(3.4)-第九章 層次分析數(shù)學(xué)建模

層次分析模型（AHP）第九章層次分析法1.層次分析模型2.層次分析法的改進(jìn)3.殘缺判斷與群組決策第一節(jié)一、層次分析法的簡(jiǎn)介及模型背景二、層次分析法的基本原理與步驟層次分析模型

第九章三、層次分析法的應(yīng)用四、特征向量W計(jì)算方法總結(jié)1.層次分析法的簡(jiǎn)介層次分析法發(fā)展的目的是將復(fù)雜的問題系統(tǒng)化，由不同層面給予層級(jí)分解，并透過量化的運(yùn)算，找到脈絡(luò)后加以綜合評(píng)估。AHP的特點(diǎn)是在對(duì)復(fù)雜得決策問題的本質(zhì)、影響因素、內(nèi)在關(guān)系等進(jìn)行深入分析的基礎(chǔ)上，利用較少的定量信息使決策的思維過程數(shù)學(xué)化，從而為多目標(biāo)、多準(zhǔn)則或無結(jié)構(gòu)特性的復(fù)雜問題提供簡(jiǎn)便的決策方法，是對(duì)難于完全定量的復(fù)雜系統(tǒng)作出決策的模型和方法。這是一種實(shí)用的多準(zhǔn)則決策方法，能夠統(tǒng)一處理決策中的定性和定量因素，具有高度的邏輯性、系統(tǒng)性、簡(jiǎn)潔性和實(shí)用性等優(yōu)點(diǎn)。

一、層次分析法的簡(jiǎn)介及模型背景

2.層次分析法的模型背景

人們?cè)谏钪谐３?huì)面臨許多的決策，存在著很多需要考慮的因素，這些因素的重要性、影響力或者優(yōu)先程度難以量化，人的主觀選擇會(huì)起著相當(dāng)主要的作用，給用一般的數(shù)學(xué)方法解決問題帶來了本質(zhì)上的困難。我們引入了層次分析法，它不僅可以用于工程技術(shù)、經(jīng)濟(jì)管理、社會(huì)生活中的決策過程，而且可以用來分析和預(yù)報(bào)，如能源系統(tǒng)分析、科研成果評(píng)價(jià)、科研管理以及社會(huì)經(jīng)濟(jì)結(jié)構(gòu)分析等。解決方法層次分析法二、層次分析法的基本原理與步驟1.使用對(duì)象系統(tǒng)由相互關(guān)聯(lián)、相互制約的眾多因素構(gòu)成的復(fù)雜而往往缺少定量數(shù)據(jù)的系統(tǒng)。

2.建模步驟①建立層次結(jié)構(gòu)模型；

②構(gòu)造判斷（成對(duì)比較）矩陣；

③層次單排序及一致性檢驗(yàn)；

④層次總排序及一致性檢驗(yàn)。

①層次結(jié)構(gòu)模型的建立與特點(diǎn)

應(yīng)用AHP分析決策問題時(shí)，首先要把問題條理化、層次化，構(gòu)造出一個(gè)有層次的結(jié)構(gòu)模型。在這個(gè)模型下，復(fù)雜問題被分解為元素的組成部分。這些元素又按其屬性及關(guān)系形成若干層次。上一層次的元素作為準(zhǔn)則對(duì)下一層次有關(guān)元素起支配作用。

這些層次可以分為三類：目標(biāo)層：這一層次中只有一個(gè)元素，一般它是分析問題的預(yù)定目標(biāo)或理想結(jié)果，因此也稱為目標(biāo)層；準(zhǔn)則層：這一層次中包含了為實(shí)現(xiàn)目標(biāo)所涉及的中間環(huán)節(jié)，它可以由若干個(gè)層次組成，包括所需考慮的準(zhǔn)則、子準(zhǔn)則，因此也稱為準(zhǔn)則層；方案層：這一層次包括了為實(shí)現(xiàn)目標(biāo)可供選擇的各種措施、決策方案等，因此也稱為措施層或方案層。

建立層次結(jié)構(gòu)模型具體層次結(jié)構(gòu)如圖9.1所示：目標(biāo)層決策層準(zhǔn)則層

準(zhǔn)則1準(zhǔn)則2準(zhǔn)則3準(zhǔn)則m方案層方案1方案2方案n

不同層次之間的連線表示其作用關(guān)系，同層次因素之間無連線，表示它們互相獨(dú)立，成為內(nèi)部獨(dú)立。上述各層次之間的支配關(guān)系不一定是完全的，即可存在某個(gè)元素只與下一層次的部分元素有聯(lián)系，上層元素對(duì)下層元素具有分配（或包含）關(guān)系，而下層對(duì)上層無支配關(guān)系，成為遞階層次結(jié)構(gòu)。當(dāng)某個(gè)層次包含因素較多時(shí)（如超過9個(gè)），可將該層次劃分為若干層次?！ぁぁぁぁぁ?/p>

結(jié)合一個(gè)實(shí)例來說明遞階層次結(jié)構(gòu)的建立引例假期旅游有3個(gè)旅游勝地供你選擇，試確定一個(gè)最佳地點(diǎn)。在此問題中，你會(huì)根據(jù)諸如景色、費(fèi)用、居住、飲食和旅途條件等一些準(zhǔn)則去反復(fù)比較3個(gè)侯選地點(diǎn)。可以建立如圖1的層次結(jié)構(gòu)模型。目標(biāo)層選擇旅游地景色費(fèi)用居住飲食旅途

準(zhǔn)則層

方案層

②

構(gòu)造判斷（成對(duì)比較）矩陣

在確定影響某因素的諸因子在該因素中所占的比重時(shí)，遇到的主要困難是這些比重常常不易定量化。此外，當(dāng)影響某因素的因子較多時(shí)，直接考慮各因子對(duì)該因素有多大程度的影響時(shí)，常常會(huì)因考慮不周全、顧此失彼而使決策者提出與他實(shí)際認(rèn)為的重要性程度不相一致的數(shù)據(jù)，甚至有可能提出一組隱含矛盾的數(shù)據(jù)。為解決此問題，我們可以做出如下假設(shè)：將一塊重為1千克的石塊砸成n小塊，你可以精確稱出它們的重量，設(shè)為，現(xiàn)在，請(qǐng)人估計(jì)這n小塊的重量占總重量的比例（不能讓他知道各小石塊的重量），此人不僅很難給出精確的比值，而且完全可能因顧此失彼而提供彼此矛盾的數(shù)據(jù)。

構(gòu)造判斷（成對(duì)比較）矩陣

目的：比較n個(gè)因子對(duì)某因素Z影響的大小。具體步驟：每次取兩個(gè)因子和，以表示和對(duì)Z的影響大小之比，全部比較結(jié)果用矩陣表示，稱A為Z-X之間的成對(duì)比較判斷矩陣（簡(jiǎn)稱判斷矩陣）。容易看出，若與對(duì)Z的影響之比為，則與對(duì)Z的影響之比應(yīng)為：互反矩陣：若矩陣滿足

(i)>0

,

(ii)則稱之為互反矩陣（易見）

如何確定？

引用數(shù)字1~9及其倒數(shù)作為標(biāo)度1~9標(biāo)度的含義:標(biāo)度含義1表示兩因素相比，具有同樣的重要性3表示兩個(gè)因素相比，一個(gè)因素比另一個(gè)因素稍微重要5表示兩個(gè)因素相比，一個(gè)因素比另一個(gè)因素明顯重要7表示兩個(gè)因素相比，一個(gè)因素比另一個(gè)因素強(qiáng)烈重要9表示兩個(gè)因素相比，一個(gè)因素比另一個(gè)因素極端重要2,4,6,8上述兩相鄰判斷的中值倒數(shù)因素i與j比較的判斷矩陣，則因素j與i比較的判斷矩陣表9.1判斷矩陣元素的標(biāo)度方法一般作次兩兩判斷是必要的。有人認(rèn)為把所有元素都和某個(gè)元素比較，即只作次比較就可以了。這種作法的弊病在于，任何一個(gè)判斷的失誤均可導(dǎo)致不合理的排序，而個(gè)別判斷的失誤對(duì)于難以定量的系統(tǒng)往往是難以避免的。進(jìn)行次比較可以提供更多的信息，通過各種不同角度的反復(fù)比較，從而導(dǎo)出一個(gè)合理的排序。說明③層次單排序及一致性檢驗(yàn)

層次單排序：判斷矩陣A對(duì)應(yīng)于最大特征值

特征向量W，經(jīng)歸一化后即為同一層次相應(yīng)因素對(duì)于上一層次某因素相對(duì)重要性的排序權(quán)值，這一過程稱為層次單排序。一致矩陣：(i)矩陣A的元素滿足：(ii)矩陣A為正互反矩陣。那我們?cè)鯓优袛嗍欠窠邮芫仃嘇呢？

檢驗(yàn)構(gòu)造出來的（正互反）判斷矩陣A是否嚴(yán)重地非一致

定理儲(chǔ)備

定理1正互反矩陣A的最大特征根必為正實(shí)數(shù)，其對(duì)應(yīng)特征向量的所有分量均為正實(shí)數(shù)。A的其余特征值的模均嚴(yán)格小于。定理2若A為一致矩陣，則（i）A必為正互反矩陣；（ii）A的轉(zhuǎn)置矩陣AT也是一致矩陣；（iii）A的任意兩行成比例，比例因子大于零，從而rank(A)=1（同樣，A的任意兩列也成比例）。（iv）A的最大特征值=n，其中n為矩陣A的階。A的其余特征根均為0。

（v）若A的最大特征值對(duì)應(yīng)的特征向量為，則，即：

定理3：n階正互反矩陣是一致陣，當(dāng)且僅當(dāng).

存在的問題：

其實(shí)大部分矩陣都不是一致矩陣，比如我們可以仔細(xì)觀察矩陣A，可以發(fā)現(xiàn)，既然與之比為1:1，與之比為1:1，那么與之比也應(yīng)該是1:1，而不是2:1，才能說明成對(duì)比較矩陣是正確的，故說明成對(duì)比較矩陣具有不完善的地方，即矩陣具有不一致性。然而，n個(gè)元素要作

次成對(duì)比較，全部一致的要求實(shí)現(xiàn)起來太麻煩了。解決方法：為了能檢驗(yàn)成對(duì)比較矩陣的一致性，并且對(duì)不一致的地方作出修改完善，我們來討論其一致性檢驗(yàn)。

檢驗(yàn)判斷矩陣

的一致性（i）計(jì)算一致性指標(biāo)CI:（ii）查找相應(yīng)的平均隨機(jī)一致性指標(biāo)RI,對(duì)RI

的值如表2所示:表9.2平均隨機(jī)一致性指標(biāo)值（ⅲ）計(jì)算一致性比例CR:當(dāng)CR<0.10時(shí)，認(rèn)為判斷矩陣的一致性是可以接受的，否則應(yīng)對(duì)判斷矩陣作適當(dāng)修正。階數(shù)123456789

000.580.91.121.241.321.411.45④層次總排序及一致性檢驗(yàn)利用同一層次中所有層次單排序的結(jié)果，就可計(jì)算針對(duì)上一層次而言本層次所有元素重要的權(quán)值，這就是層次總排序，需要從上至下逐層進(jìn)行。層次A和層次B的層次總排序權(quán)值計(jì)算表如下：層次A層次B層次總排序權(quán)值表9.4層次A和層次B的層次總排序權(quán)值

計(jì)算與層次單排序的檢驗(yàn)量目的：為評(píng)價(jià)層次總排序的計(jì)算結(jié)果的一致性如何，層次總排序一致性比率：其中：（層次總排序一致性指標(biāo)）

（層次總排序隨機(jī)一致性指標(biāo)）當(dāng)時(shí)，認(rèn)為層次總排序的結(jié)果具有滿意的一致性。

三、層次分析法的應(yīng)用例題：某單位擬從三名干部中選拔一名領(lǐng)導(dǎo)，選拔的標(biāo)準(zhǔn)有政策水平、工作作風(fēng)、業(yè)務(wù)知識(shí)、口才、寫作能力和健康狀況。下面用層次分析法對(duì)三人進(jìn)行綜合評(píng)估、量化排序。1.建立層次結(jié)構(gòu)模型目標(biāo)層準(zhǔn)則層方案層選拔領(lǐng)導(dǎo)干部健康狀況業(yè)務(wù)知識(shí)寫作能力口才政策水平工作作風(fēng)圖9.2選拔領(lǐng)導(dǎo)干部問題層次結(jié)構(gòu)模型示意圖2.構(gòu)造判斷（成對(duì)比較）矩陣如果用依次表示健康狀況、業(yè)務(wù)知識(shí)、寫作能力、口才、政策水平、工作作風(fēng)6個(gè)準(zhǔn)則，設(shè)某人用成對(duì)比較法得到的成對(duì)比較矩陣為：3.層次單排序及其一致性檢驗(yàn)由“選拔領(lǐng)導(dǎo)干部”的成對(duì)比較矩陣可知，A的最大特征值為其相應(yīng)的特征向量為：

其一致性指標(biāo)：查表可知平均隨機(jī)一致性指標(biāo)：一致性比率：故得：矩陣A通過一致性檢驗(yàn)。以上，我們給出了準(zhǔn)則層對(duì)目標(biāo)層的特征向量，記做用同樣的方法構(gòu)造方案層對(duì)準(zhǔn)則層的每一個(gè)準(zhǔn)則的成對(duì)比較陣，不妨設(shè)它們?yōu)樘卣髦到】禒顩r業(yè)務(wù)知識(shí)寫作能力口才政策水平工作作風(fēng)3.023.053.563.063.003.21由第三層的成對(duì)比較矩陣計(jì)算出最大特征根，特征向量，結(jié)果列入下表：表9.3各成對(duì)比較矩陣的最大特征值其對(duì)應(yīng)的特征向量作為列向量構(gòu)成的矩陣為經(jīng)計(jì)算，均可通過一致性檢驗(yàn)。4.層次總排序及其一致性檢驗(yàn)通過以上綜合可算出：解得即在3人中應(yīng)選擇權(quán)重最大的對(duì)應(yīng)的候選人擔(dān)任領(lǐng)導(dǎo)職務(wù)。此例題數(shù)據(jù)實(shí)現(xiàn)的主要程序如下：clear,clc;A=[111411/2;112411/2;11/21531/2;1/41/41/511/31/3;111/3311;222311];%成對(duì)比較矩陣[x,y]=eig(A);eigenvalue=diag(y);m=max(eigenvalue);lamda=mn=find(m==eigenvalue);%找到最大特征值對(duì)應(yīng)的下標(biāo)y_lamda=x(:,n)%最大特征值對(duì)應(yīng)的特征向量s=sum(y_lamda);W2=y_lamda./s后面計(jì)算其他的程序同上%層次總排序W3=[W13W23W33W43W53W63];W=W3*W2%W2為準(zhǔn)則層對(duì)目標(biāo)層的特征向量，W3為方案層對(duì)準(zhǔn)則層的特征向量

%判斷矩陣的一致性%層次單排序的一致性檢驗(yàn)N=size(A,1);CI=(lamda-N)/(N-1)

if(N==1)RI=0.00elseif(N==2)RI=0.00elseif(N==3)RI=0.58elseif(N==4)N==4RI=0.90elseif(N==5)RI=1.12

elseif(N==6)RI=1.24elseif(N==7)RI=1.32elseif(N==8)RI=1.41elseif(N==9)RI=1.45elseif(N==10)RI=1.49elseif(N==11)RI=1.51endCR=CI/RI%層次總排序的一致性檢驗(yàn)Lamda=[lamda1lamda2lamda3lamda4lamda5lamda6];N=size(B1,1);CI1=(Lamda-N)/(N-1);CI=sum(CI1.*W2')RI=sum(0.58*W2')CR=CI/RI

四、特征向量W計(jì)算方法總結(jié)1.幾何平均法（方根法）計(jì)算步驟:(1)A的元素按行相乘的一新向量；(2)將新向量的每個(gè)分量開n次方；(3)將所得的向量歸一化即為特征向量W。2.算數(shù)平均法（求和法）由于判斷矩陣A中的每一列都近似的反映了權(quán)值的分配情形，故可采用全部列向量的算術(shù)平均值來估計(jì)W，即計(jì)算步驟:(1)A的元素按列歸一化，即求;(2)將歸一化后的各列相加；(3)將相加后的向量除以n即得特征向量W。2.最小二乘法用擬合方法確定特征向量W，使殘差和平方和最小。即求解如下模型：第二節(jié)層次分析法的改進(jìn)一、未改進(jìn)的AHP二、改進(jìn)的AHP三、結(jié)論一、未改進(jìn)的AHP1.存在的問題及解決方法①存在的問題：在實(shí)際問題中，一般都憑借著大致的估計(jì)來調(diào)整判斷矩陣，雖然往往行之有效，但畢竟帶有盲目性，并且不能排除經(jīng)過調(diào)整才能通過一致性檢驗(yàn)的可能性。開始②解決方法：利用最優(yōu)傳遞矩陣的概念，對(duì)AHP進(jìn)行改進(jìn)。原始的AHP流程圖如右：沒有通過構(gòu)造判斷矩陣求A的最大特征值及對(duì)應(yīng)的特征向量一致性檢驗(yàn)結(jié)束通過沒有通過2.定義及定理設(shè)定義2

若矩陣A的元素滿足，則稱A為互反矩陣；若矩陣B的元素，則稱B為反對(duì)稱矩陣。定義3A是互反矩陣，若，則稱A是一致的；若B是反對(duì)稱陣，且，則稱B是傳遞的。顯然，若A是一直陣，則

是傳遞的，反之，若B是傳遞陣，則是一致的。

定義4若存在傳遞矩陣C，且使最小，則稱C為B的最優(yōu)傳遞陣。顯然若A是互反矩陣，，C為B的最優(yōu)傳遞陣，那么可以認(rèn)為是A的一個(gè)擬優(yōu)一致陣。定理3若B是反對(duì)稱陣，則B的最優(yōu)傳遞陣C滿足二、改進(jìn)的AHP改進(jìn)的AHP流程圖如下：開始構(gòu)造判斷矩陣

求的特征向量結(jié)束用方根法求的特征值出于以下考慮：首先因?yàn)榕袛嗑仃嚤旧碛邢喈?dāng)?shù)恼`差范圍；其次方根法可在一定的范圍內(nèi)，使擬優(yōu)的特征值更接近于最優(yōu)的特征值。三、實(shí)例分析設(shè)為某目標(biāo)的五個(gè)指標(biāo)，它們之間構(gòu)造的判斷矩陣為第一步：利用，得到對(duì)應(yīng)的反對(duì)稱矩陣B如上：第二步：根據(jù)定理3，得到矩陣B的最優(yōu)傳遞矩陣C和相應(yīng)擬優(yōu)一致陣分別為:第三步：用方根法求矩陣的特征向量為利用歸一化后，得各指標(biāo)權(quán)重為為與原始AHP進(jìn)行對(duì)比，將結(jié)果列于表9.7，如下所示：表9.7原始與改進(jìn)的AHP結(jié)果對(duì)比從表9.7可以看出，兩種方法求出的特征向量中，相對(duì)于其他的幾個(gè)權(quán)值來講，變動(dòng)較大，實(shí)際上，觀察矩陣A

時(shí)，會(huì)發(fā)現(xiàn)其顯示出不一致性，我們會(huì)綜合考慮幾個(gè)方面，修改。從C矩陣的構(gòu)成上來看，改進(jìn)的AHP是綜合考慮了與所有其他指標(biāo)的關(guān)系后，再綜合調(diào)整的，改進(jìn)的AHP實(shí)際上是在原始的AHP中設(shè)置了一個(gè)智能調(diào)整器。四、結(jié)論將人工給定的判斷矩陣A，通過一個(gè)調(diào)整器，得到擬優(yōu)意義下的一致陣，直接求出權(quán)值，不需要進(jìn)行一致性檢驗(yàn)，從理論證明到大量的上機(jī)驗(yàn)算說明這種方法可以調(diào)整人們認(rèn)識(shí)上的不一致，并不能形成有效的原始判斷矩陣，如何在最優(yōu)意義下調(diào)整人們認(rèn)識(shí)上的不一致，以及如何通過某些信息，機(jī)械化、智能化地有效的判斷矩陣是值得深入研究的課題。第三節(jié)殘缺判斷與群組決策一、殘缺判斷的處理方法二、群組決策一、殘缺判斷的處理方法殘缺判斷處理方法：為解決層次很多，因素復(fù)雜的判斷量很大的問題，充分利用殘缺判斷矩陣中的剩余信息，提高排序的可靠性，提出殘缺判斷處理方法?？山邮軛l件的的引入：一個(gè)矩陣的殘缺程度對(duì)排序的正確性是有明顯影響的，信息越少，排序的隨意性越大。要能夠進(jìn)行排序，必須對(duì)殘缺程度及其位置有一些限制，故要研究什么樣的殘缺矩陣是“可接受的”，一個(gè)可接受的殘缺判斷應(yīng)如何用于排序以及如何進(jìn)行一致性檢驗(yàn)等。1.殘缺判斷可接受的條件處理殘缺判斷的出發(fā)點(diǎn)是，當(dāng)缺少某個(gè)元素的直接信息時(shí)，希望最終通過間接的判斷獲得。例如，元素可以通過獲得，也可以通過獲得。如果這種