13.2.4 平面與平面的位置關(guān)系（十一大題型）-2024學(xué)年高一數(shù)學(xué)同步學(xué)與練（蘇教版2019必修第二冊）（解析版）

第第頁13.2.4平面與平面的位置關(guān)系課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)（1）能用自己的語言解釋平面與平面平行的判定定理，并能用三種語言進(jìn)行準(zhǔn)確描述；會用定義和判定定理判定平面與平面平行．（2）能用自己的語言解釋平面與平面平行的性質(zhì)定理；能用平面與平面平行的性質(zhì)定理解決問題．（3）能夠在簡單問題中識別應(yīng)用定理的條件，用定理判定平面與平面垂直，證明直線與平面垂直．（4）能夠在較復(fù)雜的問題情境中識別、應(yīng)用判定定理和性質(zhì)定理的條件，借助幾何圖形，綜合運用定理解決空間中的垂直關(guān)系．能夠在定理應(yīng)用的過程中體會空間圖形問題與平面圖形問題的相互轉(zhuǎn)化，感悟幾何的公理化思想．（1）了解平面與平面的位置關(guān)系，掌握面面平行的判定定理、性質(zhì)定理.（2）會利用“線線平行”“線面平行”及“面面平行”相互之間的轉(zhuǎn)化，來證明“線線平行”“線面平行”及“面面平行”等問題．（3）理解二面角及其平面角的概念并掌握二面角的平面角的一般作法，會求簡單的二面角的平面角.（4）掌握兩個平面互相垂直的概念，能用定義和定理判定面面垂直.（5）掌握面面垂直的性質(zhì)定理，并能利用面面垂直的性質(zhì)定理證明一些簡單的問題．知識點01平面與平面的位置關(guān)系位置關(guān)系圖形表示符號表示公共點兩平面平行無公共點兩平面相交有無數(shù)個公共點，這些點在一條直線上【即學(xué)即練1】（2024·全國·高一專題練習(xí)）平面上有三個不共線點到平面距離相等，則平面與平面的位置關(guān)系是（

）A．相交 B．平行 C．垂直 D．相交或平行【答案】D【解析】如圖1，若，則平面上任一點到平面距離相等，故平面上一定存在三個不共線點到平面距離相等；如圖2，若與相交，則平面上一定存在位于異側(cè)的三個不共線點到平面距離相等；故平面與平面的位置關(guān)系是相交或平行.故選：D.知識點02兩平面平行的判定文字語言：如果一個平面內(nèi)有兩條相交直線與另一個平面平行，則這兩個平面平行．圖形語言：符號語言：若、，，且、，則．知識點詮釋：（1）定理中平行于同一個平面的兩條直線必須是相交的．（2）定理充分體現(xiàn)了等價轉(zhuǎn)化的思想，即把面面平行轉(zhuǎn)化為線面平行，可概述為：線面平行面面平行．判定平面與平面平行的常用方法1、利用定義：證明兩個平面沒有公共點，有時直接證明非常困難，往往采用反證法．2、利用判定定理：要證明兩個平面平行，只需在其中一個平面內(nèi)找兩條相交直線，分別證明它們平行于另一個平面，于是這兩個平面平行，或在一個平面內(nèi)找到兩條相交的直線分別與另一個平面內(nèi)兩條相交的直線平行．3、平面平行的傳遞性：即若兩個平面都平行于第三個平面，則這兩個平面互相平行．【即學(xué)即練2】（2024·高三·全國·專題練習(xí)）如圖，幾何體為直四棱柱截去一個角所得，四邊形是正方形，，，為的中點．證明：平面平面；【解析】連接，如圖所示：依題意，，則四邊形是平行四邊形，于是，而平面，平面，因此平面，同理平面，∵，平面，∴平面平面．知識點03平面和平面平行的性質(zhì)文字語言：如果兩個平行平面同時與第三個平面相交，那么它們的交線平行．符號語言：若，，，則．圖形語言：知識點詮釋：（1）面面平行的性質(zhì)定理也是線線平行的判定定理．（2）已知兩個平面平行，雖然一個平面內(nèi)的任何直線都平行于另一個平面，但是這兩個平面內(nèi)的所有直線并不一定相互平行，它們可能是平行直線，也可能是異面直線，但不可能是相交直線（否則將導(dǎo)致這兩個平面有公共點）．空間平行關(guān)系的注意事項直線與平面平行，平面與平面平行的判定定理、性質(zhì)定理，揭示了線線平行、線面平行、面面平行之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系，具體轉(zhuǎn)化過程如圖所示．【即學(xué)即練3】（2024·高三·全國·專題練習(xí)）如圖，在多面體中，面是正方形，平面，平面平面，四點共面，，．求證：.【解析】因為平面平面，四點共面，且平面平面，平面平面，所以．知識點04二面角（1）定義：從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角，這條直線叫二面角的棱，這兩個半平面叫二面角的面．圖中的二面角可記作：二面角或或．（2）二面角的平面角：如圖，在二面角的棱上任取一點，以點為垂足，在半平面和內(nèi)分別作垂直與直線的射線，，則射線和構(gòu)成的叫做二面角的平面角．平面角是直角的二面角叫做直二面角．作二面角的三種常用方法（1）定義法：在二面角的棱上找一個特殊點，在兩個半平面內(nèi)分別作垂直于棱的射線．如圖①，則為二面角的平面角．（2）垂直法：過棱上一點作棱的垂直平面，該平面與二面角的兩個半平面產(chǎn)生交線，這兩條交線所成的角，即為二面角的平面角．如圖②，為二面角的平面角．（3）垂線法：過二面角的一個面內(nèi)異于棱上的一點向另一個平面作垂線，垂足為，由點向二面角的棱作垂線，垂足為，連接，則為二面角的平面角或其補角．如圖③，為二面角的平面角．【即學(xué)即練4】（2024·高二·全國·專題練習(xí)）四邊形是正方形，平面，且．求：

(1)二面角的平面角的度數(shù)；(2)二面角的平面角的度數(shù)；(3)二面角的平面角的度數(shù)．【解析】（1）平面，平面，，又四邊形為正方形，，平面，平面，又平面，平面平面，二面角的平面角的度數(shù)為；（2）平面，平面，平面，，．為二面角的平面角．又由題意可得，二面角的平面角的度數(shù)為；（3）平面，平面，平面，，．為二面角的平面角．又四邊形為正方形，，即二面角的平面角的度數(shù)為.知識點05平面與平面垂直的定義與判定1、平面與平面垂直定義定義：兩個平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角，就說這兩個平面垂直．表示方法：平面與垂直，記作．畫法：兩個互相垂直的平面通常把直立平面的豎邊畫成與水平平面的橫邊垂直．如圖：2、平面與平面垂直的判定定理文字語言：一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直．符號語言：圖形語言：特征：線面垂直面面垂直知識點詮釋：平面與平面垂直的判定定理告訴我們，可以通過直線與平面垂直來證明平面與平面垂直．通常我們將其記為“線面垂直，則面面垂直”．因此，處理面面垂直問題轉(zhuǎn)化為處理線面垂直問題，進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為處理線線垂直問題．以后證明平面與平面垂直，只要在一個平面內(nèi)找到兩條相交直線和另一個平面內(nèi)的一條直線垂直即可．【即學(xué)即練5】（2024·高二·上海崇明·期中）在正方體中．求證：(1)直線平面；(2)平面平面．【解析】（1）在正方體中，平面，平面，則，而，平面，于是平面，又平面，則，同理，而平面，所以直線平面.（2）在正方體中，，平面，而平面，則，又，平面，因此平面，而平面，所以平面平面.知識點06平面與平面垂直的性質(zhì)1、性質(zhì)定理文字語言：兩個平面垂直，則一個平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個平面垂直．符號語言：圖形語言：知識點詮釋：面面垂直的性質(zhì)定理是作線面垂直的依據(jù)和方法，在解決二面角問題中作二面角的平面角經(jīng)常用到．這種線面垂直與面面垂直間的相互轉(zhuǎn)化，是我們立體幾何中求解（證）問題的重要思想方法．2、平面與平面垂直性質(zhì)定理的推論如果兩個平面互相垂直，那么經(jīng)過第一個平面內(nèi)的一點垂直于第二個平面的直線，在第一個平面內(nèi)．垂直關(guān)系的綜合轉(zhuǎn)化線線垂直、線面垂直、面面垂直是相互聯(lián)系的，能夠相互轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化的紐帶是對應(yīng)的定義、判定定理和性質(zhì)定理，具體的轉(zhuǎn)化關(guān)系如下圖所示：【即學(xué)即練6】（2024·高三·全國·專題練習(xí)）如圖，在四棱錐中，，，，平面平面.求證：面；

【解析】取的中點，連接，，因為，，所以四邊形為平行四邊形，則，又，所以，則，因為平面平面，平面平面，平面，所以平面，又平面，所以，又，即，且，平面，所以平面.題型一：平面與平面的位置關(guān)系【典例1-1】（2024·高一·全國·課時練習(xí)）已知，，且與確定的平面為，則與的位置關(guān)系是()A．相交 B．平行C．相交或平行 D．不確定【答案】B【解析】因為，所以與確定一個平面，又因為，，,所以.故選：B【典例1-2】（2024·高一·全國·課時練習(xí)）已知三條互相平行的直線，則兩個平面的位置關(guān)系是（

）A．平行 B．相交 C．垂直 D．平行或相交【答案】D【解析】如圖，由題意易得：可能平行，也可能相交，故選：D.【變式1-1】（2024·高一課時練習(xí)）已知平面，直線，則直線a，b的位置關(guān)系為（

）A．相交 B．平行 C．異面 D．平行或異面【答案】D【解析】平面，直線，如圖在正方體中，令平面，平面，當(dāng)時，顯然有，當(dāng)時，顯然有與異面，所以直線a，b的位置關(guān)系為平行或異面，故選：D【變式1-2】（2024·全國·高一專題練習(xí)）設(shè)為平面，點，則下列結(jié)論正確的是（

）A．過點有且只有一條直線與平行 B．過點沒有直線與平行C．過點有且只有一個平面與平行 D．過點有無數(shù)個平面與平行【答案】C【解析】因為點，故過點有無數(shù)條直線與平行，故錯誤；過點有且只有一個平面與平行，故正確，錯誤.故選：.【方法技巧與總結(jié)】（平面與平面位置關(guān)系的解題思路）判斷線線、線面、面面的位置關(guān)系，要牢牢地抓住其特征與定義、要有畫圖的意識，結(jié)合空間想象能力全方位、多角度地去考慮問題，作出判斷．常借助長方體模型進(jìn)行判斷．題型二：平面與平面平行的判定定理的理解【典例2-1】（2024·全國·高一專題練習(xí)）已知a，b，c為三條不重合的直線，α，β為兩個不重合的平面．①a//c，b//c?a//b；②a//β，b//β?a//b；③a//c，c//α?a//α；④a//β，a//α?α//β；⑤a?α，b?α，a//b?a//α.其中正確的命題是（）A．①⑤ B．①② C．②④ D．③⑤【答案】A【解析】對于①，由平行的傳遞性公理，則正確；對于②，由，，則共面或異面，故錯誤；對于③，由，，則或，故錯誤；對于④，由，，則平行或相交，故錯誤；對于⑤，由，，，根據(jù)線面平行判定定理，可得，故正確.故選：A.【典例2-2】（2024·全國·高一專題練習(xí)）在下列判斷兩個平面與平行的4個命題中，真命題的個數(shù)是（

）．①都垂直于平面r，那么②都平行于平面r，那么③都垂直于直線l，那么④如果l、m是兩條異面直線，且，，，，那么A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【解析】如圖，易知在正方體中相鄰兩個側(cè)面都垂直于底面，故①錯誤；由平面平行的傳遞性可知②正確；由線面垂直的性質(zhì)可知③正確；過直線l做平面與分別交于，過直線m做平面與分別交于，因為，，所以，所以因為，，所以同理，又l、m是兩條異面直線，所以相交，且，所以，故④正確.故選：D【變式2-1】（2024·全國·高一專題練習(xí)）下列條件中能推出平面平面的是（

）A．存在一條直線，，B．存在一條直線，，C．存在兩條平行直線，，，，，D．存在兩條異面直線，，，，，【答案】D【解析】A.如圖所示：存在一條直線，，，但平面與平面相交，故錯誤；B.如圖所示：存在一條直線，，，但平面與平面相交，故錯誤；C.如圖所示：存在兩條平行直線，，，，，，但平面與平面相交，故錯誤；D.如圖所示：在平面內(nèi)過b上一點作，則，又，且，所以，故正確；故選：D題型三：平面與平面平行的判定【典例3-1】（2024·高二·上海長寧·期末）如圖，已知正四棱柱，(1)求證：平面；(2)求證：平面平面【解析】（1）因為正四棱柱，所以平面，且四邊形為正方形，所以，又因為平面，所以，因為，且平面，所以平面.（2）因為，，所以四邊形為平行四邊形，所以，又因為平面，平面，所以平面，因為，，所以四邊形為平行四邊形，所以，又因為平面，平面，所以平面，又因為，且平面，所以平面平面.【典例3-2】（2024·高二·廣東·學(xué)業(yè)考試）如圖，在三棱錐中，、、、分別是、、、的中點，且，．(1)證明：；(2)證明：平面平面.【解析】（1）連接，，，是的中點，，，又平面，平面，，平面，又平面，．（2），，分別是，，的中點，，，又平面，平面，平面，同理可證平面，又，平面，平面，平面平面．【變式3-1】（2024·高一·遼寧阜新·期末）已知在正方體中，M、E、F、N分別是、、、的中點.求證：(1)E、F、D、B四點共面(2)平面平面.【解析】（1）證明：分別是、的中點，所以，又，所以四邊形是平行四邊形，.，即確定一個平面，故E、F、D、B四點共面.（2）（2）M、N分別是、的中點，.又平面，平面，平面.連接，如圖所示，則，.四邊形是平行四邊形..又平面，平面.平面.都在平面,且,所以平面平面.【變式3-2】（2024·高三·全國·專題練習(xí)）如圖，在正方體中，E，F(xiàn)分別為，中點，G，H分別為，中點，O為平面中心．證明：平面‖平面；【解析】連接，，∵為正方體，為平面的中心，∴‖，‖，，為中點，∵為中點，為中點，∴‖‖，，∴四邊形為平行四邊形，‖，∵分別為中點，分別為中點，∴‖，‖，∴‖，∵平面，平面，∴‖平面，∥平面，∵，平面，∴平面∥平面．題型四：補全平面與平面平行的條件【典例4-1】（2024·高一·陜西銅川·期中）如圖所示，底面為正方形的四棱錐中，，，，與相交于點O，E為中點．

(1)求證：平面；(2)上是否存在點F，使平面平面．若存在，請指出并給予證明；若不存在，請說明理由．【解析】（1）因為分別是的中點，所以，且平面，平面，所以平面；（2）存在，點是的中點，此時，連結(jié)因為分別是的中點，所以，平面，平面，所以平面，由（1）可知，平面，且，且平面，所以平面平面，所以上存在中點，使平面平面.【典例4-2】（2024·高一·福建漳州·期中）如圖，在三棱柱中，點分別在線段上，且滿足，.(1)求證：平面；(2)在線段上是否存在點，使得平面平面.若存在，求出；若不存在，請說明理由.【解析】（1），，即，，又，，平面，平面，平面.（2）存在點，，使得平面平面，證明如下：當(dāng)時，連接，，，，平面，平面，平面，由（1）知：，又平面，平面，平面，又，平面，平面平面，存在點，當(dāng)時，平面平面.【變式4-1】（2024·高一·江蘇南京·階段練習(xí)）如圖，在四棱錐中，底面是平行四邊形，交于點，是上一點且平面

(1)證明：為的中點；(2)在線段上是否存在點，使得平面平面，若存在，請給出點的位置，并證明，若不存在，請說明理由.【解析】（1）連接，設(shè)，連接，因為平面，平面，平面平面，所以，又底面為平行四邊形，所以為的中點，所以為的中點．（2）存在，為中點時，平面平面，因為為中點，為的中點，所以，由于，所以，由于平面，平面，所以平面，同理可證得平面，由于，平面，所以平面平面.【變式4-2】（2024·高一·湖南長沙·期中）如圖：在正方體中，M為的中點.

(1)求證：平面；(2)在線段上是否存在一點N，使得平面平面，說明理由.【解析】（1）連接BD交AC于O，連接MO.∵為正方體，底面為正方形，∴O為BD的中點.∵M(jìn)為的中點，在中，OM是的中位線，所以.又平面，平面，∴平面；（2）上的中點N即滿足平面平面，∵N為的中點，M為的中點，∴，且，∴四邊形為平行四邊形，∴，∵平面，平面，∴平面；由（1）知平面，又∵，∴平面平面.題型五：平面與平面平行的性質(zhì)【典例5-1】（2024·高三·全國·專題練習(xí)）如圖，平面ADE，．求證：．【解析】∵，平面ADE，平面ADE，∴平面ADE．∵平面ADE，，平面BCF，∴平面平面．又平面平面，平面平面，∴．【典例5-2】（2024·高二·黑龍江雞西·期末）兩個邊長為2的正方形和各與對方所在平面垂直，、分別是對角線、上的點，且.

(1)求證：平面；(2)設(shè)，，求與的函數(shù)關(guān)系式；(3)求、兩點間的最短距離.【解析】（1）過點作，交于點，連接、，因為，所以，由已知可得，，，所以，，，所以，，所以，，又，所以，因為平面，，平面，所以，平面，同理可得，平面，因為平面，平面，，所以，平面平面，因為平面，所以直線平面.（2）由（1）可知，，，所以，，所以，，同理可得，，又平面平面，平面平面，，平面，所以，平面，因為平面，所以，因為，，所以，所以，是直角三角形，所以，，即；（3）由，且，所以當(dāng)，即、分別為線段、中點時，有最小值，、兩點間的最短距離為.【變式5-1】（2024·高三·河北·專題練習(xí)）如圖所示正四棱錐，，P為側(cè)棱上的點．且，求：(1)正四棱錐的表面積；(2)側(cè)棱上是否存在一點E，使得平面．若存在，求的值；若不存在，試說明理由．【解析】（1）正四棱錐中，，，側(cè)面的高，正四棱錐的表面積．（2）在側(cè)棱上存在一點，使平面，滿足．理由如下：取中點為，因為，則，過作的平行線交于，連接，．在中，有，平面，平面，平面，由于，．又由于，平面，平面，平面，，平面平面，得平面，【變式5-2】（2024·高一·浙江嘉興·期中）如圖所示，在四棱錐中，四邊形ABCD是梯形，，，E是PD的中點.

(1)求證：平面PAB；(2)若M是線段CE上一動點，則線段AD上是否存在點，使平面PAB？說明理由.【解析】（1）如下圖，取中點，連接，由E是PD的中點，所以且，因為，且，所以，所以四邊形為平行四邊形，故，而面，面，則面.（2）線段上存在點N，使得平面.理由：取中點N，連接，，∵E，N分別為，的中點，∴，∵平面，平面，∴平面.由（1）知：平面，又，平面，∴平面平面.又M是上的動點，平面，∴平面PAB∴線段存在點N，使得平面，此時N為中點.【方法技巧與總結(jié)】（性質(zhì)定理應(yīng)用的注意事項）面面平行的性質(zhì)定理是由面面平行得到線線平行．證明線線平行的關(guān)鍵是把要證明的直線看作是平面的交線，所以構(gòu)造三個平面：即兩個平行平面，一個經(jīng)過兩直線的平面，有時需要添加輔助面．題型六：由面面平行證線面平行【典例6-1】（2024·高一·浙江杭州·期末）如圖，點S是所在平面外一點，M，N分別是SA，BD上的點，且．求證：平面．

【解析】在上取，使得，則，因為平面，平面，所以平面，因為，所以，則，又中，，故，因為平面，平面，所以平面，因為平面，平面，，所以平面平面，因為平面，所以平面.【典例6-2】（2024·高一·河南鄭州·期中）如圖，在長方體中，E，M，N分別是的中點，求證：平面.

【解析】如圖，取CD的中點K，連接MK，NK，∵M(jìn)，K分別是AE，CD的中點，∴，又平面，平面，∴平面，又∵是的中點，K分別是CD的中點，∴，又平面，平面，∴平面，又平面MNK，平面MNK，，∴平面平面，又平面MNK，∴平面.【變式6-1】（2024·高一·天津北辰·期中）已知在直三棱柱中，，且分別是，的中點.證明：平面.

【解析】設(shè)是的中點，連接和，因為是直三棱柱，所以四邊形是矩形，因為是的中點，所以，而平面，平面，所以平面，因為是的中點，所以，而平面，平面，所以平面，而平面，所以平面平面，而平面，所以平面.題型七：面面垂直的概念與定理的理解【典例7-1】（2024·高一·內(nèi)蒙古赤峰·期末）設(shè)、是兩條不同的直線，、是兩個不同的平面，則下列結(jié)論中正確的是（

）①若，，且，則；

②若，，且，則；③若，，且，則；

④若，，且，則：A．①②③ B．①③④ C．②④ D．③④【答案】D【解析】對于①，如圖1，滿足，，且，但不平行，①錯誤；對于②，如圖2，滿足，，且，則不垂直，②錯誤；對于③，因為，且，所以，又，故，③正確；對于④，因為，，所以直線之間的夾角即為平面之間的夾角，又，故平面之間的夾角為直角，則，④正確.故選：D【典例7-2】（2024·高二·湖南長沙·開學(xué)考試）已知a，b表示不同的直線，，，表示不重合的平面，則下列命題中正確的是（

）A．若，，，則B．若，a垂直于內(nèi)兩條直線，則C．若，，，則D．若，，，則【答案】D【解析】對A，，，，如圖，，顯然，不一垂直，故A錯誤；對B，a垂直于內(nèi)兩條直線，若兩條直線不相交，不能推出，由面面垂直的判定定理，不能推出，故B錯誤；對C，，，，則可能垂直、平行、相交不垂直，如圖滿足條件，但，故C錯誤；對D，，可推出，由，可推出，故D正確.故選：D【變式7-1】（2024·高二·四川資陽·期末）設(shè)是直線，是兩個不同的平面，則下列命題中正確的是（）A．若∥，∥，則∥ B．若∥，，則C．若，則 D．若，∥，則【答案】B【解析】設(shè)是直線，，是兩個不同的平面，對于A，若，，則與相交或平行，故A錯誤；對于B，若，則內(nèi)存在直線，因為，所以，由面面垂直的判定定理得，故B正確；對于C，若，，則與平行或，故C錯誤；對于D，若，，則與相交、平行或，故D錯誤．故選：B．【變式7-2】（2024·高一·陜西寶雞·期末）已知，是不同的平面，，是不同的直線，則下列命題不正確的是（

）A．若，，，則B．若，，則，C．若，，則D．若，，則【答案】B【解析】對于A選項，由，可得，又因，故，故A項正確；對于B選項，由，，可知有三種情況：①，②，③，，故B項錯誤；對于C選項，顯然正確；對于D選項，顯然正確.故選：B.【變式7-3】（2024·全國·模擬預(yù)測）在正三棱柱中，E，F(xiàn)分別為的中點，則下列結(jié)論錯誤的是（

）A．平面平面 B．C．平面平面 D．平面【答案】B【解析】對于A中，如圖所示，由正三棱柱的性質(zhì)知平面，為正三角形，因為是的中點，平面，所以，，又因為，平面，平面，所以平面，因為平面，所以平面平面，所以A正確；對于B中，由A知，平面，所以，假設(shè)，連接，則平面，因為平面FEC，所以，很顯然不與垂直，所以不成立，所以B錯誤；對于C中，由棱柱的性質(zhì)知，，且，因為分別為，的中點，所以，且，所以四邊形和均為平行四邊形，所以，且平面，平面，平面，平面，所以平面，平面，因為，所以平面平面，所以C正確；對于D中，因為平面，所以平面，所以D正確．故選：B.題型八：面面垂直判定定理的應(yīng)用【典例8-1】（2024·高一·全國·專題練習(xí)）如圖，在平面四邊形中，為的中點，，且.將此平面四邊形沿折成直二面角，連接.證明：平面平面.【解析】為直二面角的平面角，平面平面，又平面平面，且平面，平面，又平面，，又在平面四邊形中，由題意可知，，，又，平面平面，平面，又平面，平面平面.【典例8-2】（2024·高一·全國·專題練習(xí)）已知平面五邊形如圖1所示，其中，是正三角形．現(xiàn)將四邊形沿翻折，使得，得到的圖形如圖2所示．求證：平面平面．【解析】如圖，取的中點，連接，因為是等邊三角形，為的中點，所以，因為，所以，因為，，，所以四邊形為矩形，所以，又因為，所以，即，因為，，，平面，所以平面，又因為平面，所以平面平面．【變式8-1】（2024·高一·全國·專題練習(xí)）如圖，在四棱錐中，四邊形ABCD是邊長為2的正方形，．證明：平面平面；【解析】連接，與相交于點，連接，四邊形ABCD是邊長為2的正方形，則，為和的中點，，則，平面，，平面，又因為平面，所以平面平面.【變式8-2】（2024·高一·河南洛陽·階段練習(xí)）在四棱錐中，底面是正方形，平面．

(1)求證：平面⊥平面；(2)求證：平面⊥平面．【解析】（1）因為平面，平面，所以，又因為底面是正方形，所以，又因為平面，所以平面，又平面，所以平面⊥平面.（2）因為平面，平面，所以，又因為底面是正方形，所以，又因為平面，所以平面，又平面，所以平面⊥平面.【方法技巧與總結(jié)】（判定兩個平面垂直的常用方法）（1）定義法：即說明兩個平面所成的二面角是直二面角；（2）判定定理法：其關(guān)鍵是在其中一個平面內(nèi)尋找一直線與另一個平面垂直，即把問題轉(zhuǎn)化為“線面垂直”；（3）性質(zhì)法：兩個平行平面中的一個垂直于第三個平面，則另一個也垂直于此平面．題型九：求二面角【典例9-1】（2024·湖南岳陽·模擬預(yù)測）如圖，已知平面與底面所成角為，且．(1)求證：平面；(2)求二面角的大?。窘馕觥浚?）因為平面，平面，所以，又由已知得，，則，即，又平面，所以平面；（2）因為平面，平面，所以，所以為二面角的平面角，因為平面與底面所成角為，所以為與底面所成角，由，得，在中，，則，所以二面角的大小為．【典例9-2】（2024·高三·甘肅·階段練習(xí)）如圖，已知四棱錐的底面為直角梯形，，，，．

(1)證明：與平面不垂直；(2)證明：平面平面；(3)如果，二面角等于，求二面角的大?。窘馕觥浚?）若平面，則，由已知，得，這與矛盾，所以與平面不垂直．（2）取、的中點、，連接、、，由，，得，，為直角梯形的中位線，，又，平面，由平面，得，又且梯形兩腰、必交，平面,又平面，平面平面,（3）由（2）及二面角的定義知為二面角的平面角,作于，連，由于平面,平面,故,,平面,故平面平面,所以故為二面角的平面角,即，由已知，得，又．，．，故二面角的大小為．【變式9-1】（2024·高二·上海普陀·期末）如圖，在三棱錐中，平面平面，，，E、F分別為棱、的中點．(1)求證：直線平面；(2)若直線與平面所成的角為，直線與平面所成角為，求二面角的大小．【解析】（1）∵E，F(xiàn)分別是棱、的中點，∴在中，，∵平面，平面，∴直線平面；（2）∵平面平面，平面平面，平面，，∴平面，∴是直線與平面所成角，∵直線與平面所成角為，∴，∴，∵平面，，?平面，∴，，∵，，，平面，∴平面，∴是直線與平面所成角，∵直線與平面所成角為，∴，∴，，設(shè)，則，，，，∴為等腰直角三角形，，∵，，∴是二面角的平面角，∴二面角的大小為．【變式9-2】（2024·高一·山東青島·階段練習(xí)）如圖，將邊長為的正方形沿對角線折起，使得點到點的位置，連接，為的中點.(1)若平面平面，求點到平面的距離；(2)不考慮點與點重合的位置，若二面角的余弦值為，求的長度.【解析】（1）連接，，則，平面平面，平面平面＝AC，平面，平面，又平面，，又正方形的邊長為，,，設(shè)點到平面的距離為，則，，，即點到平面的距離；（2）取的中點，連接，，，，，為二面角的平面角，，由題可知，在中，，，，，，.【變式9-3】（2024·高一·全國·專題練習(xí)）如圖，兩兩垂直，過作，垂足為D.(1)求證：平面；(2)設(shè)，二面角的平面角為時，求三棱錐側(cè)面積.【解析】（1）證明：，，，平面，平面，又平面，又，，平面平面（2），且，為BC中點，，，，是二面角的平面角，即，在直角中，，，又平面，又平面，在直角中，，，，所以三棱錐的側(cè)面積為：【變式9-4】（2024·高三·重慶·階段練習(xí)）如圖1，在平行四邊形中，，，，將沿折起，使得點到點的位置，如圖2，經(jīng)過直線且與直線平行的平面為，平面平面，平面平面.(1)證明：.(2)若二面角的大小為，求的長.【解析】（1）由于，平面，平面平面，所以，由于，平面，平面平面，所以，所以.（2）折疊前，四邊形是平行四邊形，，所以，折疊后，過作，則四邊形是矩形，所以，所以是二面角的平面角，所以，由于，所以三角形是等邊三角形，所以，由于平面，所以平面，而，所以平面，由于平面，所以，，所以.【方法技巧與總結(jié)】（作二面角的三種常用方法）（1）定義法：在二面角的棱上找一個特殊點，在兩個半平面內(nèi)分別作垂直于棱的射線．如圖①，則為二面角的平面角．（2）垂直法：過棱上一點作棱的垂直平面，該平面與二面角的兩個半平面產(chǎn)生交線，這兩條交線所成的角，即為二面角的平面角．如圖②，為二面角的平面角．（3）垂線法：過二面角的一個面內(nèi)異于棱上的一點向另一個平面作垂線，垂足為，由點向二面角的棱作垂線，垂足為，連接，則為二面角的平面角或其補角．如圖③，為二面角的平面角．題型十：平面與平面垂直的性質(zhì)定理的應(yīng)用【典例10-1】（2024·高二·上海·專題練習(xí)）如圖所示的幾何體中，四邊形為正方形，.(1)求證：平面；(2)若，平面平面.若為中點，求證：.【解析】（1）因為四邊形為正方形，所以，又平面，平面，所以平面.（2）若，則為等邊三角形，如圖，因為為中點，所以，因為平面平面，平面平面，，平面，所以平面.又平面，所以.又，，平面，所以平面.又平面，所以.【典例10-2】（2024·高一·北京·期中）如圖，在多面體中，平面⊥平面.四邊形為正方形，四邊形為梯形，且.(1)求證：⊥；(2)求直線與平面所成角的正弦值；(3)線段BD上是否存在點M，使得直線平面？若存在，求的值；若不存在，請說明理由.【解析】（1）因為四邊形為正方形，所以⊥，因為平面⊥平面，平面平面，平面，所以⊥平面，因為平面，所以⊥；（2）因為⊥平面，平面，所以⊥，⊥，又，故，，兩兩垂直，以為坐標(biāo)原點，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，因為，所以，設(shè)平面的法向量為，則，解得，令，則，則，，設(shè)直線與平面所成角的大小為，則；（3）設(shè)，即，當(dāng)時，與重合，此時與平面不平行，當(dāng)時，設(shè)，則，解得，故，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，故，則，解得，故線段BD上存在點M，使得直線平面AFM，此時.【變式10-1】（2024·高三·江西·期中）如圖1，山形圖是兩個全等的直角梯形和的組合圖，將直角梯形沿底邊翻折，得到圖2所示的幾何體.已知，,點在線段上，且在幾何體中，解決下面問題.(1)證明：平面；(2)若平面平面，證明：.【解析】（1）連接與相交于,連接，由于，且,所以,又,所以,平面,平面,所以平面，（2）過作交于，由于平面平面，且兩平面交線為，平面，所以平面，平面,故，又四邊形為直角梯形，故,是平面內(nèi)的兩相交直線，所以平面，平面，故.【變式10-2】（2024·高二·北京·階段練習(xí)）如圖示，正方形與正三角形所在平面互相垂直，是的中點.

(1)求證：；(2)在線段上是否存在一點N，使面面？并證明你的結(jié)論.【解析】（1），為的中點．，平面平面，平面平面，平面，平面，平面，．（2）存在點，當(dāng)為中點時，面面；證明如下：四邊形是正方形，為的中點，則，所以，又，所以，由（1）知，平面，平面，，又，平面，平面，平面，平面平面．【方法技巧與總結(jié)】（性質(zhì)定理應(yīng)用的注意事項）利用面面垂直的性質(zhì)定理，證明線面垂直的問題時，要注意以下三點：（1）兩個平面垂直；（2）直線必須在其中一個平面內(nèi)；（3）直線必須垂直于它們的交線．題型十一：平行與垂直的的綜合應(yīng)用【典例11-1】（2024·全國·模擬預(yù)測）如圖1，在等邊中，是邊上的高，、分別是和邊的中點，現(xiàn)將沿翻折成使得平面平面，如圖2.

(1)求證：平面；(2)在線段上是否存在一點，使？若存在，求的值；若不存在，請說明理由.【解析】（1）證明：如圖1，在中，、分別是和邊的中點，所以，，因為平面，平面，所以，平面.（2）在線段上取點，使，過點在平面內(nèi)作于點，連接.由題意得，平面平面.因為，平面平面，平面平面，平面，所以，平面，因為平面，所以，.在中，因為，，所以，，所以，，翻折前，為等邊三角形，則，因為為的中點，所以，，即，翻折后，仍有，所以，，故，在中，，因為，則.又因為，則平分，因為是斜邊上的中線，則，且，所以，是等邊三角形，則，又因為，、平面，所以，平面，因為平面，所以，，綜上，在線段上存在一點，且當(dāng)時，.【典例11-2】（2024·高一·寧夏石嘴山·期中）已知直三棱柱滿足，，點，分別為，的中點.(1)求證：平面；(2)求證：平面.(3)求三棱錐的體積.【解析】（1）如圖，連接，，四邊形為矩形，為的中點，與交于點，且為的中點，又點為的中點，，又平面，且平面，平面.（2）直三棱柱滿足，，又點為的中點，且面，面，所以，，又面，平面.（3）由圖可知，，，，又三棱柱為直三棱柱，且，.，，點為的中點，所以.由（2）可知平面.所以點到平面的距離為，又點為的中點，所以點到平面的距離為，.【變式11-1】（2024·高一·陜西延安·期末）已知矩形所在的平面，且N，M，O分別為，，的中點．求證：

(1)平面平面；(2)平面．【解析】（1）因為N，M，O分別為，，的中點，所以，又因為平面，且平面，所以平面，同理平面，又平面,平面,且，所以平面平面．（2）由平面，且平面，所以，由在矩形中，有，又平面，平面，且，所以平面．【變式11-2】（2024·高二·上?！るA段練習(xí)）如圖，正方形中，邊長為4，為中點，是邊上的動點．將沿翻折到，沿翻折到，(1)求證：平面平面；(2)設(shè)面面，求證：；(3)若，連接，設(shè)直線與平面所成角為，求的最大值．【解析】（1）因為ABCD是正方形，，又，面SFD，面SFD，又平面，所以平面平面SFD；（2）證明：因為，面，面，所以面，又因為面面，所以.（3）設(shè)S在面AEF上的射影為，連接EO，則為直線SE與平面DEF所成角．設(shè)，則．．在中，，．可得，，，又，，令，令，，當(dāng)且時，，則，可得在上單調(diào)遞減，當(dāng)，即時，最大為，最大值為．【變式11-3】（2024·高三·北京海淀·階段練習(xí)）已知點是邊長為2的菱形所在平面外一點，且點在底面上的射影是與的交點，已知，是等邊三角形.(1)求證：；(2)求點到平面的距離；(3)若點是線段上的動點，問：點在何處時，直線與平面所成的角最大？求出最大角的正弦值，并求出取得最大值時線段的長.【解析】（1）點在底面上的射影是與的交點，平面，平面，，四邊形為菱形，，，平面，平面，平面，；（2）由題意可得?與都是邊長為2的等邊三角形，，，，，，設(shè)點到平面的距離為，由得，即，解得.故點到平面的距離為.（3）設(shè)直線與平面所成的角為，，到平面的距離即為到平面的距離.過作垂線平面交于點，則，此時，要使最大，則需使最小，此時.由題意可知：，，平面，且，，，在中，由余弦定理可得：，，由面積相等，即，解得：，，，即點在線段上靠近點的4分點處，此時，.一、單選題1．（2024·高一·全國·專題練習(xí)）在正方體中，下列四對截面中，彼此平行的一對截面是（

）．A．截面與截面 B．截面與截面C．截面與截面 D．截面與截面【答案】B【解析】如圖，選項A、B、C、D分別對應(yīng)圖1、圖2、圖3、圖4．對于A，與相交，截面與相交，故A錯誤；對于B，截面與平行．證明：因為，所以四邊形為平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面，同理可證平面，，平面，所以平面平面．故B正確；對于C，截面與相交于D點，故C錯誤；對于D，與相交，截面與相交，故D錯誤；故選：B．2．（2024·高一·陜西咸陽·階段練習(xí)）在四面體中，為正三角形，與平面不垂直，則下列說法正確的是（

）A．與可能垂直B．在平面內(nèi)的射影可能是C．與不可能垂直D．平面與平面不可能垂直【答案】A【解析】如圖所示：取的中點，連接，假設(shè)，因為為等邊三角形，所以，又因為，所以平面，所以又因為是中點，所以，只需滿足，即可做到，故A正確C錯誤；對于B：若在平面內(nèi)的射影為，則有平面，與題干矛盾，故B錯誤；對于D：過點可以做出一條直線，使得該直線垂直與平面，點只需在該直線上，即滿足平面即可達(dá)到要求，故D錯誤.故選：A3．（2024·高三·北京豐臺·期末）在某次數(shù)學(xué)探究活動中，小明先將一副三角板按照圖1的方式進(jìn)行拼接，然后他又將三角板折起，使得二面角為直二面角，得圖2所示四面體．小明對四面體中的直線、平面的位置關(guān)系作出了如下的判斷：①平面；②平面；③平面平面；④平面平面．其中判斷正確的個數(shù)是（

）A．1 B．2C．3 D．4【答案】C【解析】對于①中，因為二面角為直二面角，可得平面平面，又因為平面平面，，且平面，所以平面，所以①正確；對于②中，由平面，且平面，可得，又因為，且，平面，所以平面，所以②正確；對于③中，由平面，且平面，所以平面平面，所以③正確；對于④，中，因為平面，且平面，可得平面平面，若平面平面，且平面平面，可得平面，又因為平面，所以，因為與不垂直，所以矛盾，所以平面和平面不垂直，所以D錯誤.故選：C.4．（2024·高一·河北石家莊·期中）如圖一，矩形中，交對角線于點，交于點，現(xiàn)將沿翻折至的位置，如圖二，點為棱的中點，則下列判斷一定成立的是（）A． B．平面C．平面 D．平面平面【答案】D【解析】對于D選項，翻折前，，，翻折后，，，因為，、平面，則平面，因為平面，所以平面平面，故D正確；對于B選項，因為，，則二面角的平面角為，在翻折的過程中，的大小會發(fā)生變化，故與不一定垂直，所以與平面不一定垂直，故B錯誤；對于A選項，設(shè)，在圖一中，，又因為，所以，，因為，所以，所以，則，在圖二中，過點在平面內(nèi)作，交于點，連接，則，故，則，因為，所以不是的中點，因為，，則，若，因為，、平面，則平面，因為平面，所以，因為、平面，且，所以，因為為的中點，則為的中點，與已知矛盾，故A錯誤；由選項A知，因為，平面，平面，所以平面，若平面，則，、平面，所以平面平面，因為平面平面，平面平面，則，因為為的中點，則為的中點，與已知條件矛盾，故C錯誤．故選：D．5．（2024·高一·陜西咸陽·階段練習(xí)）如圖，邊長為2的兩個等邊三角形，若點到平面的距離為，則二面角的大小為（

）

A． B． C． D．【答案】A【解析】設(shè)的中點為E，連接，過點A作，垂足為F，因為均為等邊三角形，故，故為二面角的平面角；又平面，故平面，而平面，故，又，平面，故平面，則點A到平面的距離為，又為等邊三角形，邊長為2，故，故在中，，則，即，故二面角的大小為，故選：A6．（2024·高一·福建龍巖·期末）如圖，在正方體中，E、F為正方體內(nèi)（含邊界）不重合的兩個動點，下列結(jié)論錯誤的是（

）．A．若，，則B．若，，則平面平面C．若，，則面D．若，，則【答案】D【解析】如圖所示，對于選項A，易知，底面，底面，所以，又平面，所以平面，平面，所以，故A正確；對于選項B，易知，所以平面，因為平面，所以平面平面，顯然平面即平面，故B正確；如上圖所示，對于C項，由正方體的特征可知，因為平面，平面，所以平面，同理平面，平面，所以平面，顯然平面，所以平面平面，由平面可得平面，故C正確；對于D項，顯然時，與不平行，故D不正確.故選：D7．（2024·高二·上海金山·期中）已知二面角為，點、分別在、內(nèi)且，到的距離為，到的距離為,則兩點之間的距離為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】如圖，作交于，連接，作，，因為，，，平面，平面，所以平面，因為平面，所以，所以為二面角的平面角，即，因為平面，平面，所以，又，，，，所以，所以，同理，所以，在中，，，所以，在中，，，所以，在中，，所以.故選：.8．（2024·高二·廣西南寧·期中）如圖，由矩形與矩形構(gòu)成的二面角為直二面角，為中點，若與所成角為，且，則（

）A．1 B．2 C． D．【答案】D【解析】取的中點，連接，如圖，矩形中，為中點，則，即四邊形是平行四邊形，有，因此是直線與所成的角或其補角，顯然，則是二面角的平面角，有，即有，而平面，于是平面，平面，則，由，得，令，則，在中，由余弦定理得，解得，所以.故選：D二、多選題9．（2024·高三·云南昆明·階段練習(xí)）已知m，n為兩條不同的直線，，為兩個不同的平面，則下列結(jié)論錯誤的是（

）A．，，則B．，，，，則C．，，，則D．，，，則【答案】ABD【解析】對于A，若，，則或，A錯誤；對于B，若，，，，則或，相交，只有加上條件m，n相交，結(jié)論才成立，B錯誤；對于C，若，，則，又因為，所以，C正確；對于D，若，，無法得到，只有加上條件才能得出結(jié)論，D錯誤.故選：ABD.10．（2024·高三·廣東潮州·期末）如圖，四棱錐的底面為正方形，底面，則下列結(jié)論中正確的是（）

A．B．C．平面平面D．【答案】ABC【解析】對于選項A,C，因為底面，平面,則，因為,且平面,平面，所以平面，因為平面，所以，且平面，所以平面⊥平面，故A，C正確；對于B,由選項A知，，又，且平面,平面所以平面，且平面，所以，故B正確；對于D,若，則垂直于在平面內(nèi)的射影，顯然不成立，故D錯誤.故選：ABC.11．（2024·高二·寧夏吳忠·期末）如圖，在四棱錐中，平面，與底面所成的角為，底面為直角梯形，，點為棱上一點，滿足，下列結(jié)論正確的是（

）

A．平面平面；B．在棱上不存在點，使得平面C．當(dāng)時，異面直線與所成角的余弦值為；D．點到直線的距離；【答案】ACD【解析】A選項，因為平面，平面，平面，所以，，故即為與底面所成的角，即，故，而，所以，在直角梯形中，，則，故，又因為平面，所以平面，因為平面，故平面平面，故A正確；D選項：由A選項的證明過程可知：平面，因為平面，所以，故點到直線的距離即為的長度，因為平面，平面，故，而，即點到直線的距離，故D正確；對于C，當(dāng)時，，即為的中點，設(shè)為的中點，連接，則，而，故，故四邊形為平行四邊形，則，故異面直線與所成角即為的夾角，在中，，則，則異面直線與所成角的余弦值為，C正確；對于B，由C選項知，當(dāng)時，，因為平面，平面，所以平面，所以時，平面，故B錯誤.故選：ACD.三、填空題12．（2024·高一·河南洛陽·階段練習(xí)）如圖，空間中兩個有一條公共邊的正方形和．設(shè)分別是和的中點，那么以下4個命題中正確的是．①；②//平面；③//；④異面．【答案】①②③【解析】取的中點，連接,如下所示：對①：