosBy,則BC的長為（）

【考點】銳角三角函數(shù)的定義.

【分析】根據(jù)cosB看，可答4,再把AB的長代入可以計算出CB的長.

DADD

9

【解答】解：?.,cosB^,

CB2

AB~3,

VAB=6,

2

...CBWX6=4,

o

故選：A.

【點評】此題主要考查了銳角三角函數(shù)的定義，關(guān)鍵是掌握余弦：銳角A的鄰邊

b與斜邊c的比叫做NA的余弦.

8.已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c,若a>0,cVO,那么它的圖象大致是（）

【考點】二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系.

【分析】根據(jù)a的符號確定拋物線的開口方向，根據(jù)c的符號確定拋物線與y軸

的交點.

【解答】解：?.,二次函數(shù)y=ax2+bx+c,a>0,c<0,

二拋物線開口向上，與y軸交點在x軸的下方，

故選A.

【點評】本題考查的是二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，對于二次函數(shù)y=ax2+bx+c

（aWO）來說，①二次項系數(shù)a決定拋物線的開口方向和大小.

當(dāng)a>0時，拋物線向上開口；當(dāng)a<0時，拋物線向下開口；|a|還可以決定開

口大小，|a|越大開口就越?。虎谝淮雾椣禂?shù)b和二次項系數(shù)a共同決定對稱軸

的位置.

當(dāng)a與b同號時（即ab>0）,對稱軸在y軸左；當(dāng)a與b異號時（即ab<0）,

對稱軸在y軸右（簡稱：左同右異）；③常數(shù)項c決定拋物線與y軸交點.拋物

線與y軸交于（0,C）；④拋物線與x軸交點個數(shù).△=b2-4ac>0時，拋物線

與x軸有2個交點；442-4ac=0時，拋物線與x軸有1個交點；442-4ac<

0時，拋物線與x軸沒有交點.

9.如圖，PA,PB切。。于A、B兩點，CD切€）0于點E,交PA,PB于C,D.若

。。的半徑為r,4PCD的周長等于3r,則tan/APB的值是（）

【考點】切線的性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì)；銳角三角函數(shù)的定義.

【分析】（1）連接OA、OB、0P,延長B。交PA的延長線于點F.利用切線求

32

得CA=CE,DB=DE,PA=PB再得出PA=PByr.利用RtABFP^RTAOAF得出AF^

FB,在RTZ\FBP中，利用勾股定理求出BF,再求tanNAPB的值即可.

【解答】解：連接OA、OB、0P,延長B。交PA的延長線于點F.

VPA,PB切。。于A、B兩點，CD切。。于點E

AZOAF=ZPBF=90°,CA=CE,DB=DE,PA=PB,

APCD的周長=PC+CE+DE+PD=PC+AC+PD+DB=PA+PB=3r,

3

/.PA=PByr.

在RtAPBF和RtAOAF中，

fZFAO=ZFBP

IZOFA=ZPFB，

RtAPBF^RtAOAF.

AFAOr2

FBBP,

~2T

2

AAFyFB,

在RtAFBP中，

VPF2-PB2=FB2

，(PA+AF)2-PB2=FB2

323

AyryBF)2-yr)2=BF2,

1o

解得BF爸r,

BF^8_22

PBVrV

.e.tanZAPB=飛=,

~2T

故選：B.

【點評】本題主要考查了切線的性質(zhì)，相似三角形及三角函數(shù)的定義，解決本題

的關(guān)鍵是切線與相似三角形相結(jié)合，找準線段及角的關(guān)系.

3

10.已知拋物線y=a(x+1)(x—)與x軸交于點A,B,與y軸交于點C,則

a

能使AABC為等腰三角形的a的值有()

A.2個B.3個C.4個D.5個

【考點】拋物線與x軸的交點；等腰三角形的判定.

【分析】整理拋物線解析式，確定出拋物線與x軸的一個交點A和y軸的交點C,

然后求出AC的長度，再分①a>0時，點B在x軸正半軸時，分AC=BC、AC=AB、

AB=BC三種情況求解；②aVO時，點B在x軸的負半軸時，點B只能在點A的

左邊，只有AC=AB一種情況列式計算即可.

3

【解答】解：解法1：y=a(x+1)XT-)=(x+1)(ax-3),

(a

所以，拋物線經(jīng)過點A(-1,0),C(0,-3),

222

ACVOA+OCVl+38，

3

點B坐標(biāo)為二，0),

①k>0時，點B在x正半軸上，

若AC=BC,J(-|-)2+32=VTO，解得a=3,

若AC=AB,三+1網(wǎng)，解得a駕乜，

aJ

若AB=BC,曰+l^(-1)2+32,解得a,；

②kVO時，點B在x軸的負半軸，點B只能在點A的左側(cè)，

只有AC=AB,則-1?盧\解得2=碧二，

所以，能使^ABC為等腰三角形的a的值有4個.

解法2：易得拋物線一定過兩個定點：(-1,0),(0,-3),連接這兩個定

點，得到一條線段，以這條線段為底邊可以在橫軸上找一點構(gòu)成等腰三角形，以

這條線段為腰，分別以兩個定點為頂點可以在橫軸上找到三個點構(gòu)成等腰三角形,

所以共有四個點可以與定點構(gòu)成等腰三角形，從而可以確定四個形狀不同的拋物

線，所以a有四個值.

【點評】本題考查了拋物線與x軸的交點問題，根據(jù)拋物線的解析式確定出拋物

線經(jīng)過的兩個定點是解題的關(guān)鍵，注意分情況討論，此題有一定的難度.

二、填空題：(本大題共8小題，每小題2分，共16分.不需寫出解答過程，請

將答案直接填寫在下面答題欄內(nèi)的相應(yīng)位置)

11.若銳角。滿足2sin[&=°,則。=45

【考點】特殊角的三角函數(shù)值.

【分析】先根據(jù)題意得出sinQ的值，再由特殊角的三角函數(shù)值即可得出結(jié)論.

【解答】解：,?,2sin1仔。,

/.sin

???0為銳角，

.,.0=45°.

故答案為：45.

【點評】本題考查的是特殊角的三角函數(shù)值，熟記各特殊角的三角函數(shù)值是解答

此題的關(guān)鍵.

z+1

12.函數(shù)y=(m-1x-2m=-1.

【考點】二次函數(shù)的定義.

【分析】根據(jù)二次函數(shù)的定義列出不等式求解即可.

2

【解答】解：由y=(m-l,xm+1-2mx+l是拋物線，得

/in2+l=2

IB-1盧0，

解得m=-l,m=l(不符合題意舍去)，

故答案為：-L

【點評】本題考查二次函數(shù)的定義，二次函數(shù)的二次項系數(shù)不能為零是解題關(guān)鍵.

13.拋物線y=-x2-2x+3與x軸交點為(-3,0),(1,0).

【考點】拋物線與x軸的交點.

【分析】直接得出y=o時x的值，進而得出答案.

【解答］解:當(dāng)y=0,則0=-x?-2x+3,

x2+2x-3=0,

則(x+3)(x-1)=0,

解得：X1=-3,X2=l,

故拋物線y=-x2-2x+3與x軸交點為：(-3,0),(1,0).

故答案為：(-3,0),(1,0).

【點評】此題主要考查了拋物線與x軸交點求法，正確解方程是解題關(guān)鍵.

14.拋物線y=x2-.

【考點】二次函數(shù)的性質(zhì).

【分析】把拋物線方程化為頂點式，令其縱坐標(biāo)為。即可求得m.

【解答】解：Vy=x2-x+m=（xy）2+mj,

,其頂點坐標(biāo)為a,m2）,

?.?頂點在x軸上，

A=0,解得心.

故答案為春.

【點評】本題主要考查二次函數(shù)的頂點坐標(biāo)，掌握二次函數(shù)的頂點式是解題的關(guān)

鍵.

15.拋物線y=x2+4x+3在x軸上截得的線段的長度是2.

【考點】拋物線與x軸的交點.

【分析】先設(shè)出拋物線與X軸的交點，再根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系求出X1+X2及X1?X2

的值，再由完全平方公式求解即可.

【解答】解：設(shè)拋物線與X軸的交點為：（Xi，0）,（X2,0）,

'."X1+X2=-4,X1*X2=3,

|Xi-X2I1+x~2^1~~2=2,

...拋物線y=x2+4x+3在x軸上截得的線段的長度是2.

故答案為：2.

【點評】本題考查的是拋物線與X軸的交點問題，能由根與系數(shù)的關(guān)系得到X1+X2

及X1?X2的值是解答此題的關(guān)鍵.

16.如圖，在由邊長相同的小正方形組成的網(wǎng)格中，點A、B、C、D都在這些小

正方形的頂點上，AB、CD相交于點P,則COSNAPDM24國.

【考點】相似三角形的判定與性質(zhì)；銳角三角函數(shù)的定義.

【分析】作AE1CD于E,由DB：AC=1：3,求出4APC的面積，線段AP、PC

的長，在RT/XAPE中可以求出cosNAPD.

【解答】解：如圖作AE±CD交CD的延長線于E,

DBPBPD1

ACPAPC?)

C2222

VDV1+1,ABV1+3網(wǎng)“ABC邁畤^世，

?，?SAAPC|-f看，PC，l平AP1率,

19

I?CP?AE9，

AAE^-,

?7AP2-AE22/58

**PE4

.,PE^,/145

..cos/APD而飛-

故答案弋黃.

【點評】本題考查了勾股定理、平行線性質(zhì)、三角形的面積的計算、三角函數(shù)等

知識，構(gòu)造直角三角形是解三角函數(shù)問題的常用方法，用面積法求高是解題的關(guān)

鍵.

17.如圖，某公園入口處原有三級臺階，每級臺階高為18cm,深為30cm,為方

便殘疾人士，擬將臺階改為斜坡，設(shè)臺階的起點為A,斜坡的起始點為C,現(xiàn)設(shè)

計斜坡BC的坡度i=l：5,則AC的長度是210cm.

【考點】解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問題.

【分析】首先過點B作BD_LAC于D,根據(jù)題意即可求得AD與BD的長，然后由

斜坡BC的坡度i=l：5,求得CD的長，繼而求得答案.

【解答】解：過點B作BDLAC于D,

根據(jù)題意得：AD=2X30=60(cm),BD=18X3=54(cm),

?.?斜坡BC的坡度i=l：5,

ABD：CD=1：5,

/.CD=5BD=5X54=270(cm),

.*.AC=CD-AD=270-60=210(cm).

，AC的長度是210cm.

故答案為:210.

B

一一

——l18|

6，，，，，，，

【點評】此題考查了解直角三角形的應(yīng)用：坡度問題.此題難度適中，注意掌握

坡度的定義，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用與輔助線的作法.

18.如圖，邊長為5的等邊三角形ABC中，M是高CH所在直線上的一個動點,

連接MB,將線段BM繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60。得到BN,連接HN.則在點M運動

過程中，線段HN長度的最小值是1.25.

【考點】全等三角形的判定與性質(zhì)；垂線段最短；等邊三角形的性質(zhì).

【分析】取CB的中點G,連接MG,根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得BD=BG,再求

出NHBN=NMBG,根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得MB=NB,然后利用“邊角邊”證明ZXMBG

gANRH,再根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得HN=MG,然后根據(jù)垂線段最短可

得MG±CH時最短，再根據(jù)NBCH=30。求解即可.

【解答】解：如圖，取BC的中點G,連接MG,

???旋轉(zhuǎn)角為60。，

；.NMBH+NHBN=60",

XVZMBH+ZMBC=ZABC=60°,

，NHBN=NGBM,

VCH是等邊4ABC的對稱軸，

1

/.HByAB,

/.HB=BG,

XVMB旋轉(zhuǎn)到BN,

，BM=BN,

在△MBG和△NBH中，

rBG=BH

?NMBG=NNBH,

,J[B=NB

.'.△MBG^ANBH(SAS),

；.MG=NH,

根據(jù)垂線段最短，MGLCH時，MG最短，即HN最短,

?111

止匕時b?.,NBCH,X60°=30°,CG]AByX5=2.5,

11

/.MGyCGyX2.5=1.25,

，HN=L25,

【點評】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，

垂線段最短的性質(zhì)，作輔助線構(gòu)造出全等三角形是解題的關(guān)鍵，也是本題的難點.

三、解答題（本大題共有10小題，共84分.解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過

程或演算步驟)

19.解方程:

(1)x2-5x+6=0；

(2)x(x-6)=4.

【考點】解一元二次方程-因式分解法；解一元二次方程-配方法.

【分析】(1)利用因式分解法解方程；

(2)先利用配方法把方程變形為(x-3)2=13,然后利用直接開平方法解方程.

【解答】解：(1)(x-3)(x-2)=0,

x-3=0或x-2=0,

所以Xi=3,X2=2；

(2)x2-6x=4,

x2-6x+9=13,

(x-3)2=13,

x-,

所以,X2=3，^.

【點評】本題考查了解一元二次方程-因式分解法：先把方程的右邊化為0,再

把左邊通過因式分解化為兩個一次因式的積的形式，那么這兩個因式的值就都有

可能為0,這就能得到兩個一元一次方程的解，這樣也就把原方程進行了降次,

把解一元二次方程轉(zhuǎn)化為解一元一次方程的問題了(數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想).也考查了

配方法解一元二次方程.

20.求下列各式的值

(1)sin260°+cos60°tan45°；

cos300

(2，tan6

l+Sin300.

【考點】特殊角的三角函數(shù)值.

【分析】(1)、(2)直接把各特殊角的三角函數(shù)值代入進行計算即可.

【解答】解：⑴原式=野)25X1

_31

W~2

5

W；

2

(2)原式一二+

核

返^3

W3

可,

【點評】本題考查的是特殊角的三角函數(shù)值，熟記各特殊角的三角函數(shù)值是解答

此題的關(guān)鍵.

21.如圖，豎立在點B處的標(biāo)桿AB高2.4m,站立在點F處的觀察者從點E處

看到標(biāo)桿頂A、樹頂C在?一條直線上，設(shè)BD=8m,FB=2m,EF=1.6m,求樹高CD.

【考點】相似三角形的應(yīng)用.

【分析】延長CE交DF的延長線于點G,可證明△GFEs/^GBA,得GF的長；可

證明△GDCsaGBA,樹高CD的長即可知.

【解答】解：延長CE交DF的延長線于點G,設(shè)GF為xm,

VEF//AB,

/.△GFE^AGBA,

GF_EFx1.6

GB'7+2T7'

解得x=4,

VCD^AB,

AAGDC^AGBA,

GD_CD14二CD

GB^AB'T=2.4'

解得CD=5.6,

答：樹圖CD為5.6m.

【點評】本題考查了相似三角形在實際問題中的運用，解題的關(guān)鍵是正確作出輔

助線構(gòu)造相似三角形.

22.根據(jù)條件求函數(shù)的關(guān)系式

(1)已知二次函數(shù)y=x2+bx+c經(jīng)過(-2,5)和(2,-3)兩點，求該函數(shù)的

關(guān)系式；

(2)已知二次函數(shù)的圖象以A(-1,4)為頂點，且過點B(2,-5),求該

函數(shù)的關(guān)系式.

【考點】待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式.

【分析】(1)直接把(-2,5)和(2,-3)代入y=x2+bx+c得到關(guān)于b、c的

方程組，然后解方程組求出b、c即可；

(2)已知拋物線的頂點坐標(biāo)，設(shè)頂點式，將點B(2,-5)代入求a,即可確定

函數(shù)關(guān)系式.

'4-2b+c=5

【解答】解:根據(jù)題意儲+2b+c=-3，

%=-2

解c=-3，

所以該二次函數(shù)的解析式為y=x2-2x-3；

(2)由A(-1,4)為拋物線頂點，設(shè)拋物線解析式為y=a(x+1)2+4,

將點B(2,-5)代入，得9a+4=-5,解得a=-1,

所以該函數(shù)的關(guān)系式為y=-(x+1)2+4,即y=-x2-2x+3.

【點評】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式：在利用待定系數(shù)法求二次

函數(shù)關(guān)系式時，要根據(jù)題目給定的條件，選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄔO(shè)出關(guān)系式，從而代入

數(shù)值求解.一般地，當(dāng)已知拋物線上三點時，常選擇一般式，用待定系數(shù)法列三

元一次方程組來求解；當(dāng)已知拋物線的頂點或?qū)ΨQ軸時，常設(shè)其解析式為頂點式

來求解；當(dāng)已知拋物線與X軸有兩個交點時，可選擇設(shè)其解析式為交點式來求解.

23.如圖，小島A在港口P的南偏東45。方向，距離港口100海里處.甲船從A

出發(fā)，沿AP方向以10海里/小時的速度駛向港口，乙船從港口P出發(fā)，沿北偏

東30。方向，以20海里/小時的速度駛離港口.現(xiàn)兩船同時出發(fā)，出發(fā)后幾小時

乙船在甲船的正北方向？（結(jié)果精確到0.1小時）（參考數(shù)據(jù)^^1.41/3心

【考點】解直角三角形的應(yīng)用-方向角問題.

【分析】根據(jù)題意畫出圖形，過點P作PE_LCD,根據(jù)余弦的定義分別表示出PE,

列出方程，解方程即可.

【解答】解：設(shè)出發(fā)后x小時乙船在甲船的正北方向.

此時甲、乙兩船的位置分別在點C、D處.

連接CD,過點P作PELCD,垂足為E.則點E在點P的正東方向.

在RtaCEP中，NCPE=45°,

.,.PE=PC?cos45°,

在RtAPED中，ZEPD=60°,

，PE=PD?cos60°,

PC*cos45°=PD*cos60°,

?二(100-lOx)?cos45°=20x*cos60°.

解這個方程，得x-4.1,

答：出發(fā)后約4.1小時乙船在甲船的正東方向.

【點評】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用-方向角問題，正確標(biāo)注方向角、靈

活運用銳角三角函數(shù)的概念是解題的關(guān)鍵.

24.（10分）（秋?無錫期末）由于霧霾天氣對人們健康的影響，市場上的空氣

凈化器成了熱銷產(chǎn)品.某公司經(jīng)銷一種空氣凈化器，每臺凈化器的成本價為200

元.經(jīng)過一段時間的銷售發(fā)現(xiàn)，每月的銷售量y（臺）與銷售單價x（元）的關(guān)

系為y=-2x+1000.

（1）該公司每月的利潤為W元，寫出利潤W與銷售單價X的函數(shù)關(guān)系式；

（2）若要使每月的利潤為40000元，銷售單價應(yīng)定為多少元？

（3）公司要求銷售單價不低于250元，也不高于400元，求該公司每月的最高

利潤和最低利潤分別為多少？

【考點】二次函數(shù)的應(yīng)用.

【分析】（1）根據(jù)銷售利潤=每天的銷售量X（銷售單價-成本價），即可列出

函數(shù)關(guān)系式；

（2）令y=40000代入解析式，求出滿足條件的x的值即可；

（3）根據(jù)（1）得到銷售利潤的關(guān)系式，利用配方法可求最大值.

【解答】解：（1）由題意得：w=（x-200）y=（x-200）（-2x+1000）=-2x2+1400x

-00；

(2)令w=-2x2+1400x-00=40000,

解得:x=300或x=400,

故要使每月的利潤為40000元，銷售單價應(yīng)定為300或400元;

（3）y=-2x2+1400x-00=-2（x-350）2+45000,

當(dāng)x=250時y=-2X2502+1400X250-00=25000；

故最高利潤為45000元，最低利潤為25000元.

【點評】本題考查了二次函數(shù)的實際應(yīng)用，難度適中，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌

握利用配方法求二次函數(shù)的最大值.

25.有一座拋物線形拱橋，正常水位時橋下水面寬度為20m,拱頂距離水面4m.

（1）在如圖所示的直角坐標(biāo)系中，求出該拋物線的解析式；

（2）設(shè)正常水位時橋下的水深為2m,為保證過往船只順利航行，橋下水面的寬

度不得小于18m,求水深超過多少米時就會影響過往船只在橋下的順利航行.

【考點】二次函數(shù)的應(yīng)用.

【分析】（1）設(shè)該拋物線的解析式是y=ax2,結(jié)合圖象，只需把（10,-4）代

入求解；

（2）根據(jù)（1）中求得的函數(shù)解析式，把x=9代入求得y的值，再進一步求得水

深超過多少米時就會影響過往船只在橋下的順利航行.

【解答】解：（1）設(shè)該拋物線的解析式是丫=2*2,

結(jié)合圖象，把（10,-4）代入，得

100a=-4,

1

a=25，

則該拋物線的解析式是y=^x2.

（2）當(dāng)x=9時，則有y=^X81=-3.24,

4+2-3.24=2.76（米）.

所以水深超過2.76米時就會影響過往船只在橋下的順利航行.

【點評】此題考查了二次函數(shù)在實際問題中的應(yīng)用，能夠熟練運用待定系數(shù)法求

得二次函數(shù)的解析式.

3

26.（10分）（秋?無錫期末）如圖，已知直線I的函數(shù)表達式為x+3,它與

x軸、y軸的交點分別為A、B兩點.

（1）求點A、點B的坐標(biāo)；

（2）設(shè)F是x軸上一動點，OP經(jīng)過點B且與x軸相切于點F設(shè)。P的圓心坐標(biāo)

為P（x,y）,求y與x的函數(shù)關(guān)系式；

（3）是否存在這樣的。P,既與x軸相切又與直線I相切于點B?若存在，求出

圓心P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

【考點】圓的綜合題.

【分析】（1）根據(jù)坐標(biāo)軸上點的坐標(biāo)特征易得以A點坐標(biāo)為（-4,0）,B點

坐標(biāo)為（0,3）；

（2）過點P作PD_Ly軸于D,則PD=|x|,BD=|3-y|,根據(jù)切線的性質(zhì)得PF=y,

則PB=y,在RtABDP中，根據(jù)勾股定理得到y(tǒng)2=x2+（3-y）2,然后整理得到y(tǒng)1

4；

（3）由于。P與x軸相切于點F,且與直線I相切于點B,根據(jù)切線長定理得到

AB=AF,而AB=5,所以AF=x+4|=5,解得x=l或x=-9,再把x=l和x=-9分別

13

代入丫3x2y計算出對應(yīng)的函數(shù)值，即可確定P點坐標(biāo).

3

【解答】解：（1）當(dāng)x=0時，y彳x+3=3；

3

當(dāng)y=0時Wx+3=0,解得x=-4,

所以A點坐標(biāo)為（-4,0）,B點坐標(biāo)為（0,3）；

（2）過點P作PD_Ly軸于D,如圖1,則PD=|x|,BD=|3-y,

V0P經(jīng)過點B且與x軸相切于點F

.-.PB=PF=y,

在RtABDP中，

/.PB2=PD2+BD2,

y2=x2+（3-y）2,

(3)存在.

?.'OP與x軸相切于點F,且與直線I相切于點B,

，AB=AF

VAB2=OA2+OB2=52,

；.AF=5,

VAF=|x+4|,

|x+4=5,

x=l或x=-9,

[3]35

當(dāng)x=i時，萬亨；

13i3

當(dāng)x=-9時，yyX2-2JX(-9)2y=15,

5

???點p的坐標(biāo)為(iy)或(-9,15).

【點評】本題考查了圓的綜合題：熟練掌握切線的性質(zhì)和切線長定理、一次函數(shù)

的性質(zhì)；會利用坐標(biāo)表示線段和運用勾股定理進行幾何計算.

27.（10分）（?鎮(zhèn)江）如圖1,在菱形ABCD中，AB=4,tanZABC=2,點E

從點D出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿著射線DA的方向勻速運動，設(shè)運動

時間為t（秒），將線段CE繞點C順時針旋轉(zhuǎn)一個角a（a=NBCD）,得到對應(yīng)

線段CF.

（1）求證:BE=DF；

（2）當(dāng)1=赤+6秒時,DF的長度有最小值，最小值等于12；

（3）如圖2,連接BD、EF、BD交EC、EF于點P、Q,當(dāng)t為何值時，△EPQ是

直角三角形？

（4）如圖3,將線段CD繞點C順時針旋轉(zhuǎn)一個角a（a=NBCD）,得到對應(yīng)線

段CG.在點E的運動過程中，當(dāng)它的對應(yīng)點F位于直線AD上方時，直接寫出點

【考點】四邊形綜合題.

【分析】（1）由NECF=NBCD得NDCF=NBCE,結(jié)合DC=BC、CE=CF證4DCF組

△BCE即可得；

（2）當(dāng)點E運動至點E，時，由DF=BE'知此時DF最小，求得BE\AE，即可得答案；

(3)①/EQP=90°時，由NECF=NBCD、BC=DC、EC=FC得NBCP=NEQP=90°,根

據(jù)AB=CD=/5,tanZABC=tanZADC=2即可求得DE；

②NEPQ=90。時，由菱形ABCD的對角線AC±BD知EC與AC重合，可得DE=J^；

(4)連接GF分別交直線AD、BC于點M、N,過點F作FHLAD于點H,證4

DCEgz^GCF可得N3=N4=/1=N2,即GF〃CD,從而知四邊形CDMN是平行四

邊形，由平行四邊形得MN=CD=4；再由NCGN=ZDCN=ZCNG知

CN=CG=CD=4,根據(jù)tanZABC=tanZCGN=2可得GM=4+12,由GF=DE=t得

FM=t-潛-12,

利用tan/FMH=tanNABC=2即可得FH.

【解答】解：(1)VZECF=ZBCD,即NBCE+NDCE=NDCF+NDCE,

/.ZDCF=ZBCE,

???四邊形ABCD是菱形，

DC=BC,

在4DCF和4BCE中，

'CF=CE

<ZDCF=ZBCE,

,CD=CB

.'.△DCF^ABCE(SAS),

.*.DF=BE；

(2)如圖1,

當(dāng)點E運動至點E，時，DF=BE\此時DF最小，

在Rt/XABE'中，AB=/,tanNABC=tanNBAE'=2,

...設(shè)AE'=x,則BE'=2x,

AABVSX=4,

則AE'=6

.?.DE，1+6,DF=BE'=12,

故答案為：r+6,12；

(3)VCE=CF,

，/CEQV90°,

①當(dāng)NEQP=90。時，如圖2①,

VZECF=ZBCD,BC=DC,EC=FC,

.,.ZCBD=ZCEF,

VZBPC=ZEPQ,

，NBCP=NEQP=90°,

,.?AB=CD=4,tanZABC=tanZADC=2,

，DE=6,

At=6秒；

②當(dāng)NEPQ=90。時，如圖2②，

圖2②

?菱形ABCD的對角線AC±BD,

；.EC與AC重合，

，DE=A,

：.t#秒;

2A/524^5

(4)y—t-12—

如圖3,連接GF分別交直線AD、BC于點M、N,過點F作FH_LAD于點H,

由(1)知N1=N2,

又；Z1+ZDCE=Z2+ZGCF,

/.ZDCE=ZGCF,

在4DCE和aGCF中，

'EC=FC

<ZDCE=ZGCF,

DC=GC

/.△DCE^AGCF(SAS),

，N3=N4,

VZ1=Z3,Z1=Z2,

，Z2=Z4,

，GF〃CD,

又,.,AH〃BN,

四邊形CDMN是平行四邊形，

.*.MN=CD=^,

VZBCD=ZDCG,

/.ZCGN=ZDCN=ZCNG,

.*.CN=CG=CD=/5,

tanZABC=tanZCGN=2,

AGN=12,

，GM#+12,

VGF=DE=t,

.\FM=t--12,

tanZFMH=tanZABC=2,

，F(xiàn)H45（t-酒-12）,

5

2V5+型

即y丁t-12-y-.

【點評】本題主要考查菱形的有關(guān)性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、解直角三角

形及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，熟練掌握靈活運用是解題的關(guān)鍵.

28.（10分）（?達州）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，己