河南省開封市第十五中學(xué)2022-2023學(xué)年高一數(shù)學(xué)文期末試題含解析

河南省開封市第十五中學(xué)2022-2023學(xué)年高一數(shù)學(xué)文期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知等差數(shù)列{an}的公差是1，且a1，a3，a7成等比數(shù)列，則a5=（）A．4 B．5 C．6 D．8參考答案：C【考點(diǎn)】等差數(shù)列的通項(xiàng)公式．【分析】根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、等比中項(xiàng)的性質(zhì)列出方程，化簡后求出a1，由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求出a5．【解答】解：∵差數(shù)列{an}的公差是1，且a1，a3，a7成等比數(shù)列，∴，則，化簡得，a1=2，∴a5=a1+4=6，故選：C．2.函數(shù)f（x）=x﹣3+log3x的零點(diǎn)所在的區(qū)間是（）A．（0，1） B．（1，3） C．（3，4） D．（4，+∞）參考答案：B【考點(diǎn)】函數(shù)零點(diǎn)的判定定理．【專題】計(jì)算題．【分析】根據(jù)零點(diǎn)的性質(zhì)，依次驗(yàn)證每個(gè)選項(xiàng)即可得解【解答】解：∵y1=x單調(diào)遞增，y2=log3x單調(diào)遞增∴f（x）=x﹣3+log3x單調(diào)遞增又∵f（1）=1﹣3+0＜0，f（3）=3﹣3+1=1＞0∴當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，f（x）＜f（1）＜0，當(dāng)x∈（3，4）或x∈（4，+∞）時(shí)，f（x）＞f（3）＞0∴函數(shù)f（x）=x﹣3+log3x的零點(diǎn)在（1，3）內(nèi)故選B【點(diǎn)評】本題考查函數(shù)的零點(diǎn)，要求熟練掌握零點(diǎn)的性質(zhì)．屬簡單題3.若，則

（

）A．1

B．－1

C．

D．參考答案：A略4.設(shè)函數(shù)在定義域內(nèi)具有奇偶性，的大小關(guān)系是A.

B.

C.

D.不能確定參考答案：C5.函數(shù)是（

）A．最小正周期為π的奇函數(shù)

B．最小正周期為π的偶函數(shù)C．最小正周期為的奇函數(shù)

D．最小正周期為的偶函數(shù)參考答案：A函數(shù)y=2sin2（x﹣）﹣1=﹣[1﹣2sin2（x﹣）]=﹣cos（2x﹣）=﹣sin2x，故函數(shù)是最小正周期為=π的奇函數(shù)，故選：A．

6.函數(shù)上的最大值與最小值的和為3，則（

） A． B．2 C．4 D．參考答案：B7.函數(shù)的圖象大致為（

）A. B. C. D.參考答案：A【分析】先求出函數(shù)為偶函數(shù)，再根據(jù)函數(shù)值的變化趨勢或函數(shù)的單調(diào)性即可判斷．【詳解】解：，為偶函數(shù)，的圖象關(guān)于y軸對稱，故排除B，C，當(dāng)時(shí)，，故排除D，或者根據(jù)，當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)，故排除D，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)圖象的識別，關(guān)鍵是掌握函數(shù)的奇偶性和函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)值的變化趨勢，屬于基礎(chǔ)題．8.如圖下面的四個(gè)容器高度都相同，將水從容器頂部一個(gè)孔中以相同的速度注入其中，注滿為止。用下面對應(yīng)的圖象顯示該容器中水面的高度和時(shí)間之間的關(guān)系，其中不正確的有（

）A.1個(gè)B.2個(gè)

C.3個(gè)D.4個(gè)參考答案：A9.設(shè)是兩條不同的直線，是兩個(gè)不同的平面，有下列命題：①，則；②則；③，則；④，則．其中正確的命題的個(gè)數(shù)是A．1B．2C．3D．4參考答案：A略10.如果集合A，B，同時(shí)滿足A∪B={1，2，3，4}，A∩B={1}，A≠{1}，B≠{1}，就稱有序集對（A，B）為“好集對”．這里有序集對（A，B）意指，當(dāng)A≠B時(shí)，（A，B）和（B，A）是不同的集對，那么“好集對”一共有（）個(gè)．A．5 B．6 C．7 D．8參考答案：B【考點(diǎn)】元素與集合關(guān)系的判斷．【分析】根據(jù)條件A∪B={1，2，3，4}，A∩B={1}分別進(jìn)行討論即可．【解答】解：∵A∪B={1，2，3，4}，A∩B={1}，A≠{1}，B≠{1}，∴當(dāng)A={1，2}時(shí)，B={1，3，4}．當(dāng)A={1，3}時(shí)，B={1，2，4}．當(dāng)A={1，4}時(shí)，B={1，2，3}．當(dāng)A={1，2，3}時(shí)，B={1，4}．當(dāng)A={1，2，4}時(shí)，B={1，3}．當(dāng)A={1，3，4}時(shí)，B={1，2}．故滿足條件的“好集對”一共有6個(gè)．方法2：∵A∪B={1，2，3，4}，A∩B={1}，∴將2，3，4分為兩組，則有=3+3=6種，故選B．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.平面向量，，，，，，若與平行，則實(shí)數(shù)k=．參考答案：﹣8【考點(diǎn)】9K：平面向量共線（平行）的坐標(biāo)表示．【分析】利用向量共線定理即可得出．【解答】解：=（1，4），∵與平行，∴k+8=0．解得k=﹣8．故答案為：﹣8．【點(diǎn)評】本題考查了向量共線定理，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．12.函數(shù)是定義在上的單調(diào)遞增函數(shù)，則滿足的實(shí)數(shù)的取值范圍是___.參考答案：13.如圖，在透明塑料制成的長方體ABCD－A1B1C1D1容器中灌進(jìn)一些水，將容器底面一邊BC置于地面上，再將容器傾斜，隨著傾斜程度的不同，以下命題：①水的形狀成棱柱形；②水面EFGH的面積不變；③水面EFGH始終為矩形．④當(dāng)容器傾斜如圖（3）所示時(shí)，BE·BF是定值。其中正確的命題序號是________．參考答案：略14.已知函數(shù)，則滿足不等式的實(shí)數(shù)的取值范圍是__________________．參考答案：15.已知三棱錐的底面是腰長為2的等腰直角三角形，側(cè)棱長都等于，則其外接球的體積為______.參考答案：【分析】先判斷球心在上，再利用勾股定理得到半徑，最后計(jì)算體積.【詳解】三棱錐底面是腰長為2的等腰直角三角形，側(cè)棱長都等于為中點(diǎn)，為外心，連接，平面球心在上設(shè)半徑為故答案為【點(diǎn)睛】本題考查了三棱錐外接球的體積，意在考查學(xué)生的空間想象能力和計(jì)算能力.16.對于實(shí)數(shù)，符號表示不超過的最大整數(shù)，例如，定義函數(shù)，則下列命題中正確的是

______(填題號)①函數(shù)的最大值為1；②函數(shù)的最小值為0；③函數(shù)有無數(shù)個(gè)零點(diǎn)；④函數(shù)是增函數(shù)參考答案：(2)(3)略17.（3分）若函數(shù)f（x）=x2+（a是常數(shù)）是偶函數(shù)，則a=

．參考答案：2考點(diǎn)： 函數(shù)奇偶性的性質(zhì)．專題： 函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．分析： 運(yùn)用定義判斷得出即x2﹣=x2+恒成立，a﹣2=0，即可求解，解答： ∵f（x）=x2+（a是常數(shù)）是偶函數(shù)，∴f（﹣x）=f（x），即x2﹣=x2+恒成立，a﹣2=0，即a=2故答案為：2點(diǎn)評： 本題考查了函數(shù)的性質(zhì)，運(yùn)用偶函數(shù)定義判斷求解，屬于容易題．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.如圖，正方形ABCD與正方形ABEF有一條公共邊AB，且平面ABCD⊥平面ABEF，M是EC的中點(diǎn)，AB=2．（1）求證：AE∥平面MBD；（2）求證：BM⊥DC；（3）求三棱錐M﹣BDC的體積．參考答案：【考點(diǎn)】棱柱、棱錐、棱臺的體積；直線與平面平行的判定．【專題】綜合題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；空間位置關(guān)系與距離；立體幾何．【分析】（1）連接AC，交BD于O，連接OM，證明OM∥AE，利用線面平行的判定證明：AE∥平面MBD；（2）證明CD⊥平面BCE，即可證明：BM⊥DC；（3）利用等體積法求三棱錐M﹣BDC的體積．【解答】（1）證明：連接AC，交BD于O，連接OM，∵ABCD是正方形，∴OA=OC，∵M(jìn)是EC的中點(diǎn)，∴OM∥AE，∵OM?平面MBD，AE?平面MBD，∴AE∥平面MBD；（2）證明：∵平面ABCD⊥平面ABEF，BE⊥AB，∴BE⊥平面ABCD，∴BE⊥CD，[來源:學(xué)+科+網(wǎng)Z+X+X+K]∵BC⊥CD，BC∩BE=B，∴CD⊥平面BCE，∵BM?平面BCE，∴CD⊥BM；（3）解：由（2）知道，BE⊥平面ABCD，∴BE⊥BC，∵M(jìn)是EC的中點(diǎn)，∴S△BMC==1，∵CD⊥平面BCE，∴VM﹣BDC=VD﹣BMC==．【點(diǎn)評】本題考查線面平行、垂直的判定，考查幾何體體積的計(jì)算，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．19.已知函數(shù)（其中）的圖象與軸的交點(diǎn)中，相鄰兩個(gè)交點(diǎn)之間的距離為，且圖象上一個(gè)最低點(diǎn)為（1）求的解析式；（2）當(dāng)時(shí)，求的值域.參考答案：（1）；（2）20.函數(shù)f（x）=1﹣2a﹣2acosx﹣2sin2x的最小值為g（a）（a∈R）．（1）當(dāng)a=1時(shí)，求g（a）；

（2）求g（a）；（3）若，求a及此時(shí)f（x）的最大值．參考答案：【考點(diǎn)】三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用．【分析】（1）當(dāng)a=1時(shí)，可求得f（x）=2﹣，從而知當(dāng)cosx=時(shí)，ymin=﹣，于是可求得g（a）；

（2）通過二次函數(shù)的配方可知f（x）=2﹣﹣2a﹣1（﹣1≤cosx≤1），通過對范圍的討論，利用二次函數(shù)的單調(diào)性即可求得g（a）；（3）由于g（a）=≠1，只需對a分a＞2與﹣2≤a≤2討論，即可求得a及此時(shí)f（x）的最大值．【解答】解：（1）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=﹣2sin2x﹣2cosx﹣1=﹣2（1﹣cos2x）﹣2cosx﹣1=2cos2x﹣2cosx﹣3=2﹣，∵﹣1≤cosx≤1．∴當(dāng)cosx=時(shí)，ymin=﹣，即當(dāng)a=1時(shí)，g（a）=﹣；

（2）由f（x）=1﹣2a﹣2acosx﹣2sin2x=1﹣2a﹣2acosx﹣2（1﹣cos2x）=2cos2x﹣2acosx﹣（2a+1）=2﹣﹣2a﹣1，這里﹣1≤cosx≤1．①若﹣1≤≤1，則當(dāng)cosx=時(shí)，f（x）min=﹣﹣2a﹣1；②若＞1，則當(dāng)cosx=1時(shí)，f（x）min=1﹣4a；③若＜﹣1，則當(dāng)cosx=﹣1時(shí)，f（x）min=1．因此g（a）=．（2）∵g（a）=．∴①若a＞2，則有1﹣4a=，得a=，矛盾；②若﹣2≤a≤2，則有﹣﹣2a﹣1=，即a2+4a+3=0，∴a=﹣1或a=﹣3（舍）．∴g（a）=時(shí)，a=﹣1．此時(shí)f（x）=2（cosx+）2+，當(dāng)cosx=1時(shí)，f（x）取得最大值為5．21.（本題滿分12分）已知冪函數(shù)(p∈N*)的圖象關(guān)于y軸對稱，且在(0,+∞)上為增函數(shù)，求滿足條件(a+1)<(3-2a)的實(shí)數(shù)a的取值范圍.參考答案：解：∵冪函數(shù)(p∈N*)的圖象關(guān)于y軸對稱，

∴函數(shù)是偶函數(shù)，且有：

又在(0,+∞)上為增函數(shù)，∴3-p是偶數(shù)且3-p>0

∵p∈N*∴p=1

∴不等式(a+1)<(3-2a)化為：(a+1)<(3-2a)

∵函數(shù)是[0,+∞)上的增函數(shù)

∴，故：實(shí)數(shù)a的取值范圍[-1,)22.（1）判斷函數(shù)f（x）=在x∈（0，+∞）上的單調(diào)性并證明你的結(jié)論？（2）猜想函數(shù)在x∈（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的單調(diào)性？（只需寫出結(jié)論，不用證明）（3）利用題（2）的結(jié)論，求使不等式在x∈[1，5]上恒成立時(shí)的實(shí)數(shù)m的取值范圍？參考答案：【考點(diǎn)】函數(shù)恒成立問題；函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明．【專題】綜合題．【分析】（1）函數(shù)f（x）=在（0，2]上是減函數(shù)，在[2，+∞）上是增函數(shù)，再利用單調(diào)性的定義進(jìn)行證明即可；（2）由上及f（x）是奇函數(shù)，可猜想：f（x）在和上是增函數(shù)，f（x）在和上是減函數(shù)

（3）根據(jù)在x∈[1，5]上恒成立，可得在x∈[1，5]上恒成立

求出左邊函數(shù)的最小值即可．【解答】（1）解：函數(shù)f（x）=在（0，2]上是減函數(shù)，在[2，+∞）上是增函數(shù)．…證明：設(shè)任意x1＜x2∈（0，+∞），則…=

…又設(shè)x1＜x2∈（0，2]，則f（x1）﹣f（x2）＞0，∴f（x1）＞f（x2）∴函數(shù)f（x）=在（0，2]上是減函數(shù)

…又設(shè)x1＜x2∈[2，+∞），則f（x1）﹣f（x2）＜0，∴f（x1）＜f（x2）∴函數(shù)f（x）=在[2，+∞）上是增函數(shù)

…（2）解：由上及f（x）是奇函數(shù)，可猜想：f（x）在和上是增函數(shù)，f（x）在和上是